第十三章
动能定理
§ 13－ 1 力的功
一、力的功
力的功是力在一段路程内对物体作用的积累效应
的度量。力做功的结果是使物体的机械能发生变化
1、常力功的计算
常力在直线位移下所作的功
sFsθFW ???? c o s
力的功是代数量
1A
2A
s
F
?
2、变力功的计算
1A
2A
M
M?sd
rd
r
F
x
y
z（ 1）自然表达式
则力在微段路径上
所作元功为：
sFsFW ???? ??? dco s
在整个路径 上所
作功为：
S?
?? ???? 2
1
2
1
dc o s A
A
A
A
sFsFW ??
（ 2）矢量表达式
则力在微段路径上所作元功为：
rFW d????
在整个路径 上所作功为：S?
rFW A
A?
?? 2
1
d
（ 3）直角坐标表达式
kFjFiFF zyx ???
kzjyixr dddd ???
zFyFxFW zyx ddd ????
)(2
1
zFyFxFW zyxAA ddd ????
2、常见力功的计算
（ 1）重力的功
重力作功与路径无关，只与起始位置重心的高度差
有关。
? ?12 hhmgW ??
（ 2）弹性力的功
弹性力作功与路径无关，只与其实位置重心的高度
差有关。
弹性力, ? ?
0lrkkF ??? ?
弹性力的功,
? ?22212 ?? ?? kW
011 lr ???
022 lr ???
其中：
分别为始末位置弹簧的边形量
（ 3）作用于定轴转动刚体上的力、力偶的功
r
?d
F
τF
bF
nF
刚体转过微小角位移后力所作的功为：
?? ?? ddd rFsFrFW ????
其中，力对轴之矩为：
? ? rFFM z ??
? ? ?? d??? FMW z
刚体转过一定角位移后力所作的功为：
? ?? ?? 2
1
d?
?
?FMW z
当力对轴之矩（力偶矩）为常量时：
? ?12 ?? ??? zMW
§ 13－ 2 动能定理
一、动能
1、质点的动能
2
2
1 mvT ?
2、质点系的动能
?? 221 iivmT
（ 1）平移刚体的动能
Ci vv ??
22
2
1
2
1
Cii mvvmT ??? ?
（ 2）定轴转动刚体的动能
? ?
222
222
2
1
2
1
2
1
2
1
??
?
zii
iiii
Jrm
rmvmT
??
???
?
??
?ii rv ??
2
iiz rmJ ?
－－定轴转动刚体对转动
轴的转动惯量
（ 3）平面运功刚体的动能
A:力的功是过程量，动能是瞬时量。故在某瞬时，
可将平面运功刚体视为绕速度瞬心的定轴转动
2
2
1 ?
zJT ??
???zJ
平面运功刚体相对速度瞬心的转动惯量
令刚体质心为 C；该瞬时速度
瞬心为 P：
22
2
1
2
1
Cc mvJT ?? ?
??CJ
平面运功刚体相对质心的转动惯量
B:在某瞬时，在速度瞬心不明显时候，也可将平面
运功刚体的运动视为绕质心的定轴转动和随质心的平动
两部分运动的合成。
即：平面运动刚体的动能等于，随质心的平移的动能与
绕质心的定轴转动动能之和。
二、质点的动能定理
F
dt
vd
m
a
dt
vd
Fam
??
?? 且
在等式两边同时点乘 rd
rFr
t
vm dd
d
d ???
rrv
t
rv dd
d
d ???
? ? ?
?
?
?
?
?
???
????
2
2
1
dd
2
1
d
d
d
d
mvvvm
dtv
t
v
mrd
t
v
m
rFW d???且
Wmv ???
?
??
?
?? 2
2
1d
－－质点动能定理微分式
即：质点动能的增量等于作用于质点上外力所作的
元功。
积分后得：
Wmvmv ?? 2122 2121
WTT ?? 12或：
即：在一段路程中，质点动能的改变量等于作用于质
点上外力在路程上所作的功。
三、质点系的动能定理
iii Wvm ????
??
?
? 2
2
1d?
求和
?? ??????? iii Wvm ?221d
?? ??????? iii Wvm ?221d
? ? Tvm ii 221
??? iWT ?d
－－质点系动能定理微分式
即：质点系动能的增量，等于作用在质点系上所有力
的元功之和。
积分后得,?
?? iWTT 12
－－质点系动能定理积分式
即：质点系在某段路程中始末位置动能的改变量，等于
作用在质点系上所有力在相应路程中所作的功之和。
对于刚体：
0?? iiW
对于可变形体：
0?? iiW
??? ?? iieii WWW
§ 13－ 3 功率、功率方程
一、功率
功率：单位时间内力所做的功，即
t
wP
d
??
vFvF
t
rF
t
wP
?
? ??????
d
d
d
??? zz M
t
M
t
wP ????
d
d
d
对于作用于刚体上的力（力偶）功率：
二、功率方程
??
??
??
n
i
i
n
i
P
t
W
t
T
11
2
dd
d ?
利用动能定理微分式，动能对时间的一阶导数等于作
用于质点系所有力功率的代数和
§ 13－ 3 势力场、势能、机械能守恒定律
一、势力场
力场,质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方
向完全由所在位置确定的力的作用，此空间称为力场。
势力场,场力作功只决定于力作用点的始末位置，而与
路径无关的力场。如：重力场、万有引力场、弹性力场
保守力,势力场内对应的场力。如：重力、万有引力、
弹性力等
二、势能
? ??? ????? 1
2
1
2
dddd M
M zyx
M
M
zFyFxFrFV
0M
－－势能零点
势能,势力场中，质点从位置 运动到位置,有
势力所作功称为位置 相对位置 的势能。
0M 1M
0M1M
三、机械能守恒定理
系统只在有势力作用下运动时，其机械能保持不变
?? VT 常数
例 1 已知：轮 0半径质量分别为,,质量分布在
轮缘上 ; 均质轮 C半径质量分别为,,纯滚动,
初始静止,M为常力偶。
求：轮心 C走过路程 S时的速度和加速度
1m
2m
1R
2R
解,轮 C与轮 O共同作为
一个质点系
SgS i nmMW ·212 ?? ??
01 ?T
2
2
2
22
2
22
2
1
2
112 )2
1(
2
1
2
1)(
2
1 ??? RmmRmT ???
2
2
1
1,RR
CC ???? ??
1R
S??
)32(
)(2
211
12
mmR
SS ingRmM
C ?
?? ??
)32(
4
· 21
2
2 mmSS ingmM
C ??? ??? )(a
1212 TTW ??
式 (a)是函数关系式，两
端对 t求导，得
C
C
CC S i ngmRMmm ??
??? ·)32(
2
1
2
1
21 ???
121
12
)32(
)(2
Rmm
S inRgmM
C ?
?? ??
例 2：已知 均质园轮 m,r,R,纯滚动
求：轮心 Ｃ 的运动微分方程
解,
,432121 222 CCC mJmT ??? ???
重力的功率
sP m g m g
t
?? ??? ? ? ? ??
??
d
d
sP m g m g
t
?? ??? ? ? ? ??
??
d
d
smg
t ???
d
d
t
smg
d
ds in ???? ??s in
d
d g
t
sm ??
t
smg
tm
C
C d
d
d
d ??? s i n2
4
3 ???p
t
T ?
d
d
?（ 很小） ????? ?
???? s i n,,,2
2
rR
s
t
s
t
s
t C
C
d
d
d
d
d
d
? ? 03
2
d
d
2
2
?
?
?
rR
gs
t
s
本题也可用机械能守恒定
律求解。
? ?? ? 243,c o s1 CmTrRmgV ?? ????
? ? 0dd ?? TVt 0s in
3
2
d
d
2
2
?? ?gt s得
例 3：已知 l,m
求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。
?
???
c o s
2
lCP
CC ??
解：
成 角时?
,01 ?T
2
2
22
2 c o s3
11
2
1
2
1
2
1
CCC mJmT ???? ??
??
?
? ????
? ? 22
c o s3
11
2
1s i n1
2 C
mlmg ?
?
? ?
?
??
?
? ???
l
ggl
C
3,3
2
1 ?? ??
（ a ）CN maFmg ??
（ b） ??
122
2ml
JlF CN ??
时0??
nCAtCAAC aaaa ???由
tCAC aa, nCAA aa,其中, 铅直 水平
?2laa tCAC ?? (c)
由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得
4
mgF
N ?