第七章
点的一般运动、刚体的基本运动
引言
一、空间、时间与物质运动的关系
1、物体的运动速度接近光速或超越光速时，
空间、时间与物质的运动是相互关联的。
2、经典力学范围内，认为空间、时间与物
质的运动无关。
二、运动学的研究对象
经典力学中的运动学在被认为在与运动无
关的空间和时间中研究物体运动的几何性质
三、运动学的建立基础
由于经典力学中空间、时间与物体运动的
无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在
欧几里德几何学公理的基础上。
四、运动学中的两种力学模形：
点,不计尺寸大小的物体。
刚体,形状和大小都不变化的物体。
五、运动学中与时间相关的两个
重要概念 —— 瞬时和时间间隔
瞬 时,在整个时间流逝过程中的某一时刻。
在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间
轴上的一个点。开始计算时间的瞬时
称为初瞬时
时间间隔,两个瞬时之间流逝的时间。
六、运动学中与位置相关的
重要概念 —— 参考体
参考体,描述物体的运动之前所选取的作为
参照物的物体。
参考系,将所选取的参考体经抽象化处理，
以坐标系的形式出现。（坐标系，
参考坐标系）
1、点的运动的表示方法
—— 三种：矢径表示法，
笛卡儿坐标表示法，
弧坐标表示。
2、刚体的基本运动
—— 两种：刚体的平行移动，
刚体的定轴转动。
内容提要
3、定轴轮系的传动比
—— 两种：齿轮传动，
带轮传动。
4、刚体角速度和角加速度的矢量表示
—— 角速度矢、角加速度矢
5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示
6、泊松公式
O
P
r
r'
P'? r
v
v
?
S
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
P,P?—— 动点
v,v?—— 动点的瞬时速度
r,r? —— 动点的瞬时矢径
?r —— ?t时间间隔内矢径改变量
S —— 动点运动轨迹,矢径端图
o —— 参考点
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
1、运动方程（运动规律）：
由于矢径 r的大小与
方向均随时间 t而变，是
t的单值连续的矢量函数，
故可表示如下：
( ) ( 5 1 )rr?? t
O
P( t)
（
r
r'
P ' (t+ ? t)
? r
v
v
?
S
—— 运动方程
2、运动速度：
0
l i m 5 2rrvr
??
?? ? ? ?
? —（ ）t
d
t d t
O
P( t)
（
r
r'
P ' (t+ ? t)
? r
v
v
?
S
平均速度
瞬时速度
rv ? ??
? t
速度单位
)/(/ sm秒米
３、加速度：
2
2
0
l im
53
v v r
ar
??
?
? ? ? ?
?
?
—（ ）
t
dd
t d t d t
O
P( t)
（
r
r'
P ' (t+ ? t)
? r
v
v
?
S
平均加速度
t
va
?
???
瞬时加速度
加速度单位
)/(/ 22 sm秒米
讨论：速度矢端图
点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的
始端画在同一点 O′，按照时间顺序，这些速度矢量的末端
将描绘出一条连续的曲线，称为 速度矢端图 。
v
v
?
o
?
M
M
?
a
如图所示，速度
为 v 时的加速度方向
为 M点的切线方向。
指向速度矢变化的方
向。
速度矢端图的
作用,确定瞬时加
速度方向。 速度矢端图
总结
? 动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿
轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。
?变矢量 A(t) 对时间 t的 导数 dA(t)?dt为一新变矢。此新
变矢为 变矢量 A(t) 端点的速度 u。
? 动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数,等于
位矢 对时间的二阶导数。其方向 为 ?v的极限方向
二、笛卡儿坐标表示法：
O
r
M
x
z
y
y
x
z
k
j
i
r = i x+ j y+ k z
1、运动方程（运动规律）：
由于动点在空间的位置
可用坐标唯一的确定，而坐
标 x,y,z又是 t的单值连续
的矢量函数，故可表示如下：
)45(
)(
)(
)(
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tfz
tfy
tfx
—— 运动方程
2、运动速度：
将式 r = i x+ j y+ k z 对时间求一阶导数，并注意到
i, j, k 是常矢量，然后再将其代入公式 （ 5-2 ），即
可得到速度在笛卡儿坐标系中的表达式：
( ) 5 5x y z? ? ? ? ? —（ ）v r i j k
速度的笛卡儿坐标表达式
O
r
M
x
z
y
y
x
z
k
j
i
r = i x+ j y+ k z
速度的笛卡儿坐标轴上的投影式
合速度大小
)65( ?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
zdtdzv
ydtdyv
xdtdxv
z
y
x
&
&
&
)75(222 ???? zyx vvvv
合速度方向
c os
c os ( 5 8 )
c os )
v,i
v,j
v,k
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
（）
（ ）
（
x
y
z
v
v
v
v
v
v
合速度的方向由其方向余弦确定
2、运动加速度：
59
v
a v r i j k
t
? ? ? ? ? ?
? —（ ）
d
x y z
d
同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式
合加速度大小
)105(
2
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
—
zdt zda
ydt yda
xdt xda
z
y
x
&&
&&
&&
)115(222 ???? zyx aaaa
合加速度方向
合加速度的方向由其方向余弦确定
c os
c os ( 5 12)
c os )
a,i
a,j
a,k
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
（）
（ ）
（
x
y
z
a
a
a
a
a
a
总结
? 笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
? 动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐
标对时间的一阶导数。
?动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的
速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二
阶导数。
举例,? 人造地球卫星的运动轨迹——椭园 （左图）
? 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹
——摆线 （右图）
0 1 -5 -1 2 24
x
y
z
三、弧坐标表示法：
S
O
M
)( ?
)( ?
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
S —— 弧坐标, O点至动点 M的弧长 。 是时间ｔ
的单值函数 。
正负号 —— 规定参考点的一侧方向为正向, 相应部
位的弧长为正值；另一侧方向为负向, 相
应部位的弧长为负值 。
概念
自然轴系
O
M ?
)( ?
)( ?
? ?
M
s
A
B
为切向单位矢量,?? ?
?
? ??
P
点的密切面。 曲线在 即空间
平面趋于一极限位置，
，
M
P
P
MM ?? ??
?
?
?
?? ???
? ??? ? ??//
由于 M点附近的微小弧段
可以可以近似的看成为一条
在密切面内的平面曲线，因
此对平面曲线而言，密切面
就是该曲线所在的平面。
A 密切面
?
n
M
b
主法线
B
主法线
切线
法面
??
?
?
?
??? ????
??? ????
??? ????
?
?
?
为副法线
为主法线
法面
密切面
密切面
法面，
bb
nn
b
n
bn
坐标轴。
成的坐标轴即为自然
互垂直矢量的轴线构
向单位矢量，三个相
切向、主法向和副法
分别为、,bn?
自然轴系方向规定
?的正向指向弧坐标正向,n 的正向指向曲线在 M点的曲
率中心,b 的正向则由右手规则决定，即
b= ?× n
自然轴系特征及与笛卡儿坐标系的区别
自然轴系 ?,n,b的方向随动点位置的变动而变动,单
位矢量 ?,n,b的方向不断变化。笛卡儿坐标系为固定坐标
系，单位矢量 i,j,k为定矢。
１,运动方程：
)135()( ?? tfS
—— 运动方程
由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐
标 s又是 t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：
S
O
M
)( ?
)( ?
2、运动速度：
公式推导 d d d s
d t d s d t?? =
rrv
0
l i m 1
s
dr
d s s??
? ?
?而 ＝
r
d
ds故 ＝
r ?
d d d s v
d t d s d t? ? ? ? ? ? ? ? ? = ＝
rrv ?
结论
动点的速度沿其运动的轨迹方向，大小等于弧坐标
对时间的一阶导数。
3、运动加速度：
n
d d v d v dv
d t d t d t d t ?? ? ? ? ? ?
（）va a a?? ?
切向加速度
2
2
dv d s
dt dt? ? ? ? ?? （ ）a ? ? ?
法向加速度
n
dv
dt＝ （5 - 1 7 ）a
?
—— 反映速度大小的加速度
—— 反映速度方向变化的加速度
讨论：法向加速度的计算
9 7 -1 -1 30
9 7 -1 -1 29
M
T
M ?
T ?
O
S?
?
j?
v
v
? v
计算法向加速度需首先清楚曲线曲率的概念，为此，
下面对曲率进行分析。
的平均曲率—弧— ssK ???? j*
点的曲率—— MdsdsK s jj ???? ?? 0lim
0
0
0
00
2
(
l i m
l i m
l i m
l i m l i m
n
t
t
t
tt
d d v
av
dt dt
v
t
v
t
s
v
st
s
v
st
v ds
dt
v
j
j
j
?
?
??
??
??
? ? ? ?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
? ? ?
??
??
??
??
??
?
??
(5 18)?
——沿轨迹的法线 （曲率半径）指向曲率的中心。
( 5 - 1 9 )n???a a a
? 大小
2 2 22 2 2 2 （ 5 2 0 ）0nnb na a a a a a aa? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 方向
t a n （ 5 - 2 1 ）
n
a
a
?? ?
全加速度
M
n
a
a
?
a
?
注：判别点作加速运动还是减速运动，是用 a ?,而不
是用 a,与直线运动情形相似,当 v 与 a ? 同号,点作加速运
动,反之作减速运动。
几种特殊情况
( 5 2 2 )os s v t? ? ?
匀速曲线运动
2
22
1
( 5 23 )
2
2 ( )
o
oo
oo
v v a t
s s v t a t
v v a s s
?
?
?
?? ?
?
?
? ? ? ??
?
?? ? ? ?
例 1,下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平
轴 o 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径 R =16 c m,料斗沿
铅垂提升的运动方程为 y =2t
2
,y 以 cm 为计,t 以 s 为计。求
卷筒边缘上一点 M 在 t =4s 时的速度和加速度。
匀变速曲线运动
典型例题
解,（ 1 ）、分析运动 卷筒边缘上 M
点沿半径为 R 的圆周运动。
（ 2 ）、列运动方程，求未知量
卷筒边缘上 M 点沿半径为 R 的圆周
运动。
2
2
:
,
0,:
tys
MMMA
tA
tM
o
o
??
?
?
坐标为
点的弧处，点到达处
，料斗在处；在瞬时料斗在
，此时为弧坐标原点设
A
o
A
y
R
?
o
M
M ?
M
o
a
?
a
n
a
R
?
o
M
M ?
M
o
a
?
a
n
a
21425.0a r c t an
25.0
16
4
/5.16164
/16
16
16
/4
/16444
22222
2
22
2
???
???
????
???
???
?????
o
n
n
n
a
a
tg
scmaaa
scm
R
v
a
scm
dt
dv
a
scmt
dt
ds
v
?
?
?
?
?
常量
从而，
例 2,列车沿曲线轨道行驶，初速度 v 1 =1 8 k m/ h,速度均匀增
加，行经 s =1 k m 后，速度增加到 v 2 =5 4 k m/ h,若铁轨形状如下
图所示。在 M 1 及 M 2 的曲率半径分别为,? 1 =6 0 0 m, ? 2 =8 0 0 m 。
求列车从 M 1 到 M 2 点处所需的时间和经过 M 1 和 M 2 处的加速
度。
1
?
1
M
1?
a
1
v
1n
a
1
a
2n
a
2
M
2
?
2?
a
2
a
2
v
解,（ 1 ）、分析运动 列车作匀变速曲线运动
（ 2 ）、列运动方程，求未知量
s
vv
asavv
a
vv
ttavv
dt
dv
a
2
2
1
2
22
1
2
2
12
12
?
????
?
????
??
??
?
?
?
故，
常数由题意可知：
n
n
n
a
a
aaa
v
a
?
? ????
?
?
t a n22
2
另外，
上述各式中代入各已知量即可求出各未知量。
例 3,下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长
为 r,自水平位置开始以匀角速度 ? 转动，即 j = ? t 。滑槽 K — K
与导杆 B — B 制成一体。曲柄端点 A 通过滑块在滑槽 K — K 中
滑动，因而曲柄带动导杆 B — B 作上下直线运动。试求导杆的
运动方程，速度和加速度。
9 7 -1 -1 100 1 -5 -1 2 9
x
x
x
B
B
K KM
o
r
j
?
解, ? 分析运动, 因滑槽 K
—Ｋ与导杆Ｂ—Ｂ制成
一体，且作直线运动，
故滑槽中点Ｍ的运动可
代表导杆的运动。
? 列运动方程
由图中的几何关系，可知Ｍ点的坐标为：
)(s i ns i ns i n atrrOAOMx ?jj ????
avt 及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对
tr
dt
dxv ?? c o s?? tr
dt
dva ?? s i n2???
0 1 -5 -1 2 17
0 1 -5 -1 2 10
x
v
a
t
t
t
rx ?
m ax
rx ?
m i n
m i n
v
m ax
v
m i n
a
m ax
a
)(3~1 bí?
? 结果分析：
见右图。
例 4,曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构
(下图）当曲柄 OA绕 0轴转动时，由于连杆 AB带动，滑块 B
沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。
在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运
动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，应用它将回转运动转
换为往复直线运动。设曲柄 OA长为 r，以匀角速 ?绕 0轴转
动，即 j=?t,连杆 AB长为 L。试求滑块 B的运动方程、速
度和加速度 。
解, ? 运动分析,滑块 B 沿直线作往复运动
? 列运动方程：
如图所示，取滑块 B 的直线轨迹为 x 轴,o 为坐标原点。
由几何关系可知,B 点的运动方程应为：
)(c osc os aLrCBOCOBx ?j ?????
)(
)(s i n1s i n1co s:
s i ns i n:
222
b
L
r
Lr
即
又因
?????
?
?j???
?j
。以后的项目均可略去故则
因一般的连杆机构中
得展开为级数将
)s i n
8
1
,0016.0,04.0
,2.0(s i n
2
1
1
s i n
8
1
s i n
2
1
1s i n1
,s i n1
4442
22
44222
22
j???
?j?
j?j?j?
j?
??
???
????????
?
)()s i n
2
1
1(c o s
:
22 dtLtrx
从而运动方程简化为
??? ???
avt 及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对
)()2co s
4
( co s)
4
1(
:)(
)2co s1(
2
1
s i n
:
2
2
ettrLx
d
tt
式并整理得代入
可得利用倍角三角函数公式
?
?
?
?
??
????
??
)()2c os( c o s2 gttr
dt
dva ???? ????
)()2s i n
2
)( s i n fttr
dt
dxv ???? ????
0 1 -5 -1 2 10
x
v
a
t
t
t
rx ?m ax
rx ?m in
minv
maxv
mina
maxa
)(3~1 b图
例 6,下图是矿井提升机。主要数据如下：提升高度为
876m,开始提升时罐笼的加速度是 0,7 m/ s 2,速度达到
7,8 4 m/ s 后,即以此速度匀速提升,最后再以减速度 0,7 m/ s 2 减
速提升,直到最后停止。试求提升一所需的时间 T 。
t
v
1t 2t 3t
T
a b
o
c
sm /84.7
o
? 列运动方程：
1 ),t 1 的计算
由匀加速直线运动公式,
解, ? 运动分析,罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直
线运动，第二阶段为匀速直线运动，第三阶段为减速直线运
动，图 1 ~7 为该罐笼的速度图。
111 tavv o ??
代入上式即可求得
时
时
将
??
?
?
?
???
???;/7.0,/84.7,;/7.0,0,0
2
111
2
1
smasmvtt
smavt o
st 2.111 ?
2).t 3 的计算
由匀减速直线运动公式,
3323 tavv ??
代入上式即可求得
时
将
?
?
?
??
????
.0,;/7.0,/84.7
33
2
312
vtt
smasmvv
st 2.113 ?
3 ), t 2 的计算
最后计算 t 2 。必须考虑起动和制动阶段所走过的路程。在 t 1
时间内提升罐笼的高度 h 1,可由匀变速运动的路程公式求
得：
mh 44)2.11(7.021,21 ????代入数据得
2
1111 2
1 tatvh
o ??
mh 44,3 ?同理可求出
mhhhh 7 8 84428 7 6,312 ???????于是可求出
stttt
St
8.1 2 22.114.1 0 02.11
:
4.1 0 0
84.7
7 8 8
:,
321
2
???????
??
时间为从而可得提升一次所须
故该阶段所须时间为运动阶段由于该阶段为匀速直线
第二节 刚体的基本运动
一,刚体的平动
定义
A
B
M
O O
运动时刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体平动时，其上所有各 点的运动轨迹相同；在每 一
瞬时，各点的速 度相同、加速度也相同。
A
v
B
v
A
a
B
a
A
r
AB
r
B
r
A
B
1
B
2
B
1
A
2
A
o
ABr ——常矢量
刚体平动的特点
( 5 24 )
A B BA
AB
A B B
B
AB
A
A
d d d
dt dt dt
dd
dt dt
???
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
?
０
r r r
rr
vv
aa
r r r
刚体上任一点的运 动可以代表整个刚体运动，即刚体
的平动可以归结为点的运动来研究。
结论
二,刚体绕定轴转动
刚体转动时，刚体内始终有一条直线固定不动，
而这条直线以外的各点则绕此直线作园周运动。
定义
I
II
j
o
)( ?
I ——通过 z 轴的
固定平面。
II ——通过 z 轴随
刚体一同转
动的平面。
j ——某一瞬时 t
时 I, II 两
平面之间的
夹角。
转动方程
I
II
j
o
)( ?I ——通过 z 轴的
固定平面。
II ——通过 z 轴随
刚体一同转
动的平面。
j ——某一瞬时 t
时 I, II 两
平面之间的
夹角。
j = j ( t) ( 5 - 2 5 )
?? 刚体绕定轴转动的转动方程
j 的性质 ?? 代数量。
j 的方向 ?? 从转轴 z 的正端向负端看，逆时针转动为
正，顺时针转动为负。
()d tdt j?j ??? （５-２６）
向一致。的正向一致，反之与负与的值为正，则若某一瞬时 j?jdtd
? 的性质 ?? 代数量。
? 的的方向,
转动方程
角速度
2
( ) 5 2 7dd td t d t?j?j ??? ? ? ? （ ）
? 的 性质 ?? 代数量。
? 的的方向,
反之与负向一致。
的正向一致，与的值为正，则若某一瞬时 j??
dt
d
? 与 ? 的关系, ? 与 ? 同号时，刚体作加速运动，反之
作减速运动。
角加速度
两种特殊的情况
（１）、匀速转动—— ? 为常量
（ 2 ）、匀变速转动—— ? 为常量
2
22
1
( 5 29 )
2
2 ( )
o
oo
oo
t
tt
? ? ?
j j ? ?
? ? ? j j
???
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
??j
dt
d
( 5 2 8 )o
o
t
t
j j ?
j j ?
?? ?
??
?? ?
由于 ? 为常量，故由上式可得：
其中 j o ——刚体在 t = 0 时的转角
加速度。时，转轴的角速度与角求当的单位为
的单位为。动方程为、已知电动机转轴的转例
stst
r adt
2);
,(21 2
?
? jj
sr a dtdtd /84 ??? j?
常量 ???? 2
2
/4 sr a ddtddtd j??
解：
由于 ? 与 ? 同号且为正，并且 ? = 常量，故知转轴按逆时针
方向作匀加速转动。
举例
。动，求主轴的角加速度
过程是匀变速转以便很快反转。设停车轴在两转后立即停止，
，要求主床主轴的转速、车细螺纹时，如果车例 m i n/3 0 02 rn o ?
解：
)(422,0),/(1030 30030,r a dSr a dn oo ??j????? ????????已知
( 1) 分析运动,主轴是匀变速转动
( 2) 列出匀变速转动公式，求未知量
(3),分析讨论,负号表示 ? 的方向与主轴转动方向相反，
故为减速运动。
2
22
/25.39
:
)0()(2
sr a d
ooo
??
????
?
jjj???
将已知数据代入即可得
y
x
r
j
j
o
oM
M
v
s
瞬时点的位置。—
弧坐标的原点。—
转动半径。—
如图所示
tM
M
r
o
:
三,定轴转动时刚体内各点的速度和加速度
速度
:
2
( 5 31 )
2 60 60
d n dn
vr
??
?? ? ? ? ? ?
或
物理意义,转动刚体上任意点的速度等于该点转
动半径与刚体角速度的乘积，方向垂
直于转动半径，指向与 ? 的转向一致。
( ) ( 5 3 0 )d s d dv r r rd t d t d tjj?? ? ? ? ? ?
则 M 点的速度为：
根据平面曲线运动规律可知：此处点的加速
度包括切向加速度和法向加速度，它们分别为：
22
2
()
( 5 3 2 )
()
n
d v d d
a r r r
d t d t d t
vr
ar
r
?
?
??
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ?
??
物理意义,转动刚体上任意点的切向加速度等于该点转
动半径与刚体角加速度的乘积，方向垂直于
转动半径，指向与 ? 的转向一致。法向加速度
加速度
等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积，方向指向园
心 O 。
2 2 2 2 2 2 2
22
( ) ( )
5 3 3
ta n
n
n
a a a r r r
ar
ar
?
?
? ? ? ?
??
?
??
? ? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ??
?
（ ）
.之间的夹角—全加速度与该点半径—其中 ?
全加速度
x
y
x
y
?
?
?
?a
na
a
M
o
o
?
?
M
a
?
由于在每一瞬时，刚体的 ? 和 ? 对于其上所有各点
来说具有相同的数值，所以由式 （ 5 - 3 2 ）和式 （ 5 - 3 3 ）
可知,? 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的切向加
结论
速度、法向加速度以及全加速度都与各点的转动半径
成正比。
? 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速
度与转动半径的夹角都相同，即 ? 角与转动半径的大小
无关。
M
v
钢坯
辊子
例 3,下图是辊道工作原理简图，已知辊子直径
d = 2 0 0 m m,转速 n = 5 0 r / m in,求辊道上钢坯运动速度。举例
解：
（ 1 ） 分析运动,钢坯平动，辊子的运动是定轴转动
（ 2 ） 求未知量,辊子 同钢坯接触点的速度即为钢坯的
运动速度。
smsmmdnv M /5 2 4.0/5 2 460 502 0 060 ?????? ??
y
?
?
R
M
加速度。
速度及角是常数，求卷筒的的角
，其中直线规律上升，
匀变速、矿井提升机的罐笼按例
oo
atay
2
2
1
4
?
解：（ 1 ） 分析运动,罐笼平动，卷筒定轴转动
（ 2 ） 求未知量：
tata
dt
d
dt
dy
v
tay
oo
o
???
?
)
2
1
(
:,
2
1
2
2
得由
常数
又
???
??
????
R
a
aRa
ta
RR
v
a
dt
dv
a
o
o
oo
?
?
?
?
?
1
第三节,定轴轮系的传动比
——主动轮与从动轮转速的比值
一、胶带传动
9 7 - 1 - 1 19
A
B
B
v
A
v
1
r
2
r
1
?2
?
I
II
12
12
21
12
12
21
( 5 3 4 )
r
i
r
or
nd
i
nd
?
?
??
??
?
——
A
B
Bv
Av
1r
2r
1?
2?
I
II
二、齿轮传动
1 2 2
12
2 1 1
1 2 2
12
2 1 1
( 5 3 5 )
rZ
i
rZ
or
n d Z
i
n d Z
?
?
?
? ? ?
?
?
?
??
?
?? ? ?
??
——
式中,r ——齿轮节园半径
d —— 齿轮节园 直 径
Z ——齿轮的齿数
举
例
3
1134
321
m i n/3 0 0 0
)()(70
126010
16~25~2
nr
nbiaZ
ZZZ
，求
如果；减速箱的总传动比。求：
，，，组成，其齿数分别为
齿轮是一减速箱，它由四个、图例
?
?
???
解：
（ 1 ） 分析运动：各轮都作转动,它是定轴轮系传动问题
（ 2 ） 求未知量：
? ?
? ?
1 2
3 4
1n 2
n 3n
I II III
m i n/86
8.34
3 0 0 0
8.348.56
8.5
12
70
6
10
60
13
1
3
3
1
13
2312
3
2
2
1
3
1
13
13
3
4
3
2
23
23
1
2
2
1
12
12
r
i
n
n
n
n
i
ii
n
n
n
n
n
n
i
iI I II
Z
Z
n
n
i
iI I III
Z
Z
n
n
i
iIII
?????
????????
????
????
由
轴的传动比轴与
轴的传动比轴与
轴的传动比轴与
。，求堆料机推头的速度，
，，，，
动机构简图。已知是加热炉前堆料机的传、图例
mmdmmd
mmdmmdmmdrn
2 0 06 0 0
1 0 01 0 0 01 0 0m i n/3 0 0 0
7~26~2
54
3211
??
????
（ 1 ） 分析运动：齿条和推头作平动,各齿轮均作转动
（ 2 ） 求未知量：解：
:
:
，故得推头的速度
速度，即推料机齿轮和齿条相啮合点的 如图所示
cv
)(35 arv c —— ???
60100100 6001000:
3
4
1
2
231213 ??
??????
d
d
d
diii 首先
?
I
II
III
1n
1d
2d
3d 4d
5d
齿条
推头
A
B
C
3n
C
cv
齿条
齿轮
?
??
??
smmrv
a
sr a d
n
r
i
n
n
c
/3.52
6
100
:,)(
/
630
5
30
:
m i n/5
60
300
:
35
3
3
3
13
1
3
?????
?
?
??
???
?
?
?
???
?
即得推料机的速度为式代入 将
从而
即
第四节：刚体的角速度与角加速度的矢量表示
点的速度与加速度的矢积表示
—— 表示转轴位置、角速度
大小及方向的矢量。
( 5 - 3 6 )ddtj? k ?
方向按右手法则确定
?
?
z
o
K
一、刚体的角速度与角加速度的
矢量表示
角速度矢
设 OZ的正向单位矢为 k,则：
2
2
dd
d t d t
j?? K ?? （5 - 3 7 ）
角加速度矢
总结
?因角速度矢 ?、角加速度矢 ?可以从转轴上的任意点画
起，故其为滑动矢量。
?刚体转动时,?与 ?同向则加速，反向则减速。
pp???vr ( 5 - 3 8 )
二、点的速度与加速度的矢积表示
n
p
a
z
?
p
a
?
r
?
?
p
v
P
?
速度
上式之所以成立，原因有两个：
?按照右手螺旋法则，等号两边矢
量的方向一致。 ?等号两边矢量的
模相等。
s i npp R?? ? ? ? ? ? ?? ? ?r r v
加速度
pp
Pp
pP
pp
n
pp
dd d
d t d t d t
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
（ ）
?
?
??
? ? ?
vr
ar
rv
rr
aa
(5 - 39)
上式之所以成立，原因同样有两个,?按照右手螺旋法
则，等号两边矢量的方向一致。 ?等号两边矢量的模相等。
（证明略）
pp
n
pp
? ???
?
?
?? ??
?
?
ar
ar
(5 - 40) 其中
三、泊松公式
i
j
K
y ?
x ?
z ?
o ?
?
z
o
1
P
3
P
2
P
设一动坐标系 O1x'y'z’
绕定轴 oz以角速度 ?转动，
其上单位矢（ i,j,k）
求：
,,d d ddt dt dt i j k
由变矢量对时间导数
的的几何解释可知其分别
为单位矢 i,j,k的端点
P1,P2,P3沿其端（三个同
轴圆）的速度。
1
2
3
()
()
()
( 5 - 4 1 )
P
P
P
d
v
dt
d
v
dt
d
v
dt
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
i
i
j
j
k
k
—— 泊松公式
j
y ?
x ?
z ?
o ?
?
z
o
2
P
2
P
r
o ?
r
2
2
2
2
2
Po
P
o
Po
Po
Po
d dd
dt dt dt
v
rr
rr
??
?
?
?
?
?
?
??
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
??
（ ）
?
j r r
r rj
= v
j
证明
同理，另外两式可以得到论证。
点的一般运动、刚体的基本运动
引言
一、空间、时间与物质运动的关系
1、物体的运动速度接近光速或超越光速时，
空间、时间与物质的运动是相互关联的。
2、经典力学范围内，认为空间、时间与物
质的运动无关。
二、运动学的研究对象
经典力学中的运动学在被认为在与运动无
关的空间和时间中研究物体运动的几何性质
三、运动学的建立基础
由于经典力学中空间、时间与物体运动的
无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在
欧几里德几何学公理的基础上。
四、运动学中的两种力学模形：
点,不计尺寸大小的物体。
刚体,形状和大小都不变化的物体。
五、运动学中与时间相关的两个
重要概念 —— 瞬时和时间间隔
瞬 时,在整个时间流逝过程中的某一时刻。
在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间
轴上的一个点。开始计算时间的瞬时
称为初瞬时
时间间隔,两个瞬时之间流逝的时间。
六、运动学中与位置相关的
重要概念 —— 参考体
参考体,描述物体的运动之前所选取的作为
参照物的物体。
参考系,将所选取的参考体经抽象化处理，
以坐标系的形式出现。（坐标系，
参考坐标系）
1、点的运动的表示方法
—— 三种：矢径表示法，
笛卡儿坐标表示法，
弧坐标表示。
2、刚体的基本运动
—— 两种：刚体的平行移动，
刚体的定轴转动。
内容提要
3、定轴轮系的传动比
—— 两种：齿轮传动，
带轮传动。
4、刚体角速度和角加速度的矢量表示
—— 角速度矢、角加速度矢
5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示
6、泊松公式
O
P
r
r'
P'? r
v
v
?
S
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
P,P?—— 动点
v,v?—— 动点的瞬时速度
r,r? —— 动点的瞬时矢径
?r —— ?t时间间隔内矢径改变量
S —— 动点运动轨迹,矢径端图
o —— 参考点
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
1、运动方程（运动规律）：
由于矢径 r的大小与
方向均随时间 t而变，是
t的单值连续的矢量函数，
故可表示如下：
( ) ( 5 1 )rr?? t
O
P( t)
（
r
r'
P ' (t+ ? t)
? r
v
v
?
S
—— 运动方程
2、运动速度：
0
l i m 5 2rrvr
??
?? ? ? ?
? —（ ）t
d
t d t
O
P( t)
（
r
r'
P ' (t+ ? t)
? r
v
v
?
S
平均速度
瞬时速度
rv ? ??
? t
速度单位
)/(/ sm秒米
３、加速度：
2
2
0
l im
53
v v r
ar
??
?
? ? ? ?
?
?
—（ ）
t
dd
t d t d t
O
P( t)
（
r
r'
P ' (t+ ? t)
? r
v
v
?
S
平均加速度
t
va
?
???
瞬时加速度
加速度单位
)/(/ 22 sm秒米
讨论：速度矢端图
点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的
始端画在同一点 O′，按照时间顺序，这些速度矢量的末端
将描绘出一条连续的曲线，称为 速度矢端图 。
v
v
?
o
?
M
M
?
a
如图所示，速度
为 v 时的加速度方向
为 M点的切线方向。
指向速度矢变化的方
向。
速度矢端图的
作用,确定瞬时加
速度方向。 速度矢端图
总结
? 动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿
轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。
?变矢量 A(t) 对时间 t的 导数 dA(t)?dt为一新变矢。此新
变矢为 变矢量 A(t) 端点的速度 u。
? 动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数,等于
位矢 对时间的二阶导数。其方向 为 ?v的极限方向
二、笛卡儿坐标表示法：
O
r
M
x
z
y
y
x
z
k
j
i
r = i x+ j y+ k z
1、运动方程（运动规律）：
由于动点在空间的位置
可用坐标唯一的确定，而坐
标 x,y,z又是 t的单值连续
的矢量函数，故可表示如下：
)45(
)(
)(
)(
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tfz
tfy
tfx
—— 运动方程
2、运动速度：
将式 r = i x+ j y+ k z 对时间求一阶导数，并注意到
i, j, k 是常矢量，然后再将其代入公式 （ 5-2 ），即
可得到速度在笛卡儿坐标系中的表达式：
( ) 5 5x y z? ? ? ? ? —（ ）v r i j k
速度的笛卡儿坐标表达式
O
r
M
x
z
y
y
x
z
k
j
i
r = i x+ j y+ k z
速度的笛卡儿坐标轴上的投影式
合速度大小
)65( ?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
zdtdzv
ydtdyv
xdtdxv
z
y
x
&
&
&
)75(222 ???? zyx vvvv
合速度方向
c os
c os ( 5 8 )
c os )
v,i
v,j
v,k
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
（）
（ ）
（
x
y
z
v
v
v
v
v
v
合速度的方向由其方向余弦确定
2、运动加速度：
59
v
a v r i j k
t
? ? ? ? ? ?
? —（ ）
d
x y z
d
同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式
合加速度大小
)105(
2
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
—
zdt zda
ydt yda
xdt xda
z
y
x
&&
&&
&&
)115(222 ???? zyx aaaa
合加速度方向
合加速度的方向由其方向余弦确定
c os
c os ( 5 12)
c os )
a,i
a,j
a,k
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
（）
（ ）
（
x
y
z
a
a
a
a
a
a
总结
? 笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
? 动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐
标对时间的一阶导数。
?动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的
速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二
阶导数。
举例,? 人造地球卫星的运动轨迹——椭园 （左图）
? 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹
——摆线 （右图）
0 1 -5 -1 2 24
x
y
z
三、弧坐标表示法：
S
O
M
)( ?
)( ?
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
S —— 弧坐标, O点至动点 M的弧长 。 是时间ｔ
的单值函数 。
正负号 —— 规定参考点的一侧方向为正向, 相应部
位的弧长为正值；另一侧方向为负向, 相
应部位的弧长为负值 。
概念
自然轴系
O
M ?
)( ?
)( ?
? ?
M
s
A
B
为切向单位矢量,?? ?
?
? ??
P
点的密切面。 曲线在 即空间
平面趋于一极限位置，
，
M
P
P
MM ?? ??
?
?
?
?? ???
? ??? ? ??//
由于 M点附近的微小弧段
可以可以近似的看成为一条
在密切面内的平面曲线，因
此对平面曲线而言，密切面
就是该曲线所在的平面。
A 密切面
?
n
M
b
主法线
B
主法线
切线
法面
??
?
?
?
??? ????
??? ????
??? ????
?
?
?
为副法线
为主法线
法面
密切面
密切面
法面，
bb
nn
b
n
bn
坐标轴。
成的坐标轴即为自然
互垂直矢量的轴线构
向单位矢量，三个相
切向、主法向和副法
分别为、,bn?
自然轴系方向规定
?的正向指向弧坐标正向,n 的正向指向曲线在 M点的曲
率中心,b 的正向则由右手规则决定，即
b= ?× n
自然轴系特征及与笛卡儿坐标系的区别
自然轴系 ?,n,b的方向随动点位置的变动而变动,单
位矢量 ?,n,b的方向不断变化。笛卡儿坐标系为固定坐标
系，单位矢量 i,j,k为定矢。
１,运动方程：
)135()( ?? tfS
—— 运动方程
由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐
标 s又是 t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：
S
O
M
)( ?
)( ?
2、运动速度：
公式推导 d d d s
d t d s d t?? =
rrv
0
l i m 1
s
dr
d s s??
? ?
?而 ＝
r
d
ds故 ＝
r ?
d d d s v
d t d s d t? ? ? ? ? ? ? ? ? = ＝
rrv ?
结论
动点的速度沿其运动的轨迹方向，大小等于弧坐标
对时间的一阶导数。
3、运动加速度：
n
d d v d v dv
d t d t d t d t ?? ? ? ? ? ?
（）va a a?? ?
切向加速度
2
2
dv d s
dt dt? ? ? ? ?? （ ）a ? ? ?
法向加速度
n
dv
dt＝ （5 - 1 7 ）a
?
—— 反映速度大小的加速度
—— 反映速度方向变化的加速度
讨论：法向加速度的计算
9 7 -1 -1 30
9 7 -1 -1 29
M
T
M ?
T ?
O
S?
?
j?
v
v
? v
计算法向加速度需首先清楚曲线曲率的概念，为此，
下面对曲率进行分析。
的平均曲率—弧— ssK ???? j*
点的曲率—— MdsdsK s jj ???? ?? 0lim
0
0
0
00
2
(
l i m
l i m
l i m
l i m l i m
n
t
t
t
tt
d d v
av
dt dt
v
t
v
t
s
v
st
s
v
st
v ds
dt
v
j
j
j
?
?
??
??
??
? ? ? ?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
? ? ?
??
??
??
??
??
?
??
(5 18)?
——沿轨迹的法线 （曲率半径）指向曲率的中心。
( 5 - 1 9 )n???a a a
? 大小
2 2 22 2 2 2 （ 5 2 0 ）0nnb na a a a a a aa? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 方向
t a n （ 5 - 2 1 ）
n
a
a
?? ?
全加速度
M
n
a
a
?
a
?
注：判别点作加速运动还是减速运动，是用 a ?,而不
是用 a,与直线运动情形相似,当 v 与 a ? 同号,点作加速运
动,反之作减速运动。
几种特殊情况
( 5 2 2 )os s v t? ? ?
匀速曲线运动
2
22
1
( 5 23 )
2
2 ( )
o
oo
oo
v v a t
s s v t a t
v v a s s
?
?
?
?? ?
?
?
? ? ? ??
?
?? ? ? ?
例 1,下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平
轴 o 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径 R =16 c m,料斗沿
铅垂提升的运动方程为 y =2t
2
,y 以 cm 为计,t 以 s 为计。求
卷筒边缘上一点 M 在 t =4s 时的速度和加速度。
匀变速曲线运动
典型例题
解,（ 1 ）、分析运动 卷筒边缘上 M
点沿半径为 R 的圆周运动。
（ 2 ）、列运动方程，求未知量
卷筒边缘上 M 点沿半径为 R 的圆周
运动。
2
2
:
,
0,:
tys
MMMA
tA
tM
o
o
??
?
?
坐标为
点的弧处，点到达处
，料斗在处；在瞬时料斗在
，此时为弧坐标原点设
A
o
A
y
R
?
o
M
M ?
M
o
a
?
a
n
a
R
?
o
M
M ?
M
o
a
?
a
n
a
21425.0a r c t an
25.0
16
4
/5.16164
/16
16
16
/4
/16444
22222
2
22
2
???
???
????
???
???
?????
o
n
n
n
a
a
tg
scmaaa
scm
R
v
a
scm
dt
dv
a
scmt
dt
ds
v
?
?
?
?
?
常量
从而，
例 2,列车沿曲线轨道行驶，初速度 v 1 =1 8 k m/ h,速度均匀增
加，行经 s =1 k m 后，速度增加到 v 2 =5 4 k m/ h,若铁轨形状如下
图所示。在 M 1 及 M 2 的曲率半径分别为,? 1 =6 0 0 m, ? 2 =8 0 0 m 。
求列车从 M 1 到 M 2 点处所需的时间和经过 M 1 和 M 2 处的加速
度。
1
?
1
M
1?
a
1
v
1n
a
1
a
2n
a
2
M
2
?
2?
a
2
a
2
v
解,（ 1 ）、分析运动 列车作匀变速曲线运动
（ 2 ）、列运动方程，求未知量
s
vv
asavv
a
vv
ttavv
dt
dv
a
2
2
1
2
22
1
2
2
12
12
?
????
?
????
??
??
?
?
?
故，
常数由题意可知：
n
n
n
a
a
aaa
v
a
?
? ????
?
?
t a n22
2
另外，
上述各式中代入各已知量即可求出各未知量。
例 3,下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长
为 r,自水平位置开始以匀角速度 ? 转动，即 j = ? t 。滑槽 K — K
与导杆 B — B 制成一体。曲柄端点 A 通过滑块在滑槽 K — K 中
滑动，因而曲柄带动导杆 B — B 作上下直线运动。试求导杆的
运动方程，速度和加速度。
9 7 -1 -1 100 1 -5 -1 2 9
x
x
x
B
B
K KM
o
r
j
?
解, ? 分析运动, 因滑槽 K
—Ｋ与导杆Ｂ—Ｂ制成
一体，且作直线运动，
故滑槽中点Ｍ的运动可
代表导杆的运动。
? 列运动方程
由图中的几何关系，可知Ｍ点的坐标为：
)(s i ns i ns i n atrrOAOMx ?jj ????
avt 及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对
tr
dt
dxv ?? c o s?? tr
dt
dva ?? s i n2???
0 1 -5 -1 2 17
0 1 -5 -1 2 10
x
v
a
t
t
t
rx ?
m ax
rx ?
m i n
m i n
v
m ax
v
m i n
a
m ax
a
)(3~1 bí?
? 结果分析：
见右图。
例 4,曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构
(下图）当曲柄 OA绕 0轴转动时，由于连杆 AB带动，滑块 B
沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。
在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运
动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，应用它将回转运动转
换为往复直线运动。设曲柄 OA长为 r，以匀角速 ?绕 0轴转
动，即 j=?t,连杆 AB长为 L。试求滑块 B的运动方程、速
度和加速度 。
解, ? 运动分析,滑块 B 沿直线作往复运动
? 列运动方程：
如图所示，取滑块 B 的直线轨迹为 x 轴,o 为坐标原点。
由几何关系可知,B 点的运动方程应为：
)(c osc os aLrCBOCOBx ?j ?????
)(
)(s i n1s i n1co s:
s i ns i n:
222
b
L
r
Lr
即
又因
?????
?
?j???
?j
。以后的项目均可略去故则
因一般的连杆机构中
得展开为级数将
)s i n
8
1
,0016.0,04.0
,2.0(s i n
2
1
1
s i n
8
1
s i n
2
1
1s i n1
,s i n1
4442
22
44222
22
j???
?j?
j?j?j?
j?
??
???
????????
?
)()s i n
2
1
1(c o s
:
22 dtLtrx
从而运动方程简化为
??? ???
avt 及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对
)()2co s
4
( co s)
4
1(
:)(
)2co s1(
2
1
s i n
:
2
2
ettrLx
d
tt
式并整理得代入
可得利用倍角三角函数公式
?
?
?
?
??
????
??
)()2c os( c o s2 gttr
dt
dva ???? ????
)()2s i n
2
)( s i n fttr
dt
dxv ???? ????
0 1 -5 -1 2 10
x
v
a
t
t
t
rx ?m ax
rx ?m in
minv
maxv
mina
maxa
)(3~1 b图
例 6,下图是矿井提升机。主要数据如下：提升高度为
876m,开始提升时罐笼的加速度是 0,7 m/ s 2,速度达到
7,8 4 m/ s 后,即以此速度匀速提升,最后再以减速度 0,7 m/ s 2 减
速提升,直到最后停止。试求提升一所需的时间 T 。
t
v
1t 2t 3t
T
a b
o
c
sm /84.7
o
? 列运动方程：
1 ),t 1 的计算
由匀加速直线运动公式,
解, ? 运动分析,罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直
线运动，第二阶段为匀速直线运动，第三阶段为减速直线运
动，图 1 ~7 为该罐笼的速度图。
111 tavv o ??
代入上式即可求得
时
时
将
??
?
?
?
???
???;/7.0,/84.7,;/7.0,0,0
2
111
2
1
smasmvtt
smavt o
st 2.111 ?
2).t 3 的计算
由匀减速直线运动公式,
3323 tavv ??
代入上式即可求得
时
将
?
?
?
??
????
.0,;/7.0,/84.7
33
2
312
vtt
smasmvv
st 2.113 ?
3 ), t 2 的计算
最后计算 t 2 。必须考虑起动和制动阶段所走过的路程。在 t 1
时间内提升罐笼的高度 h 1,可由匀变速运动的路程公式求
得：
mh 44)2.11(7.021,21 ????代入数据得
2
1111 2
1 tatvh
o ??
mh 44,3 ?同理可求出
mhhhh 7 8 84428 7 6,312 ???????于是可求出
stttt
St
8.1 2 22.114.1 0 02.11
:
4.1 0 0
84.7
7 8 8
:,
321
2
???????
??
时间为从而可得提升一次所须
故该阶段所须时间为运动阶段由于该阶段为匀速直线
第二节 刚体的基本运动
一,刚体的平动
定义
A
B
M
O O
运动时刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体平动时，其上所有各 点的运动轨迹相同；在每 一
瞬时，各点的速 度相同、加速度也相同。
A
v
B
v
A
a
B
a
A
r
AB
r
B
r
A
B
1
B
2
B
1
A
2
A
o
ABr ——常矢量
刚体平动的特点
( 5 24 )
A B BA
AB
A B B
B
AB
A
A
d d d
dt dt dt
dd
dt dt
???
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
?
０
r r r
rr
vv
aa
r r r
刚体上任一点的运 动可以代表整个刚体运动，即刚体
的平动可以归结为点的运动来研究。
结论
二,刚体绕定轴转动
刚体转动时，刚体内始终有一条直线固定不动，
而这条直线以外的各点则绕此直线作园周运动。
定义
I
II
j
o
)( ?
I ——通过 z 轴的
固定平面。
II ——通过 z 轴随
刚体一同转
动的平面。
j ——某一瞬时 t
时 I, II 两
平面之间的
夹角。
转动方程
I
II
j
o
)( ?I ——通过 z 轴的
固定平面。
II ——通过 z 轴随
刚体一同转
动的平面。
j ——某一瞬时 t
时 I, II 两
平面之间的
夹角。
j = j ( t) ( 5 - 2 5 )
?? 刚体绕定轴转动的转动方程
j 的性质 ?? 代数量。
j 的方向 ?? 从转轴 z 的正端向负端看，逆时针转动为
正，顺时针转动为负。
()d tdt j?j ??? （５-２６）
向一致。的正向一致，反之与负与的值为正，则若某一瞬时 j?jdtd
? 的性质 ?? 代数量。
? 的的方向,
转动方程
角速度
2
( ) 5 2 7dd td t d t?j?j ??? ? ? ? （ ）
? 的 性质 ?? 代数量。
? 的的方向,
反之与负向一致。
的正向一致，与的值为正，则若某一瞬时 j??
dt
d
? 与 ? 的关系, ? 与 ? 同号时，刚体作加速运动，反之
作减速运动。
角加速度
两种特殊的情况
（１）、匀速转动—— ? 为常量
（ 2 ）、匀变速转动—— ? 为常量
2
22
1
( 5 29 )
2
2 ( )
o
oo
oo
t
tt
? ? ?
j j ? ?
? ? ? j j
???
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
??j
dt
d
( 5 2 8 )o
o
t
t
j j ?
j j ?
?? ?
??
?? ?
由于 ? 为常量，故由上式可得：
其中 j o ——刚体在 t = 0 时的转角
加速度。时，转轴的角速度与角求当的单位为
的单位为。动方程为、已知电动机转轴的转例
stst
r adt
2);
,(21 2
?
? jj
sr a dtdtd /84 ??? j?
常量 ???? 2
2
/4 sr a ddtddtd j??
解：
由于 ? 与 ? 同号且为正，并且 ? = 常量，故知转轴按逆时针
方向作匀加速转动。
举例
。动，求主轴的角加速度
过程是匀变速转以便很快反转。设停车轴在两转后立即停止，
，要求主床主轴的转速、车细螺纹时，如果车例 m i n/3 0 02 rn o ?
解：
)(422,0),/(1030 30030,r a dSr a dn oo ??j????? ????????已知
( 1) 分析运动,主轴是匀变速转动
( 2) 列出匀变速转动公式，求未知量
(3),分析讨论,负号表示 ? 的方向与主轴转动方向相反，
故为减速运动。
2
22
/25.39
:
)0()(2
sr a d
ooo
??
????
?
jjj???
将已知数据代入即可得
y
x
r
j
j
o
oM
M
v
s
瞬时点的位置。—
弧坐标的原点。—
转动半径。—
如图所示
tM
M
r
o
:
三,定轴转动时刚体内各点的速度和加速度
速度
:
2
( 5 31 )
2 60 60
d n dn
vr
??
?? ? ? ? ? ?
或
物理意义,转动刚体上任意点的速度等于该点转
动半径与刚体角速度的乘积，方向垂
直于转动半径，指向与 ? 的转向一致。
( ) ( 5 3 0 )d s d dv r r rd t d t d tjj?? ? ? ? ? ?
则 M 点的速度为：
根据平面曲线运动规律可知：此处点的加速
度包括切向加速度和法向加速度，它们分别为：
22
2
()
( 5 3 2 )
()
n
d v d d
a r r r
d t d t d t
vr
ar
r
?
?
??
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ?
??
物理意义,转动刚体上任意点的切向加速度等于该点转
动半径与刚体角加速度的乘积，方向垂直于
转动半径，指向与 ? 的转向一致。法向加速度
加速度
等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积，方向指向园
心 O 。
2 2 2 2 2 2 2
22
( ) ( )
5 3 3
ta n
n
n
a a a r r r
ar
ar
?
?
? ? ? ?
??
?
??
? ? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ??
?
（ ）
.之间的夹角—全加速度与该点半径—其中 ?
全加速度
x
y
x
y
?
?
?
?a
na
a
M
o
o
?
?
M
a
?
由于在每一瞬时，刚体的 ? 和 ? 对于其上所有各点
来说具有相同的数值，所以由式 （ 5 - 3 2 ）和式 （ 5 - 3 3 ）
可知,? 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的切向加
结论
速度、法向加速度以及全加速度都与各点的转动半径
成正比。
? 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速
度与转动半径的夹角都相同，即 ? 角与转动半径的大小
无关。
M
v
钢坯
辊子
例 3,下图是辊道工作原理简图，已知辊子直径
d = 2 0 0 m m,转速 n = 5 0 r / m in,求辊道上钢坯运动速度。举例
解：
（ 1 ） 分析运动,钢坯平动，辊子的运动是定轴转动
（ 2 ） 求未知量,辊子 同钢坯接触点的速度即为钢坯的
运动速度。
smsmmdnv M /5 2 4.0/5 2 460 502 0 060 ?????? ??
y
?
?
R
M
加速度。
速度及角是常数，求卷筒的的角
，其中直线规律上升，
匀变速、矿井提升机的罐笼按例
oo
atay
2
2
1
4
?
解：（ 1 ） 分析运动,罐笼平动，卷筒定轴转动
（ 2 ） 求未知量：
tata
dt
d
dt
dy
v
tay
oo
o
???
?
)
2
1
(
:,
2
1
2
2
得由
常数
又
???
??
????
R
a
aRa
ta
RR
v
a
dt
dv
a
o
o
oo
?
?
?
?
?
1
第三节,定轴轮系的传动比
——主动轮与从动轮转速的比值
一、胶带传动
9 7 - 1 - 1 19
A
B
B
v
A
v
1
r
2
r
1
?2
?
I
II
12
12
21
12
12
21
( 5 3 4 )
r
i
r
or
nd
i
nd
?
?
??
??
?
——
A
B
Bv
Av
1r
2r
1?
2?
I
II
二、齿轮传动
1 2 2
12
2 1 1
1 2 2
12
2 1 1
( 5 3 5 )
rZ
i
rZ
or
n d Z
i
n d Z
?
?
?
? ? ?
?
?
?
??
?
?? ? ?
??
——
式中,r ——齿轮节园半径
d —— 齿轮节园 直 径
Z ——齿轮的齿数
举
例
3
1134
321
m i n/3 0 0 0
)()(70
126010
16~25~2
nr
nbiaZ
ZZZ
，求
如果；减速箱的总传动比。求：
，，，组成，其齿数分别为
齿轮是一减速箱，它由四个、图例
?
?
???
解：
（ 1 ） 分析运动：各轮都作转动,它是定轴轮系传动问题
（ 2 ） 求未知量：
? ?
? ?
1 2
3 4
1n 2
n 3n
I II III
m i n/86
8.34
3 0 0 0
8.348.56
8.5
12
70
6
10
60
13
1
3
3
1
13
2312
3
2
2
1
3
1
13
13
3
4
3
2
23
23
1
2
2
1
12
12
r
i
n
n
n
n
i
ii
n
n
n
n
n
n
i
iI I II
Z
Z
n
n
i
iI I III
Z
Z
n
n
i
iIII
?????
????????
????
????
由
轴的传动比轴与
轴的传动比轴与
轴的传动比轴与
。，求堆料机推头的速度，
，，，，
动机构简图。已知是加热炉前堆料机的传、图例
mmdmmd
mmdmmdmmdrn
2 0 06 0 0
1 0 01 0 0 01 0 0m i n/3 0 0 0
7~26~2
54
3211
??
????
（ 1 ） 分析运动：齿条和推头作平动,各齿轮均作转动
（ 2 ） 求未知量：解：
:
:
，故得推头的速度
速度，即推料机齿轮和齿条相啮合点的 如图所示
cv
)(35 arv c —— ???
60100100 6001000:
3
4
1
2
231213 ??
??????
d
d
d
diii 首先
?
I
II
III
1n
1d
2d
3d 4d
5d
齿条
推头
A
B
C
3n
C
cv
齿条
齿轮
?
??
??
smmrv
a
sr a d
n
r
i
n
n
c
/3.52
6
100
:,)(
/
630
5
30
:
m i n/5
60
300
:
35
3
3
3
13
1
3
?????
?
?
??
???
?
?
?
???
?
即得推料机的速度为式代入 将
从而
即
第四节：刚体的角速度与角加速度的矢量表示
点的速度与加速度的矢积表示
—— 表示转轴位置、角速度
大小及方向的矢量。
( 5 - 3 6 )ddtj? k ?
方向按右手法则确定
?
?
z
o
K
一、刚体的角速度与角加速度的
矢量表示
角速度矢
设 OZ的正向单位矢为 k,则：
2
2
dd
d t d t
j?? K ?? （5 - 3 7 ）
角加速度矢
总结
?因角速度矢 ?、角加速度矢 ?可以从转轴上的任意点画
起，故其为滑动矢量。
?刚体转动时,?与 ?同向则加速，反向则减速。
pp???vr ( 5 - 3 8 )
二、点的速度与加速度的矢积表示
n
p
a
z
?
p
a
?
r
?
?
p
v
P
?
速度
上式之所以成立，原因有两个：
?按照右手螺旋法则，等号两边矢
量的方向一致。 ?等号两边矢量的
模相等。
s i npp R?? ? ? ? ? ? ?? ? ?r r v
加速度
pp
Pp
pP
pp
n
pp
dd d
d t d t d t
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
（ ）
?
?
??
? ? ?
vr
ar
rv
rr
aa
(5 - 39)
上式之所以成立，原因同样有两个,?按照右手螺旋法
则，等号两边矢量的方向一致。 ?等号两边矢量的模相等。
（证明略）
pp
n
pp
? ???
?
?
?? ??
?
?
ar
ar
(5 - 40) 其中
三、泊松公式
i
j
K
y ?
x ?
z ?
o ?
?
z
o
1
P
3
P
2
P
设一动坐标系 O1x'y'z’
绕定轴 oz以角速度 ?转动，
其上单位矢（ i,j,k）
求：
,,d d ddt dt dt i j k
由变矢量对时间导数
的的几何解释可知其分别
为单位矢 i,j,k的端点
P1,P2,P3沿其端（三个同
轴圆）的速度。
1
2
3
()
()
()
( 5 - 4 1 )
P
P
P
d
v
dt
d
v
dt
d
v
dt
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
i
i
j
j
k
k
—— 泊松公式
j
y ?
x ?
z ?
o ?
?
z
o
2
P
2
P
r
o ?
r
2
2
2
2
2
Po
P
o
Po
Po
Po
d dd
dt dt dt
v
rr
rr
??
?
?
?
?
?
?
??
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
??
（ ）
?
j r r
r rj
= v
j
证明
同理，另外两式可以得到论证。
