第十二章
动量矩定理
§ 12－ 0 引言
?
?
oxF
oyF
F
o
A
均质轮受外力作用而绕
其质心 O作定轴转动，它有
角速度和角加速度，但对于
轮的动量为：
0??? OC vmvmP
? ? 0???? FFFF
oyox
e
R
外力的矢量和为：
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定
轴转动是的运动。
? ?xyvmxyr
x
y
z
o
vm
? ?vmM Z
θ
r? ?vmM O
§ 12－ 1 动量矩
一、质点的动量矩
动量矩：动量对某点（轴）之矩。
1、质点对某点之矩,质点在某瞬时的动量对 O点之矩
定义为质点在某瞬时对点 O的动量矩。
A
vmrvmM O ??)(
质点 A对点 O的动量矩：
质点 A对 Z轴的动量矩：
? ?xyzOz vmrvmMvmM xy )()]([)( ???
方向,是代数量，它的正负可以通过右手
定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指
向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，
若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。
或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。
)( vmM z
单位：
大小：
smkg 2?
二、质点系动量矩
1、对点的动量矩,)(
1 iiO
n
iO
vmML
?
??
2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：
?? )( iizz vmML
3、刚体的动量矩
（ 1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度
相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。
? ? ? ?COCiiiiOO vmMvrmvmML ???? ?? )(
对点的：
对轴的,? ?
Czz vmML ?
（ 2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩：
ii rv ???
? ? ?? ziiiizz JrmvmML ???? ?? 2
??zJ 定轴转动刚体对 z轴的转动惯量
（ 3）平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一
固定轴的动量矩为：
? ? ?CCzz JmvML ??
即：其对 z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动
量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时
对该轴的动量矩之和。
§ 12－ 2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设有质点 A，受外力作用，
由牛顿第二定律：
x
y
z
o
vm
r
F
F
dt
vd
m
a
dt
vd
Fam
??
?? 且
在等式两边同时叉
乘矢径 r
Fr)v(mtr ??? dd
? ? ? ?
? ? ? ? 0
d
d
d
d
d
d
d
d
????
?????
vmvvm
t
r
vm
t
r
vmr
t
)v(m
t
r左式：
其中：
? ?FMFr O??
? ?? ?vmM
t
)vmr(
t
Fr)vmr(
t
O
d
d
d
d
d
d
??
????
其中：
? ?vmM O
? ?FMO
x
y
z
o
vm
r
F
? ?? ? ? ?FMvmMt OO ?? dd
－－质点对点的动量矩定理
即：质点对任一点
的动量矩对时间的
导数等于作用在质
点上的力对该点之
矩。
上式向坐标轴投影后得：
? ?? ? ? ?FMmvMt ZZ ?dd
即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在
质点上的力对该轴之矩。
－－质点对轴的动量矩定理
二、质点系的动量矩定理
质点系中某质点对固定点的动量矩定理为：
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiO ??dd
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiO ????? dd
质点系对固定点的动量矩定理为：
0?? )F(M ( i )iO
其中：
t
L)v(mM
t
)v(mM
t
O
iiOiiO d
d
d
d
d
d ??? ?
? ?? ??
??
e
iO
O FM
t
L
d
d
－－质点系对固定点的动量矩定理
即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于
质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的：
)F(M
t
L ( e )
iz
z ??
d
d
－－质点系对固定轴的动量矩定理
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于
质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
? ?? ? CLFM
O
e
O ?? 0
若,则 （常矢量）
? ?? ? CLFM
z
e
z ?? 0
若,则 （常量）
§ 12－ 3 刚体的转动惯量
刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质
点到轴的矢径大小平方的乘积之和。
2
1 ii
n
iz
rmJ
?
?? 单位,2mkg?
一、简单形状刚体的转动惯量
1、均质杆对质心轴的转动惯量
22
0
2
12
12 mlx
l
mxJ l
z ?? ? d
单位长度的质量为：
xlmm dd ?
dxx
l
z
C
x
2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量
单位弧长的质量为,Rm ?2
??? Rz sRmRJ ? ?20 2 d2
取微弧长为,?dRs ??d
22
0
2
2 mRRR
mR ??? ? ? ?
? d
Z
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量
可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：
rrR mrrRmm d2d2d 22 ??? ??
dr
y
xr R
rrR mrmJ z d2dd 322 ????
smRrrR mrmJ Rz 2
0
3
2
2
2
1d2d ???? ??
2
4
1
2
1 mRJJJ
zyx ???
另外：
二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量
平行移轴定理：
2mdJJ
zcz ???
即：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对过其质心且
与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴
间距离平方的乘积。
2l C
O
z? z
x
例 1：求均质细直杆对过其端点 O的轴的转动惯量。
2mdJJ
zcz ????
2
12
1 mlJ
ZC ?
2
2
2
3
1
2
1
12
1 mlmmlJ
z ???
??
?
????
?
例 2：求钟摆对过点 O的轴的转动惯量。
解：
解,杆对过点对过点 O的轴的转动惯量：
2
3
1
1 mlJ O ?
21 OOO JJJ ???
圆盘对过其质心轴的转动惯量：
2
2
1 mRJ
c ?
? ? 22212 RlmmRJ O ???
杆对过点对过点 O的轴的转动惯量，用平行移轴定
理求得：
C
O
l
R2
mg
mg
? ? 222 2131 RlmmRml ????
§ 12－ 4 质点系相对质心的动量矩定理
本节主要研究：当选择质心作为动量矩和力矩
的矩心世，质心的运动对动量矩的影响。
iCi rr ???
irCi vvv ??
－－－（ 1）
－－－（ 2） o
z
y
x
i?
A
Cr
ir
C
Cv
ce vv ?
iv
irv
o
z
y
x
i?
A
Cr
ir
C
Cv
ce vv ?
iv
irv
1、质点系相对固定
点运动的动量矩
? ? iiiiiOO vmrvmML ?? ??? －－－（ 3）
2、质点系相对定坐标系的运动（绝对运动）的对质心
的动量矩
? ? iiiiiCC vmvmML ?? ??? ?－－－（ 4）
3、质点系相对质心的运动（相对运动）对质心的动
量矩
? ? iriiiriCCr vmvmML ?? ??? ?－－－（ 5）
将（ 2）式代入（ 4）得：
? ? ? ?irCiiiiCC vvmvmML ???? ?? ?
?? ???? iriiCiiC vmvmL ??
0
0
??
?
? Cii
C
mm ??
?
CririiC LvmL ???? ? ?
－－－－（ 6）
将（ 1）式代入（ 3）得：
? ? iiiiiCiiiCO vmvmrvmrL ??????? ??? ??
CCCO LvmrL ???
－－－－（ 7）
CrCCO LvmrL ???
将（ 7）式代入（ 6）得：
CC vmr ?
CrL
－－质点系质心的动量对固定点的动量矩
－－质点系相对质心的运动（相对运动）对
质心点的动量矩
－－－－（ 8）
? ? ? ???? CriCCOO vmMvmML
则第（ 8）式可写为如下格式：
即：质点系对于固定点的动量矩，等于质点系质心动量
对该点的动量矩，与质点系相对质心的运动对质心动量
矩的矢量和。
? ?? ??? e
iO
O FM
t
L
d
d由动量矩定理：
CCCC
CrO amrvmv
t
L
t
L ?????
d
d
d
d
左边：
右边：
? ?? ? ? ? e
iC
e
iC
e
iO FrFMFM ??? ???
? ?ei
C
Cr FM
t
L ??
d
d
－－质点系相对质心的动量矩定理
即：质点系在相对质心作平动的坐标系的运动中，相对
质心的动量矩对时间的导数，等于质点系上所有外力对
质心之矩的矢量和。
§ 12－ 5 刚体的运动微分方程
对转动轴的动量矩为：
?zz JL ?
动量矩定理：
? ? )F(MJttL ( e )izzz ??? ?dddd
??
?
?
?
??
???
)F(MJ
)F(MJ
( e )
izz
( e )
izz
?
?
??
???? ??? ?? 且
－－刚体定轴转动时的运动微分方程
一、定轴转动刚体的运动微分方程
二、平面运动刚体的运动微分方程
? ?ei
CC
Cr FMJ
t
L ??? ?
d
d
刚体相对质心轴的动量矩定理为
?? eiC Fam
刚体质心运动的运动微分方程为
－－－－（ 2）
－－－－（ 1）
（ 1）、（ 2）式共同成为刚体平面运动的运动微
分方程为
例 1：单摆将质量为 m的小球用长为的线悬挂于水平轴
上，使其在重力作用下绕悬挂轴 O在铅直平面内摆动。
线自重不计且不可伸长，摆线由偏角 时从静止开始
释放，求单摆的运动规律。 0
?
C
O
l
mg
0?
解,将小球视为质点。其速度
为 且垂直于摆线。摆对轴
的动量矩为
??lv?
v
? ? ?? ?? 2mllmlmvm o ???
? ? oTm o ?
T
? ? ?s inm g lFm o ??
注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（在
本题中规定逆时针转向为正）。
根据动量矩定理，有
? ? ?? s in2 m g lmltx ???dd
即
0s in ?? ??
l
g?? —— （ 1）
?? ?sin 并令
l
g
n ?
2?
02 ?? ??? n??
则（ 1）式化为
解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当 t=0时
0?? ? 00 ??
?
tn??? c o s0??
由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为
g
l
T
n
?
?
?
2
2
??
解,轴 Ⅰ 与轴 Ⅱ 的定轴转动微分方程分别为
例 2：双轴传动系统中，传动轴 Ⅰ 与 Ⅱ 对各自转轴的转动惯量
为 与,两齿轮的节圆半径分别为 与,齿数分别
为 与,在轴 Ⅰ 上作用有主动力矩,在轴 Ⅱ 上作用有
阻力矩,如图所示。求轴 Ⅰ 的角加速度。
1J 1R
1z 1M2z
2J
2M
2R
2M
1M
I
2z
1z
II
1111 RPMJ ?? ?? 2222 RPMJ ?? ???
1
2
2
1
1
2
z
z
R
Ri ???
?
?
传动比为：
联立上述三式得：
2
21
21
1 iJJ
iMM
?
???
例 3：质量为 m半径为 R的均质圆轮置放在倾角为 的斜面上，
在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动
摩擦系数分别为,,不计滚动摩阻。试分析轮的运动。
?
f f?
y
x
?
?
R
Ca
F
N
mg
解：取轮为研究对象，根
据平面运动微分方程有
Fmgma c ?? ?s in
Nmg ??? ?c os0
FRJ c ??
?c osmgN ?且
情况一,设接触处绝对光滑。则 F=0
?s inga c ?? 0??
情况二,设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。 F为
静滑动摩擦力。
?Ra c ??
?
???
s in
3
1
s in
3
2
s in
3
2
gF
g
R
ga
c
?
???
例 4：均质滑轮 A,B的质量为 与,半径分别为 与,
物体 C的质量为 ；
求：重物的加速度，系统中各绳的张力，轴承 O的约束反力。
1R1
m
3m
2R2
m
112223 2
1 ?? RRvv ???
解：设个物体的数度如
图示，且：
对系统进行受力分析如
图
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
? ? 2332222211 RvmRvmJJ
LLLL OCOBOAO
????
???
??
则整个系统对 O点的动量矩为：
? ? 32321 234
2
1 vRmmmL
O ????
2
111 2
1 RmJ ?? 2
222 2
1 RmJ ?
由动量矩定理得：
? ?? ??? e
iO
O FM
t
L
d
d
? ?? ?
? ? 2321
232
3 234
2
Rmmm
gRmmMa
??
???
取分离体 C：
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
3v
gm3
3T
C
gmTam 3333 ??
取分离体 B：
2R
B
2?
gm2
2v
2T
1T
M
1R
A
1?
gm1
OxF
OyF
2T
1T
gmTTTam 232122 ????
取分离体 C,
222122 RTRTJ ????
Oxx Fam ?11 011 ?yam
1211 RTMJ ???
联合上述各式可求
得各未知量
动量矩定理
§ 12－ 0 引言
?
?
oxF
oyF
F
o
A
均质轮受外力作用而绕
其质心 O作定轴转动，它有
角速度和角加速度，但对于
轮的动量为：
0??? OC vmvmP
? ? 0???? FFFF
oyox
e
R
外力的矢量和为：
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定
轴转动是的运动。
? ?xyvmxyr
x
y
z
o
vm
? ?vmM Z
θ
r? ?vmM O
§ 12－ 1 动量矩
一、质点的动量矩
动量矩：动量对某点（轴）之矩。
1、质点对某点之矩,质点在某瞬时的动量对 O点之矩
定义为质点在某瞬时对点 O的动量矩。
A
vmrvmM O ??)(
质点 A对点 O的动量矩：
质点 A对 Z轴的动量矩：
? ?xyzOz vmrvmMvmM xy )()]([)( ???
方向,是代数量，它的正负可以通过右手
定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指
向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，
若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。
或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。
)( vmM z
单位：
大小：
smkg 2?
二、质点系动量矩
1、对点的动量矩,)(
1 iiO
n
iO
vmML
?
??
2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：
?? )( iizz vmML
3、刚体的动量矩
（ 1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度
相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。
? ? ? ?COCiiiiOO vmMvrmvmML ???? ?? )(
对点的：
对轴的,? ?
Czz vmML ?
（ 2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩：
ii rv ???
? ? ?? ziiiizz JrmvmML ???? ?? 2
??zJ 定轴转动刚体对 z轴的转动惯量
（ 3）平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一
固定轴的动量矩为：
? ? ?CCzz JmvML ??
即：其对 z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动
量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时
对该轴的动量矩之和。
§ 12－ 2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设有质点 A，受外力作用，
由牛顿第二定律：
x
y
z
o
vm
r
F
F
dt
vd
m
a
dt
vd
Fam
??
?? 且
在等式两边同时叉
乘矢径 r
Fr)v(mtr ??? dd
? ? ? ?
? ? ? ? 0
d
d
d
d
d
d
d
d
????
?????
vmvvm
t
r
vm
t
r
vmr
t
)v(m
t
r左式：
其中：
? ?FMFr O??
? ?? ?vmM
t
)vmr(
t
Fr)vmr(
t
O
d
d
d
d
d
d
??
????
其中：
? ?vmM O
? ?FMO
x
y
z
o
vm
r
F
? ?? ? ? ?FMvmMt OO ?? dd
－－质点对点的动量矩定理
即：质点对任一点
的动量矩对时间的
导数等于作用在质
点上的力对该点之
矩。
上式向坐标轴投影后得：
? ?? ? ? ?FMmvMt ZZ ?dd
即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在
质点上的力对该轴之矩。
－－质点对轴的动量矩定理
二、质点系的动量矩定理
质点系中某质点对固定点的动量矩定理为：
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiO ??dd
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiO ????? dd
质点系对固定点的动量矩定理为：
0?? )F(M ( i )iO
其中：
t
L)v(mM
t
)v(mM
t
O
iiOiiO d
d
d
d
d
d ??? ?
? ?? ??
??
e
iO
O FM
t
L
d
d
－－质点系对固定点的动量矩定理
即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于
质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的：
)F(M
t
L ( e )
iz
z ??
d
d
－－质点系对固定轴的动量矩定理
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于
质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
? ?? ? CLFM
O
e
O ?? 0
若,则 （常矢量）
? ?? ? CLFM
z
e
z ?? 0
若,则 （常量）
§ 12－ 3 刚体的转动惯量
刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质
点到轴的矢径大小平方的乘积之和。
2
1 ii
n
iz
rmJ
?
?? 单位,2mkg?
一、简单形状刚体的转动惯量
1、均质杆对质心轴的转动惯量
22
0
2
12
12 mlx
l
mxJ l
z ?? ? d
单位长度的质量为：
xlmm dd ?
dxx
l
z
C
x
2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量
单位弧长的质量为,Rm ?2
??? Rz sRmRJ ? ?20 2 d2
取微弧长为,?dRs ??d
22
0
2
2 mRRR
mR ??? ? ? ?
? d
Z
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量
可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：
rrR mrrRmm d2d2d 22 ??? ??
dr
y
xr R
rrR mrmJ z d2dd 322 ????
smRrrR mrmJ Rz 2
0
3
2
2
2
1d2d ???? ??
2
4
1
2
1 mRJJJ
zyx ???
另外：
二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量
平行移轴定理：
2mdJJ
zcz ???
即：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对过其质心且
与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴
间距离平方的乘积。
2l C
O
z? z
x
例 1：求均质细直杆对过其端点 O的轴的转动惯量。
2mdJJ
zcz ????
2
12
1 mlJ
ZC ?
2
2
2
3
1
2
1
12
1 mlmmlJ
z ???
??
?
????
?
例 2：求钟摆对过点 O的轴的转动惯量。
解：
解,杆对过点对过点 O的轴的转动惯量：
2
3
1
1 mlJ O ?
21 OOO JJJ ???
圆盘对过其质心轴的转动惯量：
2
2
1 mRJ
c ?
? ? 22212 RlmmRJ O ???
杆对过点对过点 O的轴的转动惯量，用平行移轴定
理求得：
C
O
l
R2
mg
mg
? ? 222 2131 RlmmRml ????
§ 12－ 4 质点系相对质心的动量矩定理
本节主要研究：当选择质心作为动量矩和力矩
的矩心世，质心的运动对动量矩的影响。
iCi rr ???
irCi vvv ??
－－－（ 1）
－－－（ 2） o
z
y
x
i?
A
Cr
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C
Cv
ce vv ?
iv
irv
o
z
y
x
i?
A
Cr
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C
Cv
ce vv ?
iv
irv
1、质点系相对固定
点运动的动量矩
? ? iiiiiOO vmrvmML ?? ??? －－－（ 3）
2、质点系相对定坐标系的运动（绝对运动）的对质心
的动量矩
? ? iiiiiCC vmvmML ?? ??? ?－－－（ 4）
3、质点系相对质心的运动（相对运动）对质心的动
量矩
? ? iriiiriCCr vmvmML ?? ??? ?－－－（ 5）
将（ 2）式代入（ 4）得：
? ? ? ?irCiiiiCC vvmvmML ???? ?? ?
?? ???? iriiCiiC vmvmL ??
0
0
??
?
? Cii
C
mm ??
?
CririiC LvmL ???? ? ?
－－－－（ 6）
将（ 1）式代入（ 3）得：
? ? iiiiiCiiiCO vmvmrvmrL ??????? ??? ??
CCCO LvmrL ???
－－－－（ 7）
CrCCO LvmrL ???
将（ 7）式代入（ 6）得：
CC vmr ?
CrL
－－质点系质心的动量对固定点的动量矩
－－质点系相对质心的运动（相对运动）对
质心点的动量矩
－－－－（ 8）
? ? ? ???? CriCCOO vmMvmML
则第（ 8）式可写为如下格式：
即：质点系对于固定点的动量矩，等于质点系质心动量
对该点的动量矩，与质点系相对质心的运动对质心动量
矩的矢量和。
? ?? ??? e
iO
O FM
t
L
d
d由动量矩定理：
CCCC
CrO amrvmv
t
L
t
L ?????
d
d
d
d
左边：
右边：
? ?? ? ? ? e
iC
e
iC
e
iO FrFMFM ??? ???
? ?ei
C
Cr FM
t
L ??
d
d
－－质点系相对质心的动量矩定理
即：质点系在相对质心作平动的坐标系的运动中，相对
质心的动量矩对时间的导数，等于质点系上所有外力对
质心之矩的矢量和。
§ 12－ 5 刚体的运动微分方程
对转动轴的动量矩为：
?zz JL ?
动量矩定理：
? ? )F(MJttL ( e )izzz ??? ?dddd
??
?
?
?
??
???
)F(MJ
)F(MJ
( e )
izz
( e )
izz
?
?
??
???? ??? ?? 且
－－刚体定轴转动时的运动微分方程
一、定轴转动刚体的运动微分方程
二、平面运动刚体的运动微分方程
? ?ei
CC
Cr FMJ
t
L ??? ?
d
d
刚体相对质心轴的动量矩定理为
?? eiC Fam
刚体质心运动的运动微分方程为
－－－－（ 2）
－－－－（ 1）
（ 1）、（ 2）式共同成为刚体平面运动的运动微
分方程为
例 1：单摆将质量为 m的小球用长为的线悬挂于水平轴
上，使其在重力作用下绕悬挂轴 O在铅直平面内摆动。
线自重不计且不可伸长，摆线由偏角 时从静止开始
释放，求单摆的运动规律。 0
?
C
O
l
mg
0?
解,将小球视为质点。其速度
为 且垂直于摆线。摆对轴
的动量矩为
??lv?
v
? ? ?? ?? 2mllmlmvm o ???
? ? oTm o ?
T
? ? ?s inm g lFm o ??
注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（在
本题中规定逆时针转向为正）。
根据动量矩定理，有
? ? ?? s in2 m g lmltx ???dd
即
0s in ?? ??
l
g?? —— （ 1）
?? ?sin 并令
l
g
n ?
2?
02 ?? ??? n??
则（ 1）式化为
解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当 t=0时
0?? ? 00 ??
?
tn??? c o s0??
由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为
g
l
T
n
?
?
?
2
2
??
解,轴 Ⅰ 与轴 Ⅱ 的定轴转动微分方程分别为
例 2：双轴传动系统中，传动轴 Ⅰ 与 Ⅱ 对各自转轴的转动惯量
为 与,两齿轮的节圆半径分别为 与,齿数分别
为 与,在轴 Ⅰ 上作用有主动力矩,在轴 Ⅱ 上作用有
阻力矩,如图所示。求轴 Ⅰ 的角加速度。
1J 1R
1z 1M2z
2J
2M
2R
2M
1M
I
2z
1z
II
1111 RPMJ ?? ?? 2222 RPMJ ?? ???
1
2
2
1
1
2
z
z
R
Ri ???
?
?
传动比为：
联立上述三式得：
2
21
21
1 iJJ
iMM
?
???
例 3：质量为 m半径为 R的均质圆轮置放在倾角为 的斜面上，
在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动
摩擦系数分别为,,不计滚动摩阻。试分析轮的运动。
?
f f?
y
x
?
?
R
Ca
F
N
mg
解：取轮为研究对象，根
据平面运动微分方程有
Fmgma c ?? ?s in
Nmg ??? ?c os0
FRJ c ??
?c osmgN ?且
情况一,设接触处绝对光滑。则 F=0
?s inga c ?? 0??
情况二,设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。 F为
静滑动摩擦力。
?Ra c ??
?
???
s in
3
1
s in
3
2
s in
3
2
gF
g
R
ga
c
?
???
例 4：均质滑轮 A,B的质量为 与,半径分别为 与,
物体 C的质量为 ；
求：重物的加速度，系统中各绳的张力，轴承 O的约束反力。
1R1
m
3m
2R2
m
112223 2
1 ?? RRvv ???
解：设个物体的数度如
图示，且：
对系统进行受力分析如
图
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
? ? 2332222211 RvmRvmJJ
LLLL OCOBOAO
????
???
??
则整个系统对 O点的动量矩为：
? ? 32321 234
2
1 vRmmmL
O ????
2
111 2
1 RmJ ?? 2
222 2
1 RmJ ?
由动量矩定理得：
? ?? ??? e
iO
O FM
t
L
d
d
? ?? ?
? ? 2321
232
3 234
2
Rmmm
gRmmMa
??
???
取分离体 C：
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
3v
gm3
3T
C
gmTam 3333 ??
取分离体 B：
2R
B
2?
gm2
2v
2T
1T
M
1R
A
1?
gm1
OxF
OyF
2T
1T
gmTTTam 232122 ????
取分离体 C,
222122 RTRTJ ????
Oxx Fam ?11 011 ?yam
1211 RTMJ ???
联合上述各式可求
得各未知量
