第五章
摩擦
? 工程问题－赛车起跑
为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面
摩擦生烟？
? 工程问题－赛车结构
为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
摩擦的微观机理
摩擦的微观机理
摩擦的分类
干摩擦 — 固体对固体的摩擦；
流体摩擦 — 流体相邻层之间由于流速
的不同而引起的切向力。
摩擦
滑动摩擦
滚动摩擦
静滑动摩擦
动滑动摩擦
静滚动摩擦
动滚动摩擦
§ 5-1 滑动摩擦力
FP FP
mg
FN
F
由,?Fx=0 FP－ F=0
讨论,1、当 FP=0 时,F=0；
2、当 0＜ FP≤Fpmax（使物体运动的临界值）
F = FP
F = FP
物体平衡时：
物块仍静止
当 F = Fpmax时,F=Fmax 最大静摩擦力
（且 Fdmax略低于 Fmax），若 FP再增加，则 F基本保持为常值 Fd
库仑定律,F max = fs
FN
fs称为静摩擦系数
FP
W
F
FN
F
FPO 45?
Fmax
Fd
运动状态静止状态
临界状态
物体开始沿力 FP方向滑动。同时 Fmax突然变至动滑动摩擦力 Fd
Fmax
Fd
运动状态静止状态
临界状态F
FPO
静止状态
临界状态 — F＝ F max = fs FN
运动状
态
— F＝ Fd
— F＝ FP＜ F max
一般静摩擦力的值,0 ≤ F≤Fmax
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
2 大小：
3 （库仑摩擦定律）
与 相对滑动趋势 反向；
2 大小：
动滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，与 相对运动方向 反向；
§ 5-1摩擦角与自锁现象
F
FN
总约束力
FR（全反力）
与法向 约束力
FN作用线之间
的夹角为 ?
FR ? FN
Fs
一、摩擦角：
开始运动前,?角
随 FP的改变而改变，
临近运动时达到最
大值 ?m称摩擦角
0 ????m
当 F=Fmax时，
s
N
m fF
F ?? m a xt a n ?
故,sm far ct an??
摩擦角的正切等于静摩
擦系数。且都是表示两物
体间干摩擦性质的物理量。
FR ? FN
Fs
FP
FN
Fma
x
FR
?m
关于摩擦角的两点结论：
? ?是静摩擦力
取值范围的几何表示。
? 三维受力状态下，
摩擦角变为 摩擦锥 。
0 ≤ F≤Fmax 与 0 ????m
两式等价
二、自锁现象：
FN
W xW y
F s
斜面上刚性块的运动趋势
不滑动
W xW
y
F s FN
滑动
Wy x
F s FN
临界状态
斜面上刚性块的运动趋势
Wy W x
F FN
FN
W xW y
F
W xW
y
F FN
不滑动
滑 动
临界状态
不仅斜面与物块系统具
有这种现象，考察平面－
物块系统的运动趋势：
FQF
Q
主动力作用线位于
摩擦角范围内时，不
管主动力多大，物体
都保持平衡，这种现
象称为自锁。
当 ???m时,
主动力作用线位于摩擦
角范围以外时，不管主
动力多小，物体都将发
生运动。
当 ???m时,
主动力作用线与
法线之间的夹角等于
摩擦角时物体处于临
界状态。
当 ?=?m时,
当 ?=?m时,当 ???m时,当 ???m时,
物块静止（自锁） 物块滑动 平衡与运动的临界状态
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
斜面自锁条件
螺纹自锁条件
一、两种运动趋势与临界运动状态
1、滑动（ slip)
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
§5-3摩擦平衡问题
2、翻 倒（ tip over)
W
FP
Fs
FN
W
FP
s
FN
P
W
FP
Fs
N
W
FP
s
FN
二、两类摩擦平衡问题
F ? F max，,物体处于静止
状态,已知主动力求约束力，
与一般平衡问题无异。
第一类 问 题
? 平衡问题 — 临界运动趋势
确定平衡位置；
第二类 问 题
F ＝ F max
?不平衡问题 — 滑动或翻倒
确定各主动力之间的关系。[
ò? ?a ￡o èy ?? ?é oí ??
D? ?é μ? ?ê á? ?? ae ?a 20
kg oí 10 kg ￡? ·?° ? ?? ??
?? μ? ?| °á òò êy ?? ?a f
s
= 0,4 ?￡
è? ?¨￡ o ?t ?? ì? ??
°? ?￠ é? ?? ?ˉ êa￡ ? ?? ?ü
ê? ?ó μ? ?? ′ó á| ?￡
á? à- ?| °á ?? oa ?ê ìa
?? ?? ?| °á êa
μ? ?? oa ?ê ìa
àyày ìaìa 1
F
解：分析几种可
能运动趋势 —
¤ 三角块滑动；
¤ 三角块与矩
形块一起滑动。
例 题 1
F
¤ 三角块翻倒；
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间
¤ 三角块滑动 —
约束力作用点在 A、
B两点之间。
例 题 1
F
AB
C D
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B
FP
F
FN
W
¤ 三角块滑动 — 约束力作用
点在 A,B两点之间。
?Fx = 0
F-FP = 0
?Fy = 0
FN-W= 0
库仑定律
F? fs FN
FP ?
78.48N
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B。
?MB(F)= 0
FP?1.0 -
W ? 0.5=0 FP
F
FN
W 1 m
0.5 m
FP= 98.1N
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间。
W ′
W
FP
F
FN
?Fx = 0
F-FP = 0
?Fy = 0
FN-W- W ′= 0
库仑定律
F ? fs FN
FP ? 117.7N
结 论
上述结果表明，仅三角块可能发生滑动，
可以施加的最大力为 FP ? 78.48N
¤ 三角块不滑动，所能施加的最大力为
FP ? 78.48N¤
三角块不翻倒，所能施加的最大力为
FP＝ 98.1N
¤ 三角块与矩形块都不滑动，所能施加
的最 大力为
FP ? 117.7N
[例 5-2] 重为 400N的重物放在斜面上。物体与斜面的静摩擦因
数 。斜面的倾角 。为使物体不滑动，在物体
上施加一水平力 。求该力的最大与最小值。
2.0?sf ?30??
F?
?30
物块位于斜面上，有向下滑动的趋势。
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
? 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动
? 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
F?
分析
0
1
??
?
n
i
ixF 0s i nc o s gmm i n ??? ?? FFF
0
1
??
?
n
i
iyF 0c o ss i n gNm i n ???? ?? FFF
N31.1 3 5s i nc o s c o ss i n
s
s
m i n ??
??
??
??
f
fF
利用
Nsm FfF ?
第一种情况
m
F
?
N
F
?
2
F
?
G
?
? m
(a) ( b )
? ? m
m i n
F
?
G
?
m i n
F
?
1
F
?
x
?
y
?
?
如右图，建立参考基，利用
静力平衡关系
合力作用线
第二种情况
m
F
?
N
F
?
G
?
? m
(a)
?
F
?
2
F
?
(b )
? m
G
?
m a x
F
?
1
F
?
x
?
y
?
?
0
1
??
?
n
i
ixF
0??? ?? s i nFFco sF gmm a x
0
1
??
?
n
i
iyF 0???? ?? co sFFs i nF gNm a x
N.s i nfco s co sfs i nF
s
s
m a x 53351??
??
??
??
由
Nsm FfF ?
如右图，建立参考基,同样
利用平衡条件
[例 5-3]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 。脚端 A与 B和地
面的摩擦因数分别为 。在折叠梯的 AC侧的中点处有
一重为 500N的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算
两脚与地面的摩擦力。
?60??
6.0,2.0 ?? sBsA ff
Ay
F
?
Ax
F
?
Bx
F
?
G
?
C
A
?
B
By
F
?
x
?
y
?
?
(a)
处理此类问题时首先 假定系
统为平衡 。由于系统不一定处
于静摩擦的临界情况，可通过
平衡方程 求得这些未知的 静摩
擦力 。所得的结果必须与 极限
静摩擦力 进行比较，以确认上
述系统平衡的假定是否成立。
令脚端 A与 B的理想 约束力 分别为
ByAy FF
?? 与
静摩擦力分别为 BxAx FF ?? 与
以整体为对象，令等边三角形的边长为 b，建立如图参考基，有平衡方程
0)(
1
??
?
n
i
iAz FM
?
025.0 ?? bGbF By
N12525.0 ?? GF By
0
1
??
?
n
i
iyF
0??? GFF ByAy
N3 7 5??? ByAy FGF
Ay
F
?
Ax
F
?
Bx
F
?
G
?
C
A
?
B
By
F
?
x
?
y
?
?
(a )
Ay
F
?
Ax
F
?
Bx
F
?
G
?
C
A
?
C
F
?
B
F
?
B
By
F
?
x
?
y
?
?
Bx
F
?
By
F
?
(a )
(b )
以 杆 BC 为对象，由于
不计杆件的重量，该杆
为 二力杆,即摩擦力与
理想约束力的合力与铰
C 的约束力均沿杆的轴
线。由图 b的矢量几何
，有,
N.t a nFF ByBx 177230 ?? ?
再以 整体 为对象，有平衡方程
0
1
??
?
n
i
ixF
0?? BxAx FF N17.72??
BxAx FF
下面判断系统是否处于静平衡
脚端 A 与 B 的 极限静摩擦力 分别为,
N75sm ?? AyAA FfF
N75sm ?? ByBB FfF
脚端 A与 B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处
于平衡的假定成立 。
Ay
F
?
Ax
F
?
Bx
F
?
G
?
C
A
?
B
By
F
?
x
?
y
?
?
(a)
滚
动
代
替
滑
动
的
例
子
5-4 滚动摩擦
滚动阻碍的概念
刚性约束模型的局限性
不平衡力系
根据刚性约束模型，
得到 不平衡力系,即不
管力 FT 多么小,都会发
生滚动，这显然是不正
确的。
FN
FT
F
FP
柔性约束模型与滚动阻碍分析
变形,未滚动
实际轮 -----轨并非刚体，产生小量接触变形，
将影响约束力的分布
柔性约束模型与滚动阻碍分析
滚动，分布力系
滚动摩擦产生的原因：重为 G的圆柱体沿水平面运动时，
因为二者间的 局部变形 引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动
的阻力，如图
G G
NF
?
fF
?
F?
F?
将这些阻力向
A点简化，可
得一主矢和一
主矩
RF
?fM?
)(),(
,
法向切向
方向分解可向
Nf
R
FF
yxF
??
?
?
为滚动摩擦所特有力偶矩
滚动阻摩擦力的性质
具有滑动理想约束力
,
,
,
f
fN
M
FF
?
?
O
O
A
G
fF
?
F?
RF
?
fM?
O
A
讨论：
NF
?
（ 1）主动力 F 由零逐步增大，而圆柱体处于平衡状态，由
平面任意力系的平衡方程，有：
?
?
?
?
?
?
???
???
???
n
i
fiOz
N
n
i
iy
f
n
i
ix
)r(FrM)F(M
GFF
FFF
1
1
1
0
0
0
为圆柱体半径
?
（ 2）
圆柱体开始滚动再增大若
圆柱体开始滑动
,,
,
FMM
FF
mf
mf
?
?
实际上，由于 滑动摩擦因子较大,圆柱
滚动前不会发生滑动,即
我们称之为纯滚动时,mfmf FFMM ??
实验证明：
与接触物体的性质有关点的距离
到简化中心化为纯主矢时物理意义是将摩擦力简
其量纲为长度单位称为滚阻系数其中
,
,
,,
A
B
FM Nm ???
??? ff MFF,,
G
fF
?
F?
RF
?fM?
O
A
NF
?
G
O
NF
?
fF
?
F?
B
RF?
?
滚动阻力偶矩的取值范围
0 ? M f ? M f max
其中 M f max＝ FN??
? —滚动阻碍系数 (长度单位 )
滚动阻力偶 M f是由于轮轨接触变形而形成
的，与滑动摩擦力 F一样，是约束反力的一
部分，且有最大限定值
为两者接触变形区域大小的一种度量
车轮与钢轨间,?≈0.5mm ； 硬质合金钢球与轴承 ?≈0.1mm
为什么滚动比滑动省力
滑动摩擦力是阻力
滑动摩擦力 F是驱动力
足够大的 F与拉力 FT形成足够大的主动力偶才能克服滚动阻
力偶 Mf,使轮滚动。
轮胎为什么要刻花纹？
雪地行车为什么要挂链条？
FT1=Fmax=fsFN=fsW
rWr
FFF N
T
?? ???
2
一般情况下,?/r＜＜ fS
故,FT2 ＜＜ FT1
可见,F ＜＜ Fmax
[例 5-4]在搬运重物时常在下面垫些滚木，如图所示。重物重 G0
，滚木重 G，半径为 r。滚木与重物和地面的滚阻因数分别为 ?0
和 ? 。求将要拉动重物时的拉力 F。
?
x
q
?
y
q
O
?
G
0
q
G
2N
F
?
q
2f
F
?
q
?
q
?
q
1f
F
?
q
1N
F
?
?
G
q
?
F
q
0
G
?
q
以整个系统为对象
Fix
i
n
?
? ?
1
0 2f1f FFF ??
Fiy
i
n
?
? ?
1
0 GGFF 202N1N ???
这里共有 5个未知量，再加一个力矩方程也无法求解。 需
增加方程 。
受力情况如图。有平衡方程,
以左滚木为对象。将滚动摩擦
力按纯主矢的方式简化，受力
情况如图所示。对点 A取矩
? 0
?
?
q
?
G
q
? 0
?
?
q
?
G
q
A
B
1N
F
?
1f
F
?
q
2N
F
?
2f
F
?
q
3f
F
?
4N
F
?
3N
F
?
4f
F
?
?
G
q
0)(
1
??
?
n
i
iAz FM
?
02)( 01f01N ???? ??? GrFF
以右滚木为对象。受力情况如图
所示。对点 B取矩
0)(
1
??
?
n
i
iBz FM
?
02)( 02f02N ???? ??? GrFF
联立以上四式
F G Gr? ? ?0 0 22( )? ? ?
?
x
q
?
y
q
O
?
G
0
q
G
2N
F
?
q
2f
F
?
q
?
q
?
q
1f
F
?
q
1N
F
?
?
G
q
?
F
q
0
G
?
q
已知,不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求,挺杆不被卡住之 值。
例 5-5
解得：
则：挺杆不被卡住时，
解,取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置。
。
用几何法求解例 5-5。
解：
例 5-6
摩擦
? 工程问题－赛车起跑
为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面
摩擦生烟？
? 工程问题－赛车结构
为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
摩擦的微观机理
摩擦的微观机理
摩擦的分类
干摩擦 — 固体对固体的摩擦；
流体摩擦 — 流体相邻层之间由于流速
的不同而引起的切向力。
摩擦
滑动摩擦
滚动摩擦
静滑动摩擦
动滑动摩擦
静滚动摩擦
动滚动摩擦
§ 5-1 滑动摩擦力
FP FP
mg
FN
F
由,?Fx=0 FP－ F=0
讨论,1、当 FP=0 时,F=0；
2、当 0＜ FP≤Fpmax（使物体运动的临界值）
F = FP
F = FP
物体平衡时：
物块仍静止
当 F = Fpmax时,F=Fmax 最大静摩擦力
（且 Fdmax略低于 Fmax），若 FP再增加，则 F基本保持为常值 Fd
库仑定律,F max = fs
FN
fs称为静摩擦系数
FP
W
F
FN
F
FPO 45?
Fmax
Fd
运动状态静止状态
临界状态
物体开始沿力 FP方向滑动。同时 Fmax突然变至动滑动摩擦力 Fd
Fmax
Fd
运动状态静止状态
临界状态F
FPO
静止状态
临界状态 — F＝ F max = fs FN
运动状
态
— F＝ Fd
— F＝ FP＜ F max
一般静摩擦力的值,0 ≤ F≤Fmax
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
2 大小：
3 （库仑摩擦定律）
与 相对滑动趋势 反向；
2 大小：
动滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，与 相对运动方向 反向；
§ 5-1摩擦角与自锁现象
F
FN
总约束力
FR（全反力）
与法向 约束力
FN作用线之间
的夹角为 ?
FR ? FN
Fs
一、摩擦角：
开始运动前,?角
随 FP的改变而改变，
临近运动时达到最
大值 ?m称摩擦角
0 ????m
当 F=Fmax时，
s
N
m fF
F ?? m a xt a n ?
故,sm far ct an??
摩擦角的正切等于静摩
擦系数。且都是表示两物
体间干摩擦性质的物理量。
FR ? FN
Fs
FP
FN
Fma
x
FR
?m
关于摩擦角的两点结论：
? ?是静摩擦力
取值范围的几何表示。
? 三维受力状态下，
摩擦角变为 摩擦锥 。
0 ≤ F≤Fmax 与 0 ????m
两式等价
二、自锁现象：
FN
W xW y
F s
斜面上刚性块的运动趋势
不滑动
W xW
y
F s FN
滑动
Wy x
F s FN
临界状态
斜面上刚性块的运动趋势
Wy W x
F FN
FN
W xW y
F
W xW
y
F FN
不滑动
滑 动
临界状态
不仅斜面与物块系统具
有这种现象，考察平面－
物块系统的运动趋势：
FQF
Q
主动力作用线位于
摩擦角范围内时，不
管主动力多大，物体
都保持平衡，这种现
象称为自锁。
当 ???m时,
主动力作用线位于摩擦
角范围以外时，不管主
动力多小，物体都将发
生运动。
当 ???m时,
主动力作用线与
法线之间的夹角等于
摩擦角时物体处于临
界状态。
当 ?=?m时,
当 ?=?m时,当 ???m时,当 ???m时,
物块静止（自锁） 物块滑动 平衡与运动的临界状态
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
斜面自锁条件
螺纹自锁条件
一、两种运动趋势与临界运动状态
1、滑动（ slip)
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
§5-3摩擦平衡问题
2、翻 倒（ tip over)
W
FP
Fs
FN
W
FP
s
FN
P
W
FP
Fs
N
W
FP
s
FN
二、两类摩擦平衡问题
F ? F max，,物体处于静止
状态,已知主动力求约束力，
与一般平衡问题无异。
第一类 问 题
? 平衡问题 — 临界运动趋势
确定平衡位置；
第二类 问 题
F ＝ F max
?不平衡问题 — 滑动或翻倒
确定各主动力之间的关系。[
ò? ?a ￡o èy ?? ?é oí ??
D? ?é μ? ?ê á? ?? ae ?a 20
kg oí 10 kg ￡? ·?° ? ?? ??
?? μ? ?| °á òò êy ?? ?a f
s
= 0,4 ?￡
è? ?¨￡ o ?t ?? ì? ??
°? ?￠ é? ?? ?ˉ êa￡ ? ?? ?ü
ê? ?ó μ? ?? ′ó á| ?￡
á? à- ?| °á ?? oa ?ê ìa
?? ?? ?| °á êa
μ? ?? oa ?ê ìa
àyày ìaìa 1
F
解：分析几种可
能运动趋势 —
¤ 三角块滑动；
¤ 三角块与矩
形块一起滑动。
例 题 1
F
¤ 三角块翻倒；
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间
¤ 三角块滑动 —
约束力作用点在 A、
B两点之间。
例 题 1
F
AB
C D
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B
FP
F
FN
W
¤ 三角块滑动 — 约束力作用
点在 A,B两点之间。
?Fx = 0
F-FP = 0
?Fy = 0
FN-W= 0
库仑定律
F? fs FN
FP ?
78.48N
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B。
?MB(F)= 0
FP?1.0 -
W ? 0.5=0 FP
F
FN
W 1 m
0.5 m
FP= 98.1N
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间。
W ′
W
FP
F
FN
?Fx = 0
F-FP = 0
?Fy = 0
FN-W- W ′= 0
库仑定律
F ? fs FN
FP ? 117.7N
结 论
上述结果表明，仅三角块可能发生滑动，
可以施加的最大力为 FP ? 78.48N
¤ 三角块不滑动，所能施加的最大力为
FP ? 78.48N¤
三角块不翻倒，所能施加的最大力为
FP＝ 98.1N
¤ 三角块与矩形块都不滑动，所能施加
的最 大力为
FP ? 117.7N
[例 5-2] 重为 400N的重物放在斜面上。物体与斜面的静摩擦因
数 。斜面的倾角 。为使物体不滑动，在物体
上施加一水平力 。求该力的最大与最小值。
2.0?sf ?30??
F?
?30
物块位于斜面上，有向下滑动的趋势。
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
? 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动
? 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
F?
分析
0
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ixF 0s i nc o s gmm i n ??? ?? FFF
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iyF 0c o ss i n gNm i n ???? ?? FFF
N31.1 3 5s i nc o s c o ss i n
s
s
m i n ??
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??
??
f
fF
利用
Nsm FfF ?
第一种情况
m
F
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N
F
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2
F
?
G
?
? m
(a) ( b )
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m i n
F
?
G
?
m i n
F
?
1
F
?
x
?
y
?
?
如右图，建立参考基，利用
静力平衡关系
合力作用线
第二种情况
m
F
?
N
F
?
G
?
? m
(a)
?
F
?
2
F
?
(b )
? m
G
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m a x
F
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1
F
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x
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y
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0
1
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0??? ?? s i nFFco sF gmm a x
0
1
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iyF 0???? ?? co sFFs i nF gNm a x
N.s i nfco s co sfs i nF
s
s
m a x 53351??
??
??
??
由
Nsm FfF ?
如右图，建立参考基,同样
利用平衡条件
[例 5-3]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 。脚端 A与 B和地
面的摩擦因数分别为 。在折叠梯的 AC侧的中点处有
一重为 500N的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算
两脚与地面的摩擦力。
?60??
6.0,2.0 ?? sBsA ff
Ay
F
?
Ax
F
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Bx
F
?
G
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C
A
?
B
By
F
?
x
?
y
?
?
(a)
处理此类问题时首先 假定系
统为平衡 。由于系统不一定处
于静摩擦的临界情况，可通过
平衡方程 求得这些未知的 静摩
擦力 。所得的结果必须与 极限
静摩擦力 进行比较，以确认上
述系统平衡的假定是否成立。
令脚端 A与 B的理想 约束力 分别为
ByAy FF
?? 与
静摩擦力分别为 BxAx FF ?? 与
以整体为对象，令等边三角形的边长为 b，建立如图参考基，有平衡方程
0)(
1
??
?
n
i
iAz FM
?
025.0 ?? bGbF By
N12525.0 ?? GF By
0
1
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n
i
iyF
0??? GFF ByAy
N3 7 5??? ByAy FGF
Ay
F
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Ax
F
?
Bx
F
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C
A
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B
By
F
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Ay
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A
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C
F
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B
F
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B
By
F
?
x
?
y
?
?
Bx
F
?
By
F
?
(a )
(b )
以 杆 BC 为对象，由于
不计杆件的重量，该杆
为 二力杆,即摩擦力与
理想约束力的合力与铰
C 的约束力均沿杆的轴
线。由图 b的矢量几何
，有,
N.t a nFF ByBx 177230 ?? ?
再以 整体 为对象，有平衡方程
0
1
??
?
n
i
ixF
0?? BxAx FF N17.72??
BxAx FF
下面判断系统是否处于静平衡
脚端 A 与 B 的 极限静摩擦力 分别为,
N75sm ?? AyAA FfF
N75sm ?? ByBB FfF
脚端 A与 B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处
于平衡的假定成立 。
Ay
F
?
Ax
F
?
Bx
F
?
G
?
C
A
?
B
By
F
?
x
?
y
?
?
(a)
滚
动
代
替
滑
动
的
例
子
5-4 滚动摩擦
滚动阻碍的概念
刚性约束模型的局限性
不平衡力系
根据刚性约束模型，
得到 不平衡力系,即不
管力 FT 多么小,都会发
生滚动，这显然是不正
确的。
FN
FT
F
FP
柔性约束模型与滚动阻碍分析
变形,未滚动
实际轮 -----轨并非刚体，产生小量接触变形，
将影响约束力的分布
柔性约束模型与滚动阻碍分析
滚动，分布力系
滚动摩擦产生的原因：重为 G的圆柱体沿水平面运动时，
因为二者间的 局部变形 引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动
的阻力，如图
G G
NF
?
fF
?
F?
F?
将这些阻力向
A点简化，可
得一主矢和一
主矩
RF
?fM?
)(),(
,
法向切向
方向分解可向
Nf
R
FF
yxF
??
?
?
为滚动摩擦所特有力偶矩
滚动阻摩擦力的性质
具有滑动理想约束力
,
,
,
f
fN
M
FF
?
?
O
O
A
G
fF
?
F?
RF
?
fM?
O
A
讨论：
NF
?
（ 1）主动力 F 由零逐步增大，而圆柱体处于平衡状态，由
平面任意力系的平衡方程，有：
?
?
?
?
?
?
???
???
???
n
i
fiOz
N
n
i
iy
f
n
i
ix
)r(FrM)F(M
GFF
FFF
1
1
1
0
0
0
为圆柱体半径
?
（ 2）
圆柱体开始滚动再增大若
圆柱体开始滑动
,,
,
FMM
FF
mf
mf
?
?
实际上，由于 滑动摩擦因子较大,圆柱
滚动前不会发生滑动,即
我们称之为纯滚动时,mfmf FFMM ??
实验证明：
与接触物体的性质有关点的距离
到简化中心化为纯主矢时物理意义是将摩擦力简
其量纲为长度单位称为滚阻系数其中
,
,
,,
A
B
FM Nm ???
??? ff MFF,,
G
fF
?
F?
RF
?fM?
O
A
NF
?
G
O
NF
?
fF
?
F?
B
RF?
?
滚动阻力偶矩的取值范围
0 ? M f ? M f max
其中 M f max＝ FN??
? —滚动阻碍系数 (长度单位 )
滚动阻力偶 M f是由于轮轨接触变形而形成
的，与滑动摩擦力 F一样，是约束反力的一
部分，且有最大限定值
为两者接触变形区域大小的一种度量
车轮与钢轨间,?≈0.5mm ； 硬质合金钢球与轴承 ?≈0.1mm
为什么滚动比滑动省力
滑动摩擦力是阻力
滑动摩擦力 F是驱动力
足够大的 F与拉力 FT形成足够大的主动力偶才能克服滚动阻
力偶 Mf,使轮滚动。
轮胎为什么要刻花纹？
雪地行车为什么要挂链条？
FT1=Fmax=fsFN=fsW
rWr
FFF N
T
?? ???
2
一般情况下,?/r＜＜ fS
故,FT2 ＜＜ FT1
可见,F ＜＜ Fmax
[例 5-4]在搬运重物时常在下面垫些滚木，如图所示。重物重 G0
，滚木重 G，半径为 r。滚木与重物和地面的滚阻因数分别为 ?0
和 ? 。求将要拉动重物时的拉力 F。
?
x
q
?
y
q
O
?
G
0
q
G
2N
F
?
q
2f
F
?
q
?
q
?
q
1f
F
?
q
1N
F
?
?
G
q
?
F
q
0
G
?
q
以整个系统为对象
Fix
i
n
?
? ?
1
0 2f1f FFF ??
Fiy
i
n
?
? ?
1
0 GGFF 202N1N ???
这里共有 5个未知量，再加一个力矩方程也无法求解。 需
增加方程 。
受力情况如图。有平衡方程,
以左滚木为对象。将滚动摩擦
力按纯主矢的方式简化，受力
情况如图所示。对点 A取矩
? 0
?
?
q
?
G
q
? 0
?
?
q
?
G
q
A
B
1N
F
?
1f
F
?
q
2N
F
?
2f
F
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q
3f
F
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4N
F
?
3N
F
?
4f
F
?
?
G
q
0)(
1
??
?
n
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iAz FM
?
02)( 01f01N ???? ??? GrFF
以右滚木为对象。受力情况如图
所示。对点 B取矩
0)(
1
??
?
n
i
iBz FM
?
02)( 02f02N ???? ??? GrFF
联立以上四式
F G Gr? ? ?0 0 22( )? ? ?
?
x
q
?
y
q
O
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G
0
q
G
2N
F
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q
2f
F
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q
?
q
?
q
1f
F
?
q
1N
F
?
?
G
q
?
F
q
0
G
?
q
已知,不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求,挺杆不被卡住之 值。
例 5-5
解得：
则：挺杆不被卡住时，
解,取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置。
。
用几何法求解例 5-5。
解：
例 5-6
