第 一节 点的绝对运动、相对运动、牵连运动
第二节 点的速度合成定理
第三节 牵连运动为平移时点的加 速度合成定理
第四节 牵连运动为转动时点的加 速度合成定理
第一节,点的合成运动的概念
x
y v
M
o
x ￠
y ￠
o ￠
a
一、问题的提出：
右上图,M 为雨点M 的运动轨迹,? 垂直向下
——地面的观测者
? 倾斜向后
——车上的观测者
图 6— 1
右下图,M 为轮缘上的一点
M 的运动轨迹,? 旋轮线
——地面的观测者
? 圆
——车上的观测者
x
x ￠
y ￠
y
M
o
图 6— 2
这是工厂车间里的桥式起重机
A
A '
重物 A ? A'
0 x
y
0'
x '
y '
A
1
v
v
1
v
1
上图 A 点的运动轨迹,? AA 1 曲线运动
——地面的观测者
? 竖直向上
——车上的观测者
图 6— 3
二、问题产生的原因及有关的基本概念：
1,原因分析,观测者所在的位置不同，即：参考系不同。
2,基本概念：
? 固定参考系：固结在地球表面上的参考系。
? 动参考系,相对于地球运动的参考系 （如固结在车上的参
考系）
? 绝对运动,动点对于固定参考系的运动。
? 相 对运动, 动点对于相对参考系的运动。
? 牵连运动, 动参考系相对于固定参考系的运动 。
? 合成运动,由 相对运动 和 牵连运动 合成的运动，即相对运动。
相对运动 绝对运动
牵连运动
动点的牵连运
动
动点
动参考系 定参考系
动参考系上与动点重合的点
三、动点、动参考系、定参考系之间的关系：
图 6— 4
2,牵连运动是指动参考系的运动，也就是与动参考系相固结的
物体的运动，因此是指一个刚体的运动，它可能是平动、转
动或其它运动。
四、注意：
1, 动点的相对运动、绝对运动是指一个点的运动，它可以是直
线运动或者是曲线运动。
第二节,点的速度合成定理
一、基本概念：
? 绝对速度,动点对于固定参考系的速度。 v a
? 相对速度,动点对于相对参考系的速度。 v r
? 牵连速度,某一瞬时动参考系上和动点相重合的那一点的速
度。 v e
MMMMMM ￠￠￠?￠?￠￠
如图 6 — 6 所示，存在有,
二、绝对速度、相对速度与牵 连速度之间的关系：
x
y
r
v
a
v
e
v
M
M ￠
M ￠￠
o
y ￠
x ￠
x ￠
y ￠
o ￠
o ￠
k
k ￠
牵连轨迹
绝对轨迹
迹
轨
对
相
图 6 — 6
）— 16(l i ml i ml i m
000 t
MM
t
MM
t
MM
ttt ?
￠￠￠?
?
￠?
?
￠￠
??????
两边分别除于 ? t,并令 ? t 趋于零，得,
点的切线方向。 沿着相对轨迹上
方向的相对速度在瞬时—动点—
点的切线方向。 沿着牵连轨迹上
方向的牵连速度在瞬时—动点—
点的切线方向。 沿着绝对轨迹上
方向的绝对速度在瞬时—动点— 式中：
M
tMv
t
MM
M
tMv
t
MM
M
tMv
t
MM
r
t
e
t
a
t
,
,
,
lim
lim
lim
0
0
0
?
?
￠￠￠
?
?
￠
?
?
￠￠
??
??
??
)26(
:,
??? ——
得从而
rea vvv
三、应用速度合成定理时应注意的问题
（ 6－ 2）式即为点的速度的合成定理，即：动点的绝对速度等
于它的牵连速度和相对速度的矢量和。
?动点及动参考系的选取
?分析三种运动及三种速度
?根据速度合成定理并结合各速度的已知条件作出速度矢量
图，然后利用三角形关系或合矢量投影定理求解未知量。
例 6 ~ 1,图 6 — 7 为曲柄滑道连杆机构。 曲柄长 O A = a,以匀角
速度 ? 绕 O 轴转动，其端点用铰链和滑道中的滑块 A 相连，来
带动连杆作往复运动。求 当曲柄与连杆轴线成 ? 角时连杆的速
度。
四、举例说明：
x x ￠
y
y ￠
?
?
?
o
o ￠
A
r
va
v
e
v
76 —图
解：
（ 1 ）、取 A 为动点，连杆
为动参考系，地面
为固定参考系。
（ 2 ）、分析运动如图所示
绝对运动：动点 A绕 O点作圆周运动；
相对运动：动系 T型槽沿竖直方向作平移运动；
牵连运动：某瞬时，与 A点重合的、位于 T型槽上的点沿水平方向
作平移运动。
（ 3 ）、根据速度合成定理求未知量
rea vvv ??
??? s i ns i n ???? avv
v
ae
e
根据几何关系即可求出
av
?a
与圆周相切
大小
方向
ev
水平向右
未知
rv
竖直向上
未知
例 6 — 2,导杆 AB 可以在铅垂套管 D 内滑动,其下端的滚轮 A 与
凸轮保持接触 ( 图 6 — 8 ),凸轮以角速度 ? 绕 O 轴转动，在图示瞬
时,O A = a,而凸轮轮缘在 A 点的法线与 OA 成 a 角, 求导杆 AB 在此
瞬时的速度及滚轮 A 相对凸轮的相对速度,
（ 1 ）、取 A 为动点，凸轮为动参考系，
地面为固定参考系。
（ 2 ）、分析运动如图所示
（ 3 ）、根据速度合成定理求未知量
rea vvv ??
?
a
o
B
D
A
e
v
r
v
a
v
a
86 —图
解：
a
a?a
co s
t ant an
e
r
ea
a
v
v
avv
v
?
????
根据几何关系即可求出
x￠
y￠
x
y
o￠
Bo￠?
B
A
o￠
?
o
av
ev
rv
?
?
??
?￠? ￠
rv
Aov
a
Boe
x
y
r
v
a
v
e
v
M
M ￠
M ￠￠
o
y ￠
x ￠
x ￠
y ￠
o ￠
o ￠
k
k ￠
?￡ á? 1ì ?￡
?? ?? 1ì ?￡
?￡
1ì
??
?à
x x ￠
y
y ￠
?
?
?
o
o ￠
A
r
va
v
e
v
?
a
o
B
D
A
e
v
r
v
a
v
a
6~3í?
第三节、牵连运动为平动时 点的加速度合成定理
一、基本概念：
? 绝对加速度,动点对于固定参考系的加速度。 a a
? 相对加速度,动点对于相对参考系的加速度。 a r
? 牵连加速度 ：某一瞬时动参考系上和动点相重合的那一点
的加速度。 a e
二、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度之间的关系：
( 6 )ee
rr
?￠ ? ?
??
￠ ? ??
３
vv
vv
如图 6 — 9 所示，存在有：
x
y
r
v
a
v
e
v
M
M ￠
M ￠￠
o
y ￠
x ￠
x ￠
y ￠
o ￠
o ￠
k
k ￠
?￡ á? 1ì ?￡
?? ?? 1ì ?￡
?￡
1ì
??
?à
í? 6 ?a 9
e
v
￠￠
r
v
￠￠
r
v
￠
e
v
￠
a
v
￠
0
0
0
00
l i m
( ) ( )
l i m
( ) ( )
l i m ( 6 4)
() ()
l i m l i m
aa
a
t
e r e r
t
e e r r
t
ee rr
tt
er
t
t
t
tt
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??
??
? ? ? ?
￠
?
?
?
￠￠
? ? ?
?
?
￠￠
? ? ?
??
?
￠ ￠
? ?
??
??
??
vv
a
v v v v
v v v v
vv vv
aa
三、平动时点的加速度合成定理
——矢量合
例 6-3：凸轮、顶杆机构，凸轮以速度 v沿水平 轨道向右作
减速运动，其加速度为 a,求 杆 AB在图示位置时的加速度。
1、取 A为动点、动系固结在凸轮
上，定系固结在地面上。
2、分析运动,AB沿铅垂方向做
直线运动，凸轮沿水平方向
做直线运动。
凸轮
顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
?
y ￠
B
牵连运动
图 6 — 10
3、加速度分析
由于牵连运动为平动，故知：
a e r??a a a
n
e r r
?? ? ?a a a
四、举例
上式中各加速度情况见 6-11所示。
4、求绝对加速度 aa
R
va rn
r
2
?
凸轮
顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
?
y ￠
B
牵连运动
e
a
r
?
a
n
r
a
a
a
图 6 — 11
式中的 vr，可由速度合
成定理求出。
?? s i ns i n
vvv e
r ??
首先，
凸轮
顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
?
y ￠
B
牵连运动
e
v
r
v
a
v
图 6 — 12
2 2
2
1
sin
n r
r
v va
RR ?? ? ?
n
e r r
?? ? ?a a a a
由于，
将上式中各项向法线投影可得，
2
3
s i n c o s
c o s 1
s i n s i n
n
a e r
a
a a a
v
aa
R
??
?
??
??
? ? ?
（当 ??90o时,aa?0，说明 aa
方向与图示相同）
于是，
例 6-4：图 6-13所示的曲柄滑道机构中，已知 OA=r,?o,?o，
?。求 BC的加速度。
1、取 A为动点，动系设置在滑道上，定系与地面固结
2、分析运动：如图 6-14所示。
4、求牵连加速度 ar
由于
n
a a e ra a a a
?? ? ?
3、加速度分析,由于牵连运动为平动，故知：
a e r??a a a
n
e r r
?? ? ?a a a
将上式中各项向 x投影可得，
2c os si n ( c os si n )na a e e o oa a a a r? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
（, -”说明 ae方向与图示相反）
????
???
s i nc o s
s i nc o s
2
ooe
e
n
aa
rra
aaa
????
???
)s i nco s( 2 ???? ooe ra ???即
（,-”说明 ae方向与图示相反）
牵连运动为平动时，加速度的求解步骤：
1、选动点、动系、定系。
2、分析三种运动和三种加速度
3、作加速度矢量图。
总结
4、用投影法求解未知量。
凸轮
顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
?
y ￠
B
牵连运动
e
v
r
v
a
v
图 6 — 12
第四节、牵连运动为转动时 点的加速度合成定理
一、基本概念：
? 绝对加速度,动点对于固定参考系的加速度。 a a
? 相对加速度,动点对于相对参考系的加速度。 a r
? 牵连加速度 ：某一瞬时动参考系上和动点相重合的那一点
的加速度。 a e
? 附加加速度,？
二、引例 —— 科氏加速度
如图所示，已知套筒 M沿直杠 AB运动，同时 AB又绕
A转动，试分析套筒 M的加速度。
1、取 M为动点，设动系与 AB固结。
t时刻,va= ve+ vr
?t内绝对速度的改变量：
?va= v'a- va
=（ v'e- ve） +（ v'r-vr)
解：
2、运动分析：
t+ ?t时刻,v'a= v'e+ v'r
0 0 0
l im l im l ima e e rra
t t tt t t? ? ? ? ? ?
￠ ￠? ?? ? ?
??
v v v vva Δ
从而可得时刻 t动点的绝对加速度为：
牵连加速度,?t时间间隔 内,AB杆上与动点 M相重合的
点运动到 M1点位置，相应的牵连加速度的极
限值应为：
1
0
l im Mee
t t??
??
?
vva
相对加速度,?t时间间隔 内，动点在 AB上由 M点运动
到 M2点位置，相应的相对加速度的极限值
应为：
2
0
l im rrr
t t??
??
?
vva
由于, ?va= v'a- va=（ v'e- ve） +（ v'r-vr)
同时考虑到：
? ? ? ?
? ? ? ?
11
1
22
2
,
r r r r r r
e e e M M e
e M r r
￠￠? ? ? ? ? ?
??
￠￠? ? ? ? ? ?
?
￠￠?? ?
?
v v v v v v
v v v v v v
v v v v
11
1
00
22
0 0 0 0
2
00
l im l im
l im l im l im l im
l im l im
ee rr
a
tt
e M M e r r r r
t t t t
eM rr
er
tt
tt
t t t t
tt
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
￠ ￠? ?
??
??
￠ ?? ￠ ??
? ? ? ?
? ? ? ?
￠ ? ￠ ?
? ? ? ?
??
vv vv
a
v v v v v v v v
vv vv
aa
从而可进行如下推导：
在动参考系转动发生转动的情况下，进行加速度
合成时，除了牵连加速度 aa,相对加速度 ar外，还有
附加的加速度。
结论
1Mv
三、附加加速度
1M
1
0
1 l im eM
t t??
￠ ?
?
、求
的大小、方向
vv
1
v A M
v A M
￠￠ ??
?
??
1
e
M
= ω×
= ω×
1 1
00
l im l imeM r
tt
vv A M A M
v
tt
??
? ? ? ?
￠ ? ￠ ?
? ? ? ? ?
??
方向垂直于 vr,与 ?一致。
2
0
2 l im rr
t t??
￠ ?
?、求 的大小、方向
vv
2rr vv ?￠? 2 2 s i n
2rr v
?￠￠? ? ? ?
rvv
2
0
00
l i m
l i m l i m
rr
t
r
tt
r
t
v
t
v
?
?
??
? ? ? ?
￠ ?
?
￠??
?
??
vv
1M
1Mv
从而可求得该加速度的数值如下：
方向垂直于 vr与 ?一致。
2 ( 6 5 )cr v??? a
ac称附加加速度，或称科氏加速度 。
1 2
00
l i m l i meM rrc
tt tt? ? ? ?
￠ ? ￠ ?
?? ??vv vva
令：
则
方向垂直于 vr与 ?一致。
四,牵连运动是转动时点的加速度合成定理
—— 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度和科
氏加速度之间的关系：
当牵连运动为转动时，动点在某瞬时的绝对加速
度等于在该瞬时它的牵连加速度与相对加速度及科氏
加速度三项的的矢量和。即：
? ? ?a e r ca a a a ( 6 - 6 )
定理
科氏加速度的数学证明
如图,oxyz为定参考系,o‘x’y‘z’为动参考系且绕
oz轴以角速度 ?e,角加速度 ?e转动。
r
r
d x y z
dt
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠? ? ? ?va i j k
设动点 M的相对运动方程为：
? ?
? ?
? ?tfz
tfy
tfx
3
2
1
?￠
?￠
?￠
则相对速度为：
相对加速度为：
e
?
e
? x ￠
y ￠
z ￠
o ￠
￠J
￠i
￠z
r
￠r
￠
o
r
y
o
z
x
M
r x y z￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠? ? ?v i j k
e e e e? ? ? ?a r v??
牵连加速度：
牵连速度：
而点 M的牵连速度、牵连加速度分别为动系上
与动点 M重合的那一点的速度、加速度，分别为：
e
?
e
? x ￠
y ￠
z ￠
o ￠
￠J
￠i
￠z
r
￠r
￠
o
r
y
o
z
x
M
eevr???
由速度合成定理：
e r
a e r a
d d
d t d t? ? ? ? ?
v vv v v a
? ?
ee
e e a
e e r
e e e e r
dd d
dt dt dt
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
v r
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r v v
r v v
?
? ? ?
??
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e
e e r
d
dt? ? ? ?
v av?
? ? ? ?
? ?
? ?
r
r
re
r e r
d
x y z x y z
dt
x y z
x y z
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠? ? ? ? ? ?
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠? ? ? ?
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠? ? ? ? ?
? ? ?
又
v
i j k i j k
a i j k
a i j k
av
?
?
—— 泊松公式
2e ra e r e rd dd t d t? ? ? ? ? ? ?v va a a v?
2c e r??av?
—— 科氏加速度
a e r c? ? ? ?a a a a
—— 定轴转动时的加速度合成定理
?? s in2 rec va ?
上式中 ?为 ?e与 vr两矢量间的最小夹角,ac方向按右手定则 。
其中
例 1、如图所示的套筒机构中,连杆 O1M绕 O1以角速度 ?转动，
套筒 M在 OA上滑动的同时带动 摇杆 OA绕 O以角速度 ?1转动。
若已知 ?,O1M=R,OO1=L。求：当 O1M与 OO1成 900时 摇杆
OA的角加速度 ?1。
解, 1、取套筒上的 M点为 动点、定
参考系 与地面固结,动参考 系
与 OA固结。
2、分析运动：
相对运动,沿 OA杆的直线运动
牵连运动, OA绕 O点的转动。
动点的牵连运动,OA上与动点 M重合
的点 M‘绕 O点，以
R为半径转动。
绝对运动,绕 O1点以 R为半径转动
3、加速度分析：做加速度分析图如图所示，各加速度
的大小、方向见下表。
2
1 2222
eevv R
O M R LRL
?? ? ? ?
??
a a a e
a
n
a a
?
a
a r a c
a
n
e a
?
e
大小 ? 2 R 0 2 ? 1 v r ? 1 2 OM ? 1 OM
方向 MO 1 ? MO 1 MA ? MO MO ? MO
故可得：
? ?
? ?
42
2
1 3
22
2
23
11 3
22 2
1
2
2 9 0 2
n
e
o
c r r
e
R
a o M
LR
RL
a v S I N v
LR
a o M
?
?
?
?
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?
?
??
?
? ?
?
??
? ? ??
? ?
?
? ?
?
??
由加速度合成定理：
crea aaaa ???
n n n
a a e e r r ca a a a a a a
? ? ?? ? ? ? ? ?
将上矢量式 y‘轴投影可得：
即，
cea aaa ???
??co s
? ?
? ?
2
2
3
22
22
??
RL
RLRLa
e
?
???
故，其真实方向与图示相反
? ?22 0
0e
LR
a ?
??
??
4、求摇杆角加速度 ?1
? ?
? ?
2
222
22
1 ??
?
RL
RLRL
oM
a e
?
????
（方向与图示相反）
1、选动点、动系、定系；
2、分析三种运动，并根据动系的运动（平动还是转
动），确定是否有科氏加速度。
3、作加速度矢量图，用投影法求解未知量。
因为点的绝对运动及相对运动轨迹可能都是曲线，
故加速度合成定理可写成：
n n n
a a e e r r ca a a a a a a
? ? ?? ? ? ? ? ?
总结解题步骤
e
?
e
? x
￠
y ￠
z ￠
o ￠
￠J
￠i
￠z
r
￠r
￠
o
r
y
o
z
x
M
