第四章
空间力系
若力系中
各力的作用线
在空间任意分
布，则该力系
称为空间任意
力系，简称空
间力系。
本章研究的主要内容
空间力系
空间汇交力系
空间力偶系
简化
导出平衡方程。
分解
应用, 重心、平行力系中心
§ 4–1空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多变形法则对空间
汇交力系是否适用？
对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法又如何？
?c o sFF x ?
1、力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
间接（二次）投影法
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
合矢量（力）投影定理
方向余弦
R
y
R F
FjF ??),c o s (
R
z
R F
FkF ??),c os (
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即可由上式得：
称为空间汇交力系的平衡方程。
合力的大小为,? ?? ??? 222 )()()(
ZYXR FFFF
§ 4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素
(1）大小,力 F与力臂的乘积
(2)方向,转动方向
(3)作用面：力矩作用面。
又
则
力对 O点的矩在三个坐标轴的投影：
2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），
力对该轴的矩为零。
3,力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力,力 在三根轴上的分力,,,力 作
用点的坐标 x,y,z
求：力 F对 x,y,z轴的矩
zFyF yz ????
xFzF zx ????
yFzF xy ????
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩。
比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：
§ 4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢
空间力偶的三要素
（ 1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（ 3） 作用面：力偶作用面。
（ 2） 方向：转动方向；
FrM AB??
力偶矩
2、力偶的性质
力偶矩
因
（ 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的
改变而改变。
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。
（ 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶
臂的长短，对刚体的作用效果不变。
= = =
111 ),( FrFFM BA
????? ???
(4)只要保持力偶矩不变, 力偶可从其所在平面
移至另一与此平面平行的任一平面, 对刚体的
作用效果不变 。
211 FFF ???
332 FFF ?????
= =
= =
(5)力偶没有合力, 力偶平衡只能由力偶来平衡 。
定位矢量
力偶矩相等的力偶等效
力偶矩矢是自由矢量
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
滑移矢量
3．力偶系的合成与平衡条件
= =
为合力偶矩矢，等于各分
力偶矩矢的矢量和。
?? iMM
?? iMM
则得,
合力偶矩矢的大小和方向余弦
称为空间力偶系的平衡方程。
有
空间力偶系平衡的充分必要条件是,合力偶矩矢等
于零，即
M
M ix???c o s
M
M iy???c o s
M
M iz???c o s
0?? ixM 0?? iyM 0?? izM
? ?? ??? 222 )()()( ziyixi MMMM
简写,0,0,0 ??? ???
zyx MMM
?简化过程,将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
力线平移
合成
汇交力系
合成
力偶系
结论,空间 一般力系 向一点 O 简化
一个力偶 M
一个力
RF?
作用于简化中心 O
?主矢与主矩
nR FFFF ???????? ?21 nFFF ???? ?21 ?? iF ——原力系的主矢
主矢与简化点 O位置无关
nMMMM ???? ?21 )()()( 21 nOOO FMFMFM ???? ?)( iO FM?? OM?
OM?
MO—— 称为原力系对 O点的主矩
主矩与简化点 O位置有关
§ 4–4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
建立直角坐标系 Oxyz，主矢 F’R在各坐轴
上的投影分别为：
?
?
?
n
i
xiRx FF
1
' ?
?
?
n
i
yiRy FF
1
' ?
?
?
n
i
ziRz FF
1
'
? ? )()(
11
0 i
n
i
x
n
i
xiox FMFMM ??
??
??
? ? )()(
11
0 i
n
i
y
n
i
yioy FMFMM ??
??
??
? ? )()(
11
0 i
n
i
z
n
i
zioz FMFMM ??
??
??
主矩 MO在各坐标轴上的投影分别为：
—有效推进力 飞机向前飞行
—有效升力 飞机上升
—侧向力 飞机侧移
—滚转力矩 飞机绕 x轴滚转
—偏航力矩 飞机转弯
—俯仰力矩 飞机仰头
1） 合力
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
2,空间任意力系的简化结果分析 （ 最后结果 ）
当 时，
当 最后结果为一个合力。
合力作用点过简化中心。
0,0 ??? oR MF
oRoR MFMF ?????,0,0
合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力
对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。
（ 2）合力偶
当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化
中心无关。
（ 3）力螺旋
力螺旋中心轴过简化中心
时当 oRoR MFMF ????,0,0
力螺旋中心轴距简化中心为
（ 4）平衡
当 时，空间力系为平衡力系
时角，且成，，，当 2MF0M0F RR ??? k?????
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、
主矩分别为零。
?
?
?
?
?
0
0'
o
R
M
F
即：
则 有,
0)(,0
0)(,0
0)(,0
11
11
11
??
??
??
??
??
??
??
??
??
i
n
i
z
n
i
zi
i
n
i
y
n
i
yi
i
n
i
x
n
i
xi
FMF
FMF
FMF
例 4－ 1已知,T1=200N,T2=100N,皮带轮直径
D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径 D=20mm，压力角
α=200
求,力 P大小及 A,B处的反力
解,分析：
传动轴 AB匀速转动时，
可以认为处于平衡状态。
以 AB轴及其上的
齿轮和皮带轮所组成
的系统为研究对象。
0
0
20s in
,20c os
PP
PP
z
y
?
?
解,以 AB轴及其上的
齿轮和皮带轮所组成的
系统为研究对象。
0,0
0500)(150,0)(
0,0
0350150,0)(
0
2
)(
2
,0)(
21
21
1
21
??????
????????
????
??????
??????
?
?
?
?
?
zBzAzz
Bzzy
AyByyy
Byyz
yx
PTTFFF
TTFPFM
FFPF
FPFM
D
TT
D
PFM
N418N,6.28
N,142N,1.38
N,71
???
??
?
BzBy
AzAy
FF
FF
P
0
0
20s in
,20c os
PP
PP
z
y
?
?
例 4－ 2 三轮小车 ABC静止于光滑水平面上，
如图所示。已知,AD = BD = 0.5m,CD =
1.5m。 若有铅垂载荷 P = 1.5kN,作用于车上
E点,EF = DG = 0.5m,DF = EG = 0.1m。 试
求地面作用于 A,B,C三轮的反力。
解,三轮小车 ABC ——研究对象
受力,P,FA,FB,FC 构成平行力系。
:0?? xiM 0????? CDFEFP C （ 1）
kN5.05.1 5.05.1 ???? CDEFPF C
:0?? yiM 0??????? ADFAFPABF CB （ 2）
kN35.00.1 5.05.00.1 4.05.1 ?????? ABADFABAFPF CB
:0?? ziF 0???? PFFF CBA （ 3）
kN65.05.035.05.1 ??????? CBA FFPF
已知,物重 P=10kN,CE=EB=DE； 030??,
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，
列平衡方程
0?? xF
045s in45s in 21 ?? ?? FF
0?? yF
030c o s45c o s30c o s45c o s30s i n 21 ??? ????? FFF A
0?? zF
030c o s30s i n45c o s30s i n45c o s 21 ???? PFFF A ?????
结果,kN54.3
21 ?? FF kN66.8?AF
例 4－ 3
例 4－ 4
已知：,2 0 0 0 N?F,2 12 FF ?,60,30 ?? ?? ?? 各尺寸如图
求,21,FF 及 A,B处约束力
解：研究对象,曲轴 受力：
BzBxAzAx FFFFFFF,,,,,,21
列平衡方程
? ? 0zF
? ? 0yF
060s i n30s i n 21 ???? BxAx FFFF ??
00?
? ? 0zF 060c o s30c o s 21 ?????? BzAz FFFFF ??
? ? 0?? FM x
040020020060c o s20030c o s 21 ???????? BxFFFF ??
? ? 0?? FM y ? ? 0
2 12 ????? FF
DRF
? ? 0?? FM z
040020060s i n20030s i n 21 ?????? BxFFF ??
结果：,6000,3000 21 NN ?? FF
,9 3 9 7,1 0 0 4 NN ??? AzAx FF
,1 7 9 9,3 3 4 8 NN ??? BzBx FF
例 4-5
已知,F,P及各尺寸 求,杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
? ? 0?? FM AB
? ? 0?? FM AE
? ? 0?? FM AC
? ? 0?? FM EF
026 ????? PaaF 26 PF ?
05 ?F
02
2216
?
?
??????
ba
abFPaaF
04 ?F
01 ?F
? ? 0?? FM FG 0
2 2 ???? bFP
bFb PF 5.12 ?
? ? 0?? FM BC 045c o s
2 32 ???????? bFP
bbF ?PF 22
3 ??
例 4-6
求：三根杆所受力。
已知,P=1000N,各杆重不计。
解：各杆均为二力杆，取球铰 O，
画受力图建坐标系如图。
由 045s in45s in ?? ?? OCOB FF
045c o s45c o s45c o s ???? ??? OAOCOB FFF
045s in ?? PF OA ?
解得 （压） N1 4 1 4??
OAF
（拉） N7 0 7??
OCOB FF
§ 4 － 6 重心 · 平行力系中心
一、重心的概念
iP?
物体的重量（力）,物体每一微小部分地球引力的
合力。
物体每一微小部分地球引力,构成一汇交力系，
汇交点为地球中心。近似为一 空间平行力系 。
重心,物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点 C 。
iP?
P
空间平行力系的中心 ——几何点
重心 C ——唯一性
二、重心位置的确定
1,一般计算公式
)( ?? iPP ?
设合力 P的作用点位置坐标为,xC,yC,zC, 由合力矩定理得：
)()( ?? iyy MM PP ? ?? iic PxPx ?
P
Pxx ii
c
?? ?
P
Pyy ii
c
?? ?,
P
Pzz ii
c
?? ?,
重心坐标 的一般计算公式,P为物体的总重量。
设,MgPgmP
ii ??,??
iP?
P
其中 Mm
i,?
分别
为微元体的质量和物体的总质量,g 为重力加速度。
则有：
M
mx
Mg
gmx
P
Pxx iiiiii
c
??? ??? ???
M
mxx ii
c
?? ?
M
myy ii
c
?? ?
M
mzz ii
c
?? ?
物体 质心坐标 的一般计算公式。
可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。
重心与质心的区别 重心：仅在重力场中存在。
质心：任何地方都存在。
2,均质物体的重心坐标积分计算
设物体内一点容重为,常数?? —— 单位体积的重量 （ N/m3），
则有,VPVP
i ???? ????,
ΔV,V 分别为微元体和物体的体积。
V
Vx
V
Vx
P
Pxx iiiiii
c
??? ??? ?
?
???
V
Vyy ii
c
?? ?
V
Vzz ii
c
?? ?
V
Vxx ii
c
?? ?
均质物体的重心位于 物体的几何形心 。
上式可表示为：
V
y d V
y Vc ??
V
z d V
z Vc ??
V
x d V
x Vc ??
对平面图形，上式变为：
A
y d A
y Ac ??A
x d A
x Ac ??
注：适用于几何形状规则的物体
3,均质组合形状物体的重心计算
（ 1）对称性法
重心一定在物体的 对称轴、对称面、对称中心 上 。
（ 2）组合法（叠加法）
求图示平面图形的重心。
?
??
??
???
i
iCiCCC
C A
Ax
AAA
AxAxAxx
321
111111
?
??
??
???
i
iCiCCC
C A
Ay
AAA
AyAyAyy
321
111111
（ 3）负面积法
321
111111
AAA
AxAxAxx CCC
C ??
???
321
111111
AAA
AyAyAyy CCC
C ??
???
小问题,如何设计不倒翁？
三,重心确定的实验方法
适用于非均质、形状不规则等一般物体。
（ 1）悬挂法
注：适用于小物体。
（ 2） 称重法
则
有
整理后，得
若汽车左右不对称，如
何测出重心距左（或右）
轮的距离？
例 4-7
求：其重心坐标
已知：均质等厚 Z字型薄板尺寸如图所示。
解,厚度方向重心坐标已确定，
则
用虚线分割如图,为三个小矩形，
其面积与坐标分别为
只求重心的 x,y坐标即可。
mm151 ??x mm451?y 21 3 0 0 mm?A
mm52?x mm302 ?y 22 400 mm?A
mm153?x mm53?y 23 3 0 0 mm?A
mm2
321
332211 ?
??
?????
AAA
xAxAxA
A
xAx ii
C
mm27
321
332211 ?
??
?????
AAA
yAyAyA
A
yAy ii
C
例 4-8
求：其重心坐标。
已知：等厚均质偏心块的
解：用负面积法，
由
而
得
由对称性，有
小圆（半径为 r）面积为 A3，为负值。
小半圆（半径为 r+b）面积为 A2,
为三部分组成,设大半圆面积为 A1，
mmmmmm 13,17,1 0 0 ??? brR
mm01.40
321
332211 ?
??
???
AAA
yAyAyAy
C
空间力系
若力系中
各力的作用线
在空间任意分
布，则该力系
称为空间任意
力系，简称空
间力系。
本章研究的主要内容
空间力系
空间汇交力系
空间力偶系
简化
导出平衡方程。
分解
应用, 重心、平行力系中心
§ 4–1空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多变形法则对空间
汇交力系是否适用？
对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法又如何？
?c o sFF x ?
1、力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
间接（二次）投影法
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
合矢量（力）投影定理
方向余弦
R
y
R F
FjF ??),c o s (
R
z
R F
FkF ??),c os (
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即可由上式得：
称为空间汇交力系的平衡方程。
合力的大小为,? ?? ??? 222 )()()(
ZYXR FFFF
§ 4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素
(1）大小,力 F与力臂的乘积
(2)方向,转动方向
(3)作用面：力矩作用面。
又
则
力对 O点的矩在三个坐标轴的投影：
2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），
力对该轴的矩为零。
3,力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力,力 在三根轴上的分力,,,力 作
用点的坐标 x,y,z
求：力 F对 x,y,z轴的矩
zFyF yz ????
xFzF zx ????
yFzF xy ????
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩。
比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：
§ 4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢
空间力偶的三要素
（ 1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（ 3） 作用面：力偶作用面。
（ 2） 方向：转动方向；
FrM AB??
力偶矩
2、力偶的性质
力偶矩
因
（ 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的
改变而改变。
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。
（ 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶
臂的长短，对刚体的作用效果不变。
= = =
111 ),( FrFFM BA
????? ???
(4)只要保持力偶矩不变, 力偶可从其所在平面
移至另一与此平面平行的任一平面, 对刚体的
作用效果不变 。
211 FFF ???
332 FFF ?????
= =
= =
(5)力偶没有合力, 力偶平衡只能由力偶来平衡 。
定位矢量
力偶矩相等的力偶等效
力偶矩矢是自由矢量
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
滑移矢量
3．力偶系的合成与平衡条件
= =
为合力偶矩矢，等于各分
力偶矩矢的矢量和。
?? iMM
?? iMM
则得,
合力偶矩矢的大小和方向余弦
称为空间力偶系的平衡方程。
有
空间力偶系平衡的充分必要条件是,合力偶矩矢等
于零，即
M
M ix???c o s
M
M iy???c o s
M
M iz???c o s
0?? ixM 0?? iyM 0?? izM
? ?? ??? 222 )()()( ziyixi MMMM
简写,0,0,0 ??? ???
zyx MMM
?简化过程,将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
力线平移
合成
汇交力系
合成
力偶系
结论,空间 一般力系 向一点 O 简化
一个力偶 M
一个力
RF?
作用于简化中心 O
?主矢与主矩
nR FFFF ???????? ?21 nFFF ???? ?21 ?? iF ——原力系的主矢
主矢与简化点 O位置无关
nMMMM ???? ?21 )()()( 21 nOOO FMFMFM ???? ?)( iO FM?? OM?
OM?
MO—— 称为原力系对 O点的主矩
主矩与简化点 O位置有关
§ 4–4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
建立直角坐标系 Oxyz，主矢 F’R在各坐轴
上的投影分别为：
?
?
?
n
i
xiRx FF
1
' ?
?
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1
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主矩 MO在各坐标轴上的投影分别为：
—有效推进力 飞机向前飞行
—有效升力 飞机上升
—侧向力 飞机侧移
—滚转力矩 飞机绕 x轴滚转
—偏航力矩 飞机转弯
—俯仰力矩 飞机仰头
1） 合力
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
2,空间任意力系的简化结果分析 （ 最后结果 ）
当 时，
当 最后结果为一个合力。
合力作用点过简化中心。
0,0 ??? oR MF
oRoR MFMF ?????,0,0
合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力
对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。
（ 2）合力偶
当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化
中心无关。
（ 3）力螺旋
力螺旋中心轴过简化中心
时当 oRoR MFMF ????,0,0
力螺旋中心轴距简化中心为
（ 4）平衡
当 时，空间力系为平衡力系
时角，且成，，，当 2MF0M0F RR ??? k?????
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、
主矩分别为零。
?
?
?
?
?
0
0'
o
R
M
F
即：
则 有,
0)(,0
0)(,0
0)(,0
11
11
11
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i
n
i
z
n
i
zi
i
n
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n
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i
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FMF
FMF
FMF
例 4－ 1已知,T1=200N,T2=100N,皮带轮直径
D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径 D=20mm，压力角
α=200
求,力 P大小及 A,B处的反力
解,分析：
传动轴 AB匀速转动时，
可以认为处于平衡状态。
以 AB轴及其上的
齿轮和皮带轮所组成
的系统为研究对象。
0
0
20s in
,20c os
PP
PP
z
y
?
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解,以 AB轴及其上的
齿轮和皮带轮所组成的
系统为研究对象。
0,0
0500)(150,0)(
0,0
0350150,0)(
0
2
)(
2
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21
21
1
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??????
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??????
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Bzzy
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Byyz
yx
PTTFFF
TTFPFM
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FPFM
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TT
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PFM
N418N,6.28
N,142N,1.38
N,71
???
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?
BzBy
AzAy
FF
FF
P
0
0
20s in
,20c os
PP
PP
z
y
?
?
例 4－ 2 三轮小车 ABC静止于光滑水平面上，
如图所示。已知,AD = BD = 0.5m,CD =
1.5m。 若有铅垂载荷 P = 1.5kN,作用于车上
E点,EF = DG = 0.5m,DF = EG = 0.1m。 试
求地面作用于 A,B,C三轮的反力。
解,三轮小车 ABC ——研究对象
受力,P,FA,FB,FC 构成平行力系。
:0?? xiM 0????? CDFEFP C （ 1）
kN5.05.1 5.05.1 ???? CDEFPF C
:0?? yiM 0??????? ADFAFPABF CB （ 2）
kN35.00.1 5.05.00.1 4.05.1 ?????? ABADFABAFPF CB
:0?? ziF 0???? PFFF CBA （ 3）
kN65.05.035.05.1 ??????? CBA FFPF
已知,物重 P=10kN,CE=EB=DE； 030??,
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，
列平衡方程
0?? xF
045s in45s in 21 ?? ?? FF
0?? yF
030c o s45c o s30c o s45c o s30s i n 21 ??? ????? FFF A
0?? zF
030c o s30s i n45c o s30s i n45c o s 21 ???? PFFF A ?????
结果,kN54.3
21 ?? FF kN66.8?AF
例 4－ 3
例 4－ 4
已知：,2 0 0 0 N?F,2 12 FF ?,60,30 ?? ?? ?? 各尺寸如图
求,21,FF 及 A,B处约束力
解：研究对象,曲轴 受力：
BzBxAzAx FFFFFFF,,,,,,21
列平衡方程
? ? 0zF
? ? 0yF
060s i n30s i n 21 ???? BxAx FFFF ??
00?
? ? 0zF 060c o s30c o s 21 ?????? BzAz FFFFF ??
? ? 0?? FM x
040020020060c o s20030c o s 21 ???????? BxFFFF ??
? ? 0?? FM y ? ? 0
2 12 ????? FF
DRF
? ? 0?? FM z
040020060s i n20030s i n 21 ?????? BxFFF ??
结果：,6000,3000 21 NN ?? FF
,9 3 9 7,1 0 0 4 NN ??? AzAx FF
,1 7 9 9,3 3 4 8 NN ??? BzBx FF
例 4-5
已知,F,P及各尺寸 求,杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
? ? 0?? FM AB
? ? 0?? FM AE
? ? 0?? FM AC
? ? 0?? FM EF
026 ????? PaaF 26 PF ?
05 ?F
02
2216
?
?
??????
ba
abFPaaF
04 ?F
01 ?F
? ? 0?? FM FG 0
2 2 ???? bFP
bFb PF 5.12 ?
? ? 0?? FM BC 045c o s
2 32 ???????? bFP
bbF ?PF 22
3 ??
例 4-6
求：三根杆所受力。
已知,P=1000N,各杆重不计。
解：各杆均为二力杆，取球铰 O，
画受力图建坐标系如图。
由 045s in45s in ?? ?? OCOB FF
045c o s45c o s45c o s ???? ??? OAOCOB FFF
045s in ?? PF OA ?
解得 （压） N1 4 1 4??
OAF
（拉） N7 0 7??
OCOB FF
§ 4 － 6 重心 · 平行力系中心
一、重心的概念
iP?
物体的重量（力）,物体每一微小部分地球引力的
合力。
物体每一微小部分地球引力,构成一汇交力系，
汇交点为地球中心。近似为一 空间平行力系 。
重心,物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点 C 。
iP?
P
空间平行力系的中心 ——几何点
重心 C ——唯一性
二、重心位置的确定
1,一般计算公式
)( ?? iPP ?
设合力 P的作用点位置坐标为,xC,yC,zC, 由合力矩定理得：
)()( ?? iyy MM PP ? ?? iic PxPx ?
P
Pxx ii
c
?? ?
P
Pyy ii
c
?? ?,
P
Pzz ii
c
?? ?,
重心坐标 的一般计算公式,P为物体的总重量。
设,MgPgmP
ii ??,??
iP?
P
其中 Mm
i,?
分别
为微元体的质量和物体的总质量,g 为重力加速度。
则有：
M
mx
Mg
gmx
P
Pxx iiiiii
c
??? ??? ???
M
mxx ii
c
?? ?
M
myy ii
c
?? ?
M
mzz ii
c
?? ?
物体 质心坐标 的一般计算公式。
可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。
重心与质心的区别 重心：仅在重力场中存在。
质心：任何地方都存在。
2,均质物体的重心坐标积分计算
设物体内一点容重为,常数?? —— 单位体积的重量 （ N/m3），
则有,VPVP
i ???? ????,
ΔV,V 分别为微元体和物体的体积。
V
Vx
V
Vx
P
Pxx iiiiii
c
??? ??? ?
?
???
V
Vyy ii
c
?? ?
V
Vzz ii
c
?? ?
V
Vxx ii
c
?? ?
均质物体的重心位于 物体的几何形心 。
上式可表示为：
V
y d V
y Vc ??
V
z d V
z Vc ??
V
x d V
x Vc ??
对平面图形，上式变为：
A
y d A
y Ac ??A
x d A
x Ac ??
注：适用于几何形状规则的物体
3,均质组合形状物体的重心计算
（ 1）对称性法
重心一定在物体的 对称轴、对称面、对称中心 上 。
（ 2）组合法（叠加法）
求图示平面图形的重心。
?
??
??
???
i
iCiCCC
C A
Ax
AAA
AxAxAxx
321
111111
?
??
??
???
i
iCiCCC
C A
Ay
AAA
AyAyAyy
321
111111
（ 3）负面积法
321
111111
AAA
AxAxAxx CCC
C ??
???
321
111111
AAA
AyAyAyy CCC
C ??
???
小问题,如何设计不倒翁？
三,重心确定的实验方法
适用于非均质、形状不规则等一般物体。
（ 1）悬挂法
注：适用于小物体。
（ 2） 称重法
则
有
整理后，得
若汽车左右不对称，如
何测出重心距左（或右）
轮的距离？
例 4-7
求：其重心坐标
已知：均质等厚 Z字型薄板尺寸如图所示。
解,厚度方向重心坐标已确定，
则
用虚线分割如图,为三个小矩形，
其面积与坐标分别为
只求重心的 x,y坐标即可。
mm151 ??x mm451?y 21 3 0 0 mm?A
mm52?x mm302 ?y 22 400 mm?A
mm153?x mm53?y 23 3 0 0 mm?A
mm2
321
332211 ?
??
?????
AAA
xAxAxA
A
xAx ii
C
mm27
321
332211 ?
??
?????
AAA
yAyAyA
A
yAy ii
C
例 4-8
求：其重心坐标。
已知：等厚均质偏心块的
解：用负面积法，
由
而
得
由对称性，有
小圆（半径为 r）面积为 A3，为负值。
小半圆（半径为 r+b）面积为 A2,
为三部分组成,设大半圆面积为 A1，
mmmmmm 13,17,1 0 0 ??? brR
mm01.40
321
332211 ?
??
???
AAA
yAyAyAy
C
