第三章
平面任意力系
引 言
平面任意力系, 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫 ～。
[例 ]
中心内容：力系简化 +平衡方程
平面任意力系实例
§ 3-1 力线平移定理
力的平移定理, 可以把作用在刚体上点 A的力 平行移到任一
点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力 对新作用点 B的矩。F
F
力 F
B d A
F
），力偶（力 FFF ????
B d A
F’
m
? ?FMdFM o???
B d A
FF’
F”
F=F’=F”
FFF ???,,力系
① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力 +力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m与 d有关,m=F?d
③ 力线平移定理是力系简化的理论基础。
说明,
工程应用
§ 3-2 平面任意力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系 +力偶系
（未知力系） （已知力系）
汇交力系 力, R'(主矢 ), (作用在简化中心 )
力 偶 系 力偶, MO (主矩 ), (作用在该平面上 )
O
为任
选点
O
F1
F’3
F’2
F3
F2 F’1
x
y
m1 m2
m3 O x
y R’
Mo
大小,
主矢 方向,
简化中心 (与简化中心位置无关 )
[因主矢等于各力的矢量和 ]
R?
????????? iFFFFR ?321'主矢
?????
????
)()()(
21
321
iOOO
O
FmFmFm
mmmM
?
?主矩
2222 )()(''' ?? ???? YXRRR yx
?
??? ??
X
Y
R
R
x
y 11 t a nt a n?
（ 移动效应 ）
大小,
主矩 MO 方向, 方向规定 + —
简化中心, (与简化中心有关 )
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
)( iOO FmM ??
（ 转动效应 ）
固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一
平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一
力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交
分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,MA为固定端
约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
MA为限制转动。
AF
i
A
RAMA
A XA
MA
YA
§ 3-3 平面任意力系的简化结果 ? 合力矩定理
简化结果,主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。
② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O无关。
R?
① =0,MO =0,则力系平衡,下节专门讨论。R?
R?
③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力 （ 这个力系的合力）,。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
R?
RR ??
R?④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还 可以继续简
化为一个合力 。R
合力 的大小等于原力系的主矢
合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
O O’
R’MO
O O’
R’
O O’
R
d d
R
R”
结论,
)(
1
?
?
? n
i iOO
FmM
)()( 主矩OO MdRRm ???
?
)()(
1
?
?
? n
i
iOO FmRM
平面任意力系的简化结果,①合力偶 MO； ②合力 ;③ 平衡
合力矩定理,由于主矩
而合力对 O点的矩
——— 合力矩定理
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
R
[例 1]已知 平面任意力系如图，,,
求①力系向 O点简化结果,②合力的大小和作用线方程
NF 21 0 01 ? NF 1002 ? NF 503 ?
x
y
(1,2)
(2,-1)
(3,1)
F1
F2
F3
[解 ]
F 1 F 2 F 3 Σ
X 100 100 0 200
Y 100 0 -50 50
m o (F) -100 -100 -100 -300
? 力系向 O点简化的结果为
NjiR 502 0 0' ??主矢
? ? mmNFm o ??? 3 0 0主矩
? NR 1750502 0 0 22 ???合力大小为
? ?;6
50
3 0 0 mm
Y
Fm
x
i
io ?????
?
?
设合力与 x轴交点为 (x,0),合力与 y轴交点为 (0,y),则
mmy 5.1200300 ????
R
§ 3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即：
0)()(' 22 ??? ?? YXR
0)( ?? ? iOO FmM
R?
0?? X
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
② 二矩式
条件,x 轴不 AB
连线
?
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
0)( ?? iC Fm
③ 三矩式
条件,A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
0?? X
0??Y
0)( ?? iO Fm
① 一矩式
[例 ] 已知,P,a,求,A,B两点的支座反力？
解：①选 AB梁研究
②画受力图
0)( ?? iA Fm由
3
2,032 PNaNaP
BB ???????
0?? X
0?AX
0?? Y 3,0 PYPNY ABA ?????
P
A B2a a
YA
XA
NB
设有 F1,F2 … Fn 各平行力系，
?
???
F
xF
R
Mx iiO
R '
??? FRR O '主矢
?? ?? iiiOO xFFmM )(主矩
§ 3-5 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～。
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
向 O点简化得：
合力作用线的位置为：
R?
平衡的充要条件为
主矢 =0 主矩 MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
二矩式
条件,AB连线不能平行
于力的作用线
0?? Y
0)( ?? iO Fm
一矩式
实质上是各力在 x 轴上的投影
恒等于零，即 恒
成立,所以只有两个独立方程，
只能求解两个独立的未知数。
0??X
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
分布载荷 q(x)的合力大小及作用线
q(x)
x
y
O
dx
x
a b
图形面积?? ? ba dxxqR )(
? ?
? ?
图形形心??
?
?
b
a
b
a
R
dxxq
xd xxq
x
R
xR
O
q
l
R
l/2 q
l
2l/3
R
qlR ?
2
qlR ?
0,0 ??? AXX由
02
2; 0)(
????????
??
aPmaaqaR
Fm
B
A
0??Y 0????? PqaRY
BA
)kN(122028.0162 8.02022 ??????????? PamqaR B
)kN(24128.02020 ???????? BA RqaPY
[例 ] 已知,P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m
求,A,B的支反力。
解：研究 AB梁
解得：
[例 ] 已知：塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不
致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？
? ? 0)( Fm B
0)22()212(2)26( ???????? ANWPQ
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得
解, ⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0 由 ? ?0)( Fm A 0)22(2)26( ?????? BNPQ
限制条件 为,0?BN 解得 kN 3 5 0?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 ?? Q
04)212(2)26( ???????? BNWPQ? ?0)(Fm A
,0? ?iF 0?????? BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
?
?
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
§ 3-6 静定与静不定问题的概念 ? 物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立
未知数。
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
0?? X
0??Y
? ?0im
0?? X
0??Y
0)( ?? iO Fm
力偶系
平面
任意力系
当,独立方程数目 =未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目 <未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例 ]
静不定问题在强度力学 （ 材力,结力,弹力）中用位移
谐调条件来求解 。
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
[例 ]
二、物体系统的平衡问题
外力,外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物体系统（ 物系 ）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 ～。
物系平衡的特点：
①物系静止
②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3个
平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中
有 n个物体）
解物系问题的一般方法：
由整体 局部 （常用）,由局部 整体 （用较少）
解, 选整体研究
受力如图
选坐标、取矩点,Bxy,B点
列方程为,
解方程得
①
②
③
④
? ? 0X ;0?BX
0?? Bm 0??? DEPM B
)mN(100011000 ????BM
? ? 0Y ;0?? PY B PYB ?
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
受力如图
取 E为矩心，列方程
解方程求未知数
045s i n,0 ???????? EDPCESm oCAE
①
②
③
④
)N(1 41 417 07.0 11 00 045s i n ?????????? CEEDPS oCA
再研究 CD杆
[例 3] 已知,F各杆重量不计。
求,A,B和 D约束反力？
? ? 0?? FM c由
02 ??? aY B
0?? BY
解,以整体为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0?? Y由
0??? FYY BC
FY C ??
0?? X由 0?? BC XX (求不出 XB)
我们已经求出 YB,下一步应选取谁做为研究对象呢
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
(三个未知数 )
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
(五个未知数 )
C
A
E
XC Y
C
X’A
Y’A
N’E
(四个未知数 )
? ? 0?? FM E由
0???? aFaY D
FY D ??
以 DEF为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
02 ???? aFaX D
FX D 2??
(可以求出 NE)
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
? ? 0?? FM B由
? ? 0?? FM A由
02 ???? aXaX BD
FXX DB ????? 21
以 ADB为研究对象
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0??? BAD XXX
FXXX DBA ??????
0?? X由
0?? Y由
0??? BAD YYY
FYYY DBA ??????
[例 4] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重
求,A,B和 D点的反力 （看出未知数多余三个，不能先整
体求出，要拆开）
0?? Fm由
0512 ?????? PQY G
)kN(502 10550 ????? GY
解, ① 研究起重机
? ? 0Cm由
016 ' ???? GD YY
)kN(33.8650 ??? DY
0610123,0 ?????????? QPYYm DBA )kN(100?? BY
0,0 ??????? PQYYYY DBA )kN(33.48??? Y
③
再
研
究
整
体
② 再研究梁 CD
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统 —— 桁架
§ 3-7 平面简单桁架的内力分析
工
程
中
的
桁
架
结
构
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
桁架,由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
(a)
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型
( 基本三角形 )
三角形有稳定性
(b)
工程力学中常见的桁架简化计算模型
,0?? X 0?BX
,0)( ?? Fm A
,0)( ?? Fm B
024 ?? PY B
042 ?? ANP
kN 5,0 ???? BAB YNX
解, ① 研究整体，求支座反力
一、节点法 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？[例 ]
② 依次取 A,C,D节点研究，计算各杆内力。
0?? X 030c o s 012 ?? SS
0??Y 030s i n 01 ?? SN A
)(kN10,kN66.8 12 表示杆受压解得 ??? SS
0?? X
0??Y
030c o s'30c o s 0104 ?? SS
030s i n30s i n' 04013 ???? SSS
1'1 SS ?代入
kN 10,kN 10, 43 ??? SS解得
kN 66.75 ?S解得
0?? X 0'25 ?? SS
后代入 2'2 SS ?
节点 D的另一个方程可用来校核计算结果
0??Y 0,'3 ?? SP
,kN 10'3 ? 解得 S
恰与 相等,计算准确无误。3S
解, 研究整体求支反力
0?? X 0?AX
0?? BM
023 ??????? aPaPaY
PY A ??
①
0?? ?Am由 04 ????? aYhS A
hPaS ??? 4
0??Y 0s in
5 ???? PSY A ?
05?S
0?? X 0co s 456 ????? AXSSS ?
hPaS ?6
二、截面法 [例 ] 已知：如图,h,a,P
求,4,5,6杆的内力。
② 选截面 I-I,取左半部研究
I
I
A'
说明, 节点法：用于设计，计算全部杆内力
截面法：用于校核，计算部分杆内力
先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
三杆节点无载荷、其中两杆在
一条直线上，另一杆必为零杆
21 SS ??且四杆节点无载荷、其中两两在
一条直线上，同一直线上两杆
内力等值、同性。
21 SS ??
43 SS ??
两杆节点无载荷、且两杆不在
一条直线上时，该两杆是零杆。
三、特殊杆件的内力判断
021 ?? SS
①
②
③
[例 ] 已知 P d,求,a.b.c.d四杆的内力？
解,由零杆判式
0??? adc SSS
研究 A点：
? ? 0Y由
045c o s ??? PS ob
PS b 2?
平面任意力系小结
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' ?? OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm ?
?
?;0,0;0,0 '' ???? OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' ?? OMR② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果
一矩式 二矩式 三矩式
三、
? ?
? ?
? ?
0)(
0
0
Fm
Y
X
O ? ?
? ?
? ?
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴?
? ?
? ?
? ?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
Fm
C
B
A
A,B,C不共线
平面一般力系的平衡方程
平面平行力系的平衡方程
成为恒等式
一矩式 二矩式
? ? 0X?
0)(
0
??
??
Fm
Y
A 0)(
0)(
?
?
?
?
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线
平面汇交力系的平衡方程
成为恒等式 0)( ?? Fm A? ?
?
?
?
?
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0?? im
四、静定与静不定
独立方程数 = 未知力数目 — 为静定
独立方程数 < 未知力数目 — 为静不定
五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体
六、解题步骤与技巧
解题步骤 解题技巧
选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
?
七、注意问题
力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
八、选研究对象技巧
画整体受力图；若只有三个未知数（或有二
个未知数可以求解出来）则首先以整体为研究
对象
画每个局部的受力图；优先以只有三个未知
数的局部为研究对象
①
②
[例 ] 已知,P=100N,AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且 AB水平,ED铅垂,BD垂直于
斜面； 求?和支座反力？
解, 研究整体
画受力图
选坐标列方程
?BDS
02.15.2,0 ??????? PYm AB
0s i nc o ss i n,0' ???????? ??? PYXX AA
5
3
2
2.1 c o s ;
5
4
2
6.1 s i n ??????
AD
CD
AD
AC ??而
N48 ;N1 3 6, ???? AA YX解得
再研究 AB杆，受力如图
0s i n,0 ???????? ACYCBSm ABC ?由
N7.106
5
49.0
6.1)48(
s i n,??
???
?
??
?BC
ACYS A
B解得
[例 ] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P时，
求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
0?? X由
0s in ??? ?BSN
0??Y
0c o s ??? ?BSP
?? gPNPS B t,c o s ???
解,研究 B
0)( ?? Fm O
0c os ???? MRS A ?
0?? X
0s in ??? ?AO SX
0?? Y
0c o s ??? OA YS ?
PRM ?? PY
O ??? t gPX O ??
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
[例 ] 已知,F=40kN,各杆重量不计，尺寸如图
求,铰链 A,B,C处受力？
解,首先找研究对象
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
A
B
C
F
F
D
E
XA
YA
XF
YF
XA
YA
SBE
SCD
S’BE
S‘CD
XF
YF
四个未知数 四个未知数 四个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m A
B
C
F
XA
YA
XF
YF X
A
YA
SBE
SCD
二个未知数
二个方程
解得
? ? 0?? FM F 0222 ?????? FYX AA
以整体为研究对象
? ? 0?? FM G 0246 ?????? FYX AA
再 以 ABC为研究对象
G
FX A 3??
FY A 4??
A
B
C
F
XA
YA
SBE
SCD
0?? Y 045s i n ???? ABE YS
已经求出
G
FX A 3?? FY A 4??
再 以 ABC为研究对象
FYS ABE 242 ?????
0?? X
045c o s ?????? FXSS ABECD
FS CD 2???
能不能找到合适的研究对象，使一个方程只有一个未知数？
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
F
D
E
XA
YA
XF
YF
四个未知数
三个未知数
二个方程 三个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
S’BE
S‘CD G
NF
XA
YA
G
NF
[练习 ] 已知,P=1000N,各杆单位长度重量为 30N/m，尺寸如图
求,A,B,C处约束反力？
解,首先把各杆重量表示出来
3m
3m
4m
P
2m
A
B
C
D
P
C
D180N
180N
150N
XA
YA
MA
A
B
C
180NY’C
X’C XD
YD
180N
YCXC
XA
YA
MA
YB
XB
整体 XA,YA,MA CD YC,CA XC,XB,YB
[练习 ] 已知,AB=r,F,?，不计磨擦
求,M和 ?的关系？
解,首先画受力图
AB NA~F
OA M~NA
M ?
?` F
A
BO
C D
YO
XO
NC ND
O
AMYO
XO
NA
?
F
C D
B
A
NC ND
N’A
平面任意力系
引 言
平面任意力系, 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫 ～。
[例 ]
中心内容：力系简化 +平衡方程
平面任意力系实例
§ 3-1 力线平移定理
力的平移定理, 可以把作用在刚体上点 A的力 平行移到任一
点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力 对新作用点 B的矩。F
F
力 F
B d A
F
），力偶（力 FFF ????
B d A
F’
m
? ?FMdFM o???
B d A
FF’
F”
F=F’=F”
FFF ???,,力系
① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力 +力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m与 d有关,m=F?d
③ 力线平移定理是力系简化的理论基础。
说明,
工程应用
§ 3-2 平面任意力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系 +力偶系
（未知力系） （已知力系）
汇交力系 力, R'(主矢 ), (作用在简化中心 )
力 偶 系 力偶, MO (主矩 ), (作用在该平面上 )
O
为任
选点
O
F1
F’3
F’2
F3
F2 F’1
x
y
m1 m2
m3 O x
y R’
Mo
大小,
主矢 方向,
简化中心 (与简化中心位置无关 )
[因主矢等于各力的矢量和 ]
R?
????????? iFFFFR ?321'主矢
?????
????
)()()(
21
321
iOOO
O
FmFmFm
mmmM
?
?主矩
2222 )()(''' ?? ???? YXRRR yx
?
??? ??
X
Y
R
R
x
y 11 t a nt a n?
（ 移动效应 ）
大小,
主矩 MO 方向, 方向规定 + —
简化中心, (与简化中心有关 )
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
)( iOO FmM ??
（ 转动效应 ）
固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一
平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一
力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交
分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,MA为固定端
约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
MA为限制转动。
AF
i
A
RAMA
A XA
MA
YA
§ 3-3 平面任意力系的简化结果 ? 合力矩定理
简化结果,主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。
② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O无关。
R?
① =0,MO =0,则力系平衡,下节专门讨论。R?
R?
③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力 （ 这个力系的合力）,。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
R?
RR ??
R?④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还 可以继续简
化为一个合力 。R
合力 的大小等于原力系的主矢
合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
O O’
R’MO
O O’
R’
O O’
R
d d
R
R”
结论,
)(
1
?
?
? n
i iOO
FmM
)()( 主矩OO MdRRm ???
?
)()(
1
?
?
? n
i
iOO FmRM
平面任意力系的简化结果,①合力偶 MO； ②合力 ;③ 平衡
合力矩定理,由于主矩
而合力对 O点的矩
——— 合力矩定理
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
R
[例 1]已知 平面任意力系如图，,,
求①力系向 O点简化结果,②合力的大小和作用线方程
NF 21 0 01 ? NF 1002 ? NF 503 ?
x
y
(1,2)
(2,-1)
(3,1)
F1
F2
F3
[解 ]
F 1 F 2 F 3 Σ
X 100 100 0 200
Y 100 0 -50 50
m o (F) -100 -100 -100 -300
? 力系向 O点简化的结果为
NjiR 502 0 0' ??主矢
? ? mmNFm o ??? 3 0 0主矩
? NR 1750502 0 0 22 ???合力大小为
? ?;6
50
3 0 0 mm
Y
Fm
x
i
io ?????
?
?
设合力与 x轴交点为 (x,0),合力与 y轴交点为 (0,y),则
mmy 5.1200300 ????
R
§ 3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即：
0)()(' 22 ??? ?? YXR
0)( ?? ? iOO FmM
R?
0?? X
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
② 二矩式
条件,x 轴不 AB
连线
?
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
0)( ?? iC Fm
③ 三矩式
条件,A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
0?? X
0??Y
0)( ?? iO Fm
① 一矩式
[例 ] 已知,P,a,求,A,B两点的支座反力？
解：①选 AB梁研究
②画受力图
0)( ?? iA Fm由
3
2,032 PNaNaP
BB ???????
0?? X
0?AX
0?? Y 3,0 PYPNY ABA ?????
P
A B2a a
YA
XA
NB
设有 F1,F2 … Fn 各平行力系，
?
???
F
xF
R
Mx iiO
R '
??? FRR O '主矢
?? ?? iiiOO xFFmM )(主矩
§ 3-5 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～。
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
向 O点简化得：
合力作用线的位置为：
R?
平衡的充要条件为
主矢 =0 主矩 MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
二矩式
条件,AB连线不能平行
于力的作用线
0?? Y
0)( ?? iO Fm
一矩式
实质上是各力在 x 轴上的投影
恒等于零，即 恒
成立,所以只有两个独立方程，
只能求解两个独立的未知数。
0??X
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
分布载荷 q(x)的合力大小及作用线
q(x)
x
y
O
dx
x
a b
图形面积?? ? ba dxxqR )(
? ?
? ?
图形形心??
?
?
b
a
b
a
R
dxxq
xd xxq
x
R
xR
O
q
l
R
l/2 q
l
2l/3
R
qlR ?
2
qlR ?
0,0 ??? AXX由
02
2; 0)(
????????
??
aPmaaqaR
Fm
B
A
0??Y 0????? PqaRY
BA
)kN(122028.0162 8.02022 ??????????? PamqaR B
)kN(24128.02020 ???????? BA RqaPY
[例 ] 已知,P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m
求,A,B的支反力。
解：研究 AB梁
解得：
[例 ] 已知：塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不
致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？
? ? 0)( Fm B
0)22()212(2)26( ???????? ANWPQ
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得
解, ⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0 由 ? ?0)( Fm A 0)22(2)26( ?????? BNPQ
限制条件 为,0?BN 解得 kN 3 5 0?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 ?? Q
04)212(2)26( ???????? BNWPQ? ?0)(Fm A
,0? ?iF 0?????? BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
?
?
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
§ 3-6 静定与静不定问题的概念 ? 物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立
未知数。
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
0?? X
0??Y
? ?0im
0?? X
0??Y
0)( ?? iO Fm
力偶系
平面
任意力系
当,独立方程数目 =未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目 <未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例 ]
静不定问题在强度力学 （ 材力,结力,弹力）中用位移
谐调条件来求解 。
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
[例 ]
二、物体系统的平衡问题
外力,外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物体系统（ 物系 ）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 ～。
物系平衡的特点：
①物系静止
②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3个
平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中
有 n个物体）
解物系问题的一般方法：
由整体 局部 （常用）,由局部 整体 （用较少）
解, 选整体研究
受力如图
选坐标、取矩点,Bxy,B点
列方程为,
解方程得
①
②
③
④
? ? 0X ;0?BX
0?? Bm 0??? DEPM B
)mN(100011000 ????BM
? ? 0Y ;0?? PY B PYB ?
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
受力如图
取 E为矩心，列方程
解方程求未知数
045s i n,0 ???????? EDPCESm oCAE
①
②
③
④
)N(1 41 417 07.0 11 00 045s i n ?????????? CEEDPS oCA
再研究 CD杆
[例 3] 已知,F各杆重量不计。
求,A,B和 D约束反力？
? ? 0?? FM c由
02 ??? aY B
0?? BY
解,以整体为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0?? Y由
0??? FYY BC
FY C ??
0?? X由 0?? BC XX (求不出 XB)
我们已经求出 YB,下一步应选取谁做为研究对象呢
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
(三个未知数 )
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
(五个未知数 )
C
A
E
XC Y
C
X’A
Y’A
N’E
(四个未知数 )
? ? 0?? FM E由
0???? aFaY D
FY D ??
以 DEF为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
02 ???? aFaX D
FX D 2??
(可以求出 NE)
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
? ? 0?? FM B由
? ? 0?? FM A由
02 ???? aXaX BD
FXX DB ????? 21
以 ADB为研究对象
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0??? BAD XXX
FXXX DBA ??????
0?? X由
0?? Y由
0??? BAD YYY
FYYY DBA ??????
[例 4] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重
求,A,B和 D点的反力 （看出未知数多余三个，不能先整
体求出，要拆开）
0?? Fm由
0512 ?????? PQY G
)kN(502 10550 ????? GY
解, ① 研究起重机
? ? 0Cm由
016 ' ???? GD YY
)kN(33.8650 ??? DY
0610123,0 ?????????? QPYYm DBA )kN(100?? BY
0,0 ??????? PQYYYY DBA )kN(33.48??? Y
③
再
研
究
整
体
② 再研究梁 CD
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统 —— 桁架
§ 3-7 平面简单桁架的内力分析
工
程
中
的
桁
架
结
构
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
桁架,由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
(a)
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型
( 基本三角形 )
三角形有稳定性
(b)
工程力学中常见的桁架简化计算模型
,0?? X 0?BX
,0)( ?? Fm A
,0)( ?? Fm B
024 ?? PY B
042 ?? ANP
kN 5,0 ???? BAB YNX
解, ① 研究整体，求支座反力
一、节点法 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？[例 ]
② 依次取 A,C,D节点研究，计算各杆内力。
0?? X 030c o s 012 ?? SS
0??Y 030s i n 01 ?? SN A
)(kN10,kN66.8 12 表示杆受压解得 ??? SS
0?? X
0??Y
030c o s'30c o s 0104 ?? SS
030s i n30s i n' 04013 ???? SSS
1'1 SS ?代入
kN 10,kN 10, 43 ??? SS解得
kN 66.75 ?S解得
0?? X 0'25 ?? SS
后代入 2'2 SS ?
节点 D的另一个方程可用来校核计算结果
0??Y 0,'3 ?? SP
,kN 10'3 ? 解得 S
恰与 相等,计算准确无误。3S
解, 研究整体求支反力
0?? X 0?AX
0?? BM
023 ??????? aPaPaY
PY A ??
①
0?? ?Am由 04 ????? aYhS A
hPaS ??? 4
0??Y 0s in
5 ???? PSY A ?
05?S
0?? X 0co s 456 ????? AXSSS ?
hPaS ?6
二、截面法 [例 ] 已知：如图,h,a,P
求,4,5,6杆的内力。
② 选截面 I-I,取左半部研究
I
I
A'
说明, 节点法：用于设计，计算全部杆内力
截面法：用于校核，计算部分杆内力
先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
三杆节点无载荷、其中两杆在
一条直线上，另一杆必为零杆
21 SS ??且四杆节点无载荷、其中两两在
一条直线上，同一直线上两杆
内力等值、同性。
21 SS ??
43 SS ??
两杆节点无载荷、且两杆不在
一条直线上时，该两杆是零杆。
三、特殊杆件的内力判断
021 ?? SS
①
②
③
[例 ] 已知 P d,求,a.b.c.d四杆的内力？
解,由零杆判式
0??? adc SSS
研究 A点：
? ? 0Y由
045c o s ??? PS ob
PS b 2?
平面任意力系小结
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' ?? OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm ?
?
?;0,0;0,0 '' ???? OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' ?? OMR② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果
一矩式 二矩式 三矩式
三、
? ?
? ?
? ?
0)(
0
0
Fm
Y
X
O ? ?
? ?
? ?
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴?
? ?
? ?
? ?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
Fm
C
B
A
A,B,C不共线
平面一般力系的平衡方程
平面平行力系的平衡方程
成为恒等式
一矩式 二矩式
? ? 0X?
0)(
0
??
??
Fm
Y
A 0)(
0)(
?
?
?
?
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线
平面汇交力系的平衡方程
成为恒等式 0)( ?? Fm A? ?
?
?
?
?
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0?? im
四、静定与静不定
独立方程数 = 未知力数目 — 为静定
独立方程数 < 未知力数目 — 为静不定
五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体
六、解题步骤与技巧
解题步骤 解题技巧
选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
?
七、注意问题
力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
八、选研究对象技巧
画整体受力图；若只有三个未知数（或有二
个未知数可以求解出来）则首先以整体为研究
对象
画每个局部的受力图；优先以只有三个未知
数的局部为研究对象
①
②
[例 ] 已知,P=100N,AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且 AB水平,ED铅垂,BD垂直于
斜面； 求?和支座反力？
解, 研究整体
画受力图
选坐标列方程
?BDS
02.15.2,0 ??????? PYm AB
0s i nc o ss i n,0' ???????? ??? PYXX AA
5
3
2
2.1 c o s ;
5
4
2
6.1 s i n ??????
AD
CD
AD
AC ??而
N48 ;N1 3 6, ???? AA YX解得
再研究 AB杆，受力如图
0s i n,0 ???????? ACYCBSm ABC ?由
N7.106
5
49.0
6.1)48(
s i n,??
???
?
??
?BC
ACYS A
B解得
[例 ] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P时，
求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
0?? X由
0s in ??? ?BSN
0??Y
0c o s ??? ?BSP
?? gPNPS B t,c o s ???
解,研究 B
0)( ?? Fm O
0c os ???? MRS A ?
0?? X
0s in ??? ?AO SX
0?? Y
0c o s ??? OA YS ?
PRM ?? PY
O ??? t gPX O ??
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
[例 ] 已知,F=40kN,各杆重量不计，尺寸如图
求,铰链 A,B,C处受力？
解,首先找研究对象
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
A
B
C
F
F
D
E
XA
YA
XF
YF
XA
YA
SBE
SCD
S’BE
S‘CD
XF
YF
四个未知数 四个未知数 四个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m A
B
C
F
XA
YA
XF
YF X
A
YA
SBE
SCD
二个未知数
二个方程
解得
? ? 0?? FM F 0222 ?????? FYX AA
以整体为研究对象
? ? 0?? FM G 0246 ?????? FYX AA
再 以 ABC为研究对象
G
FX A 3??
FY A 4??
A
B
C
F
XA
YA
SBE
SCD
0?? Y 045s i n ???? ABE YS
已经求出
G
FX A 3?? FY A 4??
再 以 ABC为研究对象
FYS ABE 242 ?????
0?? X
045c o s ?????? FXSS ABECD
FS CD 2???
能不能找到合适的研究对象，使一个方程只有一个未知数？
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
F
D
E
XA
YA
XF
YF
四个未知数
三个未知数
二个方程 三个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
S’BE
S‘CD G
NF
XA
YA
G
NF
[练习 ] 已知,P=1000N,各杆单位长度重量为 30N/m，尺寸如图
求,A,B,C处约束反力？
解,首先把各杆重量表示出来
3m
3m
4m
P
2m
A
B
C
D
P
C
D180N
180N
150N
XA
YA
MA
A
B
C
180NY’C
X’C XD
YD
180N
YCXC
XA
YA
MA
YB
XB
整体 XA,YA,MA CD YC,CA XC,XB,YB
[练习 ] 已知,AB=r,F,?，不计磨擦
求,M和 ?的关系？
解,首先画受力图
AB NA~F
OA M~NA
M ?
?` F
A
BO
C D
YO
XO
NC ND
O
AMYO
XO
NA
?
F
C D
B
A
NC ND
N’A
