第十四章
达朗贝尔原理
（动静法）
§ 14-1 惯性力、质点的达朗贝尔原理
一、惯性力
由牛顿第二定律：
NFFam ??
? ? 0???? amFF N
引入记号
amF I ??
x
y
z
F
NF R
F
a
IF
M
二、质点的达朗贝尔原理
将惯性力引入牛顿第二定律中得：
0??? IN FFF
－－质点的达朗贝尔原理
即：质点在主动力，约束反力和虚拟的惯性力的共同
作用下处于平衡状态。
惯性力,是一个虚拟的、作用于质点上的力。大小等
于质点的质量与质点加速度的乘积；方向与
质点加速度方向相反（即上式中的负号仅表
示方向相反）。
IF
－－称为质点的惯性力
例 14－ 1：单摆的摆长为 l，摆锤质量为 m，求其摆的
运动微分方程及绳子的张力。
1、受力分析及运动分析；重点分析质点的加速度
解：
2,??
?
??? lala
n ??
2,??
? ??? mlFmlF InI ??
TF
P
InF
τIF
na ?a?
2、根据加速度分析加惯性
力；方向如图示，大小为：
3、由达朗贝尔定理列平衡方程得：
0s in0 ???? ??? mgFF I
0c o s0 ????? TInn FmgFF ?
0s in ??? ??
l
g??
2c o sc o s ??? ?mlPFPF
InT ????
－－单摆的运动微分方程
－－绳子的张力
§ 14-2 质点系中的达朗贝尔原理
由质点的达朗贝尔原理：
0??? IiNii FFF
对于质点系中的质点，所受主动力、约束力实际上就
是外力、内力。故上式可写为：
? ? ? ? 0???
Ii
i
i
e
i FFF
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 0
0000 Ii
i
i
e
i FMFMFMM
? ? ? ?? ?? ???? 0
Ii
i
i
e
iR FFFF
? ? ? ?? ?? ? ??,0,0
0
i
i
i
i FMF
因
对于质点系的内力系、外力系、惯性力系也构成平
衡力系；简化后，其主矢、以及主矢对任一点之矩
的主矩为：
即：作用在质点系上的外力和虚加在每个质点上的
惯性力，在形式上构成平衡力系
? ?
? ?? ? ? ? ?
?
?
?
?
??
???
? ?
??
0
0
00 Ii
e
i
Ii
e
i
FMFM
FF
—— 质点系的达朗贝尔原理
§ 14-3 惯性力系的简化
一、平移刚体
以质心为简化点
二、定轴转动刚体
CiiIiIR amamFF ???? ??
0?ICM
刚体上某质点的加速度及对应惯性力为：
2,???
i
n
iii rara ??
?
?
O
2?
ii
n
ii
n
Ii rmamF ??
??? iiiiIi rmamF ??
?
ia
n
ia
n
IiF
?
IiF
刚体上各质点的惯性力向
转动中心简化为：
??? ?
CiiiiIR amrmamF ???? ??
n
Cii
n
ii
n
IR amrmamF ???? ??
2?
? ? ? ?
? ? ??
?
Oii
n
IiOIiOIO
Jrm
FMFMM
???
??
?
??
0
?
?
O
?
ia
n
ia
n
IiF
?
IiF
C
n
IRF
?
IRF
IOM
即：向转动轴简化后的结
果为：
??
CIR maF ?
n
C
n
IR maF ?
?OIO JM ?
若向质心简化，其结
果为：
?
?
O
?
ia
n
ia
n
IiF
?
IiF
C
n
IRF
?
IRF
ICM??
CIR maF ?
n
C
n
IR maF ?
?CIC JM ?
即：简化中心从 O点移到 C
点，主矢不变，主矩变化。
??CJ
刚体对质心的转动惯量
三、平面运动刚体
平面运动刚体的惯性力系可简化为堆成平面内的平
面力系。
平面运动刚体的运动可分解为：
随质心 C（基点）的平移
相对质心 C（基点）的转动
则简化结果为：
CIR amF ??
?CIC JM ??
?
C
Ca
IRF
ICM
例 14－ 2：平板 ABCD重 P，质心在 O点，如图示的三
个点处用三根绳挂于铅锤平面内。
求：单 C处绳突然剪断的瞬间，求二绳的张力。
C
AB
D
O1 O2
?60
a
b
P
解：
（ 1）确定研究对象
选取平板 ABCD为研
究对象
（ 2）加速度分析、
受力分析
平板作平移，但质心
点在开始的瞬时的运
动为圆周运动，加速
度如图示：
C
AB
D
O
?
Oa
n
Oa
根据质心加速度加惯
性力：
n
IF
?IF
???
ooI a
g
PamF ????
0??? nonI amF
加约束力和主动力
2T
1T
P
C
AB
D
O
2T
1T
Pn
IF
?IF
（ 3）建坐标，由达朗贝尔
原理列平衡方程求解
060c o s0 ????? PFF Ix ?
060s in0 21 ??????? PFTTF nIy
x
y
? ?
060co s
2
60s i n
22
60s i n0
2
???
??????
b
F
b
F
b
PbTFM
I
IO
?
?
解得：
1T 2T
例 14－ 3：均质杆 OA重 W，长为 l，立于图示位置，
受微小干扰后从静止开始倒下。
求：杆此时的角加速度,O点的约束力
O
?30
A
解：
（ 1）杆作定轴转动，研究
其质心加速度
O
?30
A
C
?
Ca
n
Ca
,
2
?
?? l
g
Wa
g
WF
CI ????
（ 2）根据质心加速度加惯
性力
0??? nCnI a
g
WF
?
?
IM
n
IF
?
IF
?CI JM ?
??
2
la
C ?
02 2 ?? ?la nC
A
C IM
n
IF
?
IF
oxF
oyF W
（ 3）进行受力分析，根据达
朗贝尔原理，列平衡方程
030c o s0 ????? ?IOxx FFF
030s in0 ?????? ?IOyy FWFF
? ? 030s i n
22
0 ?????? lWlFMFM IIO ?
,OxF,OyF ?? ?IF
解上式可求得：
达朗贝尔原理
（动静法）
§ 14-1 惯性力、质点的达朗贝尔原理
一、惯性力
由牛顿第二定律：
NFFam ??
? ? 0???? amFF N
引入记号
amF I ??
x
y
z
F
NF R
F
a
IF
M
二、质点的达朗贝尔原理
将惯性力引入牛顿第二定律中得：
0??? IN FFF
－－质点的达朗贝尔原理
即：质点在主动力，约束反力和虚拟的惯性力的共同
作用下处于平衡状态。
惯性力,是一个虚拟的、作用于质点上的力。大小等
于质点的质量与质点加速度的乘积；方向与
质点加速度方向相反（即上式中的负号仅表
示方向相反）。
IF
－－称为质点的惯性力
例 14－ 1：单摆的摆长为 l，摆锤质量为 m，求其摆的
运动微分方程及绳子的张力。
1、受力分析及运动分析；重点分析质点的加速度
解：
2,??
?
??? lala
n ??
2,??
? ??? mlFmlF InI ??
TF
P
InF
τIF
na ?a?
2、根据加速度分析加惯性
力；方向如图示，大小为：
3、由达朗贝尔定理列平衡方程得：
0s in0 ???? ??? mgFF I
0c o s0 ????? TInn FmgFF ?
0s in ??? ??
l
g??
2c o sc o s ??? ?mlPFPF
InT ????
－－单摆的运动微分方程
－－绳子的张力
§ 14-2 质点系中的达朗贝尔原理
由质点的达朗贝尔原理：
0??? IiNii FFF
对于质点系中的质点，所受主动力、约束力实际上就
是外力、内力。故上式可写为：
? ? ? ? 0???
Ii
i
i
e
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0000 Ii
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i
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因
对于质点系的内力系、外力系、惯性力系也构成平
衡力系；简化后，其主矢、以及主矢对任一点之矩
的主矩为：
即：作用在质点系上的外力和虚加在每个质点上的
惯性力，在形式上构成平衡力系
? ?
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?
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???
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0
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i
Ii
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—— 质点系的达朗贝尔原理
§ 14-3 惯性力系的简化
一、平移刚体
以质心为简化点
二、定轴转动刚体
CiiIiIR amamFF ???? ??
0?ICM
刚体上某质点的加速度及对应惯性力为：
2,???
i
n
iii rara ??
?
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O
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ii
n
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刚体上各质点的惯性力向
转动中心简化为：
??? ?
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即：向转动轴简化后的结
果为：
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若向质心简化，其结
果为：
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C
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CIR maF ?
n
C
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IR maF ?
?CIC JM ?
即：简化中心从 O点移到 C
点，主矢不变，主矩变化。
??CJ
刚体对质心的转动惯量
三、平面运动刚体
平面运动刚体的惯性力系可简化为堆成平面内的平
面力系。
平面运动刚体的运动可分解为：
随质心 C（基点）的平移
相对质心 C（基点）的转动
则简化结果为：
CIR amF ??
?CIC JM ??
?
C
Ca
IRF
ICM
例 14－ 2：平板 ABCD重 P，质心在 O点，如图示的三
个点处用三根绳挂于铅锤平面内。
求：单 C处绳突然剪断的瞬间，求二绳的张力。
C
AB
D
O1 O2
?60
a
b
P
解：
（ 1）确定研究对象
选取平板 ABCD为研
究对象
（ 2）加速度分析、
受力分析
平板作平移，但质心
点在开始的瞬时的运
动为圆周运动，加速
度如图示：
C
AB
D
O
?
Oa
n
Oa
根据质心加速度加惯
性力：
n
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加约束力和主动力
2T
1T
P
C
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2T
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IF
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（ 3）建坐标，由达朗贝尔
原理列平衡方程求解
060c o s0 ????? PFF Ix ?
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I
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解得：
1T 2T
例 14－ 3：均质杆 OA重 W，长为 l，立于图示位置，
受微小干扰后从静止开始倒下。
求：杆此时的角加速度,O点的约束力
O
?30
A
解：
（ 1）杆作定轴转动，研究
其质心加速度
O
?30
A
C
?
Ca
n
Ca
,
2
?
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（ 2）根据质心加速度加惯
性力
0??? nCnI a
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C ?
02 2 ?? ?la nC
A
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（ 3）进行受力分析，根据达
朗贝尔原理，列平衡方程
030c o s0 ????? ?IOxx FFF
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22
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解上式可求得：
