§ 11-8 磁场对载流导线的作用
1,安培定律
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?F?
?
F?
LF?
v?
HF?
I
设导线中每个自由电子以平均速度向右作定向
运动，则每个自由电子在洛伦兹力的作用下以圆周
运动的方式作侧向漂移，结果在导线的下侧堆积负
电荷，上侧堆积正电荷，在上下两侧间形成一横向
?
? ? ? ? ? ? ? ?
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?
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?
F?
LF?
v?
HF?
I
霍耳电场,这电场阻碍自由电子的侧向漂移，当电
场力与洛伦兹力平衡时
BvE H ??? ???
电子便不再作侧向漂移，仍以平均速度 向右作定
向运动，而晶格中的正离子只受到霍耳电场力的作
用。
v?
安培定律
?
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? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
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?
F?
LF?
v?
HF?
I
设导线中单位体积的自由电子数为 n，它等于
导线中单位体积的正离子数。
在电流元 中的正离子数为lI ?d
lnSN dd ?
这些正离子所受霍耳电场的合力的宏
观效应便是电流元在磁场中所受的 安培力
BvNeF ??? ??? dd lBvnSe d??? ??BlI ?? ?? d
安培定律
安培定律
BlIF ??? ?? dd 安培定律的 微分形式
? ?? L BlIF ??? d 安培定律的 积分形式
设直导线长为,通有电流,置于磁感应强
度为 的均匀磁场中，导线与 的夹角为 。Il B? ?B?
l
x
z
F?
B?
? I
安培定律
?? L FF d ??
l lBI
0
s ind ? ?sinIlB?
合力作用在长直导线中点，方向沿 Z轴正向。
在 直 角 坐 标
系中将电流元的
受力沿坐标方向
分解, 再对各个
分量积分 。
? ?? )d(d yZx zByBIF
? ?? )d(d zxy xBzBIF
? ?? )d(d xyz yBxBIF
安培定律
l
x
z
F?
B?
? I
例 11-6 测定磁感应强度常
用的实验装置－磁秤如图所
示,它的一臂下面挂有一矩
形线圈, 宽为 b,长为 l,共
有 N匝, 线圈的下端放在待
测的均匀磁场中, 其平面与
磁感应强度垂直, 当线圈中
通有电流 I时, 线圈受到一
向上的作用力, 使天平失去
平衡, 调节砝码 m使两臂达
到平衡 。 用上述数据求待测
磁场的磁感应强度 。
B
I
安培定律
作用在两侧直边上的力则大小相等, 方向相反,
它们相互抵消 。 当天平恢复平衡时, 这个向上的
安培力恰与调整砝码的重量相等, 由此可得
N B IbF ?
mgN B Ib ?
解 由图可见，线圈的底边上受到安培力,方向
向上，大小为
F
N Ib
mgB ?
故待测磁场的磁感应强度
安培定律
如 N=9匝, b=10.0cm,I=0.10A,加砝码 m=4.40g
才能恢复平衡, 代入上式得
TTB 48.010.010.09 80.91040.4
3
??? ???
－
安培定律
?? ?? yx FjFiF dd ???
例 11-7：在磁感强度为 B的均匀磁场中, 通过一半
径为 R的半圆导线中的电流为 I。 若导线所在平面与
B垂直, 求该导线所受的安培力 。
?
I
F?d F?d
xF
?d
xF
?d
yF
?d
yF
?d
x
y
由电流分布的对称
性分析导线受力的
对称性
?? yFF d
解：
安培定律
?? s i nds i ndd ???? lBIFF y
?dd Rl ?
由安培定律
由几何关系
上两式代入
?? yFF d
B IR
B IRF
2
ds i n
0
?
?? ?
?
??
合力 F的方向,y轴正方向 。
结果表明：半圆形载流导线上所受的力与其两个
端点相连的直导线所受到的力相等 。
?
I
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xF
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x
y
安培定律
2,磁场对载流线圈的作用
载流线圈的空间取向用电流右
手螺旋的法向单位矢量 描述 。n?
设任意形状的平面载
流线圈的面积 S,电流强度
I,定义：
线圈的磁矩
n?
nISPm ?? ?
由于是矩形线圈, 对边受力大小应相等, 方向相反 。
1l
B?
?
A
D
C
B
2l
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I
1F
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2F
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'1F?
B?
)(CD
)(BA
?
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2F
?
ne?
AD与 BC边受力大小为,?s in11 B IlF ?
22 BIlF ?
AB与 CD边受力大小为：
磁场对载流线圈的作用
磁场作用在线圈上总的力矩大小为：
?c o s12 lFM ?
?c o s21lB Il?
?c o sB IS?
B?
)(CD
)(BA
?
?
'2F?
2F
?
ne?图中 ?与 ?为互余的关系
2/??? ??
用 ?代替 ?，可得到力矩
?s inB ISM ?
磁场对载流线圈的作用
B?
)(CD
)(BA
?
?
'2F?
2F
?
ne?
实际上 IS为线圈磁矩的
大小 Pm,力矩的方向为线圈
磁矩与磁感应强度的矢量积；
用矢量式表示磁场对线圈的
力矩：
BPM ??? ?? m
可以证明, 上式不仅对矩形线圈成立, 对于均
匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立, 对于带电
粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所
具有的磁矩, 在磁场中受到的力矩都适用 。
磁场对载流线圈的作用
B?
)(CD
)(BA
?
?
'2F?
2F
?
ne?
讨论：
（ 1） ?=?/2,线圈平面与磁场
方向相互平行, 力矩最大, 这
一力矩有使 ?减小的趋势 。
（ 2） ?=0,线圈平面与磁场方
向垂直, 力矩为零, 线圈处于
平衡状态 。
（ 3） ?=?,线圈平面与磁场方向相互垂直, 力矩
为零, 但为不稳定平衡, 与 反向, 微小扰动,
磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态 。
B? mP?
综上所述,任意形状不变的平面载流线圈作
为整体在均匀外磁场中，受到的合力为零，合力
矩使线圈的磁矩转到磁感应强度的方向。
磁场对载流线圈的作用
3,磁电式电流计
磁电动圈式电流计
N BISM ?
当电流通过线圈时，线圈所受的磁力矩
的大小不变
M
（ 1）当电流计中通过恒定电流时
?kM ??
为游丝的扭转常量，对于一定的游丝来
说是常量。
k
当线圈转动时，游丝被卷紧，游丝给线圈
的扭转力矩与线圈转过的角度 成正比，
即：
?
磁电式电流计
?kN BIS ?
当线圈受到的磁力矩和游丝给线圈的扭转力矩
相互平衡时，线圈就稳定在这个位置，此时：
?? KN B SkI ???
式中,是恒量，称为电流计常量，它表示
电流机偏转单位角度时所需通过的电流。
NBS
kK ?
磁电式电流计
磁电式电流计的工作原理,值越小，电流计越
灵敏。因此，线圈偏转的角度 与通过线圈的电流成
正比关系，这样即可从指针所指的位置来测量电流。
K
?
（ 2）在电流计中通以一个短促的电流脉冲时
在通电的极短时间 内，电流计的线圈将
受到一个冲量矩的作用,
0t
)1(ddd0 00 0? ? ? ???? t t to N B S qtN B StN B I StMG
按角动量原理，应有：
)2(0?JG ?
是线圈的转动惯量J
磁电式电流计
线圈在最大偏转角 时的弹性势能等于线圈起动
时的初动能,
?
)3(2121 202 ?? Jk ?
为悬丝的扭转常量k
将（ 1）（ 2）（ 3）三式合并得到：
?N B SkJq ?
磁电式电流计
冲击电流计的工作原理,从线圈的最大偏转角
可以测定电流脉冲通过时 (例如电容器放电时 )的电
荷量 。
?
q
线圈在最大偏转角 时的弹性势能等于线圈起动
时的初动能,
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为悬丝的扭转常量k
将（ 1）（ 2）（ 3）三式合并得到：
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磁电式电流计
冲击电流计的工作原理,从线圈的最大偏转角
可以测定电流脉冲通过时 (例如电容器放电时 )的电
荷量 。
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1,安培定律
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运动，则每个自由电子在洛伦兹力的作用下以圆周
运动的方式作侧向漂移，结果在导线的下侧堆积负
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?
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安培定律
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观效应便是电流元在磁场中所受的 安培力
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安培定律
安培定律
BlIF ??? ?? dd 安培定律的 微分形式
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设直导线长为,通有电流,置于磁感应强
度为 的均匀磁场中，导线与 的夹角为 。Il B? ?B?
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平衡, 调节砝码 m使两臂达
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它们相互抵消 。 当天平恢复平衡时, 这个向上的
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安培定律
如 N=9匝, b=10.0cm,I=0.10A,加砝码 m=4.40g
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B垂直, 求该导线所受的安培力 。
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2,磁场对载流线圈的作用
载流线圈的空间取向用电流右
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设任意形状的平面载
流线圈的面积 S,电流强度
I,定义：
线圈的磁矩
n?
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由于是矩形线圈, 对边受力大小应相等, 方向相反 。
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实际上 IS为线圈磁矩的
大小 Pm,力矩的方向为线圈
磁矩与磁感应强度的矢量积；
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力矩：
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可以证明, 上式不仅对矩形线圈成立, 对于均
匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立, 对于带电
粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所
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磁场对载流线圈的作用
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讨论：
（ 1） ?=?/2,线圈平面与磁场
方向相互平行, 力矩最大, 这
一力矩有使 ?减小的趋势 。
（ 2） ?=0,线圈平面与磁场方
向垂直, 力矩为零, 线圈处于
平衡状态 。
（ 3） ?=?,线圈平面与磁场方向相互垂直, 力矩
为零, 但为不稳定平衡, 与 反向, 微小扰动,
磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态 。
B? mP?
综上所述,任意形状不变的平面载流线圈作
为整体在均匀外磁场中，受到的合力为零，合力
矩使线圈的磁矩转到磁感应强度的方向。
磁场对载流线圈的作用
3,磁电式电流计
磁电动圈式电流计
N BISM ?
当电流通过线圈时，线圈所受的磁力矩
的大小不变
M
（ 1）当电流计中通过恒定电流时
?kM ??
为游丝的扭转常量，对于一定的游丝来
说是常量。
k
当线圈转动时，游丝被卷紧，游丝给线圈
的扭转力矩与线圈转过的角度 成正比，
即：
?
磁电式电流计
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当线圈受到的磁力矩和游丝给线圈的扭转力矩
相互平衡时，线圈就稳定在这个位置，此时：
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式中,是恒量，称为电流计常量，它表示
电流机偏转单位角度时所需通过的电流。
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磁电式电流计
磁电式电流计的工作原理,值越小，电流计越
灵敏。因此，线圈偏转的角度 与通过线圈的电流成
正比关系，这样即可从指针所指的位置来测量电流。
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（ 2）在电流计中通以一个短促的电流脉冲时
在通电的极短时间 内，电流计的线圈将
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磁电式电流计
线圈在最大偏转角 时的弹性势能等于线圈起动
时的初动能,
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为悬丝的扭转常量k
将（ 1）（ 2）（ 3）三式合并得到：
?N B SkJq ?
磁电式电流计
冲击电流计的工作原理,从线圈的最大偏转角
可以测定电流脉冲通过时 (例如电容器放电时 )的电
荷量 。
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线圈在最大偏转角 时的弹性势能等于线圈起动
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磁电式电流计
冲击电流计的工作原理,从线圈的最大偏转角
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