1
线性空间的同构；
商空间
总结讲评
第十四讲
2
§ 5 线性空间的同构
满足的双射到如果存在从
上的两个线性空间，是域与：设定义
,
11
21
21
?VV
FVV
3e x p1, R
X?
?
??
三维几何空间
向量 坐标
.,
,),()()2(
,),()()()1(
21
1
1
是同构的与此时称是同构映射则称 VV
FkVkk
V
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?????
?????????
????
?????
(,,),x y z x y za a a a i a j a k? ? ? ? ?
3
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n
n
x
x
X
FV
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1
11
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对应
：
对应）（
的双射到是
坐标是唯一
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,
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11
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????
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ii
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nn
n
i
iii
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?? 则设
算且这个映射保持线性运
1e x p 2,,( ) ( )n n nV F V F? ? ? ?设, 是 的一组基，任,
1
n
iii x???? ?有令
.)(17 nn FFV 同构于：定理
4
.11
)(
0000)1(
）（）（）（）（
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）（）（）（，）（
同构映射的性质：
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????
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?????????
???
??????
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FkFVkk inii
n
i
n
i
iii ??? ??
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),()()(
.)2(
1 1
????? 对任
不变同构映射保持线性关系
.)(,,
)()(,),(
,,,)3(
1
12
11
关无线性相
关无线性相中向量
则中向量是设
n
n
n
V
V
??
????
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?
?
?
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ni,,1 ??
5
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00)(
00:
11
1111
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???
nn
nnnn
kk
kkkk
p r o o f
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?????
????
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? 成立。仅当）（是双射
同构的线性空间有相同的维数,
(4)同构映射的逆映射,还是同构映射,
,)(,)(
.)(,)(
2211
1
??????
??????
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?? ?
记
定义设
).()())(()(
)()())((
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1111
2
1
1
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21
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21
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????????
????
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??
????
??????
???
kkkkk
?
6
(5)两个同构映射的乘积还是同构映射
2
1
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V1 V2
V3
12 ??? ??记为
).()(
))(())(()(
)()(
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12
1212
2121
212211221
?????
????????
??????
??????????
kk
kkk
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)(
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)(
)(
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121
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???
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7
2121 VVVFV
n ? ???? ??? ?? ???
.d i md i m 21
21
VV
VVF
??
同构与上两个有限维线性空间定理：数域
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?
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?????
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1
0
01
1
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][1:1e x p
n
n
n
n
a
a
axaxaxf
xFn
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的多项式次数
.),,2,1(
:2e x p
1111
下在基
阶对角阵
niE
a
a
a
a
A
n
ii
nn
nn
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.,,,,11 线性无关线性无关 nn XX ?? ???
8
§ 6 商空间
,,
,,
( m o d )
W V V
WW
W
??
? ? ? ?
??
?
??
?
定义1 2,设 是 的子空间，如 满足
则称 与 模 同余 记作
模 W 同余是线性空间 V 上的一种等价关系
VW ?????? ),( m o d自反性
)( m o d)( m o d WW ?????? 则如对称性
).( m o d
)( m o d)( m o d
W
WW
???
??????
则
如传递性
W???????????? )()(?
9
.
,
}{
,
同余类的一个代表
叫做这个而的一个同余类称为模
的子集合定义
的子空间，是：设定义
?
????
?
W
WWV
VVW
????
??13
例 21,
x
y W
O
?
?
.
,
2
的直线是平行
是过原点的直线
WW
W
RV
??
?
W??
10
模 W的同余类的基本性质,
.,)1( WWW ??????? ???? 则若
.,)1( ?????? ????????? 使证 WW?
.
.
,
22
22
右左左，右
）（
，使同理
????
???????????
??????
W
WW
????????
??????
,)()(
,,)2(
????
????
WW
WW
??
????
?则
而若
右；左）（
，使
??????????
?????????
W
WW
???????
??????
11
11,
11
.}{ 的商集是的集合
同余关系所得等价类上按模线性空间
VVWV
WV
??? ??
.)(
,)()()(
WcWc
WWW
V
???
??????
??
????
：中定义加法和数乘如下在商集
.
)1(),()()2(
矛盾，与已知
知则由若
WW
WWW
WW
????
?????
???
????
???
??? ?
./,WVV
FV
记作的商空间空间，称为
上的线性域对于所定义的运算构成则
12
./d i m
18
mnWVm
VWnV
??维子空间，则
的是维线性空间，是：设定理
若的基，
的一组基，扩充为是设证
.,,,,,
,,:
11
1
nmm
m VW
????
??
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,0)(
)()( 2211
WWk
WkWk
nn
mmmm
?????
???? ????
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2211
2211
Wkkk
WWkkk
nnmmmm
nnmmmm
?????
??????
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mm
nnmmmm
lll
kkk
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???
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2211
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,022
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????
????
??
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nnmm
mmmm
kk
klll
??
????
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?即有
nnmmmm yyxx
VWVW
?????
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???????
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线性无关。WWW
kkk
nmm
nmm
????
?????
??
??
???,,,
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21
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.)(
.)(
11
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WyyW
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nnmm
nnmm
?????
?????
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故
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)(
2211
11
Wy
WyWy
WyyW
nn
mmmm
nnmm
???
????
?????
????
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???
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?故
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3
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( ),
( ) / / /
V R W z V
V R W L L Z
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exp, 中,轴是 的子空间
则商空间 轴,
./d im/
,/
,,,
21
mnWVWV
WVW
WWW
nmm
????
??
????
??
的一组基，是
且线性无关，可以表示任 ?
??? ?
15
X
Y
Z
?
W??
W??
O
?
./)(
0
3 的基是商空间，有
，，向量平面上任两个不共线的对
WRVWW
xy
?? ??
??
)()( WkWk ??? ?? 21
16
),,,,,,( 32132121
98 9
??????LWW
P
???
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??
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457331
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235211
21
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rr
rr
321321,,,,,??????
)(
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000300
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235211
124500
000300
111110
235211
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rr
rr
17
2d i m,3d i m
.4)d i m (,,,
21
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??
????????
WW
WWWW 的基，是
2211332211
212121 1)d im (d imd imd im
?????????????????
??????
令
WWWWWW ?
.43212
12
0
221
12
2211332211
??????????
??????
????????????????
），，，（
，取
）利用（则
,0,1,0 123 ??????又
18
的一组基求已知 )(,
532
913
111
112
.10 ARA
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000
000
310
111
310
1240
310
111
532
913
111
112
这几列是否在 R(A)中？是 R(A)的基吗？
.
,
的列的线性组合的列不是
不在，
AB
BPA ??