1
第十二讲
方阵的逆
矩阵方程
2
例 43,
).d e t ()d e t (
,n,m
BAIABI
mBnA
nm ???
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证明
矩阵为矩阵为设
解,
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I
IB
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AI
IB
AI
IB
I
:
d e t( ) d e t( ),mnI A B I B A? ? ?
两边取行列式得
也成立
号对 ?
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I I I
I I I
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11
11
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( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
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T T T
T
nn
TT
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Example1:计算
解,
1
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1
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6
A X B?解矩阵方程
4 6 1 1
5:
6 9 1 1
E x a m p l e X
????
?????
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解矩阵方程
.
,
1
1
96
64
:
矩阵方程亦无解
无解方程组解
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12
( 2),
,,,.n
A A X B
A X B A X B A X B
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若 不可逆 则 有解
有解
§ 2
1
1
( 1 ),.
(,) (,)
A X A B
A B I A B
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若 可逆 则
7
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143
132
111
830
520
002
X解矩阵方程
Example6,
,
110100
341010
001
000
110
001
143830
132520
111002
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
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1
2
1
2
1
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解,
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110
341
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1
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8
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1
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1
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2 1
4
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9
Example7,
.,A
,032A,2
并求其逆可逆证明
阶方阵且满足是设 ??? IAnA
证,
).2(
3
1
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3
1
[
,3)2(,032
1
2
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IIAAIAA
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可逆且
于是有
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.并求其逆,逆IA证明
,AA阶方阵且满足n是A设 2
可?
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,02 ?? AA (A+I) (A -2I) =-2I
.
2
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10
推论 5,
,
,
单位方阵可仅用初等行变换化为则
阶可逆方阵是设
A
nA
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A 用三种
初等行变换
然后再从最后一
行开始往上打洞,
.
,,
1
1
ns
s
IAPP
PP
????
? 使一系列初等方阵即 ?
.111 nss IPPPPA ?? ??? ?
11
Example5,
.,A
,032A,2
并求其逆可逆证明
阶方阵且满足是设 ??? IAnA
证,
).2(
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1
,)]2(
3
1
[
,3)2(,032
1
2
IAAA
IIAA
IIAAIAA
???
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可逆且
于是有
?
思考题,
.并求其逆,逆IA证明
,AA阶方阵且满足n是A设 2
可?
?
,02 ?? AA (A+I) (A -2I) =-2I
.
2
2)( 1 IAIA ???? ?
12
Example6,
.B},
7
1
,
4
1
,
3
1
{
:,
试求
满足设三阶方阵
d ia g
BA
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???
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7
1
4
1
3
1
,6
1
ABAABAA 且
解,
IBIA
AABAIA
??
??
?
??
)(
6
1
,6)(
1
11 得右乘?
.
1
2
3
)
7
4
3
(6))(
6
1
( 111
?
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?
?
?
?
?
?
??
?
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???? ??? IIAB