1
唯一析因定理； C[X]与 R[X]；
多项式的根 — 有理根；线性空间
第三讲
2
22333
63
1)1()1()1()(
3
xxxxxxxxf
P
pnm ?????????
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,1d e g,)1()43(
2
2
2
2
2
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?????
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设
整除要
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xxq
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3]1)1[(
23
2
3
2
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????
2465662743)34()1(
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4
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43
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b
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3
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设
ut
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,
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为最大公因式。 uxxuxxxgxf ??????? 22)()( 22
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)2()2(2)2( 2 ????? tuxtxt
4
的次序，是唯一的。且若不计常数倍及
不可约的多项式的乘积
均可表为一些即任一非常数多项式
是唯一析因整环：定理
i
s
p
pppf
XFf
XF
.
][
.][6
21
??
?
即可。不可约，则取若
性。在先证分解（析因）的存
1
)(:
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ip r o o f
?
，设可约若 ffffff i d egd eg,21 ?? ?
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.121
21
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ff
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5
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1
11
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qqppfii
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ts
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??
不妨设由引理
设证分解的唯一性
??
??
不可约且两两互异。其中 insn ppcpf s?11?
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.,
,
11
1111
ts
ts
ts
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??
?
如此续行得
不计常数倍
不互素知与不可约又
6
.
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1
),m a x (
称为最小公倍式
而首一多项式
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s
i
mn
i
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mn
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i
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1
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11
),(
0,
则
若
7
§ 2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理, 任一非常数复系数多项
式在复数域中总有一根,
.)(
,1d e g)()(
)(,d e g
11
个复数根恰有以此续行，知
其中
由零点定理有根若
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CaXfnf
?????
??
:
)1) ( d e g(8
次因式的乘积上总可以唯一分解为一
在复数域：复系数多项式定理 CfXf ?
),,(
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1
21
21
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ii
n
s
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nnCcc
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8
也是根。则是其根若出现。
的复根总是成共轭对：实系数多项式引理
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0)(
)(
01
01
?????
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n
n
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§ 2-3 R[X]上的因式分解
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)(
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9
不可约因子之积：
分解为一次和二次在实数域上总可以唯一
：实系数多项式定理 )1( d e g)(2 ?fXf
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s
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tt
e
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有上不可约，在
又
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如,实正交方阵的复特征值
(根 )成共轭对出现
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10
§ 2-4 多项式的根和系数的关系,
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1
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n
n
n
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11;
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13
III Linear Space
§ 1 线性空间的定义及性质
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D
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??????
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得
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???
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得
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14
§ 2 线性相关与线性无关
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?
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m
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:; nm?推论若 则
15
两个等价的线性无关的向量组含有相同个
数的向量,
§ 3 基 维数 坐标
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?
?
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17
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13,设 中的两个向量组 与 满足
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18
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19
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.
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11
列式是否为可以看坐标列构成的行
坐标列是否无关
关可以看它们的判断向量组是否线性无
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唯一析因定理； C[X]与 R[X]；
多项式的根 — 有理根；线性空间
第三讲
2
22333
63
1)1()1()1()(
3
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xxqxxqxf 3)2(2)1()(.12 3221 ??????
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的值。次多项式，求的最大公因式是一个二
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为最大公因式。 uxxuxxxgxf ??????? 22)()( 22
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的次序，是唯一的。且若不计常数倍及
不可约的多项式的乘积
均可表为一些即任一非常数多项式
是唯一析因整环：定理
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设证分解的唯一性
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§ 2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理, 任一非常数复系数多项
式在复数域中总有一根,
.)(
,1d e g)()(
)(,d e g
11
个复数根恰有以此续行，知
其中
由零点定理有根若
nXf
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:
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次因式的乘积上总可以唯一分解为一
在复数域：复系数多项式定理 CfXf ?
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也是根。则是其根若出现。
的复根总是成共轭对：实系数多项式引理
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§ 2-3 R[X]上的因式分解
.0
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9
不可约因子之积：
分解为一次和二次在实数域上总可以唯一
：实系数多项式定理 )1( d e g)(2 ?fXf
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(根 )成共轭对出现
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§ 2-4 多项式的根和系数的关系,
)())((
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且其中若
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§ 3-2,求整系数多项式全部有理根的方法
0
11;
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121 ; 2 ; ;,
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13
III Linear Space
§ 1 线性空间的定义及性质
?????? ?????? ))(11(
)( ????????
D
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得
左 )11()11(
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，右加，两边左加
14
§ 2 线性相关与线性无关
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有非零解。
未知数个数方程个数
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的存在不全为
0
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定理,3.3的证明
:; nm?推论若 则
15
两个等价的线性无关的向量组含有相同个
数的向量,
§ 3 基 维数 坐标
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13,设 中的两个向量组 与 满足
1,,( )t r A t?? ??试证,线性无关
1
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由于 线性无关，
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11
列式是否为可以看坐标列构成的行
坐标列是否无关
关可以看它们的判断向量组是否线性无
上的坐标，在基的列为
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1
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长亦无关。短无关
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