1
第十一讲
矩阵的
初等变换
2
§ 2.5 矩阵的初等变换
:
.
I定义9 由单位方阵 经过一次初等变换
得到的方阵称为初等方阵
( ),i I i用非零数乘 的第 行得
1
1
1
1
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GA11
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()
.
i i I j
i
?把 的第 行的 倍
加到第 行上去
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i
j
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01
10
1
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?( ),i i i I i j把 的 行互换得
?),( jiP
i
j
i j
4
( ) ( ( ) ) A,
i.
mi P i
A
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乘在 的左边
把 的 行乘 倍
.
100
0
1
0
001
11
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A
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A
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初等方阵在矩阵乘法中的功能,
nmijaA ?? )(设
5
( ) (,( ) ) ) A,
.
i i P i j
A j i
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乘在 的左边 其效果是
把 的第 行的 倍加到第 行上去
.
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1
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A
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A
A
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i
j
i j
6
( ) (,),,.mi i i P i j A A i j左乘 把 的第 行对换
.
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A
A
A
A
A
A
A
A
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?
i
j
.达到可用左乘三类初等方阵
作三种初等行变换对 A?
7
初等方阵都是可逆的,它们的逆矩阵还是
初等方阵,
1 1( ( ) ) ( ( ) )P i P i?
?
? ?
,的右边呢三种初等方阵乘在 A
.作三种初等列变换相当对 A
1(,( ) ) (,( ) )P i j P i j??? ??
12(,) (,) (,),P i j P i j P i j I? ??
1
1
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8
1
5,,
.
( 1 ) ;
( 2 ),
E x am pl e A n A i j
B
B
AB
?
：设 是 阶可逆方阵 将 的 行 行
对换后得到的矩阵记为
证明 可逆
求
( 1 ) 0,0,
.
A B A
B
? ? ? ? ?
?
解：
可逆
1 1 1 1( 2) ( ) ( )
.
i j i j
ij
A B A E A A A E
E
? ? ? ???
?
9
1
2 1
3
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0 0 0
0 0 0
,.
000
0 0 0
a
a
AA
a
a
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???
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??
设求
两边取逆
解,},,,,{ 4321342312 aaaad i a gEEEA ??
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1
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2
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12
1
23
1
34
a
a
a
a
AEEE
},,,,{ 141312113423121 ????? ?? aaaad i a gEEEA
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1
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4
a
a
a
a
6E x a m p l e,
10
:,,
,
,~,
A B m n A
B
A B A B
?定义1 0 设 是两个 矩阵 如果对 进行
行和列的有限次初等变换后可得到
则称 与 是相抵的 记为
:,
0
00
.(,)
.
r
r
m n A
I
I r r ra n k A
A
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??
??
?
定理1 1 任意 矩阵 都与形如
的矩阵相抵 其中 为 阶单位阵
它称为矩阵 的相抵标准形
证明,
,0,0A ?? ija有若
11
11
,,,,
,,,,.
st
st
P P Q Q
P P AQ Q B?
即存在初等方阵, 使得
11
1 1 1
0
00
00
n
r r r n
aa
A aa
????
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?? ???
??
??
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( ),( )
()
i i i i i
iii
则经过 种初等行
变换和 种初等列变换
( i)作 初等行变换
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再
右
乘
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用矩阵乘法写出来有,
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11
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QAQPP ??
,
,
1
1
t
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QQQ
PPP
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?记
,,是可逆方阵则显然 QP
继续作 (ii)种初等列变
换就可以把 *处全打成 0
推论 1,
13
11stP P A Q Q I?
,.nA M A A I? ? ?推论3,设 则 可逆
1 1 1 1
11,stA P P Q Q
? ? ? ??即
,
.
nA M A
A
??推论4,设 则 可逆
可表成有限个初等方阵的乘积
,
2,,,
0
.
00
mn
r
A M P Q
I
PAQ
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? ??
??
推论,对任意 存在可逆阵 使得
11 tsQ Q P P A I?
~,.A B P Q B P A Q??存在可逆阵 使得
14
推论 5,
,
,
A n A设 是 阶可逆方阵 则 可仅用
初等行变换化为单位方阵
当用一系列初等行变换把 A变成 I 时,
同样的行变换把 I 变成 A-1,如此得到
求 A-1 的方法,
),()( 1?AIIA,作初等行变换得对
),(),( 11 ?? ? AIIAA
).,(,),(
),,(),(,
1
11
bAIbA
bAIbAAbAX
?
?? ??
得作初等行变换对
设 ?
15
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 1 1 2
11
r r r r n n
r r r r n n
rr r r rr r rn n
c x c x c x d c x c x
c x c x d c x c x
c x d c x c x
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1 1 1 2 1 11 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 22 2 2 2 2
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0
00
r r n rr
r r n rr
r r r r r n nr r r r
c c c xc c c x d
c c c xc c x d
c c c xc x d
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??? ? ? ??? ? ?
??? ? ? ??? ? ?
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??? ? ? ??? ? ?
??? ? ?? ? ?
? ? ? ??? ? ? ??
1
1 1 1 1 1 1A X B X A B
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11
1 1 2 1 1 1 2A X D C X X A D A C X
??? ? ? ? ?
16
Example7,
1-A,
012
210
411
A 求设
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210
411
),( IA
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200
210
201
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121
A
1
17
分块矩阵的初等变换
-14 2,,ABM M M
CD
???
??
? ?
例 设,求
1 1
0
,:
0
r
nr
I A B A B
C A I C D D C A B? ??
?? ? ???
??? ? ???
? ???? ? ??
两边取逆得
解,
11 1 1 1 1
1 11
0 ()
,
0 ( )
r
nr
IAB A A B D C A B
C A ICD D C A B
?? ? ? ? ?
? ??
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??? ? ????
? ??????
? ?? ?? ? ? ?
1 1
0
0
r
nr
I A B A B
C A I C D D C A B? ??
?
? ?
1d e t d e t d e t ( )M A D C A B?? ? ?
1d e t d e t ( ) ( )
= d et( ) (,,)
M A D A C A B r n r
A D C B A C A C C A
?? ? ? ?
??
时
同阶 且 时
18
推论 5,
,
,
单位方阵可仅用初等行变换化为则
阶可逆方阵是设
A
nA
?
?
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?
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112
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???
???
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nn
n
a
aa
A 用三种
初等行变换
然后再从最后一
行开始往上打洞,
.
,,
1
1
ns
s
IAPP
PP
????
? 使一系列初等方阵即 ?
.111 nss IPPPPA ?? ??? ?
19
Example5,
.,A
,032A,2
并求其逆可逆证明
阶方阵且满足是设 ??? IAnA
证,
).2(
3
1
,)]2(
3
1
[
,3)2(,032
1
2
IAAA
IIAA
IIAAIAA
???
??
??????
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可逆且
于是有
?
思考题,
.并求其逆,逆IA证明
,AA阶方阵且满足n是A设 2
可?
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,02 ?? AA (A+I) (A -2I) =-2I
.
2
2)( 1 IAIA ???? ?