1
第 八 讲
行列式的计算
2
:行列式计算的一些技巧
一,降阶,
1.利用行 (列 )初等变换,
2.看行和 (列和 ),如行和相等,可都加到某
列上去,然后提出一数,
3.逐行相减 (加 ),
4.找递推公式,
..5 展开L a p l a c e
§ 1
(3)某行 (列 )的 k倍加到
另一行上去,
(1)交换两行 (列 ),
(2)某行 (列 )乘以 k倍,
这些步骤
联合使用 !
GA08
3
二,分项 (拆开 )找递推公式,
nn
n
????????
?????
?
?
??
?
2121
211
.,
.d e td e t)d e t (.
阶方阵均为其中
利用公式三
nBA
BAAB ??
).d e t ()d e t (
.nmB,mnA.
BAIABI mn ?? ?
?? 则有阵是阵是设四
4
五,升阶 (加边 ),
detA=
2
0
1
0
1
001
0
0
1
??
?
???
?
??
nn
AA ??
?
?
?
?
加上所需要的数 !
注意,1.升阶是为了降阶 ;
2.阶的变化,
5
六, 若行列式元素含有未定元的话,则它
的展开式是关于 x的多项式,
.,,
x,( x )
).()()(
1
n
1
n
n
aaa
f
axaxa
x
x
xf
?
?
?
???
???
?
定出
的系数并考虑的根通过判断
???
??
?
?
??
?
6
行列式的微商,
?
?
??
?
4
1 41
1411
41
1411
)()(
)()(
)()(
)()(
i iiii
tata
tata
tata
tata
dt
d
???
?
???
?
????
?
????
?
? ?
?
?
?
???
???
???
),,(
4
1
41
),,(
),,(
41
),,(
),,(
41
),,(
41
41
41
41
41
41
41
41
41
)]()()([)1(
])()([)1(
))()()1((
jj i
jijj
jj
jj
tjj
jj
jj
tjj
jj
tatata
tata
tata
i
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
左边
7
.)(,0)(
100
010
001
)(
,0)2(;0)(
),)()(()(
321
的二重根是
而显然
xfaaf
axa
aax
xaa
aax
xaa
axaxf
afaf
xxxxxxk
xaa
axa
aax
xf
x
x
???
????
???
?????
8
nnnn
n
n
n
bababa
bababa
aababa
bababa
???
???
???
???
??
??
????
?
??
??
21
32313
22212
12111
Example2:计算 n阶行列式
9
2
21
222122
121111
21
0
0010
01
?
????
????
????
???
??
n
nnnnn
n
n
n
n
bababaa
bababaa
bababaa
bbb
?
?????
??
??
??
?
得上去列列加到第第
行上，行加到第升阶两次后，第
.)3(2
)3(1
?
?
jj
ii
10
2
2
1
21
0001
0
001
0001
11110
01
?
?
?
?
???
??
n
n
n
n
a
a
a
bbb
?
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
?
30
2))((
1
1
11
2112
2
121
n
naabb
a
abb
显然
n大于 3时,
行列式为 0
11
2
1
21
1
21
0000
0
000
0001
11110
01
?
?
?
?
???
??
n
n
n
n
aa
aa
a
bbb
?
?????
??
?
?
?
行上去，得）加到第（行或用第 )4(13 ??? ii
显见,第 4至 n+2行成比例,所以只要包含
4,5两行,行列式值即为 0.这时 n等于 3,于是
得原行列式在阶数大于 2时值等于 0,
12
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
???
???
???
?
????
?
?
21
22212
12111
解法 2,
000
000
11
001
001
001
12
1
?
??
?
??
??
??
?
?????
?
?
n
n
bb
a
a
a
?
?
?
?
?
???
?
3,0
2),)(( 1221
n
nbbaa
13
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
????
????
????
1
1
1
21
22212
12111
?
????
?
?
Example3:计算行列式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
I
?
????
?
?
21
22212
12111
14
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
I
?
????
?
?
21
22212
12111
.)1)(1(
111
1
1
1
1 11
11
1
2
21
2
1
? ??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ??
??
?
n
k
n
k
kkk
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
n
n
banba
bba
na
I
bbb
a
a
a
I
?
?
??
15
1 1 1 2 1 3 1
1 2 2 2 2 3 2
1 3 2 3 3 3 3
1 2 3
n
n
n
n n n n n
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
Example4,
计算行列式
1
1
1 1 2 1 3 1
,
2 2 2 2 3 2
1 3 2 3 3 3 3
23
1
n
n
n
rc
n
ab
nn
n
b a b a b a b
b a b a b a b
a b b a b a b a b
a a a
??
16
1
1,,1
1 2 2 1 1 3 3 1 1 1
2 3 3 2 2 2
11
23
0
00
0 0 0
1
i n i
b r r
n
in
nn
nn
n n n n
n
ab
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b
a a a
??
??
??
???
? ? ?
??
?
1
1 1 1
1
()
n
n i i i i
i
a b a b a b
?
??
?
?? ?
17
3法
? ?,1111
1
1
1
1
2
1
2 4
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? I
3111
1311
1131
1113
? ? ]1111
1
1
1
1
2d e t [
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?I
? ?,48316
1
1
1
1
1111
2
1
2 1
4
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? I
18
例 43,
).d e t ()d e t (
,n,m
BAIABI
mBnA
nm ???
??
证明
矩阵为矩阵为设
解,
,
0
0
,
0
0
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
I
AABI
IB
I
IB
AI
IBA
AI
IB
AI
IB
I
:
d e t( ) d e t( ),mnI A B I B A? ? ?
两边取行列式得
也成立
号对 ?
19
0
1 1 0 1
0
0 1 0 1 0 1
n n n
TT
n n n
TT
I I I
I I I
??
??
??
? ? ? ?
?? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?
?? ? ?? ? ?
?? ? ?? ? ?
?? ? ? ?? ? ?
??? ? ?? ? ?
0
0 1 1 1
000
11 0 1
n n n
TT
TT
nnn
TT
I I I
III
??
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?
?? ? ?? ? ?
?????? ??
?? ???? ??
?? ?
?? ??
11,( ) ( 1 )T T T
nnII ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?证明
20
1
1
1
1
11
11
00
1 0 1 0 ( 1 ) 1
0( 1 )
10 ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
n n n n
T T T
T
nn
TT
T T T
n
T T T
I I I I
II
I
??
? ? ? ?
? ? ?
???
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
??
??
?? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
?? ?? ??
? ??
??
??
????
??? ? ? ?
? ??
? ? ?
??
1 1
0 ( ) 0
1 1 0 101
T
n n nn
TT
I I II?? ??
??
? ?
??? ?? ? ?? ? ?
? ??? ? ?? ? ?
?? ? ?? ? ?? ?
11( ) ( 1 )T T T
nnII ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
21
1
0 1 1
1
1
1 1 0
?
??
??
??
??
????
? ?
? ? 1 1 T? ?记
Example1:计算
解,
1
11
0 1 1
1
( ) ( ( 1 ) )
1
1 1 0
2 1 1
111
()
111
1 1 2
T T T
T
II
n
I
nn
n
?? ? ? ? ?
??
?
??
??
??
??
? ? ? ? ? ? ?
??
??
??
? ?
? ??
??
??
? ? ? ?
????
??
??
?
? ?
22
A X B?解矩阵方程
4 6 1 1
5:
6 9 1 1
E x a m p l e X
????
?????
?? ??
解矩阵方程
.
,
1
1
96
64
:
矩阵方程亦无解
无解方程组解
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? X?
12
( 2),
,,,.n
A A X B
A X B A X B A X B
?
? ? ? ?
若 不可逆 则 有解
有解
§ 2
1
1
( 1 ),.
(,) (,)
A X A B
A B I A B
?
?
?
?
若 可逆 则
23
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
143
132
111
830
520
002
X解矩阵方程
Example6,
,
110100
341010
001
000
110
001
143830
132520
111002
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解,
.
110
341
2
1
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?X
24
Example7,
.,A
,032A,2
并求其逆可逆证明
阶方阵且满足是设 ??? IAnA
证,
).2(
3
1
,)]2(
3
1
[
,3)2(,032
1
2
IAAA
IIAA
IIAAIAA
???
??
??????
?
可逆且
于是有
?
思考题,
.并求其逆,逆IA证明
,AA阶方阵且满足n是A设 2
可?
?
,02 ?? AA (A+I) (A -2I) =-2I
.
2
2)( 1 IAIA ???? ?