1
第七讲
线性方程组
Gauss 消元法
2
§ 2.1 线性方程组的消元法
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
.
( 1,,,1,,)
ij
i
a
b
i m j n??
称为方程组的系数
称为常数项
0,mn ? ? ?当 且 方程组有唯一解
1
( 1,2,,)
n
i j j i
j
a x b
im
?
??
?
要解决三个问题,
1.判定方程组是否有解 ;
2.解的结构 ;
3.如何求解
,1,,.jjx j n
?
??
?
12,,nx x x 表未知量
GA07
3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
2 3 1
4 2 5 5 4
2 2 6
x x x x
x x x x
x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ?
?
例 1,
( 1 ) 2 ( 2 )
( 1 ) 1 ( 2 ) 2
? ? ?
? ? ? ?
1 2 3 4
2 3 4
23
2 3 1
4 3 2
5
x x x x
x x x
xx
? ? ? ??
?
? ? ??
? ??
?
1 x消去第一式以下的所有
2,x2,3 式交换再消去第二式以下的所有
1 2 3 4
23
34
2 3 1
5
3 3 1 8
x x x x
xx
xx
? ? ? ??
?
???
? ? ? ?
?
2 1 3 1 1
4 2 5 5 4
2 0 2 1 6
???
??
??
??
2 1 3 1 1
0 4 1 3 2
0 1 1 0 5
? ??
??
?
??
???
? ?
2 1 3 1 1
0 1 1 0 5
0 0 3 3 1 8
???
??
?
?? ?
??
4
""
43
21
(3 ),- 6 (2 ),
1
1,(1 ) 9,
2
x c x c
x c x c
? ? ?
? ? ? ? ?
取 代入 得 代入
得 由 得
1
2
3
4
1
9,
2
1
-6
xc
xc
xc
xc
?
???
?
?
? ? ??
?
??
?
??
?
1
2
3
4
1
9
2
1
1
6
1
0
1
x
x
cc
x
x
??
? ?? ?
??
? ?? ?
?? ?
? ?? ????
??
? ?? ? ?
?? ?
? ?? ?????
??
?? ?? ??
? ?
任取
1 2 3 4
23
34
2 3 1
5
6
x x x x
xx
xx
? ? ? ??
?
???
? ? ? ?
?
2 1 3 1 1
0 1 1 0 5
0 0 1 1 6
? ??
??
?
??
?? ?
? ?
5
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 4 2
6 7 4 3 3
9 9 9 7 1
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
Example 1,
3 2 5 4 2
6 7 4 3 3
9 9 9 7 1
? ??
??
?
??
????
? ?
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 3 6 5 7
? ??
??
? ? ? ? ?
??
??? ? ? ?
? ?
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 0 0 0 6
? ??
??
? ? ? ? ?
??
?? ?
? ?
故,原方程组是矛盾方程组,所以原方程组无解
用消元法可把方程组化成阶梯型方程组,可以判断
原方程组是否有解,在有解时,可以把解表示出来,
6
( 1 ) ;
( 2 ) ;
( 3 ),
?
互换两个方程的位置
把一个方程的 倍加到另一个方程上去
用一个非零数乘某一个方程
定义 1:上述三种变换称为线性方程组的初等变换
方程组的解,
? ?0 0 012
,n
mn
x x x
同时满足 个方程的一个 数组
称为方程组的 一个解
解集合 (通解 ),.方程组的全部 解称为解集合
特解,,方程组的某一个特殊的解称为特解
同解方程组,,如果两个方程组有相同的解集合
:.引理初等变换总是把方程组变成同解方程组
7
证明, 1 1 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
nn
i i i n n i
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
?
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ??
?
(1),(3)是显然的
(1 ) ( )i???
11 1 12 2 1 1
1 11 1 1 1
1 1 2 2
( ) ( )
nn
i in n n i
m m m n n m
a x a x a x b
a a x a a x b b
a x a x a x b
? ? ?
? ? ? ??
?
?
?
? ? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ??
?
I
II
(1 ) ( )i?? ? ?
8
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
a a a b
??
??
??
??
??
1 1 1 2 1 1
2 2 2 2
2
0
0
n
n
m m n m
a a a b
a a b
a a b
? ? ? ???
??
? ? ?
?
??
??
? ? ?
??
1 1 1 1 1
2 2 2
1
0
00
00
n
n
rr rn r
r
c c c d
c c d
c c d
d
?
??
??
??
??
??
?
??
1 1 2 2,,,0rrc c c ?I
()()rI
1
1
0
0
r
r
d
d
?
?
?
?
若,则无解
若,则有解
9
1 0rd ? ?当,( 有解) 分为两种情形
,rn?1,方程组有唯一解
1 1 1 1 2 2 1 1
2 2 2 2 2
nn
nn
n n n n
c x c x c x d
c x c x d
c x d
? ? ? ??
?
? ? ??
?
?
? ?
?
1 1 2 2,,,0nnc c c ?
? 方程组的系数行列式不等于零，
由G r a m e r 法则，原方程组有唯一解.
,rn?2,时方程组有无穷组解
10
1 1 1 1 2 2 1 1
2 2 2 2 2
11
nn
nn
rr r rr r rn n r
c x c x c x d
c x c x d
c x c x c x d
??
? ? ? ??
?
? ? ??
?
?
? ? ? ?
?
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 1 1 2
11
r r r r n n
r r r r n n
rr r r rr r rn n
c x c x c x d c x c x
c x c x d c x c x
c x d c x c x
??
??
??
? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ?
?
改写成,
11,,,,r n rx x x x?任给 的一组值就唯一地定出 的值
11
1 1 2 1,,,,n n r n rx c x c x c? ? ?? ? ?令 得到
1 1 1 1 1 1
11
1
12
1
n r n r
r r n r rn r r
r n r
n
n
x c k c k h
x c k c k h
xc
xc
xc
??
??
??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
??
?
?
??
?
?
?
1 1 1 1 1
1
11
0 1 0
00
0
1 0 0
nr
r r rn r r
r n r
n
x k k h
x k k h
x c c
x
?
?
??
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ???
12
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
1
2
11 1 12 2 1 11 12 1 1
,,,
n n n
n
x
x
a x a x a x a a a b
x
??
??
??
? ? ? ? ?
??
??
? ?1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
n
n
m m m n n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ??
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?
AX b?
13
11
1:
,
,,
0,0,
=,;,
rr
m n A X b
dd
r n r n
??
?
??
?
定理
设 个方程 个变元的线性方程组 若对
它的增广矩阵施行初等行变换得到阶梯型矩阵
如果 方程组无解;如果 方程组有解;
当 时 有唯一解 当 时 方程组有无穷组解.
1, 0,
<,<,.
AX
m n r m n
?
??
推论 齐次线性方程组 必定有解
且 时 必有非零解
,=,
0 = 0,
mn
A X A??
推论2 当 时 齐次线性方程组
有非零解 系数行列式
14
( ) G r a m e r,.? 必要性 由 法则证明中的引理得
1 1 1 2 1
2 2 2
( ) = 0,
0=
n
n
r r r n
A
c c c
cc
A
cc
?
??
充分性 时 阶梯型矩阵的行列式值仍为零
0
0 0 0
1 1 2 2,,,0,
- 1,
.
rrc c c
r n n r
?
? ? ? ?必有 自由未知量的个数
方程组中至少有一个变量任意选取
15
§ 2.2 矩阵及其运算,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
:
n
n
m m m n
mn
a a a
a a a
a a a
??
??
??
??
??
??
定义3 个数排成的一个表
nmijaA
nm
??
?
)(
.
记为
矩阵称为,
.
,
.
ij
aA
ij
横的称行
竖的称列
是的
第 行 列
位元素
.,阶方阵为称时当 nAnm ?
1 1 1
1
( ),d e t,
n
d e f
ij
n n n
aa
n A a A
aa
??对于 阶方阵
16
.0d e t A0
.0
,
,
00
00
的意义不同和注意
简记为
为零矩阵则称
若
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
A
A
?
???
?
,( ),( ),
,( 1,,; 1,,),
i j i j
i j i j
A a B b
A B a b i m j n
??
? ? ? ? ?
定义3 设 是两个同型矩阵
则
.0,0,
024
013
012
,
63
21
,??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? AAAA 而都有如
17
11 1
0
00
n
nn
aa
a
??
??
??
??
??
??
上三角矩阵
,0ijija??
下三角矩阵
11
1
00
0
n nn
a
aa
??
??
??
??
??
??
11
00
0
0
00
nn
a
a
??
??
??
??
??
??
对角矩阵
,0,,1,,iji j a i j n? ? ?
,0iji j a??
18
,( ),( ),
( ) ( ),
i j i j
D
i j i j m n i j m n
A a B b m n
C A B a b c??
? ? ?
? ? ? ? ?
定义4 设 是两个 矩阵
:
( 1 ),,
( 2), ( ) ( ),
( 3 ), 0,0 0
.
( 4),,,- ( - ),
( ) ( ) 0.
ij
A B B A
A B C A B C
A A A
A
A A a
A A A A
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
加法满足
交换律
结合律
有零矩阵 使
对一切 成立
有负矩阵 对每个 有 使
19
.)(
)(:4
nmij
D
nmij
kakACnm
aAk
?
?
???
?
矩阵
的数乘是一个与数定义
.00,)1(,1)4(
.)()3(
.)()2(
.)()().1(
:
?????
???
???
?
AAAAA
kBkABAk
lAkAAlk
AkllAk
对矩阵的分配律
对数的分配律
对数乘的结合律
数乘满足
.d e td e t,)(,AkkAkakA nnij ??注意
:例
255d e t,
1550
20100
10155
5,
310
420
231
3 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? AAA
20
其中
记为的乘积与称为
则设定义
..)(
,)(,)(:5
ABCBAcC
bBaA
nmij
nsijsmij
??
??
?
??
nmnssm
c
b
b
b
aaa
ij
sj
j
j
isii
???
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
??
?
???
????
???
???
????
?
????
????
2
1
21
?
?
?????
n
k
kjiknjinjijiij babababac
1
2111,?
i
j
i
j
21
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0
0
x x x
x x x
x x x
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
求方程组 的非零解
Example2,
? 1 2 3= - 1 + 0x x x? ??当时
= 2,
-2 1 1 1 1 2 1 1 2
1 2 1 0 3 3 0 1 1
1 1 2 0 3 3 0 0 0
?
??? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
??? ? ?? ? ?
当时
2
11
:
1 1 ( 2 ) ( 1 ) 0
11
s o lu ti o n
?
? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
22
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 4 2
6 7 4 3 3
4 1 2 4 4 1
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
Example
3,
(1 ) 2 ( 2 )
(1 ) 3 ( 2 )
? ? ?
? ? ?
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 6 1 1 8 7
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
1 x消去第一式以下的所有
2 x消去第二式以下的所有
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 0 2 5
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
3 2 5 4 2
6 7 4 3 3
9 1 2 4 4 1
? ??
??
? ??
???
? ?
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 6 1 1 8 7
? ??
??
? ? ? ?
??
??? ? ? ?
? ?
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 0 1 2 5
? ??
??
? ? ? ?
??
?? ?
? ?
23
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 0 2 5
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
3 2 5 4 2
0 3 6 5 1
0 0 1 2 5
? ??
??
? ? ? ?
??
?? ?
? ?
""
43
21
(3),2 - 5 (2),
7 31 32 143
,(1),
3 3 9 9
x c x c
x c x c
? ? ?
? ? ? ?
取 代入 得 代入
得 由 得1
2
3
4
32 143
,
99
7 31
33
2 - 5
xc
xc
xc
xc
?
???
?
?
???
?
???
?
??
1
2
3
4
32 143
99
7 31
33
25
10
x
x
c
x
x
????
?????
?
??????
??????
??
??????
??????
?? ??
????? ?
? ? ? ?
?? ??