1
第十讲
逆矩阵
分块矩阵
2
§ 2.3 逆矩阵
:,
.n
n A n B
A B B A I??
定义8 阶方阵 称为可逆的 如果有 阶方阵
使
:,
= ( ) ( ) =
,
n
nn
C A C CA I
C CI C A B CA B I B B
BA
??
? ? ?
?
若还有矩阵 满足 则
是由 唯一决定的
1,.B A B A ??称 为 的逆矩阵记为
1 1 1,
AB
A B A? ? ?? ? ?
显然,也称为 的逆矩阵
有 （ ）左逆 =右逆
GA10
3
1
:
()
An
A A A A? ?－１ －１
定理９设 是 阶方阵，
( １) 若 是可逆阵,则 也是可逆阵,且
1 1 1()A B A B A B B A? ? ??(2) 若 和 是可逆阵,则 也可逆,且
1( ) ( ) TA A A A? ?T T - 1(3) 若 是可逆阵,则 也可逆,且
proof:(2) 1 1 1 1 1( ) ( ),( )A B B A I A B B A? ? ? ? ?? ? ?
1( 3 ) ( ) ( ),( ) ( )TTA A A A I A A?? ? ?T - 1 - 1 T T - 1=
12
1 1 1 1
1 2 2 1
:,,,
()
s
ss
A A A n
A A A A A A? ? ? ??
推论设 都是 阶可逆方阵，则
1 1 1
1 2 2 1( ) ( )ssA A A A A A I
? ? ? ?
4
d e f 1, ( )
,
i j i j n i jA A a a?设 是矩阵 中元素 的代数
余子式 矩阵
).()(
21
22212
12111
jiij
nnnn
n
n
AA
AAA
AAA
AAA
A ???
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????
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.的古典伴随矩阵称为 A
我们有
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
1 2 1 2
nn
nn
n n n n n n n n
a a a A A A
a a a A A A
AA
a a a A A A
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nIA?
5
.
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A
A
A
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1 1 2 1 1 1 1 1 2 1
1 2 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
nn
nn
n
n n n n n n n n
A A A a a a
A A A a a a
A A A I
A A A a a a
?
? ? ? ?
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? ? ? ???
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? ? ? ?? ? ? ?
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那末有若
即
,0
.
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??
??
A
IAAAAA n
11 1 1( ) ( ),.
d e tn
A A A A I A A
A A A
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6
1
:
1
0,.
A
A A A
A
??
? ? ?
定理1 0 方阵 是可逆的
而
,0,nA B I A? ? ? ?证
.,
,,0
退化的也称为奇异的
是不可逆的时当 AA ?
1
0,
,
AA
A
A B B A I B
???
??
当 时 即是满足
的
1 1,.A A A
A
????可逆 且 左逆 =右逆
7
例 28:利用逆矩阵推导 Cramer法则
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
n
n
n n n n n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ??
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AX b?
.
1,,.
j
j
x
jn
?
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d e t 0,A ?若
11A A X A b???
1X A b??
1A ?把 的计算公式
代入
8
1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
11
n
n
n n n n n n
x A A A b
x A A A b
X A b
AA
x A A A b
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
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1
1,1,,.,
d e t
n j
j k j k
k
x A b j n
A ?
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? ? ? ??
?
.
111
21221221
11111111
nnnjnnjn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
??
???????
??
??
??
??
??
??
9
例 30,
.的伴随矩阵及逆矩阵求 ??????? dc baA
解,
.,,,22122111 aAcAbAdA ???????
,0
,
2212
2111
???
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??
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??
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bcadA
ac
bd
AA
AA
A
又
( - 0 )a d b c ?其中
.11 ?????? ? ?
?
?? ? ac bd
bcad
A
可逆矩阵的性质,
.)( d e t)d e t ()(;))((;)())((;))((;))((
11111
11111
11
?????
?????
??
??
??
?
AAvAkkAiv
AAiiiABABii
AAi
TT
10
1 1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ;
i v k A k A k k A A I
k A k A
? ? ? ?
? ? ?
??
??
11
11
( ),1
( d e t ),
v A A I A A
AA
??
??
? ? ?
??
11
Example1,
2
,3,2,,
1??
???
BA
BAnBA
试求
阶方阵均为设
.2)( d e td e t
,)( d e t)A( d e t A ) ( d e t
,)( d e t:
11 ???
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???
?
?
nn
n
AA
A
IAAA 两边取行列式得解 ?
.
3
1
d e t
,1d e td e t,
1
11
???
???
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??
B
BBIBB?又
3
222d e td e t22 12
3
1111
?
????? ??????
n
nnn BABA
12
Example2,
.,,
100
110
111
3
2 BIABAA 求矩阵且已知 ??
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解,
,
,,)(
1
12
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???????
AAB
ABAIBAAABA
于是
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.
100
110
011
1
1
332313
322212
312111
1
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AAA
AAA
AAA
A又
从而
.
000
000
100
100
110
011
100
110
111
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13
§ 2.4 分块矩阵
例,
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222
11
AI-
0A
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00010
00002
A
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2000
1100
0121
1013
0 22
1211
B
BB
B
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2
A0
- I A 0
d e f
AB
B B A B A B
B B B A B
?
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
14
?????? ????????? ? ??????? ?? 21 2621 1310 021111 BA
?????? ?????????????? ?? 01 2001 1010 021211 BA
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25
14
24
24
01
10
02
20
11
210
102
01
10
222212 BAB
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??
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2521
1413
0121
2026
?????? ????
22221211
12111111
BABB
BABAAB
15
(1)分块,就是用水平线和垂直线把矩阵分
割成一些长方形小块,每小块当元素看,
(2)乘法要求,A的列数 =B的行数 ; 分块时,
A的列的分法与 B的行的分法相同,块的个
数相同,且 A中每小块的列数 =B的相应小
块的行数,
1 1 1
1
( ),
s
ij r s
r r s
AA
AA
AA
?
??
??
??
??
??
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1 1 1
1
( ),
t
i j s t
s s t
BB
BB
BB
?
??
??
??
??
??
? ?
16
例 37,
-1
0
AC
DD
B
???
??
? ?
设 求
,( ),( ),,( ) 0,i j r r i j k k i j r kA a B b C c k r? ? ?? ? ? ?是可逆阵 是 零阵
解,
det det det 0
.
D A B
D
? ? ?
? 可逆 1 1 1 2-1
2 1 2 2
XX
D
XX
??
? ??
? ?
设
( ),( ),i j r s i j r sA A B B????设
( )i j i j r sC A B A B ?? ? ? ?则
1 1 1
1
( ),
s
ij r s
r r s
AA
AA
AA
?
??
??
??
??
??
? ?
1 1 1
1
,
TT
r
T
TT
s r s
AA
A
AA
??
??
?? ??
??
? ?
()ij r sk A k A ??
其中
17
1 1 1 2-1
2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2
2 1 2 2
0
0
0
r
k
XXAC
DD
XXB
IA X C X A X C X
IB X B X
?? ??
? ?? ??
? ?? ?
?? ?? ??
?? ?? ??
? ?? ?
2 1 2 1
-1
2 2 2 2
1
1 1 1 1
1 2 2 2
1 - 1
12
,0,,0,;
0,
.
k
r
B X B X
B X I X B
A X I X A
A X C X
X A C B
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
得 可逆
.
0
D 1
111
1- ?
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?
? ???
?
???
B
CBAA
1 1 1 2-1
2 1 2 2
D
XX
??
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? ?
设
18
.,1
1
1
???
?
???
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??
?
??
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B
AD
B
AD 称为准对角阵若
3:E x a m p le
??????? 00B AD设
..
,BA,
1?D
nm
求可逆阵
阶分别是其中
解,
,
0
0
0
0
0
0
0
0
:,
0
0
0
0
0
0
1
1111
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A
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A
B
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B
A
A
B
B
A
I
I
n
m
n
m 两边取逆得?
.
0A
B0
0I
I0
A0
0B
0B
A0
1
1
n
m
1
11
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19
Example 4(例 35),
.,0
,,
113
34
221
的值求且
为三阶非零矩阵设
tAB
BtA
?
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解, ? ?
836818
113
34
221
d e t0
00,
.3,2,1,0,,
321
??????
?
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???
????
????
tttA
AXBB
iABBBBB
i
i
有非零解则非零
记
?
.30217 ?????? tt
20
例 43,
).d e t ()d e t (
,n,m
BAIABI
mBnA
nm ???
??
证明
矩阵为矩阵为设
解,
,
0
0
,
0
0
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m
n
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n
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I
AABI
IB
I
IB
AI
IBA
AI
IB
AI
IB
I
:
d e t( ) d e t( ),mnI A B I B A? ? ?
两边取行列式得
也成立
号对 ?
21
Example5,
.,A
,032A,2
并求其逆可逆证明
阶方阵且满足是设 ??? IAnA
证,
).2(
3
1
,)]2(
3
1
[
,3)2(,032
1
2
IAAA
IIAA
IIAAIAA
???
??
??????
?
可逆且
于是有
?
思考题,
.并求其逆,逆IA证明
,AA阶方阵且满足n是A设 2
可?
?
,02 ?? AA (A+I) (A -2I) =-2I
.
2
2)( 1 IAIA ???? ?
22
Example6,
.B},
7
1
,
4
1
,
3
1
{
:,
试求
满足设三阶方阵
d ia g
BA
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?
?
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?
?
?
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?
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???
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7
1
4
1
3
1
,6
1
ABAABAA 且
解,
IBIA
AABAIA
??
??
?
??
)(
6
1
,6)(
1
11 得右乘?
.
1
2
3
)
7
4
3
(6))(
6
1
( 111
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?
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??
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???? ??? IIAB
23
例 31,55
1 0 ( ) 1 0
00
X Q X I Q X
????
????
? ? ? ? ?
? ? ? ?
????
1
5
( ) 1 0
0
X I Q
?
??
??
??
??
??
? ?
AX b?
1 0, 6 5 0, 0 5 5
(,) 0, 2 5 0, 9 5 0, 1 0 1 0
0, 1 5 0, 0 5 1 0
Ab
?? ??
??
? ? ?
??
????
? ?
1 0, 6 5 0, 0 5 5
0 0, 7 8 7 5 0, 1 1 2 5 1 1, 2 5
0 0, 1 4 2 5 0, 9 9 2 5 0, 7 5
?? ??
??
??
??
???
? ?