1
第五讲
行列式,
性质及计算
2
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
1,,.
d e t d e t
n
nT
n n n n
a a a
a a a
AA
a a a
??
性质 行列式经转置后其值不变
)d e t ( ija?
§ 1.4 行列式的性质
,( ),T i j i j j ip r o o f A b b a??记 其中
故
左边
1
12
1
(,,)
12
(,,)
( 1 ) n
n
n
ii
i i ni
ii
b b b??? ?
1
12
1
(,,)
12
(,,)
( 1 ) n
n
n
ii
i i i n
ii
a a a???? =右边
GA05
3
.每一个关于行的性质对列也必成立
11
:
.
.
p pn p pn
k a k a k a a?
性质2 行列式某行的公因子可以提到
行列式外面
1
1
1
(,,)
1
(,,)
( 1 ) ( )n
pn
n
jj
j pj nj
jj
a k a a??? ?
左边
1
1
1
(,,)
1
(,,)
( 1 ) n
pn
n
jj
j pj nj
jj
k a a a??? ?
=右边
4
1,
0,0,
推论
若行列式中某行元素全为 则其值为
1
0
0 0 0 0.
p pn
k
aa
?
??
当 时，有
2 3,性质,说明：行列式对于它的行是线性的
5
11
11
.
p p pn pn
p pn p pn
a a a a
a a a a
??? ? ?
????
:
,.
性质3 若行列式中某一行的元素都是
两项之和则可拆成两个行列式之和
6
1
1
1
(,,)
1
(,,)
( 1 ) ( )n
p p n
n
jj
j pj pj nj
jj
a a a a? ?? ? ??
左边
1
1
1
1
1
1
(,,)
1
(,,)
(,,)
1
(,,)
( 1 )
( 1 )
n
pn
n
n
pn
n
jj
j p j n j
jj
jj
j p j n j
jj
a a a
a a a
?
?
?? ?
??? ?
=右边
1111 p n p nj pj nj j pj nj
a a a a a a??
7
1 1 l n
1 l n 1
.
k k n l
l k k n
a a a a
a a a a
??
:,.性质4 行列式两行互换其值变号 即
左边 =
=右边
1
1
1
(,,,,)
1
(,,)
( 1 ) k l n
k l n
n
j j j j
j k j lj nj
jj
a a a a???
1
1
1
(,,,,)
1
(,,)
( 1 ) l k n
l k n
n
j j j j
j lj k j nj
jj
a a a a?? ? ??
,,l l k ki j k j l j l j k jb b a b a??
8
很重要 啦 !
:,
0.
推论3 若行列式中两行成比例
则其值为
:
,.
k推论4 把行列式的某行的 倍加到
另一行上去其值不变
,
,0,
推论2
若行列式中两行元素对应相等则其值为
0? ? ? ? ? ? ?
9
1 1 l n
11
k l k n
ln
a a a a
k
aa
????
按第 行拆开
1 1 1
1 1 1
.
k k n l n
l n l l n
a a a a
a a a a
??
10
Example 3,
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
.4,3,21-1
,6,
.48
2000
0200
0020
1111
6
3111
1311
1131
1111
61
行上去加到行乘后
提公因子先求列和
法 ??
11
.4826
2000
0200
0020
1116
3
????
3111
1311
1131
1113
2002
0202
0022
1113
2
?
?
?
法
,14,2,3
,4,3,21-1
列上去列加到后
行加到行乘先
12
例 10,解法 1,
1d e t [ ( 1 ) ] ( ),n
nA x n a x a
?? ? ? ? ?
1 1 1
[ ( 1 ) ]
a x a a
x n a
a
a a x
???
求列和
提取公
因子
1 0 0
00
[ ( 1 ) ] 0
0
00
a x a
x n a
a x a
?
? ? ?
?
x a a
a
a
a a x
13
解法 2,分项找递推公式,
1
1
21
2
21
2
1
( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) 2 ( )
( ) [ ( 1 ) ) ],
n
nn
nn
n
n
n
n
x a a x a
x a x a a x a a x a
x a a x a
x a x n a
?
?
??
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
0
0
n
x a a a a a a
x a a a x a a
a
aa
a a x a a x
?
? ? ?
14
解法 3,
11
11
0 1 0 0
0
0
0 1 0 0
n
nn
a a a a
x a a x a
a
a
a a x x a
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?
加边
1
1 0 0
1 0 0
0
0
1 0 0
n
a
n
xa
xaa
i
xa
xa
?
?
?
?
?
?
行乘
上去
行加到 1
1[ ( 1 ) ] ( ),nx n a x a ?? ? ? ?
15
Example4,
1 2 3 4 10 2 3 4
2 3 4 1 10 3 4 1
3 4 1 2 10 4 1 2
4 1 2 3 10 1 2 3
0 1 1 1
1 1 1
0 2 2 2
10 0 0 4
0 3 1 1
4 0 0
10 1 2 3
160.
? ? ?
?
? ? ? ?
??
? 各列加到 1列 ;
,1,2,3 ;ic c i ?４－＋
1 2 1 32,c c c c? ? ?
16
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3c
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
? ? ?
? ? ?
? ? ?
例 9,
1 1 1 1 1 1
2 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3c
a b b c a b
c c a b b c a b
a b b c a b
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
1 1 1 1 1
1 3 2 2 2 2 2
3 3 3 3
2
2
2
c
a b b c a
c c a b b c a
a b b c a
??
? ? ?
??
1 1 1
2 2 2
33
2
c
b c a
b c a
b c a
?
3 3 1 1 2
1,,
2
c c c c c? ? ? ?
17
exp5,
行列式计算 eV a n d e r m o n d
.)(
11
))((
)()(0
0
111
111
),,(
3132
1312
133122
1312
2
3
2
2
2
1
321321
?
???
?????
??
???
?
ij
ji
xx
xx
xxxx
xxxxxx
xxxx
xxx
xxxxxxV
).,,()(),,( 2
2
11 n
n
i
in xxVxxxxV ?? ?
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.)(
31
?
???
??
ij
ji xx