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Advanced Algebra
高等代数
适用于, 清华大学数学科学系
, 高等 代数, (I),(II)
配套教材：, 高等代数学,
制作者：数学科学系 张贤科
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第一章 代数系统,
群，环，域 ;
第二章 多项式形式,
带余除法 ;
第 一 讲
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A,B,C A B
C A B C
op e r a ti on ),
A B C A A A
A
?定义：设 为三个集合，称从
到 的一个映射为 与 到 的一个二元
代数运算（ 特别地，
当 ＝ ＝ 时，集 与 到 的二元运算
称为 上的一个二元运算。
代 数 系 统
.:;::
.,
,,
VVVVVF ???? 加法数乘如线性空间
也和别的集合运算有时
一般是自身上的运算运算的集合代数系统：带
.),,;(
,,,,15
1
1
的一个代数系统为称
个运算上的为是集合：定义
AffA
kAffA
k
k
?
?
GA01
4
:,)(
,(
,:
且满足如下规律与之对应记为
中唯一元素有中任意即对运算
中定义了一个二元在是非空集合设群
ba
GbaG
GG
?
?
.,,))(4(
.,))(3(
).,,()a()(.a)2(
.,,.)1(
eabGbGa
GaaaeGe
Gcbacbcb
GbaGba
????
????
??????
???
总存在对任逆元
对任使存在恒元
对任结合律
总有对任意封闭性
)( G ; ?记为
.)3(
,)4( 1
中恒元也称为单位元
记为的逆称为中的 ?aab
.
,,,
群或交换群为
则称对任如果还有
A b e lG
Gbaabba ????
G r o up
5
.);(),;(),;(),;(1 群均为：例 A b elCRQZ ????
.,
1
aeaeaa ＝＝即
有相同的性质。可以证明，乘在右边也
是乘在左边的，定义中的恒元和逆元都
－
??
( F )V2 n群：线性空间是一个加法例
g r o u pL i n e a rS p e c i a l
1d e t A( F )MA( F )SL
( F ),GLg r o u pl i n e a rg e n e r a l
.
n3
nn
n
称为特殊线性群－－
｝＝＝｛而
简记为
－－一般线性群乘法）是乘法群。称为
通常矩阵的阶可逆方阵的全体（按：例
?
6
RR
1 R ; A b e l
2 R ;,
3 ( )
( ),,.
( R ;,),0,
a b c a b a c
a b c a c b c a b c R
??
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
环：设 是一个集合，在 上定义了两个二元运算，
分别记为加法（ ）和乘法（ ）且满足：
（ ）（ ）是 群，
（ ）（ ）是半群，即满足封闭性和结合律
（ ）分配律 ＋ ＝ ＋
＋ ＝ ＋ 对
记为 ＋ 加法恒元常记为
乘法恒元为单位阵。
方阵，加法零元是乘法是环
矩阵的加法和阶方阵的全体，按通常：例
无逆元）有单位元称为整数环。是环＋：例
0( F).M
n5
,(,),( Z ;4
n
?
Ri n g
7
）分配律。（
元全体。的非指群是）（（
群。是＋）（（
且满足：
）的集合，）和（是有两个二元运算（域：设
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0FF.A b e l);F2
A b e l)F;1
F
??
?
??
Field
C.R,Q,
CR,Q,6
复数域实数域有理数域
域。对通常加法和乘法均是：例
的扩域。称为的子域，而为称
，中的原运算仍是一个域对的子集合若
KFFK
FKF
是任意数域的子域。是最小的数域有理数域
的子域被称作数域，
--Q
C
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II Polynomial form
.
,
1
01
1
1
上的一个多项式形式的表达式称为域
任一个符号，则形如
的是不属于为一个域，）设：（定义
F
FaaXaXaXa
FXFi
i
n
n
n
n
?????
?
?
?
§ 1- 1基本概念与运算
.11
,),,1,0(
多项式的称为首首项系数为次项。称为其
次系数称为其称为其次数，
iXa
inian
i
i
i ??
系数均相等。
它们的次数和各同次两个多项式形式相等
D
ii ?)(
9
Degree 次 记 deg f = n
。通常矩阵的加法和数乘
加法和乘法按阶方阵，可取为：例 ?
?
n
i
i
i AamX
0
1
域 F上多项式形式全体记为 F[X],系数为复数,
实数和有理数分别记为 C[X],R[X],Q[X],
定理 1:域 F上 X的多项式形式全体 F[X]按如下运算
(加法和乘法 )成为交换环 (称为多项式形式环 ),
乘。按线性变换的加法和数
，）上的线性变换（可取为：例 ?
?
n
i
i
in aFVX
0
2
10
.)())((
)(
000
000
? ???
???
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
k
k
kji
ji
j
j
j
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
XbaXbXa
XbaXbXa
Proof,
(1)F[X]对加法是 Abel群,
(2)F[X]对乘法是交换半群,
(3)乘法对加法满足分配律,
封闭性,结合律,有零元,
有负元,有交换律,
封闭性,结合律,交换律
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例如乘法结合律
))()((
000
???
?
?
?
?
?
? l
l
l
j
j
j
i
i
i XcXbXa
)())((
00
?? ?
?
?
?
? ??
?
l
l
l
k
k
kji
ji XcXba
? ??
?
? ????
?
0
))((
m
m
l
kji
ji
mlk
Xcba
? ?
?
? ???
?
0
)(
m
m
l
mlji
ji Xcba
? ??
?
? ??
?
?
?
00
))()((
k
k
l
klj
j
i
i
i XcbXa
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若 fg=h (f,g,h,均为多项式 )
则有 deg (fg)=deg f+deg g
命题 1,F[X]满足乘法消去律,对任 f,g,h F[X],
若 fg=fh 且 f = 0,则 g=h,?
。即，，故的首项为
，于是的首项非又
。其首项为，由
hghghg
ff
hgfp r o o f
????
??
???
00
00
00)(:
?
定义,有消去律的含幺交换环,称为整环,(Domain),
故 Z和 F[X]均为整环,
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§ 1- 2带余除法与整除性
即可。。，则令若
的存在性。和先证
frqgf
rqp r o o f
??? 0d e gd e g
:
唯一决定。，由和且
或，
，使，，则总存在）（
，若，：（带余除法）对定理
gfrq
rgrrgqf
XFrqXg
XFgf
0d e gd e g
][0
][1
????
??
??
，令
，记
01
1
1
01
1
1 0
bXbXbXbg
aaXaXaXaf
m
m
m
m
n
n
n
n
n
?????
??????
?
?
?
?
?
?
的首项相同。与则 fqgX
b
aq mn
m
n
11,
??
14
.
,,
21
1
111
的低的次数比
使存在
同样讨论，低，对的次数比
gfgqgqgqf
qq
fffgqf
ss
s
?????
???
?
?
即可。，，令 qqqqrf ss ????? ?21
，唯一性，设 00 rgqrgqf ????
0d e gd e g 00 ?? rgr 或
。，故
矛盾，）（））（（
若两边均非零，则由）（于是
00
00
00
d e gd e gd e g
rrqq
rrgqqg
rrqqg
??
????
???
的首项相同。与则 fqgX
b
aq mn
m
n
11,
??
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有带余除法的环称为 Euclid环, Z和 F[X]均是,
。记为，整除则称使
，，若，，：设定义
fgfgqgf
XFqgXFgf
??
???? ][0][3
整除的简单性质,
成立。对某则，且互伴性，若
。反身性，
。则，，若传递性，
?
?? Fccgfgffg
gg
hghffg
)3
)2
)1
.
0d e g
1101
11
cqcqFcqq
qqqfqgqf
??????
????
?
，）（证：由
16
5)(1234)( 234 ??????? XXgXXXXXf,例：
2931
5865586
586
1175117
117
23523
23
544
1234
2
3
234
??
??
??
??
????
X
X
X
XXXX
5?X
586
117
23
4
2
3
?
?
?
X
X
X
f(X) g(X) q(X)
r(X)=
17
.)()5)(()(
,2 9 3 1)(,586117234)(
23
XrXXqXf
XrXXXXq
???
?????
于是
112345
2931
5865
586
1175
117
235
23
45 ????
)5()( fXr ??
xa ?对于除式为 的带余除法，可以简化算式，
如上例可写为：