1
第九讲
矩阵运算
逆矩阵
2
§ 2.2 矩阵及其运算,
,( ),( ),
( ) ( ),
i j i j
D
i j i j m n i j m n
A a B b m n
C A B a b c??
? ? ?
? ? ? ? ?
定义4 设 是两个 矩阵
3:
( 1 ).,
( 2 ),( ) ( ).
( 3 ),0,0 0
.
( 4 ).,,- (- ),
( ) ( ) 0.
ij
A B B A
A B C A B C
A A A
A
A A a
A A A A
???
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
定理 加法满足
交换律
结合律
有零矩阵 使
对一切 成立
有负矩阵 对每个 有 使
GA09
3
1 1 1
2 2 2
n n n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
??
?
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????
? ?
12
12
12
n
n
n
b b b
b b b
B
b b b
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????
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1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a a
AB
a b a b a b
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4
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
1
1
1
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
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??
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????
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1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
I
a b a b a b
? ? ? ??
??
? ? ?
????
??
????
? ? ?? ?
5
,( )ij m nk A a m n???定义5 数 与 的数乘是一个 矩阵
4,
( 1 ), ( ) ( ),
( 2 ) ( ),
( 3 ) ( ),
( 4 ) 1,( 1 ),0 0,
k lA kl A
k l A kA lA
k A B kA kB
A A A A A
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
定理 数乘满足
对数乘的结合律
对数的分配律
对矩阵的分配律
.d e td e t,)(,AkkAkakA nnij ??注意
:例
255d e t,
1550
20100
10155
5,
310
420
231
3 ??
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? AAA
( ),
d e f
i j m nC k A k a ???
6
,( ),( ),
( ),,
ij m s ij s n
ij m n
A a B b
C c A B C AB
??
?
??
??
定义6 设 则
称为 与 的乘积 记为
其中
nmnssm
c
b
b
b
aaa
ij
sj
j
j
isii
???
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???
???
????
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????
????
2
1
21
1 1 1 2
1
.si j i j i j i s s j i k k j
k
c a b a b a b a b
?
? ? ? ? ? ?
i
j
i
j
7
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
? ? ? ??
??
? ? ?
???
??
????
? ? ?? ?
1
1
2
11
1 0 0
1 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
n
n
a
bb
a
a
??
?? ??
?? ??
?? ??
?? ??
?? ????
? ? ??
? ?
Example2,
1
2
12
1
1 1 1 1
1
n
n
a
a
b b b
a
??
??
??
???
??
?? ? ?
????
? ?
8
? ?,,,,
3
2
1
321
BAAB
b
b
b
BaaaA 求设
?
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?
?
??
例 19,
? ?,
332211
3
2
1
321
bababa
b
b
b
aaaAB ???
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
解,
? ?,
333231
232221
131211
321
3
2
1
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bababa
bababa
bababa
aaa
b
b
b
BA
9
.)(
.)()2(
).()()1(:
BCACCBA
ACABCBA
BCACAB
???
???
?
乘法对加法的分配律
结合律乘法满足
.?)5( BAAB不满足交换律
.,)(
.,A:,,,)(
.,:,,)(
2332
4332
它们也未必相等阶方阵都是和
如但不一定同类形都有意义
如不一定有意义有意义
nBAABi i i
BBAABii
BABAABi
??
???
.00,00
,,)4(
.)())(()3(
??
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?
AA
AIAAAI
ABkllBkA
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100
0
10
001
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???
??
?
I
定理 5,
.00 0011 1111 11 ?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
??
?
??
?
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???BA
Example3,
?????? ????????? ? ?? 11 11,11 11 BA则
,22 2211 1111 11 ?
?
??
?
?
?????
??
?
?
????
??
?
?
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??AB
.BAAB ??
,0,0,B A 0,AB ? ? ?这与数的运算不同 但
.
,
20
02
CBABAC
C
??
?
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?
?
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但得
又取 ??
??
?
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??? 22
22AC?
没有消去律 !
11
.?)(
)6(
kkk
lklk
BAAB
AAA
但
方阵的幂 ??
.??? ?? ?
个k
D
k AAAA ??
)())(()( ABABABAB k ?? ?
T
,( ),,
,,A,
i j m nAa
n m A
??
?
定义7 把 的行作为列列作为行
得到一个 矩阵 称为 的转置矩阵记为
..)(
21
22212
12111
ji
T
ij
nnnn
n
n
T
ij
T
aa
aaa
aaa
aaa
aA ?
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?
?
??
?
????
?
?
12
6, ( 1 ) ( ) ;
( 2) ( ) ; ( 3 ) ( ) ;
( 4) ( ),
TT
T T T T T
T T T
AA
A B A B k A k A
A B B A
?
? ? ? ?
?
定理 转置满足
? ? ? ? ? ?,,,i j i j i jm r r n m nA a B b A B c? ? ?? ? ?proof:设
? ? ? ?() T i j j in m n mA B c c?????
s
k = 1
(,), j i j k k ii j c a b? ?左边的 位上元素
11
(,),
rr
i j i k k j k i j k
kk
i j b a b a?
??
??????右边的 位元素
? ? ? ?() T i j j in r n rB b b????? ? ? ? ?() T i j j i
r m r mA a a?????
13
() i j n nAa ?? Ｔ设,若　Ａ＝Ａ则称Ａ为实对称阵
例 23,
ij jaaｉ＝
() i j n nAa ?? Ｔ设,若　Ａ＝－Ａ则称Ａ为反对称阵
ij jaa ｉ＝－
14
Example5,
? ? ? ?
.A,
,,,1,3,2,1 3121
nTA 试求且
已知
??
??
?
??
解,
.3)(
)()(
)())((
11
1
A
A
nTnT
n
TTT
n
TTTn
??
?
??
?
?
????
??????
??????
?? ??? ??
?
???? ????? ??
??
15
§ 2.3 逆矩阵
:,,
d e t( ) ( d e t ) ( d e t ),
A B n
A B A B?
定理8 设 是 阶方阵则
? ? ? ?,,i j i jn n n nA a B b????proof:设
? ?d e t d e t ij nnA B c ??? 1 1 2 2
12
1 1 2 2
12
1 1 1 2 1
1 1 1
12
1 1 1
nn
n
nn
n
n n n
k k k k k k n
k k k
n n n
n k k n k k n k k n
k k k
a b a b a b
a b a b a b
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1
1
n
k k k k n n
k
a b a b a b a b a b
?
? ? ? ? ??
16
1 1 2 2
2
1
1 1 2 2
21
1 1 1 2 1
11
1
12
11
nn
n
nn
nn
k k k k k k n
kk
n
k
nn
nk k nk k nk k n
kk
a b a b a b
a b a b a b
??
?
??
??
? ?
??
1 1 2 2
1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
11
12
nn
n
nn
k k k k k k n
nn
kk
n k k n k k n k k n
a b a b a b
a b a b a b
??
? ??
17
12
12
1
1
12
1 1 1
2 2 2
1
,,1
n
n
n
n
n
k k k
n
k k k
k k n
kk
n k n k n k
a a a
a a a
bb
a a a
?
? ?
12
12
1
1
12
1 1 1
2 2 2
1
(,,)
n
n
n
n
n
k k k
k k k
k k n
kk
n k n k n k
a a a
a a a
bb
a a a
???
1
1
1
1
1
1
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2(,,)
1
(,,)
12
(,,)
1
(,,)
( 1 )
d e t ( 1 )
n
n
n
n
n
n
n
nkk
k k n
kk
n n n n
kk
k k n
kk
a a a
a a a
bb
a a a
A b b A B
?
?
??
? ? ??
18
Example6,计算行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
n
n n n n
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
1
2
1 0 0
1 0 0
1 0 0
n
x
x
x
12
1 1 1
0 0 0
n
y y y
?
2 2 1 2 1( ) ( )x x y y? ? ? ?
03n??
19
Example7,计算行列式
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
??
??
??
2 2 2 2 2d e t ( )A a b c d? ? ? ?
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
? ? ?
?
?
?
2 2 2 2
a b c d
k
k
k
? ? ?
?
2 2 2 2a b c d k? ? ? ?记
2 2 2 2 4()a b c d? ? ? ?
TAA ?
20
:,
.n
n A n B
A B B A I??
定义8 阶方阵 称为可逆的 如果有 阶方阵
使
:,
= ( ) ( ) =
,
n
nn
C A C CA I
C CI C A B CA B I B B
BA
??
? ? ?
?
若还有矩阵 满足 则
是由 唯一决定的
1,.B A B A ??称 为 的逆矩阵记为
proof:设
? ? ? ? ? ?,,i j i j i jm s s t t nA a B b C c? ? ?? ? ?
( ) ( )A B C A B C??
? ? ? ?,i j i jm t s nA B B C??????
t t s t s
l = 1 l = 1 k = 1 l = 1 k = 1
(,),
()
i j i l l j i k k l l j i k k l l j
ij
w c a b c a b c?? ? ?? ? ? ? ?
左边的 位上元素
s s t s t
k = 1 k = 1 l = 1 k = 1 l = 1
(,),
()
i j i k k j i k k l l j i k k l l j
ij
w a a b c a b c?? ? ? ?? ? ? ? ?
右边的 位元素
ij ijww ???
22
1
:
)
An
A A A A? ?－１ －１
定理９设 是 阶方阵，
( １) 若 是可逆阵,则 也是可逆阵,且(
1 1 1)A B A B A B B A? ? ??(2) 若 和 是可逆阵,则 也可逆,且(
1)) TA A A A? ?T T - 1(3) 若 是可逆阵,则 也可逆,且( (
23
,,0,
.
TA n A A I A
AI
??
?
设 是 阶方阵 满足
求
,)(
:
AIAAIA
AIAAAAIA
T
TT
????
??????解
.0,1
,0,1)( d e t 2
?????
??
AIA
AA
故
且由已知又
Example4,