1
第六讲
Laplace展开
Cramer法则
2
2
()
( - 1 )
-1
i j i j
n a a
i j n
n
?
n
在一个 阶行列式 中,划 去 所在
的第 行和第 列,剩 下的 个元素，按原来
行，列的顺序所构成的一个 阶行列式
11 1 1
1
1
()
jn
i ij inij
n nj nn
a a a
a a aa
a a a
??
n
§ 1.5 行列式按一行 (列 )的展开
余子式,
GA06
3
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
j j n
i ij ij in
ij
i i j i j i n
n n j n j n n
a a a a
a a a a
M
a a a a
a a a a
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
ija称为元素 的余子式 Complement miner
代数余子式,
( 1 ) ijij ijAM ???
Algebraic Complement
4
:L a p l a c e定理4 ( 展开)
11
1
,( )
n
i j j j
j
p r o o f a a A
?
?? ?n先证
1
()
n
i j k j k j
j
a a A
?
?? ?n
11 12 1
21 22 2
12
()
0 0 0 0 0 0 0
ij
n
n
n n nn
a
a a a
a a a
a a a
??
? ? ? ? ? ? ?
n
5
11
2 1 2 2 2
12
00
()
n
ij
n n n n
a
a a a
a
a a a
??
n
12
2 1 2 2 2
12
0 0 0
n
n n n n
a
a a a
a a a
?
1
2 1 2 2 2
12
0 0 0
n
n
n n n n
a
a a a
a a a
?
11
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1( ) ( 1 ) ( 1 )
n
i j n na a M a M a M
?? ? ? ? ? ? ?
n
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1nna A a A a A? ? ? ?
6
11 1 1
1
1
jn
k k j k n
n nj nn
a a a
a a a
a a a
1
11 1 1
1
1
( 1 )
k k j k n
jn
k
n nj nn
a a a
a a a
a a a
?
??
1 1 11 1 2 2( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]knk k k k k n k na M a M a M??? ? ? ? ? ? ?
11
1 1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
n n nk j k j
k j k j k j k j k j k j
j j j
a M a M a A? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
7
推论 1,
11 1 1
1
1
jn
i ij in
n nj nn
a a a
a a a
a a a
11 1 1
1
1
jn
jn
n nj nn
a a a
c c c
a a a
k
1
n
j k j
j
cA
?
? ?
推论 2,
k
1
n
i j k j
j
aA
?
? ?
0 ( )ik??
8
:L a p l a c e定理6 ( 定理)
1 0
n n
i j k j i j n
j
ik
aA
ik
?
?
???
? ? ?? ?
??
ininiiii
n
k
ikik AaAaAaAaA ????? ?
?
?2211
1
d e t
.)1(
,d e t
ik
ki
ik
ikik
MA
aAA
???
的代数余子式中元素是其中
.行展开按 i
列展开按 j
AaAaAaAa njnjjjjj
n
k
kjkj ????? ?
?
?2211
1
9
14131211
14131211
3
3
3111
1311
1131
1113
MMMM
AAAA
????
????
Example4,
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1
3 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1
3 ( 20 ) 4 4 4
48
? ? ? ?
? ? ? ?
?
10
1
1
n
n
? ? ??
??
??
?
??
?
例 16:计算 n阶三对角线行列式
按第一列分项
第 1行提出公因子后
12rr??
11
1 0 0
0
0 1 0
0 0 1
n
nn
n
?
? ? ?
? ? ? ???
??
??
??
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?
0 0 0 0
10
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
? ?? ? ??
? ? ?? ? ? ??
?? ??
? ? ? ?
??
??
??
11
1
n
nn?? ?? ? ? ?
,,??由于 的对称性又有
1
n
nn?? ?? ? ? ?
-1
-
-
nn
n
??
??
? ? ?
+ 1 + 1-
()
-
nn
n
??
??
??
? ? ? ?
11
1 0 0
0
0 1 0
0 0 1
n
nn
n
?
? ? ?
? ? ? ???
??
??
??
? ? ? ? ? ??
?
12
n
ab
c
b
ca
1
1
n
n
ab
cc
c b
c
a
c
?
1 ) = 0,;nnb c a??若则
2 ) 0,+ =,;abbc
cc
? ? ? ???若 则令
2 0,,abxx
cc
????由解方程 - 可定出 的值
2 4
,=
2
a a b c
c
??
??
13
210
120
011
210
121
012
2
2100
1210
0121
0012
????
12
21
1
2
1
12
n n n
n
??
? ? ? ? ? ?
53)228(2 ?????
.211 ??? ???????? nnnn
.121 121 ???????????? ?? nnnn ?
Example6,
1 2 1 3 2 1,nn ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14
§ 6.克莱姆 (Cramer)法则
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
??????????
?
?
2211
22222121
11212111
.
n),1,2,i(
),,2,1,(
称为常数项
称为方程组的系数
?
?
?
?
i
ij
b
njia;
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
??
.
111
21221221
11111111
nnnjnnjn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
??
???????
??
??
??
??
??
??
)( ija??
记系数行列式
,0,??定理7 当系数行列式 方程组有唯一解
.,,1
.
nj
x
j
j
??
?
?
?
15
:p r o o f
1 1 1
11n n n
k i j k j k i k i
k j k
b a A b b?
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
??
()
1 1 1 1
jn n n n
ij
i j j i j k k j
j j j k
a
a x a b A
? ? ? ?
?
??? ? ? ?
??
推论, 对于齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
??????????
?
?
.
,0
只有零解
则方程组
若系数行列式
??
16
:p r o o f
00
1
0,1,,0
n
i j j k
j
a x i n x
?
? ? ?? 不妨设
反证法,若有非零解 ? ?
0 0 0
12 nx x x
0
00
0
1,1,
= -,= -,
nn
j
i k k i j j i k i j
j j k j j k k
x
a x a x a a
x? ? ? ?
???
1,,in?
0
1 1 1 10
1,
0
1 0
1,
( ) 0
n
j
jn
j j k
k
ij
n
j
n n j n n
j j k
k
x
a a a
x
a
x
a a a
x
??
??
? ?
? ? ?
? ?
0,
.
??
与
矛盾
17
唯一性,
12,ny y y设有 也满足非齐次方程组
()
0 1,,
j
j j j jx y y x j n
?? ? ? ? ? ? ?
?
1
1,,
n
i j j i
j
a y b i n
?
???
1,,j j jz x y i n? ? ?则 满足
1 1 1 1
()
0
n n n n
i j j i j j j i j j i j j
j j j j
ii
a z a x y a x a y
bb
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
???
10,(,) (0,0 )nzz? ? ? ?
.0
,:
??则系数行列式
零解如齐次线性方程组有非定理
18
Example7,
12,,nx x x设 是互不相同的数，
12,ny y y 是任一组给定的数，
( ),( ) 1,,ii
G r a m e r n
f x f x y i n??
用 法则证明：存在唯一的次数小于 的多项式
使得
-10 1 1() nnp r o o f f x x x? ? ? ?? ? ? ?,设 是所求多项式，1
0 1 1 1 1 1
1
0 1 2 1 2 2
1
0 1 1
n
n
n
n
n
n n n n
x x y
x x y
x x y
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
ix 互异，
1
1
(,,)
()
0
nn
n
ij
j i n
V x x
xx
? ? ?
?
??
???
?
系数行列式
故方程组有唯一解
19
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1 1
aa
aa
aa
a
?
??
?
??
??
a
aa
aa
aa
a
aa
aa
a
??
??
?
?
?
??
??
??
?
1100
110
010
00
1100
110
011
001
3)(1 ???? a
a
aa
a
a
??
??
1100
110
010
001
Example8,
20
432
22
23
1
])1[()(1
])(1)[(1)(1
aaaa
aaaa
aaa
?????
???????
?????????
)1)((1
)}1()1()1) { ((1
110
11
01
)(1)(1
32
3
3
aaaa
aaaaaa
a
aa
aa
aa
??????
????????
??
??
?
??????
32331 aaa ???
21
.
,0
1
ji
Aa
n
k
ikjk
?
??
?
?
???
?
???
?
???
jnjj
jnjj
aaa
aaa
21
21
i
j
推论 1,
?
???
?
???
?
???
jnjj
n
aaa
bbb
21
21
?
?
n
k
ikk Ab
1
.
推论 2,i
j