1
带余除法与整除性 ;
最大公因子,辗转相除法
第 二 讲
2
§ 1- 2带余除法与整除性
唯一决定。，由和且
或，
，使，，则总存在）（
，若，：（带余除法）对定理
gfrq
rgrrgqf
XFrqXg
XFgf
0d e gd e g
][0
][1
????
??
??
点的值。在称为则
）设：定义
cXfacacacf
FcaXaXaXfi
n
n
n
n
)(,)(
,,)(4
01
01
????
?????
?
?
的解或根。为也称
中的根或零点，在为称若
0)(
)(,0)()
?
?
Xfc
FXfccfii
GA02
3
).()(0)()
).()()()()2
XfcXcfii
cfXqcXXfi
???
???
零点定理
余数定理：定理
。的根为 )()()()( XqcXXfXfc ???
为单根。时称重根。当的为则称
设
cmmXfc
mcg
FcXFXgXgcXXf m
1)(
)1,0)(
,),()((),()()(
?
??
????
4
11
1 1 2 1 2
1 2 2
,( ),( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Proof a f X f X
f X X a f X a a a
f X X a X a f X
?
? ? ?
? ? ?
设 为 的根 则由零点定理
使 再若 是根
则
继续
? ??
???
???
?
?
m
i
i
m
n
m
n
mm
nn
XfaXaX
XfaXaXXf
m
1
1
1
.,
)()()(
)()()()(
1
两边次数相等?
?
?
()
( ),
F n f X F
n
：域 上的 次多项式 在 中
最多有 个根 重根按重数计入
定理3
5
1
4 ( ),( ) [ ],d e g,d e g,
,,,( ) ( )
( ) ( ),
n i i
f X g X F X f g n
n c c f c g c
f X g X
??
?
?
定理,设
若在 个不同的点 上
则
1
( ) ( ) ( ),
,,( ),( ) 0,n
h X f X g X
c c h X h X
??
??
证：令 则
是 的不同的零点
( ) [ ],d e g ( ),
( ),
( ) 0,
f X F X f X n
f X F n
fX
??
?
?
推论：设
如果 在 中有 个不同的根
则
6
§ 1- 3 最大公因子与辗转相除法
的公因式。与为则称
满足若；设定义
)()()(
,][)()1
][,1
XgXfXh
ghfhXFXh
XFgf
?
?
.)()()(
,][)()2
的最大公因式与为则称
的任一公因式的倍，和且是
的公因式和是若
XgXfXd
gf
gfXFXd ?
).,( gfgf 的首一最大公因式记为与
7
][,,
).,(),(,1
XFrgf
grgfrgqf
?
??? 则：若引理
).,(),();,(),(
,),(,),(,),(:
gfgrgrgf
rgfggffgfp r o o f
同理故
知由
????
??,
d e gd e g,
d e gd e g,
3321
12221
111
rqrr
rrrqrg
grrgqf
??
???
???
sss
sss
ssssss
crrrrggf
qrr
rrrqrr
?????
??
???
?
??
???
),(),(),(
d e gd e g
11
11
112
?
8
f(X) g(X)
x4+ x3- x2- 2x+ 1 x3+ 2x2 -3 q1(X)
x4+2 x3 - 3x
- x3 - x2 +x + 1
- x3 - 2x2 + 3
r1(x)= x2 +x -2
q2(X)
x3 + x2 -2x
x2 +2x -3
x2 + x -2
r2(x)= x -1
=(x-1)(x+2)
所以 ( f,g ) = r2(x) = x -1
.,22111 rqrgrgqf ????
.)1(
.)(
212
21212
gqqfq
qgqfgqrgr
????
?????
= x-1 =x+1
9
的线性组合。与 gf
qqrrqrr
qrrr
sssssss
ssss
?
?
????
??
??????
??
??
?
)()(
123234
12
.
],[,,
)(),(],[,2
等式
使而且存在且唯一
存在则：设定理
B e z o u tdvguf
XFvu
XdgfXFgf
??
?
??
112 d egd eg,??? ??? ssssss rrrqrr
10
421 1 1
4 4 2
321 1 1 1
4 4 2 2
( ),
( ),
f x x x
g x x x x
? ? ?
? ? ? ?
设
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ),( ) ),
u x v x
u x f x v x g x f x g x
??
??
且有 使得_____, _ _ _ _ _
( ( ),( ) ) _ _ _ _ _ _ _ _,f x g x ?
则其首一最大公因式
( ) ( ) _ _ _ _ _ _ _,u x v x ?又 （, ）
exp1
11
421 1 1
4 4 2xx??
321 1 1 1
4 4 2 2x x x? ? ?
4 3 21 1 1 1
4 4 2 2x x x x? ? ?
3231 1 1
4 4 2 2x x x? ? ? ?
321 1 1 1
4 4 2 2x x x? ? ? ?
1x?
2
1 1rx??
( 1 ) ( 1 )xx? ? ?
1q ?2q ?
1144x?
311
44xx?
21 1 1
4 4 2xx??
211
44x ?
112 44rx? ? ?
()fx()gx
14 ( 1 )x? ? ?
2(,) ( 1 ) 4 ( )f g x r x? ? ? ? ?
12
.,22111 rqrgrgqf ????
.)1(
.)(
212
21212
gqqfq
qgqfgqrgr
????
?????
2(,) ( 1 ) 4 ( )f g x r x? ? ? ? ?
2 1 24 4 ( 1 )q f q q g? ? ?
2( ) 4 1 ;u x q x? ? ? ?
22
12( ) 4 ( 1 ) ( 4 1 ) 3v x q q x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(,) 1uv ?
13
§ 1- 4 互素
互素。与则称
若定义：设
)()(
1),(],[,
XgXf
gfXFgf ??
.1
][,1),(3
??
???
vguf
XFvugf 使存在：定理
.1)(1)(,)(
,)(),(),(
1)(:
???
??
??
XdXdgXd
fXdXdgf
XdB e z o u tp r o o f
则设
得证。等式由 ?
：整除和互素有如下性质
14
.1),(,1),(,1),()
.,1),(,,)
.,1),(,)4
212121
???
?
?
ghfhfgfi i i
gffffgfgfii
hfgfghfi
则若
则且若
则且若：定理
.
,1):
hfhhgvhfu
hgvfuip r o o f
???
?? 两边同乘由
.,,
,1),(,,)
21221221
122111211
gffhffghfh
hfffhffhfgii
????
??? 且
.1),(
1)(
,1,1)
??
????
????
ghf
v tg hs fv gthsfuf
thsfvgufiii 两边相乘得由
15
§ 2- 1 唯一析因定理
是不可约。上是可约，否则称在则称
均非常数可表为
上的非常数多项式形式：若域定义
fFf
XFhgghf
fF
)][,(,
1
??
.,1;2
2
2
中可约在中不可约在
上可约上不可约，在在例：
CRx
RQx
?
?
16
.,)(
.,)(
.][)(1
2121 fpfpffpii
fpfpi
XFXp
或则若
则不互素与若
不可约：设引理 ?
。不互素而
。，或，知由
无真因子。不可约，知
fppfpfp
pfppfp
ppip r o o f
???
?
),(,
1),(),(
)(:
。互素，则与若
，不互素，则由与若
21
11
)()(
fpfp
fpifpii
17
a.eae,aa 1 ＝＝即
有相同的性质。可以证明，乘在右边也
是乘在左边的，定义中的恒元和逆元都
－ ??
.)()(
.)()(
)()()(
11
111111
111111
aaeaaaaaaea
eaaaea
aaaaaaeaa
??????????
??????
????????
??
??????
??????
.FFF,F.30 2121 不一定是数域为任两个数域，则设 ?
18
.1;;
34124
43213
12342
21431
4321
21434
42313
13242
43121
4321
},4,3,2,1{.1
的逆元为，且的是：
）中成为群）与（则代数系统（
分别定义为：
与中的二元运算设集合
?
?
?
AA
AA
?
?
??
.2
是否构成群算下，则在通常的矩阵乘法运
阶复方阵的集合，的是所有秩不大于令
G
nrG