1
第 四 讲
行列式
Determinant
2
§ 1 Arrangement ( 排列 )
定义 1 排列,
12
12
1,2,,
(,,,)
n
n
nn
i i i n
i i i
由 这 个数组成的任一个有序
数组 称为一个 级排列
也记为,
n 级排列的总数为:
自然排列,
( 1,2,,1,),nn?
例如, (1,2,3) 是三级排列,(3,2,1) 也是
! = ( - 1 ) 2 1,n n n 个
3
<2>逆序,
1(,,),
,,(,),
p q n
p q p q
n i i i i
p q i i i i??
在一个 级排列 中
若 而 则称 是该排列的一个逆序
例, 三阶排列 (3,2,1)中有逆序 (3,2),(3,1),(2,1)
逆序数,
12
12
(,,,),
(,,,),
n
n
i i i
i i i?
排列 中逆序的总个数
记为
<3> 偶排列, 逆序数为偶数的排列,
奇排列, 逆序数为奇数的排列,
( 1,2,,) 0,n? ?
是偶排列
1(,1,,1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 1 ( 1 )
2
n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( 1,2,,)n?故
4
,
,,.
n在一个 级排列中互换某两个数码
的位置 其余数码不动 称为排列的一次对换
定理 1:任一排列,经一次对换后,必改变其排
列的奇偶性,
:对换
? ? 213,2,1 ( 3,1,2 )????? ?奇偶例,
15( 1,2,3,4,5,6 ) ( 5,2,3,4,1,6 )????? ?偶奇
( 5,2,3,4,1,6 ) 4 1 1 1 7,? ? ? ? ? ?
( 4 4 k + 1 ) ;
( 4 + 2 4 k + 3 ),
nk
nk
?
?
偶排列 或
奇排列 或
1(,1,,1 ) ( 1 )
2
n n n n? ? ? ?
<4>
5
的大小关系是一样的,而从
必使逆序的个数增加或减少 1
故相邻两数的一次对换,改变了排列的奇偶性,
所以经过奇数次相邻两数的对换后,一定改
变排列的奇偶性,
proof:1.先讨论一次相邻两数码的对换,
111,,,,,,kkiik k k ki i i i???? ????
显然,在对换前后,所有,…” 位置上的数码
与
定理,经一次对换后,必改变排列的奇偶性,
11,,k k k ki i i i???
1,kkii ?
6
所以,共施行了 2s+1 次相邻两数的对换,
故,必改变排列的奇偶性,
2.对于一般的对换,
11,,,,,,,,,,
pqii
p p p s q q p p s pi i i i i i i i
?
? ? ? ?????
可以,通过接连施行若干个相邻的对换而达到
1,,,,,,
s
q p p s pi i i i????????
次相邻对换
1
1,,,,,
s
q p p p si i i i
?
????????
次相邻对换
1,,,,,p p p s qi i i i??
p+s=q-1
7
1.不影响已经在自然排列的位置上的数码 ;
2.每对换一次,至少让一个数在自然排列位置上,
12,,,,ni i i在排列 中
,( = 1,2,,),ki k k n?若 可经过对换 kik?
后
k 就在自然排列的位置上 ;且
在施行这样的 对换时,
故,最多施行 (n-1)次 对换,就可使其变成自然
排列 (最后 一次 对换,使两个数同时到位 ),
定理 2,任一个排列都可经过一系列对换变成
自然排列,且所做对换个数与原排列有相同的
奇偶性,
8
例,
61( 6,5,4,7,3,2,1 ) ( 1,5,4,7,3,2,6 )?????
52 ( 1,2,4,7,3,5,6 )?????
43 ( 1,2,3,7,4,5,6 )?????
76 ( 1,2,3,4,5,6,7 )?????
若原为奇排列 自然排列 (偶 )
p????? 经 次对换
若原为偶排列 自然排列 (偶 )
q????? 经 次对换
p?对换改变了排列的奇偶性 为奇数
q?对换没有改变排列的奇偶性 为偶数
9
§ 2 n 阶行列式的定义
11 12 1
21 22 2
12
:,,1
ij ij
n
n
m m mn
m n a a F i m j n
a a a
a a a
A
a a a
? ? ? ? ? ?
??
??
??
?
??
??
? ?
定义2 由 个数 ( 1 )
排成的数表
,( )i j m nm n A a ???称为 矩阵 记为
,.
,.ija A i j
横的称行 竖的称列
是 的第 行 列位元素
10
,( ),( ),
,( 1,,; 1,,),
i j i j
i j i j
A a B b
A B a b i m j n
??
? ? ? ? ?
相等 设 是两个同型矩阵 则
,( ),( ),
( ) ( ),
i j i j
D
i j i j m n i j m n
A a B b m n
C A B a b c??
? ? ?
? ? ? ? ?
加法 设 是两个 矩阵
,( )
( ),
i j m n
D
i j m n
k A a
C k A k a
?
?
?
??
数乘 数 与 的数乘是
.,阶方阵为称时当 nAnm ?
11
11 1
0
00
n
nn
aa
a
??
??
??
??
??
??
上三角矩阵
,0ijija??
下三角矩阵
11
1
00
0
n nn
a
aa
??
??
??
??
??
??
11
00
0
0
00
nn
a
a
??
??
??
??
??
??
对角矩阵
,0,,1,,iji j a i j n? ? ?
,0iji j a??
12
2,(,1,,)
.
ijn a i j n
n
?定义3 由 个数 通过
下式定义的一个数称为 阶行列式 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
d e t
n
D
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
??
? ??
),,(
21
),,(
1
21
1)1(
n
n
n
jj
njjj
jj aaa
?
? ??
13
( 1 ),,.
( 2 ),,
,
( 3 ),, !,
n
nn ??
每一项是取自不同行不同列的 个元素之积
每一项的符号由行指标按自然排列时
列指标排列的奇偶性决定
对 阶排列求和 共有 项
11
1 1 2 2
(,,) + (,,)( 1 ) nn
nn
kk
i i j j
i j i j i j
ij
a a a??
?
???
? ??
),,(
21
),,(
1
21
1)1(
n
n
n
jj
njjj
jj aaa
?
? ??
? ? 1
12
1
(,,)
12
(,,)
( 1 ) n
n
n
ii
ij i i i n
ii
a a a a??? ?
14,
332112322311312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
??
例 1,
例 2,
15
1 0 0 1
0 0 2 0
0 3 0 0
4 0 0 2
的值
e x a m p le 1,
1 2 3 41 2 3 4
1 2 3 4
:,
14
= = 3 = 2
41
j j j j
a a a a
j j j j??
解 由定义 一般项为
4计算 阶行列式
4
( 1,3,2,4 ) ( 4,3,2,1 )
1 1 2 3 3 2 4 4 1 4 2 3 3 2 4 1( 1 ) + ( 1 )a a a a a a a a
??
??
??
= - 1 2 3 2 1 2 3 4 1 2? ? ? ? ? ? ? ?
16
例 3,
1
21
12
1
n
n
n
n
a
a
n
a
a
?
?
计算 阶行列式
1212
- 1 2 1
:,
1,2,,- 2 - 1
nj j n j
nn
a a a
j j j n j n? ? ? ? ?
解 一般项为 考察它的非零项
(,1,,1 )
1 2,1 1= ( 1 )
nn
n n n na a a
? ?
???
( 1 )
2
1 2,1 1= ( 1 )
nn
n n na a a
?
??
17
nn
nn
n
aaa
a
aa
?
?
????
??
??
2211
111
00
0
?
上三角行列式 例 4,
1212
-1
3 2 1
:,
,=,= -1
= 3,= 2 = 1
nj j n j
nn
a a a
n j n j n
j j j
?
?
解 一般项为 考察它的非零项
第 行只有一个元素 于是
( 1,2,,)
1 1 2 2
1
=( 1 ) =
n
n
n n n i i
i
a a a a?
?
?? ?
18
11
11 22
1
00
.
0
nn
n nn
a
a a a
aa
?
11
1 1 2 2
00
0
0
00
nn
nn
a
a a a
a
?
下三角行列式
对角行列式