1
第七章
应力状态分析
强度理论
2
第七章 应力状态分析 强度理论
? 应力状态的概念
? 二向应力状态分析 —— 解析法
? 二向应力状态分析 —— 图解法
? 三向应力状态
? 广义胡克定律
? 复杂 应力状态下的应变能密度
? 强度理论概述
? 四种常见的强度理论及强度条件
目
录
3
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸 铁
§ 7— 1 应力状态的概念
4
脆性材料扭转时为什么沿 45o螺旋面断开？
低碳钢 铸 铁
§ 7— 1 应力状态的概念
5
F
l
a
S
1
tW
Tτ ?
z
zWMσ ? 3
tW
Tτ ?
z
zWMσ ??
S平面
z
Mz
T 4
3
2
1
y
x
M
???
Fl
T ? ??
Fa
目录
§ 7— 1 应力状态的概念
6
1?
2?
3?
yx
z
?x ?y
?z
?xy
?yx
?yz
?zy?zx
?xz
单元体上没有切应力的面称为 主平面 ；主平面上的正应力
称为 主应力,分别用 表示，并且
该单元体称为 主单元体。
321,,??? 321 ??? ??
§ 7— 1 应力状态的概念
7
1?
2?
3?
空间（ 三向）应力状态：三个主应力均不为零
平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
§ 7— 1 应力状态的概念
8
x
y
?x
?y
?yx
?xy
α
? ? 0 nF ? ? 0 tF
1.斜截面上的应力
?y
a?
a?
?xy dA
α
n
t
x?
yx?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
9
? ? 0 nF
0s i n)s i n(c os)s i n(
c os)c os(s i n)c os(
??
???
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
列平衡方程
? ? 0 tF
0c o s)s i n(s i n)s i n(
s i n)c o s(c o s)c o s(
??
???
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
?y
a?
a?
?xy dA
α
n
t
x?
yx?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
10
利用三角函数公式
)2c o s1(21c o s 2 ?? ??
)2c o s1(21s i n 2 ?? ??
??? 2s i nc o ss i n2 ?{
并注意到 化简得
xyyx ?? ?
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n)(21 xyyx ???
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
11
x
y
?x
?y
?yx
?xy
a
正负号规则：
正应力：拉为正；反之为负
切应力,使微元顺时针方向
转动为正；反之为负。
α 角,由 x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反
之为负。
?y
a?
a?
?xy
α
n
t
x?
yx?
x
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
12
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
确定正应力极值
??????? ? 2c o s22s in)( xyyxdd ????
设 α ＝ α 0 时，上式值为零，即
02c o s22s in)( 00 ???? ????? xyyx
2,正 应力极值和方向
02τc o s 2 ατs i n 2 α2 )σ(σ2
0α0xy0
yx ????
?
?
??
? ???
即 α ＝ α 0 时，切应力为零
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
13
yx
xy
??
??
???
22t a n
0
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别
为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
? ? 22m a x 4212 xyyxyx ?????? ?????
? ? 22m i n 4212 xyyxyx ?????? ?????
主应力 按代数值 排序,σ 1 ? σ 2 ? σ 3
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
14
试求 （ 1） ? 斜面上的应力；
（ 2）主应力、主平面；
（ 3）绘出主应力单元体。
例题 1,一点处的平面应力状态如图所示。
40
?
60
30
。?30???
M P a60?x? M P a,30??xy?
,M P a40??y?
已知
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
15
解,（ 1） ? 斜面上的应力
???????? ? 2s i n2co s22 xyyxyx ?????
)60s i n (30)60c o s (2 40602 4060 ?? ???????
M P a02.9?
?????? ? 2co s2s i n2 xyyx ???
)60c o s (30)60s i n (2 4060 ?? ?????
M P a3.58??
y?
?
x?
xy?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
16
（ 2）主应力、主平面
2
yx ?? ??
xy
yx 22)
2
( ?
??
?
?
?max
?
M P a3.68?
2
yx ?? ??
xy
yx 22)
2
( ?
??
?
?
?
min?
M P a3.48??
M P a3.48,0M P a,3.68 321 ???? ???
y?
?
x?
xy?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
17
主平面的方位：
yx
xytg
??
?
?
?
??
2
2 0
6.04060 60 ?????
,5.150 ???
??? 5.1 0 5905.150 ????
y?
?
x?
xy?
代入 表达式可知??
主应力 方向：
1? ?5.150 ??
主应力 方向：
3? ?5.1050 ??
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
18
（ 3）主单元体：
y?
?
x?
xy?
?5.15
1?
3?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
19
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n)(21 xyyx ???
xy
yxyx 2222 )
2
()
2
( ??????? ?? ??????
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
20
xy
yxyx 2222 )
2()2( ?
??????
?? ?
?????
?
?
R
C
xy
yxR 22)
2( ?
?? ???
2
yx ?? ?
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
21
1.应力圆的画法
?
?
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
? ?x y?
2
R
xy
yxR 22)
2( ?
?? ???
y?
?yx
?xy
A
D x
y
x?
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
o B1 B A1A
22
2.应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面
上的正应力和切应力一一对应
?
?
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
? ?x y?
2
?y
?yx
?xy
?x
x
y
H
n
?
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
o B1 B
A A1
?2
),( aa ??H
02?
23
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
例题 2,分别用解析法和图解法求图示单元体
(1)指定斜截面上的正应力和剪应力 ;
(2)主应力值及主方向，并画在单元体上。
单位,MPa
24
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ?
?
?
x y
x
x y x y
x
x y
x
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
80 40
60
2 2
2 2
102
2
2 2
22 0
MPa,MPa
MPa,= 30
MPa
MPa
c os sin
sin c os
.
解,(一 )使用解析法求解
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ?
?
?
x y
x
x y x y
x
x y
x
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
80 40
60
2 2
2 2
102
2
2 2
22 0
MPa,MPa
MPa,= 30
MPa
MPa
c os sin
sin c os
.
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
25
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
ma x
min
ta n
.,
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
?
?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2
2
1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
? m in ? 65
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ?? ?
?
ma x
min
ta n
.,
? ? ? ???? ??? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2 2 1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
ma x
min
ta n
.,
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
?
?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2
2
1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ?? ?
?
ma x
min
ta n
.,
? ? ? ???? ??? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2 2 1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
? m a x ? 105
? 0 22 5? ?.
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
26
(二 )使用图解法求解
作应力圆，从应力圆上可量出：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
102
22
105
65
22 5
85
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
0
ma x
min
ma x
.
?
?
27
2?
3?
1?
三个主应力都不为零的应力状态
§ 7-4 三向应力状态
28
1?
2?
3?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
29
§ 7-4 三向应力状态
1.任意斜截面的应力
已知：斜截面法向的方向余弦为 ? ?nmln,,
nn ??,
应用截面法可以求出 满足以下方程组
))(()
2
()
2
(
))(()
2
()
2
(
))(()
2
()
2
(
2313
22212221
1232
22132213
3121
22322232
????
??
?
??
?
????
??
?
??
?
????
??
?
??
?
???
?
??
?
?
???
?
??
?
?
???
?
??
?
?
n
m
l
nn
nn
nn
30
由三向应力圆可以看出：
2
31
m a x
??? ??
结论：
代表单元体任意斜
截面上应力的点，
必定在三个应力圆
圆周上或阴影内。
3
2
3?
1
2? 1?
?
?
0
§ 7-4 三向应力状态
31
1,基本变形时的胡克定律
xx E ?? ?
E
x
xy
????? ????
x?
y
x
1）轴向拉压胡克定律
横向变形
2）纯剪切胡克定律
?? G?
?
§ 7-5 广义胡克定律
32
2、三向应力状态的广义胡克定律 －叠加法
2?
3?
1?
? ?? ?3211 1 ????? ???
E
1?
2?
3?
1?
E
1?
E
2???
E
3???
§ 7-5 广义胡克定律
33
2?
3?
1?
? ?? ?3211 1 ????? ???
E
? ?? ?1322 1 ????? ???
E
? ?? ?2133 1 ????? ???
E
§ 7-5 广义胡克定律
34
)]([1 zyxx E ????? ???
G
xy
xy
?? ?
3、广义胡克定律的一般形式
)]([1 xzyy E ????? ???
)]([1 yxzz E ????? ???
G
yz
yz
?? ?
G
zx
zx
?? ?
?x ?y
?z
?xy
?yx
?yz
?zy?zx
?xz
§ 7-5 广义胡克定律
35
?1
?2
?3
单元体体积变化：4.
a
b
c
cbaV ???
V a b c1 1 2 31 1 1? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )? ? ?
? ? ? ?a b c ( )1 1 2 3? ? ?
单位体积的体积改变为,
V
VV ?
? 1?
? 也称为 。体积应变
? ? ?? ? ?1 2 3
36
? ? ? ?? ? ?1 2 3? ? ? ?1 2
1 2 3
? ? ? ?
E
( )
? ? ? ?3 1 2
3
1 2 3( )? ? ? ?
E ?
? m
K式中：
体积弹性模量K
E
m
?
?
?
? ?
3 1 2
3
1 2 3
( )?
?
? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2
1
1
1
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
E
E
E
（ ）
（ ）
（ ）
37
?1
?2
?3
? ?
???
?
2
1
?
能密度：单向应力状态下的应变
332211
2
1
2
1
2
1
???????
?
???
能密度：三向应力状态下的应变
§ 7-6 复杂应力状态下的应变能密度
38
332211 2
1
2
1
2
1 ???????
? ???
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2
1
1
1
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
E
E
E
（ ）
（ ）
（ ）
? ?? ? ? ? ? ?12 212 22 32 1 2 2 3 3 1E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( )
§ 7-6 复杂应力状态下的应变能密度
39
?1
?3 ?m
?m
?2 ?m
? ?1 ? m
? ?2 ? m
? ?3 ? m
应变能密度 =体积改变能密度 +畸变能密度
?
? ? ?
m ?
? ?1 2 3
3
dv ??? ? ??
40
? 由前面的讨论知
mmmmmmmmv ????????? 2
3
2
1
2
1
2
1 ???
由广义虎克定律
? ?
m
mmm
m EEEE ?
?????? 21 ???
?
??
?
? ???
?v? 3 1 2
2
2( )? ? ?
E m
? ? ? ?1 2
6 1 2 3
2? ? ? ?
E
( )
41
? ?)(2
2
1
133221
2
3
2
2
2
1 ??????????? ? ?????? E
?v? 3 1 2
2
2( )? ? ?
E m
? ? ? ?1 2
6 1 2 3
2? ? ? ?
E
( )
vd ??? ? ??
? ?? ? ? ? ? ? ?1 6 1 2 2 2 3 2 3 1 2? ? ? ? ? ? ?E ( ) ( ) ( )
?1
?2
?3
?m
?m
?m ? ?1 ? m
? ?3 ? m
42
强度理论,人们根据大量的破坏现象，通过判断推
理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出
引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，
在一定范围与实际相符合，上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出
的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
§ 7-7 强度理论概述
材料之所以按某种方式破坏，是应力、应变或应
变能密度等因素中某一因素引起的。即无论是简单或复
杂应力状态，引起破坏的原因是相同的，与应力状态无
关。
43
构件由于强度不足将引发两种失效形式
(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，
断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，
如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
关于 屈服的强度理论：
最大切应力理论和最大畸变能密度理论
(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性
变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面
上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
关于 断裂的强度理论：
最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
§ 7-7 强度理论概述
44
1,最大拉应力理论 （第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素 。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达
到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。
0
1 ?? ?
－构件危险点的最大拉应力
1?
－极限拉应力，由单拉实验测得
b?? ?
00?
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
45
b1 ?? ?
断裂条件
? ???? ?? n b1强度条件
1,最大拉应力理论（第一强度理论）
铸铁拉伸 铸铁扭转
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
46
2,最大伸长线应变理论 （第二强度理论）
最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线
应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性
断裂。
0
1 ?? ?
－构件危险点的最大伸长线应变
1?
－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得
0?
E/)]([ 3211 ????? ???
Eb /0 ?? ?
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
47
实验表明,此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论
更接近实际情况。
强度条件 ][)(
321 ?
????? ????
n
b
2,最大伸长线应变理论 （第二强度理论）
断裂条件
EE
b????? ??? )]([1
321
b????? ??? )( 321
即
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
48
最大切应力是引起材料屈服的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力
达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈
服。
0
m a x ?? ?
3,最大切应力理论 （第三强度理论）
－构件危险点的最大切应力
max?
－极限切应力，由单向拉伸实验测得
0?
2/0 s?? ?
2/)( 31m a x ??? ??
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
49
屈服条件
? ????? ???
s
s
31 n
强度条件
3,最大切应力理论 （第三强度理论）
低碳钢拉伸 低碳钢扭转
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
50
实验表明,此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到
较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
塑性变形或断裂的事实。 )0(
m a x ???
局限性：
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，
1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达 15%。
2?
3,最大切应力理论 （第三强度理论）
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
51
最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密
度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。
0
dd vv ?
4,最大畸变 能密度理论 （第四强度理论）
－构件危险点的形状改变比能
d?
－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
0
d?
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
52
屈服条件
强度条件
4,最大畸变 能密度理论 （第四强度理论）
实验表明,对塑性材料，此理论比第三强度理
论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
53
][11,??? ??r
][)( 3212,?????? ????r
强度理论的统一表达式,][?? ?
r
相当应力
][313,???? ???r
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
第七章
应力状态分析
强度理论
2
第七章 应力状态分析 强度理论
? 应力状态的概念
? 二向应力状态分析 —— 解析法
? 二向应力状态分析 —— 图解法
? 三向应力状态
? 广义胡克定律
? 复杂 应力状态下的应变能密度
? 强度理论概述
? 四种常见的强度理论及强度条件
目
录
3
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸 铁
§ 7— 1 应力状态的概念
4
脆性材料扭转时为什么沿 45o螺旋面断开？
低碳钢 铸 铁
§ 7— 1 应力状态的概念
5
F
l
a
S
1
tW
Tτ ?
z
zWMσ ? 3
tW
Tτ ?
z
zWMσ ??
S平面
z
Mz
T 4
3
2
1
y
x
M
???
Fl
T ? ??
Fa
目录
§ 7— 1 应力状态的概念
6
1?
2?
3?
yx
z
?x ?y
?z
?xy
?yx
?yz
?zy?zx
?xz
单元体上没有切应力的面称为 主平面 ；主平面上的正应力
称为 主应力,分别用 表示，并且
该单元体称为 主单元体。
321,,??? 321 ??? ??
§ 7— 1 应力状态的概念
7
1?
2?
3?
空间（ 三向）应力状态：三个主应力均不为零
平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
§ 7— 1 应力状态的概念
8
x
y
?x
?y
?yx
?xy
α
? ? 0 nF ? ? 0 tF
1.斜截面上的应力
?y
a?
a?
?xy dA
α
n
t
x?
yx?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
9
? ? 0 nF
0s i n)s i n(c os)s i n(
c os)c os(s i n)c os(
??
???
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
列平衡方程
? ? 0 tF
0c o s)s i n(s i n)s i n(
s i n)c o s(c o s)c o s(
??
???
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
?y
a?
a?
?xy dA
α
n
t
x?
yx?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
10
利用三角函数公式
)2c o s1(21c o s 2 ?? ??
)2c o s1(21s i n 2 ?? ??
??? 2s i nc o ss i n2 ?{
并注意到 化简得
xyyx ?? ?
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n)(21 xyyx ???
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
11
x
y
?x
?y
?yx
?xy
a
正负号规则：
正应力：拉为正；反之为负
切应力,使微元顺时针方向
转动为正；反之为负。
α 角,由 x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反
之为负。
?y
a?
a?
?xy
α
n
t
x?
yx?
x
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
12
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
确定正应力极值
??????? ? 2c o s22s in)( xyyxdd ????
设 α ＝ α 0 时，上式值为零，即
02c o s22s in)( 00 ???? ????? xyyx
2,正 应力极值和方向
02τc o s 2 ατs i n 2 α2 )σ(σ2
0α0xy0
yx ????
?
?
??
? ???
即 α ＝ α 0 时，切应力为零
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
13
yx
xy
??
??
???
22t a n
0
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别
为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
? ? 22m a x 4212 xyyxyx ?????? ?????
? ? 22m i n 4212 xyyxyx ?????? ?????
主应力 按代数值 排序,σ 1 ? σ 2 ? σ 3
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
14
试求 （ 1） ? 斜面上的应力；
（ 2）主应力、主平面；
（ 3）绘出主应力单元体。
例题 1,一点处的平面应力状态如图所示。
40
?
60
30
。?30???
M P a60?x? M P a,30??xy?
,M P a40??y?
已知
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
15
解,（ 1） ? 斜面上的应力
???????? ? 2s i n2co s22 xyyxyx ?????
)60s i n (30)60c o s (2 40602 4060 ?? ???????
M P a02.9?
?????? ? 2co s2s i n2 xyyx ???
)60c o s (30)60s i n (2 4060 ?? ?????
M P a3.58??
y?
?
x?
xy?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
16
（ 2）主应力、主平面
2
yx ?? ??
xy
yx 22)
2
( ?
??
?
?
?max
?
M P a3.68?
2
yx ?? ??
xy
yx 22)
2
( ?
??
?
?
?
min?
M P a3.48??
M P a3.48,0M P a,3.68 321 ???? ???
y?
?
x?
xy?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
17
主平面的方位：
yx
xytg
??
?
?
?
??
2
2 0
6.04060 60 ?????
,5.150 ???
??? 5.1 0 5905.150 ????
y?
?
x?
xy?
代入 表达式可知??
主应力 方向：
1? ?5.150 ??
主应力 方向：
3? ?5.1050 ??
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
18
（ 3）主单元体：
y?
?
x?
xy?
?5.15
1?
3?
§ 7— 2 二向应力状态分析 —— 解析法
19
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n)(21 xyyx ???
xy
yxyx 2222 )
2
()
2
( ??????? ?? ??????
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
20
xy
yxyx 2222 )
2()2( ?
??????
?? ?
?????
?
?
R
C
xy
yxR 22)
2( ?
?? ???
2
yx ?? ?
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
21
1.应力圆的画法
?
?
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
? ?x y?
2
R
xy
yxR 22)
2( ?
?? ???
y?
?yx
?xy
A
D x
y
x?
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
o B1 B A1A
22
2.应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面
上的正应力和切应力一一对应
?
?
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
? ?x y?
2
?y
?yx
?xy
?x
x
y
H
n
?
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
o B1 B
A A1
?2
),( aa ??H
02?
23
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
例题 2,分别用解析法和图解法求图示单元体
(1)指定斜截面上的正应力和剪应力 ;
(2)主应力值及主方向，并画在单元体上。
单位,MPa
24
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ?
?
?
x y
x
x y x y
x
x y
x
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
80 40
60
2 2
2 2
102
2
2 2
22 0
MPa,MPa
MPa,= 30
MPa
MPa
c os sin
sin c os
.
解,(一 )使用解析法求解
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ?
?
?
x y
x
x y x y
x
x y
x
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
80 40
60
2 2
2 2
102
2
2 2
22 0
MPa,MPa
MPa,= 30
MPa
MPa
c os sin
sin c os
.
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
25
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
ma x
min
ta n
.,
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
?
?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2
2
1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
? m in ? 65
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ?? ?
?
ma x
min
ta n
.,
? ? ? ???? ??? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2 2 1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
ma x
min
ta n
.,
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
?
?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2
2
1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ?? ?
?
ma x
min
ta n
.,
? ? ? ???? ??? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2 2 1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
? m a x ? 105
? 0 22 5? ?.
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 图解法
26
(二 )使用图解法求解
作应力圆，从应力圆上可量出：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
102
22
105
65
22 5
85
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
0
ma x
min
ma x
.
?
?
27
2?
3?
1?
三个主应力都不为零的应力状态
§ 7-4 三向应力状态
28
1?
2?
3?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
29
§ 7-4 三向应力状态
1.任意斜截面的应力
已知：斜截面法向的方向余弦为 ? ?nmln,,
nn ??,
应用截面法可以求出 满足以下方程组
))(()
2
()
2
(
))(()
2
()
2
(
))(()
2
()
2
(
2313
22212221
1232
22132213
3121
22322232
????
??
?
??
?
????
??
?
??
?
????
??
?
??
?
???
?
??
?
?
???
?
??
?
?
???
?
??
?
?
n
m
l
nn
nn
nn
30
由三向应力圆可以看出：
2
31
m a x
??? ??
结论：
代表单元体任意斜
截面上应力的点，
必定在三个应力圆
圆周上或阴影内。
3
2
3?
1
2? 1?
?
?
0
§ 7-4 三向应力状态
31
1,基本变形时的胡克定律
xx E ?? ?
E
x
xy
????? ????
x?
y
x
1）轴向拉压胡克定律
横向变形
2）纯剪切胡克定律
?? G?
?
§ 7-5 广义胡克定律
32
2、三向应力状态的广义胡克定律 －叠加法
2?
3?
1?
? ?? ?3211 1 ????? ???
E
1?
2?
3?
1?
E
1?
E
2???
E
3???
§ 7-5 广义胡克定律
33
2?
3?
1?
? ?? ?3211 1 ????? ???
E
? ?? ?1322 1 ????? ???
E
? ?? ?2133 1 ????? ???
E
§ 7-5 广义胡克定律
34
)]([1 zyxx E ????? ???
G
xy
xy
?? ?
3、广义胡克定律的一般形式
)]([1 xzyy E ????? ???
)]([1 yxzz E ????? ???
G
yz
yz
?? ?
G
zx
zx
?? ?
?x ?y
?z
?xy
?yx
?yz
?zy?zx
?xz
§ 7-5 广义胡克定律
35
?1
?2
?3
单元体体积变化：4.
a
b
c
cbaV ???
V a b c1 1 2 31 1 1? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )? ? ?
? ? ? ?a b c ( )1 1 2 3? ? ?
单位体积的体积改变为,
V
VV ?
? 1?
? 也称为 。体积应变
? ? ?? ? ?1 2 3
36
? ? ? ?? ? ?1 2 3? ? ? ?1 2
1 2 3
? ? ? ?
E
( )
? ? ? ?3 1 2
3
1 2 3( )? ? ? ?
E ?
? m
K式中：
体积弹性模量K
E
m
?
?
?
? ?
3 1 2
3
1 2 3
( )?
?
? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2
1
1
1
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
E
E
E
（ ）
（ ）
（ ）
37
?1
?2
?3
? ?
???
?
2
1
?
能密度：单向应力状态下的应变
332211
2
1
2
1
2
1
???????
?
???
能密度：三向应力状态下的应变
§ 7-6 复杂应力状态下的应变能密度
38
332211 2
1
2
1
2
1 ???????
? ???
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2
1
1
1
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
E
E
E
（ ）
（ ）
（ ）
? ?? ? ? ? ? ?12 212 22 32 1 2 2 3 3 1E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( )
§ 7-6 复杂应力状态下的应变能密度
39
?1
?3 ?m
?m
?2 ?m
? ?1 ? m
? ?2 ? m
? ?3 ? m
应变能密度 =体积改变能密度 +畸变能密度
?
? ? ?
m ?
? ?1 2 3
3
dv ??? ? ??
40
? 由前面的讨论知
mmmmmmmmv ????????? 2
3
2
1
2
1
2
1 ???
由广义虎克定律
? ?
m
mmm
m EEEE ?
?????? 21 ???
?
??
?
? ???
?v? 3 1 2
2
2( )? ? ?
E m
? ? ? ?1 2
6 1 2 3
2? ? ? ?
E
( )
41
? ?)(2
2
1
133221
2
3
2
2
2
1 ??????????? ? ?????? E
?v? 3 1 2
2
2( )? ? ?
E m
? ? ? ?1 2
6 1 2 3
2? ? ? ?
E
( )
vd ??? ? ??
? ?? ? ? ? ? ? ?1 6 1 2 2 2 3 2 3 1 2? ? ? ? ? ? ?E ( ) ( ) ( )
?1
?2
?3
?m
?m
?m ? ?1 ? m
? ?3 ? m
42
强度理论,人们根据大量的破坏现象，通过判断推
理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出
引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，
在一定范围与实际相符合，上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出
的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
§ 7-7 强度理论概述
材料之所以按某种方式破坏，是应力、应变或应
变能密度等因素中某一因素引起的。即无论是简单或复
杂应力状态，引起破坏的原因是相同的，与应力状态无
关。
43
构件由于强度不足将引发两种失效形式
(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，
断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，
如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
关于 屈服的强度理论：
最大切应力理论和最大畸变能密度理论
(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性
变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面
上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
关于 断裂的强度理论：
最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
§ 7-7 强度理论概述
44
1,最大拉应力理论 （第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素 。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达
到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。
0
1 ?? ?
－构件危险点的最大拉应力
1?
－极限拉应力，由单拉实验测得
b?? ?
00?
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
45
b1 ?? ?
断裂条件
? ???? ?? n b1强度条件
1,最大拉应力理论（第一强度理论）
铸铁拉伸 铸铁扭转
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
46
2,最大伸长线应变理论 （第二强度理论）
最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线
应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性
断裂。
0
1 ?? ?
－构件危险点的最大伸长线应变
1?
－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得
0?
E/)]([ 3211 ????? ???
Eb /0 ?? ?
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
47
实验表明,此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论
更接近实际情况。
强度条件 ][)(
321 ?
????? ????
n
b
2,最大伸长线应变理论 （第二强度理论）
断裂条件
EE
b????? ??? )]([1
321
b????? ??? )( 321
即
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
48
最大切应力是引起材料屈服的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力
达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈
服。
0
m a x ?? ?
3,最大切应力理论 （第三强度理论）
－构件危险点的最大切应力
max?
－极限切应力，由单向拉伸实验测得
0?
2/0 s?? ?
2/)( 31m a x ??? ??
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
49
屈服条件
? ????? ???
s
s
31 n
强度条件
3,最大切应力理论 （第三强度理论）
低碳钢拉伸 低碳钢扭转
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
50
实验表明,此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到
较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
塑性变形或断裂的事实。 )0(
m a x ???
局限性：
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，
1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达 15%。
2?
3,最大切应力理论 （第三强度理论）
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
51
最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密
度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。
0
dd vv ?
4,最大畸变 能密度理论 （第四强度理论）
－构件危险点的形状改变比能
d?
－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
0
d?
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
52
屈服条件
强度条件
4,最大畸变 能密度理论 （第四强度理论）
实验表明,对塑性材料，此理论比第三强度理
论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
53
][11,??? ??r
][)( 3212,?????? ????r
强度理论的统一表达式,][?? ?
r
相当应力
][313,???? ???r
§ 7-8 四种常见 强度理论及强度条件
