§ 3-5 等直圆轴扭转时的变形 ?刚度条件
Ⅰ,扭转时的变形 —— 两个横截面的 相对扭转角 j
扭转角沿杆长的变化率
pd
d
GI
T
x ???
jj
xGIT dd
p
?j
相距 d x 的微段两端截面间
相对扭转角为
MeMe j
djg
D'
TT
O1 O2
a b
a bdx
DA
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时
pGI
Tl?j
称为等直圆杆的 扭转刚度
相距 l 的两横截面间相对扭转角为
?? ?? ll xGIT0
p
dd jj
MeMe j
p
e
GI
lM? (单位,rad)
例 3-4 图示钢制实心圆截面轴，已知,M1=1592N?m,
M2=955 N?m,M3=637 N?m,d =70mm,lAB=300mm，
lAC=500mm，钢的切变模量 G=80GPa。求横截面 C相
对于 B的扭转角 jCB。
解,1,先用截面法求各段轴的扭矩：
mN9551 ??T
mN6372 ???T
BA段
AC段
M1 ⅡⅠ M3
B A C
M2
d
lAB lAC
P
2
GI
lT AC
CA ?j
p
1
GI
lT AB
AB ?j
2,各段两端相对扭转角,? ?? ?
? ? ? ? 43
3
mm70
32
π
MPa1080
mm30 0mmN1095 5
?
??
?
r a d1052.1 3??? ? ?? ?
? ? ? ? 43
3
70 m m
32
π
MPa1080
mm50 0mmN1063 7
?
???
?
r a d1069.1 3????
jCAjAB
M1 ⅡⅠ M3
B A C
M2
d
lAB lAC
3,横截面 C相对于 B的扭转角：
CAABCB jjj ?? 310)]69.1(52.1[ ?????
r a d1017.0 3????
jAB j
CA
M1 ⅡⅠ M3
B A C
M2
d
lAB lAC
例 3-5 图示空心圆杆 AB,A端固定，底板 B为刚性
杆，在其中心处焊一直径为 d2的实心圆杆 CB。空心
杆的内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆
的长度 l1,l2 及材料的切变模量 G均为已知。试求：
1、两杆横截面上的切应力分布图；
2、实心杆 C端的绝对扭转角 jC。
I
D 1d 1d 2
l1
l2
A
BC
I
Me
I-I刚性板
解,1、分析两轴的受力
如图，求出其扭矩分别为
e1 MT ??
e2 MT ?
I
D 1d 1d 2
l1
l2
A
BC
I
Me
I-I刚性板
Me Me
A
BMe
B C
Me
3
2
e
3
2
e
2p
2
m a x,2 π
16
16/π d
M
d
M
W
T ????
)1(π
16
16/)1(π 431
e
43
1
e
1p
1
m a x,1 ??? ????
???
D
M
D
M
W
T
)1(π
16
32/)1(π
2/2/
43
1
e
44
1
1e
1p
11
m i n,1 ?
?
?
?
?
??
?
?????
D
M
D
dM
I
dT
2、求横截面上的切应力
空心圆轴
实心圆轴
3
2
e
m a x,2 π
16
d
M??
)1(π
16
43
1
e
m a x,1 ?? ??? D
M
)1(π
16
43
1
e
m i n,1 ?
??
?
??
D
M
空心圆轴 实心圆轴
?2,max?1,max
?1,min
T1 T
2
3、计算绝对扭转角 jC
BCABC jjj ??
p2
22
p1
11
GI
lT
GI
lT ??
4
2
2e
44
1
1e
π
32
)1(π
32
dG
lM
DG
lM ?
?? ?
A
BCMe
Me MeB C
A
BMeMe
A
C
jBAj
CB
Ⅱ,刚度条件
][m a x jj ???
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
][π180
p
m a x
m a x jj ????? GI
T
对于精密机器的轴
对于一般的传动轴
m/30.0~15.0][ ???j
常用单位,?/m
m/2][ ???j
例 3-6 由 45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直
径之比 ? = 0.5。已知材料的许用切应力 [? ] = 40MPa,
切变模量 G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为 Tmax=
9.56 kN?m,轴的许可单位长度扭转角 [j' ]=0.3 ?/m 。
试选择轴的直径。
解,1、按强度条件确定外直径 D
? ?3 4m a x ][1π
16
????
TD
p
m a x
m a x W
T??
? ?4
3
m a x
1
16
π
??
?
D
T
][??
? ?3 4
6
M P a405.01π
mmN1056.916
??
????
mm109?
2、由刚度条件确定所需外直径 D
4 4m a x ][
1
π
180
)-π ( 1
32
j? ???? G
TD
π
180
p
m a x
m a x ??? GI
Tj π
180
)1(
32
π 44
m a x ?
?
?
?
D
G
T
][j??
? ?
mm5.1 2 5
m/3.0
1
π
1 8 0
5.01πG Pa80
mmN1056.932
4
4
6
?
??
??
???
? ?
mm5.125?D
mm75.63?? Dd ?
3、确定内外直径
§ 3-6 等直圆杆扭转时的应变能
jeε 21 MWV ??
等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me作用且 时p?? ?
p
e
GI
lM?j
p
2
e
2
1
GI
lM?
p
2
2
1
GI
lT?
2p
ε 2
1 j
l
GIV ?
或
MeMe j
j
Me
M e
j
当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时
?
?
?
n
i
ii
GI
lTV
1 p
2
ε 2
?
?
?
n
i
i
il
GIV
1
2p
ε 2 j或
jAB j
CA
M1 ⅡⅠ M3
B A C
M2
d
lAB lAC
纯剪切应力状态下的 应变能密度 ( )p?? ?
? ?? ?xzyW ddd21d g?? ? ?zyx ddd21 ?g?
??? VWVVv dddd εε
? ?
?g
?g
2
1
ddd
ddd
2
1
?
zyx
zyx
g? G? Gv 2
2
ε
??
2
ε 2 g
Gv ?
x
y
z
a
b
O
c
dx
d
dy
?
?'
?
?'
O
?
g
? p
g
扭矩 T为常量时，长为 l 的等直圆杆的应变能为
等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系
?? V VvV dε ?
?? A xAGV dd2
2
ε
?
??? l A xAv dd?
???? A AITGl d2 22
p
2
? p
2
2GI
lT?
A
I
T
x
G Al
dd
2
1
2
p
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
MeMe j
例 3-7 试用能量法求图示杆系截面 C处的扭转角。
图中 Me,l1,l2,D1,d1,d2及杆材的切变模量 G均
为已知。
解：
I
D 1d 1d 2
l1
l2
A
BC
I
Me
I-I刚性板
已求得两轴的扭矩
e1 MT ?? e2 MT ?
其转向与 Me相同。
2/eε CMWV j??
p2
2e
p1
1e
GI
lM
GI
lM
C ??j 4
2
2e
44
1
1e
π
32
)1(π
32
dG
lM
DG
lM ?
?? ?
A
BCMe
p2
2
2
e
p1
1
2
e
p2
2
2
2
p1
1
2
1
ε
22
22
GI
lM
GI
lM
GI
lT
GI
lT
V
??
??
杆系扭转应变能为
而
例 3-8 圆柱螺旋弹簧如图 (簧杆斜度 ? < 5° ) 受轴向
压力 (拉力 ) F 作用。已知：簧圈平均半径 R，簧杆
直径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量
G,且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧的应力
和变形计算公式。
解,1,求簧杆横截面上的内力
FF ?S剪力
FRT ?扭矩
分离体的平衡
2、求簧杆横截面上的应力
3
3p
m a x π
16
16
π d
FR
d
FR
W
T
????a) 略去与剪力相应的切应力
b) D >> d 时 略去
簧圈的曲率影响
3,求弹簧的变形
F ΔW 21?
近似认为簧杆长度 l =2pRn
4
3
p
2 64π2
Gd
nFR
GI
RnFRΔ ??
p
2
p
2
ε 2
π2)(
2 GI
RnFR
GI
lTV ??
WV ?ε
p?? ?
弹簧在线弹性范围内工作时
k
F?
nR
Gdk
3
4
64? 称为弹簧的 刚度系数（ N/m)
§ 3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ,等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变
成曲线
横截面发生 翘曲
不再保持为平面
平面假设不再
成立，可能产
生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
—— 自由扭转 (纯扭转 )
此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加
正应力产生
此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有
附加 正应力产生
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时
2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束
不能自由翘曲时
—— 约束扭转
Ⅱ,矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
一般矩形截
面等直杆
?≤?p时
1,?max发生在横截面的长边
中点处；
2,横截面周边各点的切应力
必定与周边相切，沿周边形
成与扭矩同向的顺流；
3,四个角点处 ? =0 。
思考：
存在第二、第三条规律的原因
是什么？
矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式
最大切应力
（长边中点处） tW
T?
m a x?
短边中点处
的切应力 m a x??? ?
单位长度扭转
角,tGI
T??j
4t bI ??3t bW ??
相当极惯性矩
扭转截面系数
其中
?,?,?—— 与 相关的因数bhm ?
狭长矩形截面杆自由扭转
10?? bhm 3m?? ??
特点：
1、沿长边各点的切应力值除靠角点附
近外，均接近相等；
2、离短边稍远处，可认为切应力沿厚
度 d 按直线规律变化。
44
t 3 d?d
mI ??
33
t 3 d?d
mW ??
? ? 34
3
1
3 dd
d hh ??
? ? 23
3
1
3 dd
d hh ??
d
tI?
例 3-9 矩形截面的等直钢杆,h=100mm,b=50mm,
l=2m,m=4000N.m。 =100Mpa,=1o/m,G=80Gpa。
试校核此杆的强度和刚度。
解：由截面法求得 T=m=4000N.m。为计算 Wt和 It，
先算得 m=h/b=100/50=2，查表得 β=0.493和 α=0.457。
于是分别求得
]'[/1/0 1 7 4 5.0
102 8 61080
4 0 0 0
'
][65
106.61
4 0 0 0
102 8 6)1050(4 5 7.0
106.61)1050(4 9 3.0
89
6m a x
48334
36333
jj
??
?
?
???
???
??
??
?
??
??????
??????
?
?
??
??
mmr a d
GI
T
M P a
W
T
mbI
mbW
o
t
t
t
t
j?
例 3-10 有两根尺寸、材料均相同的薄壁钢管，设
将其中一根沿纵向开一细缝，在两杆的两端各施加
相同的扭转力偶矩 Me 。已知钢管的平均半径
r0=10d，且两杆均在线弹性范围内工作。试比较两
杆的最大切应力及单位长度扭转角。
r0
d d
解,1、有纵向细缝的杆 (开口薄壁截面杆 )
eMT ?
3
0
3
t1 )π2(3
1
3
1 dd rhI ??
20t1
t1 3
π2 d
d
rIW ??
横截面上切应力沿
厚度的变化情况
2
0
e
t1
m a x,1 π2
3
d? r
M
W
T ??
可将其展开为狭长矩形截面来处理。
3
0
e
t1
1 π2
3
dj rG
M
GI
T ???
d
T
2、无纵向切缝的薄壁圆筒
d
? 2
0
e
2 π2 r
M?
横截面上切应力
变化情况
l
2
2
jj ??
0r
g?
0
2 /
r
G??
d30
e
π2 rG
M?
r0
d
T
3、分析比较
d
? 2
0
e
2 π2 r
M?
d
j 3
0
e
2 π2 rG
M??
2
0
e
m a x,1 π2
3
d? r
M?
3
0
e
1 π2
3
dj rG
M??
d?
? 0
2
m a x,1 3 r?
2
0
2
1 3 ?
?
??
?
??
?
?
dj
j r
30?
300?
可见：薄壁圆筒有纵向细缝时，其扭转强度及刚度
均大幅下降。
d
T
r0
d
T
作业,3-12,3-16,3-23
Ⅰ,扭转时的变形 —— 两个横截面的 相对扭转角 j
扭转角沿杆长的变化率
pd
d
GI
T
x ???
jj
xGIT dd
p
?j
相距 d x 的微段两端截面间
相对扭转角为
MeMe j
djg
D'
TT
O1 O2
a b
a bdx
DA
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时
pGI
Tl?j
称为等直圆杆的 扭转刚度
相距 l 的两横截面间相对扭转角为
?? ?? ll xGIT0
p
dd jj
MeMe j
p
e
GI
lM? (单位,rad)
例 3-4 图示钢制实心圆截面轴，已知,M1=1592N?m,
M2=955 N?m,M3=637 N?m,d =70mm,lAB=300mm，
lAC=500mm，钢的切变模量 G=80GPa。求横截面 C相
对于 B的扭转角 jCB。
解,1,先用截面法求各段轴的扭矩：
mN9551 ??T
mN6372 ???T
BA段
AC段
M1 ⅡⅠ M3
B A C
M2
d
lAB lAC
P
2
GI
lT AC
CA ?j
p
1
GI
lT AB
AB ?j
2,各段两端相对扭转角,? ?? ?
? ? ? ? 43
3
mm70
32
π
MPa1080
mm30 0mmN1095 5
?
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?
r a d1052.1 3??? ? ?? ?
? ? ? ? 43
3
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32
π
MPa1080
mm50 0mmN1063 7
?
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r a d1069.1 3????
jCAjAB
M1 ⅡⅠ M3
B A C
M2
d
lAB lAC
3,横截面 C相对于 B的扭转角：
CAABCB jjj ?? 310)]69.1(52.1[ ?????
r a d1017.0 3????
jAB j
CA
M1 ⅡⅠ M3
B A C
M2
d
lAB lAC
例 3-5 图示空心圆杆 AB,A端固定，底板 B为刚性
杆，在其中心处焊一直径为 d2的实心圆杆 CB。空心
杆的内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆
的长度 l1,l2 及材料的切变模量 G均为已知。试求：
1、两杆横截面上的切应力分布图；
2、实心杆 C端的绝对扭转角 jC。
I
D 1d 1d 2
l1
l2
A
BC
I
Me
I-I刚性板
解,1、分析两轴的受力
如图，求出其扭矩分别为
e1 MT ??
e2 MT ?
I
D 1d 1d 2
l1
l2
A
BC
I
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I-I刚性板
Me Me
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B C
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3
2
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11
m i n,1 ?
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2、求横截面上的切应力
空心圆轴
实心圆轴
3
2
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m a x,2 π
16
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16
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m i n,1 ?
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空心圆轴 实心圆轴
?2,max?1,max
?1,min
T1 T
2
3、计算绝对扭转角 jC
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CB
Ⅱ,刚度条件
][m a x jj ???
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
][π180
p
m a x
m a x jj ????? GI
T
对于精密机器的轴
对于一般的传动轴
m/30.0~15.0][ ???j
常用单位,?/m
m/2][ ???j
例 3-6 由 45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直
径之比 ? = 0.5。已知材料的许用切应力 [? ] = 40MPa,
切变模量 G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为 Tmax=
9.56 kN?m,轴的许可单位长度扭转角 [j' ]=0.3 ?/m 。
试选择轴的直径。
解,1、按强度条件确定外直径 D
? ?3 4m a x ][1π
16
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TD
p
m a x
m a x W
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2、由刚度条件确定所需外直径 D
4 4m a x ][
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mmN1056.932
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mm75.63?? Dd ?
3、确定内外直径
§ 3-6 等直圆杆扭转时的应变能
jeε 21 MWV ??
等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me作用且 时p?? ?
p
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当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时
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M1 ⅡⅠ M3
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lAB lAC
纯剪切应力状态下的 应变能密度 ( )p?? ?
? ?? ?xzyW ddd21d g?? ? ?zyx ddd21 ?g?
??? VWVVv dddd εε
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扭矩 T为常量时，长为 l 的等直圆杆的应变能为
等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系
?? V VvV dε ?
?? A xAGV dd2
2
ε
?
??? l A xAv dd?
???? A AITGl d2 22
p
2
? p
2
2GI
lT?
A
I
T
x
G Al
dd
2
1
2
p
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
MeMe j
例 3-7 试用能量法求图示杆系截面 C处的扭转角。
图中 Me,l1,l2,D1,d1,d2及杆材的切变模量 G均
为已知。
解：
I
D 1d 1d 2
l1
l2
A
BC
I
Me
I-I刚性板
已求得两轴的扭矩
e1 MT ?? e2 MT ?
其转向与 Me相同。
2/eε CMWV j??
p2
2e
p1
1e
GI
lM
GI
lM
C ??j 4
2
2e
44
1
1e
π
32
)1(π
32
dG
lM
DG
lM ?
?? ?
A
BCMe
p2
2
2
e
p1
1
2
e
p2
2
2
2
p1
1
2
1
ε
22
22
GI
lM
GI
lM
GI
lT
GI
lT
V
??
??
杆系扭转应变能为
而
例 3-8 圆柱螺旋弹簧如图 (簧杆斜度 ? < 5° ) 受轴向
压力 (拉力 ) F 作用。已知：簧圈平均半径 R，簧杆
直径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量
G,且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧的应力
和变形计算公式。
解,1,求簧杆横截面上的内力
FF ?S剪力
FRT ?扭矩
分离体的平衡
2、求簧杆横截面上的应力
3
3p
m a x π
16
16
π d
FR
d
FR
W
T
????a) 略去与剪力相应的切应力
b) D >> d 时 略去
簧圈的曲率影响
3,求弹簧的变形
F ΔW 21?
近似认为簧杆长度 l =2pRn
4
3
p
2 64π2
Gd
nFR
GI
RnFRΔ ??
p
2
p
2
ε 2
π2)(
2 GI
RnFR
GI
lTV ??
WV ?ε
p?? ?
弹簧在线弹性范围内工作时
k
F?
nR
Gdk
3
4
64? 称为弹簧的 刚度系数（ N/m)
§ 3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ,等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变
成曲线
横截面发生 翘曲
不再保持为平面
平面假设不再
成立，可能产
生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
—— 自由扭转 (纯扭转 )
此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加
正应力产生
此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有
附加 正应力产生
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时
2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束
不能自由翘曲时
—— 约束扭转
Ⅱ,矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
一般矩形截
面等直杆
?≤?p时
1,?max发生在横截面的长边
中点处；
2,横截面周边各点的切应力
必定与周边相切，沿周边形
成与扭矩同向的顺流；
3,四个角点处 ? =0 。
思考：
存在第二、第三条规律的原因
是什么？
矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式
最大切应力
（长边中点处） tW
T?
m a x?
短边中点处
的切应力 m a x??? ?
单位长度扭转
角,tGI
T??j
4t bI ??3t bW ??
相当极惯性矩
扭转截面系数
其中
?,?,?—— 与 相关的因数bhm ?
狭长矩形截面杆自由扭转
10?? bhm 3m?? ??
特点：
1、沿长边各点的切应力值除靠角点附
近外，均接近相等；
2、离短边稍远处，可认为切应力沿厚
度 d 按直线规律变化。
44
t 3 d?d
mI ??
33
t 3 d?d
mW ??
? ? 34
3
1
3 dd
d hh ??
? ? 23
3
1
3 dd
d hh ??
d
tI?
例 3-9 矩形截面的等直钢杆,h=100mm,b=50mm,
l=2m,m=4000N.m。 =100Mpa,=1o/m,G=80Gpa。
试校核此杆的强度和刚度。
解：由截面法求得 T=m=4000N.m。为计算 Wt和 It，
先算得 m=h/b=100/50=2，查表得 β=0.493和 α=0.457。
于是分别求得
]'[/1/0 1 7 4 5.0
102 8 61080
4 0 0 0
'
][65
106.61
4 0 0 0
102 8 6)1050(4 5 7.0
106.61)1050(4 9 3.0
89
6m a x
48334
36333
jj
??
?
?
???
???
??
??
?
??
??????
??????
?
?
??
??
mmr a d
GI
T
M P a
W
T
mbI
mbW
o
t
t
t
t
j?
例 3-10 有两根尺寸、材料均相同的薄壁钢管，设
将其中一根沿纵向开一细缝，在两杆的两端各施加
相同的扭转力偶矩 Me 。已知钢管的平均半径
r0=10d，且两杆均在线弹性范围内工作。试比较两
杆的最大切应力及单位长度扭转角。
r0
d d
解,1、有纵向细缝的杆 (开口薄壁截面杆 )
eMT ?
3
0
3
t1 )π2(3
1
3
1 dd rhI ??
20t1
t1 3
π2 d
d
rIW ??
横截面上切应力沿
厚度的变化情况
2
0
e
t1
m a x,1 π2
3
d? r
M
W
T ??
可将其展开为狭长矩形截面来处理。
3
0
e
t1
1 π2
3
dj rG
M
GI
T ???
d
T
2、无纵向切缝的薄壁圆筒
d
? 2
0
e
2 π2 r
M?
横截面上切应力
变化情况
l
2
2
jj ??
0r
g?
0
2 /
r
G??
d30
e
π2 rG
M?
r0
d
T
3、分析比较
d
? 2
0
e
2 π2 r
M?
d
j 3
0
e
2 π2 rG
M??
2
0
e
m a x,1 π2
3
d? r
M?
3
0
e
1 π2
3
dj rG
M??
d?
? 0
2
m a x,1 3 r?
2
0
2
1 3 ?
?
??
?
??
?
?
dj
j r
30?
300?
可见：薄壁圆筒有纵向细缝时，其扭转强度及刚度
均大幅下降。
d
T
r0
d
T
作业,3-12,3-16,3-23
