第三章
扭 转
一、概
述
汽车传动轴
§ 3-1,扭转的概念和实例
汽车方向盘
丝锥攻丝
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向
相反且 作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,
使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横
截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴
扭转。
直接计算
§ 3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
电机每秒输入功：
外力偶作功完成：
)N,m(1 0 0 0?? PW
602
nMW
e ??? ?
P P
已知
轴转速－ n 转 /分钟
输出功率－ P 千瓦
求：力偶矩 Me
T = Me
2.扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正 (+),反之为 负 (-)
扭矩图
???
???
解,
(1)计算外力偶矩
由公式 P/n
例题 3-1
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
§ 3-3纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转时的切应力
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
CL5TU4
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成
方格,然后加载。
eM eM
?
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度 γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变
根据以上实验现象,可得结论：
圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面
上均匀分布，方向垂直于半径。
观察到如下现象：
γ
Me
Me
nm
m n
φ
Me
切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
T T
MeMe
根据精确的理论分析,当 t≤r/10时,上式的
误差不超过 4.52%,是足够精确的。
r A T
A
? ? ?? ? d
? ? d A
dA
r A T
A
? ??? d
r r t T? ? ?? ?2
?
?
?
T
r t2 2
r
二、切应力互等定理
dx
t
dy
?
??
( ) ( )? ?? ? ? ?t y x t x yd d d d
? ?? ? CL5TU7
微元体 单元体
Me
Me
三、切应变、剪切胡克定律
?
?
CL5TU8
?
薄壁圆筒的实验,证实了切应力与切应变之间
存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当切应力
不超过材料的剪切比例极限 τp时,切应力与切应
变成正比
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为 剪切
胡克定律
? ?? G
剪切弹性模量 G
材料常数：拉压弹性模量 E
泊松比 μ
G
E
?
?2 1( )?
对于各向同性材料,可以证明,E,G,μ 三个弹
性常数之间存在着如下关系
§ 3-4 圆轴扭转时的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系
从三方面考虑：物理关系
静力学关系 CL5TU5
观察到下列现象,
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离
没有变化
(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度 γ
1.变形几何关系
平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
CL5TU5
Me
Me
nm
m n
dφ
x dx
?
???
d?
CL5TU5
? ? ?? d dx ? ? ?? ?
?
?
d
d x
x
r
d
d ?? ?在外表面上
dx
?
?
?? d?
dx
??? d?
根据剪切胡克定律,当切应力不超过材料
的剪切比例极限时
? ?? ?? G
切应力方向垂直于半径
2,物理关系
? G
x
?
?d
d
3.静力学关系
?
? ?dA
dA
o
? ? ?? ??
A
A Td
? ?
?
? ??
A
G
x
A T
d
d
d
G
x
A T
A
d
d
d
?
? 2? ?
令 I Ap
A
? ? ? 2 d 则
d
d
?
x
T
G I p
?
I Ap
A
? ? ? 2 d 极惯性矩
d
d
?
x
T
G I p
?
? ? ?? ? G
x
d
d
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ma x
ma x? T
I p
? G
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W t
W
I
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? m a x
抗扭截面模量
?
?
?
?
? ?
T
I
T
W
p t
m a x
? m ax
? m ax
CL5TU9
?
d?
o
I Ap
A
? ? ? 2 d
下面求极惯性矩 和抗扭截面模量I Wp t
? ? ? ? ? ?2
0
2
2 d
d /
? ?2 3
0
2
? ? ?d
d /
?
?
?
?
?
?
?
2
2
4
4
?
d
?
? d 4
32
W
I
t
p?
? m a x ?
I
d
p
2
?
? d 3
16
CL5TU5
I Ap
A
? ? ? 2 d
对于空心圆，外径为,内径为D d
? ? ? ? ? ?2
2
2
2 d
d
D
/
/
?
?? ( )D d4 4
32
W
I
t
p?
? m a x ?
I
D
p
2
? ?
?
?
D 3 4
16
1( )
?
?? ?D 4 41
32
( )
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最
大切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长
度相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
解,首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
31 61 6 7 1 6 2 0 0 4 5 m = 4 5 m m
π 4 0 1 0
.,d ???
??
例题 4-2
759 5 4 9 9 5 4 9 7 1 6 2 N m
100
.,
x
PMT
n? ? ? ? ? ? ?
m a x 1 3
11
16 4 0M P a
π
xx
P
MM
Wd? ? ? ?
T T
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最大
切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴的
内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度
相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
d2＝ 0.5D2=23 mm
? ?32 46
1 6 7 1 6 2 0 0 4 6 m = 4 6 m m
π 1 - 4 0 1 0
.,D
?
???
??
? ?m a x 2 342 2
16 4 0 M Pa
π1
xx
P
MM
W D? ?? ? ??
T T
确定实心轴与空心轴的重量之比
空心轴
D2＝ 46 mm d2＝ 23 mm
实心轴
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为
横截面面积之比：
? ? 28.15.01
1
1046
1045
1 2
2
3
3
22
2
2
1
2
1 ＝
????
??
?
?
?
??
?? ?
?
?D
d
A
A
已知,P1＝ 14kW,P2= P3=P1/2，
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=
70mm,d 2=50mm,d3=35mm,
求,各 轴 横截面上的最大切应力 。
P1=14kW,P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
3 6 0 r /m inr /m in1236120
3
1
13 ＝＝＝ ??
??
?
? ??
z
znn
解,1、计算各轴的功率与转速
M1=T1=1114 N.m
M2=T2=557 N.m
M3=T3=185.7 N.m
2、计算各轴的扭矩
例题 4-3
3
? ? 1 6, 5 4 M P aPa1070π 111416E 9-3
1P
1
m a x ???
??
?
?
??
???
W
T?
? ?, 6 9 M P a22Pa1050π 55716H 9-3
2P
2
m a x ???
??
?
?
??
???
W
T?
? ?, 9 8 M P a12Pa1053π 7.18516C 9-3
3P
3
m a x ???
??
?
?
??
???
W
T?
3、计算各轴的横截面上的
最大切应力
3
相对扭转角 抗扭刚度
四、圆轴扭转时的变形计算
§ 3-5、圆轴扭转时的变形
?
?
?
n
i Pi
ii
GI
lT
1
?
1,等截面圆轴,2,阶梯形圆轴：
圆轴扭转时的强度条件：
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
单位长度扭转角
扭转刚度条件 许用单位扭转角
圆轴扭转时的刚度条件：
4-4
传动轴的转速为 n=500r/min，主动轮 A 输入功率
P1=400kW，从动轮 C,B 分别输出功率 P2=160kW,P3=240kW。
已知 [τ ]=70MPa,[φˊ ]=1° /m,G=80GPa。
(1)试确定 AC 段的直径 d1 和 BC 段的直径 d2；
(2)若 AC 和 BC 两段选同一直径，试确定直径 d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
?? nPM e 11 9549 mN7 6 4 05 0 04 0 09 5 4 9 ???
mN3 0 6 04 0 01 6 0 12 ??? ee MM mN4 5 8 04 0 02 4 0 13 ??? ee MM
解,1.外力
例题 4-5
2.扭矩图
mm2.82m102.821070π 76 4016][π16 3
3
6
3
1 ?????
??? ?
?
Td
按刚度条件
mm4.86m104.861π1080 1 807 64 032][π 1 8032 3
4
29
4
21 ??????
???
??
?? ?
?G
Td
3.直径 d1的选取
按强度条件
mN7640 ?
mN4580 ?
???
mm4.861 ?d
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
? ???? ?? 3
1
m a x
16
d
T
? ????? ????? ?18032 4
1
m a x dG
T
按刚度条件
4.直径 d2的选取
按强度条件
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
???
mm3.69m103.69
1070π
4 5 8 016
][π
16
3
3
6
3
2
???
??
?
??
?
?
T
d
mm76m10761π1080 1 804 58 032][π 1 8032 3
4
29
4
22 ??????
???
??
?? ?
?G
Td
mm762 ?d
5.选同一直径时 mm4.861 ?? dd
6.将 主动轮按装在
两从动轮之间
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
???
2eM
C B
A
1eM 3eM
1d 2d
受力合理
mN3060 ?
mN4580 ?
???
???
小结
1、受扭物体的受力和变形特点
2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
? ??? ??
PW
T
m a x
PI
T?? ?
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
? ???? ????? 180
PGI
T
PGI
Tl??
扭 转
一、概
述
汽车传动轴
§ 3-1,扭转的概念和实例
汽车方向盘
丝锥攻丝
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向
相反且 作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,
使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横
截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴
扭转。
直接计算
§ 3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
电机每秒输入功：
外力偶作功完成：
)N,m(1 0 0 0?? PW
602
nMW
e ??? ?
P P
已知
轴转速－ n 转 /分钟
输出功率－ P 千瓦
求：力偶矩 Me
T = Me
2.扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正 (+),反之为 负 (-)
扭矩图
???
???
解,
(1)计算外力偶矩
由公式 P/n
例题 3-1
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
§ 3-3纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转时的切应力
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
CL5TU4
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成
方格,然后加载。
eM eM
?
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度 γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变
根据以上实验现象,可得结论：
圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面
上均匀分布，方向垂直于半径。
观察到如下现象：
γ
Me
Me
nm
m n
φ
Me
切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
T T
MeMe
根据精确的理论分析,当 t≤r/10时,上式的
误差不超过 4.52%,是足够精确的。
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A
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dA
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二、切应力互等定理
dx
t
dy
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( ) ( )? ?? ? ? ?t y x t x yd d d d
? ?? ? CL5TU7
微元体 单元体
Me
Me
三、切应变、剪切胡克定律
?
?
CL5TU8
?
薄壁圆筒的实验,证实了切应力与切应变之间
存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当切应力
不超过材料的剪切比例极限 τp时,切应力与切应
变成正比
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为 剪切
胡克定律
? ?? G
剪切弹性模量 G
材料常数：拉压弹性模量 E
泊松比 μ
G
E
?
?2 1( )?
对于各向同性材料,可以证明,E,G,μ 三个弹
性常数之间存在着如下关系
§ 3-4 圆轴扭转时的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系
从三方面考虑：物理关系
静力学关系 CL5TU5
观察到下列现象,
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离
没有变化
(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度 γ
1.变形几何关系
平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
CL5TU5
Me
Me
nm
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根据剪切胡克定律,当切应力不超过材料
的剪切比例极限时
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切应力方向垂直于半径
2,物理关系
? G
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3.静力学关系
?
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A
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已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最
大切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长
度相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
解,首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
31 61 6 7 1 6 2 0 0 4 5 m = 4 5 m m
π 4 0 1 0
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例题 4-2
759 5 4 9 9 5 4 9 7 1 6 2 N m
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已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最大
切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴的
内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度
相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
d2＝ 0.5D2=23 mm
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1 6 7 1 6 2 0 0 4 6 m = 4 6 m m
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16 4 0 M Pa
π1
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P
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确定实心轴与空心轴的重量之比
空心轴
D2＝ 46 mm d2＝ 23 mm
实心轴
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为
横截面面积之比：
? ? 28.15.01
1
1046
1045
1 2
2
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A
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已知,P1＝ 14kW,P2= P3=P1/2，
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=
70mm,d 2=50mm,d3=35mm,
求,各 轴 横截面上的最大切应力 。
P1=14kW,P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
3 6 0 r /m inr /m in1236120
3
1
13 ＝＝＝ ??
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z
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解,1、计算各轴的功率与转速
M1=T1=1114 N.m
M2=T2=557 N.m
M3=T3=185.7 N.m
2、计算各轴的扭矩
例题 4-3
3
? ? 1 6, 5 4 M P aPa1070π 111416E 9-3
1P
1
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2P
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3P
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3、计算各轴的横截面上的
最大切应力
3
相对扭转角 抗扭刚度
四、圆轴扭转时的变形计算
§ 3-5、圆轴扭转时的变形
?
?
?
n
i Pi
ii
GI
lT
1
?
1,等截面圆轴,2,阶梯形圆轴：
圆轴扭转时的强度条件：
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
单位长度扭转角
扭转刚度条件 许用单位扭转角
圆轴扭转时的刚度条件：
4-4
传动轴的转速为 n=500r/min，主动轮 A 输入功率
P1=400kW，从动轮 C,B 分别输出功率 P2=160kW,P3=240kW。
已知 [τ ]=70MPa,[φˊ ]=1° /m,G=80GPa。
(1)试确定 AC 段的直径 d1 和 BC 段的直径 d2；
(2)若 AC 和 BC 两段选同一直径，试确定直径 d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
1eM
A B
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解,1.外力
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Td
按刚度条件
mm4.86m104.861π1080 1 807 64 032][π 1 8032 3
4
29
4
21 ??????
???
??
?? ?
?G
Td
3.直径 d1的选取
按强度条件
mN7640 ?
mN4580 ?
???
mm4.861 ?d
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
? ???? ?? 3
1
m a x
16
d
T
? ????? ????? ?18032 4
1
m a x dG
T
按刚度条件
4.直径 d2的选取
按强度条件
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
???
mm3.69m103.69
1070π
4 5 8 016
][π
16
3
3
6
3
2
???
??
?
??
?
?
T
d
mm76m10761π1080 1 804 58 032][π 1 8032 3
4
29
4
22 ??????
???
??
?? ?
?G
Td
mm762 ?d
5.选同一直径时 mm4.861 ?? dd
6.将 主动轮按装在
两从动轮之间
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
???
2eM
C B
A
1eM 3eM
1d 2d
受力合理
mN3060 ?
mN4580 ?
???
???
小结
1、受扭物体的受力和变形特点
2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
? ??? ??
PW
T
m a x
PI
T?? ?
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
? ???? ????? 180
PGI
T
PGI
Tl??
