第四章 空间力系
c o syFF ??
c o szFF ??
直接投影法
1、力在直角坐标轴上的投影
?c o sFF x ?
§ 4–1空间汇交力系
间接（二次）投影法
s inxyFF ??
si n c o sxFF ???
s in s inyFF ???
c oszFF ??
2,空间汇交力系的合力与平衡条件
R x i x xF F F???? R y i y yF F F???? R z i z zF F????
合矢量（力）投影定理
R iFF? ?
空间汇交力系的合力
?
合力的大小 2 2 2( ) ( ) ( )
R x y zF F F F? ? ?? ? ?（ 4–1）
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
称为空间汇交力系的平衡方程,
0xF ?? 0yF ?? (4-2)
0RF ?
该力系的合力等于零，即 由式（ 4–1）
c o s(,) xR
R
FFi
F?
?方向余弦 c o s (,) y
R
R
FFj
F
??
c o s(,) zR
R
FFk
F
??
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通
过汇交点,
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐
标轴上的投影的代数和分别为零,
?s innz FF ??
?c o snxy FF ?
??? s inc o ss in nxyx FFF ????
??? c o sc o sc o s nxyy FFF ????
例 4-1
已知：
nF
?, ?, ?
求：力 在三个坐标轴上的投影,nF?
，
例 4-2
已知,物重 P=10kN,CE=EB=DE； 030??
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列
平衡方程
0?? xF
045s in45s in 21 ?? ?? FF
0?? yF
030c o s45c o s30c o s45c o s30s in 21 ??? ????? FFF A
0?? zF
030c o s30s in45c o s30s in45c o s 21 ???? PFFF A ?????
结果,kN54.3
21 ?? FF kN66.8?AF
例 4-3
求：三根杆所受力,
已知,P=1000N,各杆重不计,
解：各杆均为二力杆，取球铰 O，画受
力图建坐标系如图。
0xF ??由 045s in45s in ?? ?? OCOB FF
0yF ?? 045c o s45c o s45c o s ???? ??? OAOCOB FFF
0zF ?? 045s in ?? PF OA ?
解得 （压） N1 4 1 4??OAF
（拉） N7 0 7??
OCOB FF
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
§ 4–2 力对点的矩和力对轴的矩
()OM F r F?? （ 4–3）
(3)作用面：力矩作用面,
(2)方向,转动方向
(1）大小,力 F与力臂的乘积
三要素：
力对点 O的矩 在
三个坐标轴上的投影为
()OMF
()o z yxM F y F z F?? ????
()o x zyM F zF x F?? ????
x y zF F i F j F k? ? ?
r x i y j z k? ? ?又
( ) ( ) ( )x y x z y xy F z F i z F x F j x F y F k? ? ? ? ? ?
（ 4–4）
( ) ( ) ( ) ( )O x y zM F r F x i y j z k F i F j F k? ? ? ? ? ? ? ?
则
zyx FFF
zyx
kji
???
?
（ 4–5）? ?? ?
xyzo yFxFFM ??
??
2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴
的矩为零,
( ) ( )z o x y x yM F M F F h? ? ? ?（ 4–6）
( ) ( ) ( ) ( )y y x y y y zM F M F M F M F? ? ?
3,力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力,力 在三根轴上的分力,,,力 作用点的坐
标 x,y,z
FxF yF zFFF
F求：力 对 x,y,z轴的矩
( ) ( ) ( ) ( )x x x x y x zM F M F M F M F? ? ?
zyF y F z? ? ?
=0-Fy.z+Fz.y
=
xFz?
= +0
zFx?-
= （ 4-8）
xzF z F x??
( ) ( ) ( ) ( )z z x z y z zM F M F M F M F? ? ?
= -
yFx??xFy?
+ 0
yxF x F y? ? ?
= （ 4-9）
( ) ( )o z y xxM F y F z F M F?? ? ? ???
( ) ( )o x yyM F zF x F M F?? ? ? ???
( ) ( )o y z zzM F x F y F M F?? ? ? ???
比较（ 4-5）、（ 4-7）、（ 4-8）、（ 4-9）式可得
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩,
? ? ? ? c o sxM F F l a ?? ? ?
? ? c o syM F F l ???
? ? ? ? s i nzM F F l ??? ? ?
例 4-4
已知：
?,,,alF
求,? ? ? ? ? ?,,
x y zM F M F M F
解：把力 分解如图F
?? c o s,s in FFFF zx ??
§ 4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢
1 2 1 2F F F F??? ? ?
空间力偶的三要素
（ 1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（ 3） 作用面：力偶作用面。
（ 2） 方向：转动方向；
BAM r F??
力偶矩矢 （ 4–10）
BAr?
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，
则它们彼此等效。
（ 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零,
（ 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，
且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的
作用效果不变,
(4)只要保持力偶矩不变, 力偶可从其所在平面移至另
一与此平面平行的任一平面, 对刚体的作用效果不变,
(5)力偶没有合力, 力偶平衡只能由力偶来平衡,
力偶矩相等的力偶等效
力偶矩矢是自由矢量
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
3．力偶系的合成与平衡条件
1 1 1 2 2 2,,......,n n nM r F M r F M r F? ? ? ? ? ?
= =
iMM? ?
有
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶
矩矢的矢量和,
RiFF??
如同右图
,,x i x y i y z i zM M M M M M? ? ?? ? ?
称为空间力偶系的平衡方程,
0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?简写为 （ 4–11）
0M ?
空间力偶系平衡的充分必要条件是,合力偶矩矢等于零，
即
有 0??
ixM 0?? iyM 0?? izM
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M
M ix???c o s
M
M iy???c o s
M
M iz???c o s
? ? ? ? ? ? 222 ??? ??? iziyix MMMM
例 4-5
,,x y z,,x y zM M M求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影,
已知：在工件四个面上同时钻 5个孔，每个孔所受切削力偶
矩均为 80N·m.
解：把力偶用力偶
矩矢表示，平行移
到点 A,
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 543 ?? MMMMM ixx
mN ??????? 802MMM iyy
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 541 ?? MMMMM izz
求,轴承 A,B处的约束力,
例 4-6
圆盘面 O1垂直于 z轴，
已知：
F1=3N,F2=5N,构件自重不计,两盘面上作用有力偶，
圆盘面 O2垂直于 x轴，
AB =800mm,两圆盘半径均为 200mm，
解：取整体，受力图如图 b所示,
由力偶系平衡方程
0?? xM 08 0 04 0 02 ???? AzFF
0?? zM 08 0 04 0 01 ???? AxFF
解得
N5.1??? BxAx FF N5.2?? BzAz FF
§ 4–4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和
主矩
1,空间任意力系向一点的简化
其中, 各, 各
iiFF?? ()i o iM M F?
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系,
称为空间力偶系的主矩
()o i o iM M M F????
( ) ( ) ( )o x y zM M F i M F j M F k? ? ?? ? ?
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
对,,,轴的矩。x y z
( ),( ),( )x y zM F M F M F式中,分别表示各力
空间汇交力系的合力
kFjFiFFF ziyixiiR ????? ???? ?????
—有效推进力
RxF?
飞机向前飞行
RyF?
—有效升力 飞机上升
RzF?
—侧向力 飞机侧移
OxM
—滚转力矩 飞机绕 x轴滚转
OyM
—偏航力矩 飞机转弯
OzM
—俯仰力矩 飞机仰头
O
R
M
d F? ?
最后结果为一合力,合力作用线距简化中心为
2,空间任意力系的简化结果分析 （ 最后结果 ）
O
R
M
d F? ?0,0,R O R OF M F M??? ? ?当 时，
1） 合力
0,0ROFM? ??当 最后结果为一个合力,
合力作用点过简化中心,
( ) ( )O R O R OM d F M F M F? ? ? ? ?
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢
量和,
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和,
（ 2）合力偶
当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化
中心无关。 0,0ROFM? ??
（ 3）力螺旋 当 ∥ 时0,0,
R O RF M F???? OM
力螺旋中心轴过简化中心
当 成角 且 既不平行也不垂直时0,0,,
R O R OF M F M????,?,ROFM?
力螺旋中心轴距简化中心为
sinO
R
Md
F
??
?
（ 4）平衡
当 时，空间力系为平衡力系0,0
ROFM? ??
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零,
1.空间任意力系的平衡方程
0 0 0x y zF F F? ? ?? ? ? 0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?（ 4–12）
空间平行力系的平衡方程
0 0 0z x yF M M? ? ?? ? ?
（ 4–13）
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在
三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等
于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的
代数和也等于零,
约束类型 简图 约束力
径向轴承
蝶形铰链
圆柱铰链
球形铰
推力轴承
空间固定端
2.空间约束类型举例
例 4-7 已知,P=8kN,,101 kN?P 各尺寸如图
求,A,B,C 处约束力
解：研究对象：小车
受力：
1,,,,,A B DP P F F F
列平衡方程
0?? zF 01 ?????? DBA FFFPP
? ? 0?? FM x 022.02.1 1 ???? DFPP
? ? 0?? FM y 06.02.16.08.0 1 ???? DB FFPP
结果,kNkNkN 423.4,777.7,8.5 ??? ABD FFF
3.空间力系平衡问题举例
例 4-8
已知：,2 0 0 0 N?F,2 12 FF ?,60,30 ?? ?? ?? 各尺寸如图
求：
21,FF
及 A,B处约束力
解：研究对象, 曲轴 受力：
12,,,,,,A x A z B x B zF F F F F F F
列平衡方程
? ? 0xF 060s in30s in 21 ???? BxAx FFFF ??
? ? 0yF 00?
? ? 0zF 060c o s30c o s 21 ?????? BzAz FFFFF ??
? ? 0?? FM x
040020020060c o s20030c o s 21 ???????? BxFFFF ??
? ? 0?? FM y ? ? 0
2 12 ????? FF
DRF
? ? 0?? FM z
040020060s in20030s in 21 ?????? BxFFF ??
结果：,6000,3000 21 NN ?? FF
,9397,10004 NN ??? AzAx FF
,1 7 9 9,3 3 4 8 NN ??? BzBx FF
例 4-10
已知,F,P及各尺寸 求,杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
026 ????? PaaF? ? 0ABMF ?? 26 PF ??
? ? 0AEMF ?? 05 ?F
? ? 0ACMF ?? 04 ?F
? ? 0EFMF ?? 0
2 2216 ???????? ba
abFPaaF 01 ?F
? ? 0FGMF ?? 02 2 ???? bFPbFb PF 5.12 ?
? ? 0BCMF ?? 045c o s2 32 ???????? bFPbbF ?PF 223 ??
§ 4–6 重 心
1,计算重心坐标的公式
对 y轴用合力矩定理
1 1 2 2,...C n n i iP x P x P x P x P x? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
有 ii
C
Pxx
P?
?
对 x轴用合力矩定理
1 1 2 2,...C n n i iP y P y P y P y P z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
有 ii
C
Pyy
P?
?
再对 x轴用合力矩定理
1 1 2 2,...C n n i iP z P z P z P z P z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
ii
C
Pzz
P?
?
则计算重心坐标的公式为
ii
C
Pzz
P?
?ii
C
Pxx
P?
? ii
C
Pyy
P?
? （ 4–14）
对均质物体，均质板状物体，有
ii
C
Axx
A?
? ii
C
Ayy
A?
? ii
C
Azz
A?
? 称为重心或形心公式
2,确定重心的悬挂法与称重法
（ 1） 悬挂法
图 a中左右两部分的重量是否一定相等？
（ 2） 称重法
1CP x F l? ? ? 1C FxlP?
则
有
2
C
Fxl
P
? ??
2221 1
C
FFz r l H
PH
?? ? ? ? ?
整理后，得
若汽车左右不对称，如何
测出重心距左（或右）轮
的距离？
例 4-12
求：其重心坐标
已知：均质等厚 Z字型薄板尺寸如图所示,
则
用虚线分割如图,为三个小矩形，
其面积与坐标分别为
解,厚度方向重心坐标已确定,只求重心的 x,y坐标即可,
mm151 ??x mm451?y 21 3 0 0 mm?A
mm52?x mm302?y 22 400 mm?A
mm153?x mm53?y 23 3 0 0 mm?A
mm2
321
332211 ?
??
?????
AAA
xAxAxA
A
xAx ii
C
mm27
321
332211 ?
??
?????
AAA
yAyAyA
A
yAy ii
C
例 4-13
求：其重心坐标,
1 2 3
4 4 ( ),,0
33
R r by y y
??
?? ? ? ?
由 ii
C
Ayy
A?
?
2 2 2
1 2 3,( ),,22A R A r b A r
?? ?? ? ? ? ?而
0,Cx ?由对称性，有
小半圆（半径为 ）面积为,rb? 2A
小圆（半径为 ）面积为,为负值。r
3A
解：用负面积法，
1A
设大半圆面积为,为三部分组成，
已知：等厚均质偏心块的 mmmmmm 13,17,1 0 0 ??? brR
得 mm01.40
321
332211 ?
??
???
AAA
yAyAyAy
C
作业
书 4-11,4-19
作业
书 4-6
4-7
c o syFF ??
c o szFF ??
直接投影法
1、力在直角坐标轴上的投影
?c o sFF x ?
§ 4–1空间汇交力系
间接（二次）投影法
s inxyFF ??
si n c o sxFF ???
s in s inyFF ???
c oszFF ??
2,空间汇交力系的合力与平衡条件
R x i x xF F F???? R y i y yF F F???? R z i z zF F????
合矢量（力）投影定理
R iFF? ?
空间汇交力系的合力
?
合力的大小 2 2 2( ) ( ) ( )
R x y zF F F F? ? ?? ? ?（ 4–1）
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
称为空间汇交力系的平衡方程,
0xF ?? 0yF ?? (4-2)
0RF ?
该力系的合力等于零，即 由式（ 4–1）
c o s(,) xR
R
FFi
F?
?方向余弦 c o s (,) y
R
R
FFj
F
??
c o s(,) zR
R
FFk
F
??
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通
过汇交点,
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐
标轴上的投影的代数和分别为零,
?s innz FF ??
?c o snxy FF ?
??? s inc o ss in nxyx FFF ????
??? c o sc o sc o s nxyy FFF ????
例 4-1
已知：
nF
?, ?, ?
求：力 在三个坐标轴上的投影,nF?
，
例 4-2
已知,物重 P=10kN,CE=EB=DE； 030??
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列
平衡方程
0?? xF
045s in45s in 21 ?? ?? FF
0?? yF
030c o s45c o s30c o s45c o s30s in 21 ??? ????? FFF A
0?? zF
030c o s30s in45c o s30s in45c o s 21 ???? PFFF A ?????
结果,kN54.3
21 ?? FF kN66.8?AF
例 4-3
求：三根杆所受力,
已知,P=1000N,各杆重不计,
解：各杆均为二力杆，取球铰 O，画受
力图建坐标系如图。
0xF ??由 045s in45s in ?? ?? OCOB FF
0yF ?? 045c o s45c o s45c o s ???? ??? OAOCOB FFF
0zF ?? 045s in ?? PF OA ?
解得 （压） N1 4 1 4??OAF
（拉） N7 0 7??
OCOB FF
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
§ 4–2 力对点的矩和力对轴的矩
()OM F r F?? （ 4–3）
(3)作用面：力矩作用面,
(2)方向,转动方向
(1）大小,力 F与力臂的乘积
三要素：
力对点 O的矩 在
三个坐标轴上的投影为
()OMF
()o z yxM F y F z F?? ????
()o x zyM F zF x F?? ????
x y zF F i F j F k? ? ?
r x i y j z k? ? ?又
( ) ( ) ( )x y x z y xy F z F i z F x F j x F y F k? ? ? ? ? ?
（ 4–4）
( ) ( ) ( ) ( )O x y zM F r F x i y j z k F i F j F k? ? ? ? ? ? ? ?
则
zyx FFF
zyx
kji
???
?
（ 4–5）? ?? ?
xyzo yFxFFM ??
??
2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴
的矩为零,
( ) ( )z o x y x yM F M F F h? ? ? ?（ 4–6）
( ) ( ) ( ) ( )y y x y y y zM F M F M F M F? ? ?
3,力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力,力 在三根轴上的分力,,,力 作用点的坐
标 x,y,z
FxF yF zFFF
F求：力 对 x,y,z轴的矩
( ) ( ) ( ) ( )x x x x y x zM F M F M F M F? ? ?
zyF y F z? ? ?
=0-Fy.z+Fz.y
=
xFz?
= +0
zFx?-
= （ 4-8）
xzF z F x??
( ) ( ) ( ) ( )z z x z y z zM F M F M F M F? ? ?
= -
yFx??xFy?
+ 0
yxF x F y? ? ?
= （ 4-9）
( ) ( )o z y xxM F y F z F M F?? ? ? ???
( ) ( )o x yyM F zF x F M F?? ? ? ???
( ) ( )o y z zzM F x F y F M F?? ? ? ???
比较（ 4-5）、（ 4-7）、（ 4-8）、（ 4-9）式可得
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩,
? ? ? ? c o sxM F F l a ?? ? ?
? ? c o syM F F l ???
? ? ? ? s i nzM F F l ??? ? ?
例 4-4
已知：
?,,,alF
求,? ? ? ? ? ?,,
x y zM F M F M F
解：把力 分解如图F
?? c o s,s in FFFF zx ??
§ 4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢
1 2 1 2F F F F??? ? ?
空间力偶的三要素
（ 1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（ 3） 作用面：力偶作用面。
（ 2） 方向：转动方向；
BAM r F??
力偶矩矢 （ 4–10）
BAr?
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，
则它们彼此等效。
（ 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零,
（ 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，
且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的
作用效果不变,
(4)只要保持力偶矩不变, 力偶可从其所在平面移至另
一与此平面平行的任一平面, 对刚体的作用效果不变,
(5)力偶没有合力, 力偶平衡只能由力偶来平衡,
力偶矩相等的力偶等效
力偶矩矢是自由矢量
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
3．力偶系的合成与平衡条件
1 1 1 2 2 2,,......,n n nM r F M r F M r F? ? ? ? ? ?
= =
iMM? ?
有
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶
矩矢的矢量和,
RiFF??
如同右图
,,x i x y i y z i zM M M M M M? ? ?? ? ?
称为空间力偶系的平衡方程,
0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?简写为 （ 4–11）
0M ?
空间力偶系平衡的充分必要条件是,合力偶矩矢等于零，
即
有 0??
ixM 0?? iyM 0?? izM
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M
M ix???c o s
M
M iy???c o s
M
M iz???c o s
? ? ? ? ? ? 222 ??? ??? iziyix MMMM
例 4-5
,,x y z,,x y zM M M求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影,
已知：在工件四个面上同时钻 5个孔，每个孔所受切削力偶
矩均为 80N·m.
解：把力偶用力偶
矩矢表示，平行移
到点 A,
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 543 ?? MMMMM ixx
mN ??????? 802MMM iyy
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 541 ?? MMMMM izz
求,轴承 A,B处的约束力,
例 4-6
圆盘面 O1垂直于 z轴，
已知：
F1=3N,F2=5N,构件自重不计,两盘面上作用有力偶，
圆盘面 O2垂直于 x轴，
AB =800mm,两圆盘半径均为 200mm，
解：取整体，受力图如图 b所示,
由力偶系平衡方程
0?? xM 08 0 04 0 02 ???? AzFF
0?? zM 08 0 04 0 01 ???? AxFF
解得
N5.1??? BxAx FF N5.2?? BzAz FF
§ 4–4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和
主矩
1,空间任意力系向一点的简化
其中, 各, 各
iiFF?? ()i o iM M F?
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系,
称为空间力偶系的主矩
()o i o iM M M F????
( ) ( ) ( )o x y zM M F i M F j M F k? ? ?? ? ?
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
对,,,轴的矩。x y z
( ),( ),( )x y zM F M F M F式中,分别表示各力
空间汇交力系的合力
kFjFiFFF ziyixiiR ????? ???? ?????
—有效推进力
RxF?
飞机向前飞行
RyF?
—有效升力 飞机上升
RzF?
—侧向力 飞机侧移
OxM
—滚转力矩 飞机绕 x轴滚转
OyM
—偏航力矩 飞机转弯
OzM
—俯仰力矩 飞机仰头
O
R
M
d F? ?
最后结果为一合力,合力作用线距简化中心为
2,空间任意力系的简化结果分析 （ 最后结果 ）
O
R
M
d F? ?0,0,R O R OF M F M??? ? ?当 时，
1） 合力
0,0ROFM? ??当 最后结果为一个合力,
合力作用点过简化中心,
( ) ( )O R O R OM d F M F M F? ? ? ? ?
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢
量和,
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和,
（ 2）合力偶
当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化
中心无关。 0,0ROFM? ??
（ 3）力螺旋 当 ∥ 时0,0,
R O RF M F???? OM
力螺旋中心轴过简化中心
当 成角 且 既不平行也不垂直时0,0,,
R O R OF M F M????,?,ROFM?
力螺旋中心轴距简化中心为
sinO
R
Md
F
??
?
（ 4）平衡
当 时，空间力系为平衡力系0,0
ROFM? ??
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零,
1.空间任意力系的平衡方程
0 0 0x y zF F F? ? ?? ? ? 0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?（ 4–12）
空间平行力系的平衡方程
0 0 0z x yF M M? ? ?? ? ?
（ 4–13）
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在
三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等
于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的
代数和也等于零,
约束类型 简图 约束力
径向轴承
蝶形铰链
圆柱铰链
球形铰
推力轴承
空间固定端
2.空间约束类型举例
例 4-7 已知,P=8kN,,101 kN?P 各尺寸如图
求,A,B,C 处约束力
解：研究对象：小车
受力：
1,,,,,A B DP P F F F
列平衡方程
0?? zF 01 ?????? DBA FFFPP
? ? 0?? FM x 022.02.1 1 ???? DFPP
? ? 0?? FM y 06.02.16.08.0 1 ???? DB FFPP
结果,kNkNkN 423.4,777.7,8.5 ??? ABD FFF
3.空间力系平衡问题举例
例 4-8
已知：,2 0 0 0 N?F,2 12 FF ?,60,30 ?? ?? ?? 各尺寸如图
求：
21,FF
及 A,B处约束力
解：研究对象, 曲轴 受力：
12,,,,,,A x A z B x B zF F F F F F F
列平衡方程
? ? 0xF 060s in30s in 21 ???? BxAx FFFF ??
? ? 0yF 00?
? ? 0zF 060c o s30c o s 21 ?????? BzAz FFFFF ??
? ? 0?? FM x
040020020060c o s20030c o s 21 ???????? BxFFFF ??
? ? 0?? FM y ? ? 0
2 12 ????? FF
DRF
? ? 0?? FM z
040020060s in20030s in 21 ?????? BxFFF ??
结果：,6000,3000 21 NN ?? FF
,9397,10004 NN ??? AzAx FF
,1 7 9 9,3 3 4 8 NN ??? BzBx FF
例 4-10
已知,F,P及各尺寸 求,杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
026 ????? PaaF? ? 0ABMF ?? 26 PF ??
? ? 0AEMF ?? 05 ?F
? ? 0ACMF ?? 04 ?F
? ? 0EFMF ?? 0
2 2216 ???????? ba
abFPaaF 01 ?F
? ? 0FGMF ?? 02 2 ???? bFPbFb PF 5.12 ?
? ? 0BCMF ?? 045c o s2 32 ???????? bFPbbF ?PF 223 ??
§ 4–6 重 心
1,计算重心坐标的公式
对 y轴用合力矩定理
1 1 2 2,...C n n i iP x P x P x P x P x? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
有 ii
C
Pxx
P?
?
对 x轴用合力矩定理
1 1 2 2,...C n n i iP y P y P y P y P z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
有 ii
C
Pyy
P?
?
再对 x轴用合力矩定理
1 1 2 2,...C n n i iP z P z P z P z P z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
ii
C
Pzz
P?
?
则计算重心坐标的公式为
ii
C
Pzz
P?
?ii
C
Pxx
P?
? ii
C
Pyy
P?
? （ 4–14）
对均质物体，均质板状物体，有
ii
C
Axx
A?
? ii
C
Ayy
A?
? ii
C
Azz
A?
? 称为重心或形心公式
2,确定重心的悬挂法与称重法
（ 1） 悬挂法
图 a中左右两部分的重量是否一定相等？
（ 2） 称重法
1CP x F l? ? ? 1C FxlP?
则
有
2
C
Fxl
P
? ??
2221 1
C
FFz r l H
PH
?? ? ? ? ?
整理后，得
若汽车左右不对称，如何
测出重心距左（或右）轮
的距离？
例 4-12
求：其重心坐标
已知：均质等厚 Z字型薄板尺寸如图所示,
则
用虚线分割如图,为三个小矩形，
其面积与坐标分别为
解,厚度方向重心坐标已确定,只求重心的 x,y坐标即可,
mm151 ??x mm451?y 21 3 0 0 mm?A
mm52?x mm302?y 22 400 mm?A
mm153?x mm53?y 23 3 0 0 mm?A
mm2
321
332211 ?
??
?????
AAA
xAxAxA
A
xAx ii
C
mm27
321
332211 ?
??
?????
AAA
yAyAyA
A
yAy ii
C
例 4-13
求：其重心坐标,
1 2 3
4 4 ( ),,0
33
R r by y y
??
?? ? ? ?
由 ii
C
Ayy
A?
?
2 2 2
1 2 3,( ),,22A R A r b A r
?? ?? ? ? ? ?而
0,Cx ?由对称性，有
小半圆（半径为 ）面积为,rb? 2A
小圆（半径为 ）面积为,为负值。r
3A
解：用负面积法，
1A
设大半圆面积为,为三部分组成，
已知：等厚均质偏心块的 mmmmmm 13,17,1 0 0 ??? brR
得 mm01.40
321
332211 ?
??
???
AAA
yAyAyAy
C
作业
书 4-11,4-19
作业
书 4-6
4-7
