1
弯 曲 变 形
第 六 章
目录
2
第六章 弯曲变形
§ 6-1 概述
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§ 6-5 简单超静定梁
目录 目录
3
§ 6-1 概 述
7-1 目录
4
§ 6-1 概 述
目录
5
§ 6-1 概 述
目录
6
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
)( xww ?
由于小变形，截面形心在 x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为：
dx
dw?? ?? t a n
挠曲线y
x
x
w
挠度
? 转角
挠度 w：截面形心
在 y方向的位移
w 向上为正
转角 θ,截面绕中性轴转过的角度。 ? 逆钟向为正
7-2 目录
7
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
zEI
M
ρ
1 ?
忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1 ?
?
?
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
8
由数学知识可知：
32
2
2
])(1[
1
dx
dy
dx
yd
?
??
?
略去高阶小量，得
2
21
dx
yd??
?
所以
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
??
2
M ( x ) > 0 M ( x ) > 0
O
d y
d x
2 > 0
x
y
M ( x ) < 0
O
d x
d y
< 02
2
y
x
M ( x ) < 0
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
9
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲
线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方
程为：
zEI
xM
dx
wd )(
2
2
?
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角
和挠度。
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
10
挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
wd )(
2
2
?
积分一次得转角方程为：
? ??? CdxxMEIdxdwEI zz )(?
)(2
2
xMdx wdEI z ?
再积分一次得挠度方程为：
DxCd x d xxMwEI z ??? ?? )(
7-3 目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
11
积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~ A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
0?Aw 0?Aw
0?A?
??Aw
位移边界条件 光滑连续条件
ARAL ww ?
ARAL ?? ?
ARAL ww ?
－ 弹簧变形?
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
12
例 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
,0?AxF ),(?? FF Ay )(FlM A ?
2）写出 x截面的弯矩方程
)()()( lxFxlFxM ?????
3）列挠曲线近似微分方程并积分
)()(2
2
lxFxMdx wdEI ???
ClxFEIdxdwEI ???? 2)(21?
DCxlxFE I w ???? 3)(61
积分一次
再积分一次
B?
A B x
y
x
l
F
Bw
目录
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
13
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0 ?? Awx
0,0 ?? Ax ?
32
6
1,
2
1 FlDFlC ???代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
22
2
1)(
2
1 FllxFEI ????
323
6
1
2
1)(
6
1 FlxFllxFE I w ????
EI
Flyw
EI
Fllx
BB 3,2,
3
m a x
2
m a x ????? ??
B?
A B x
y
x
l
F
Bw
目录
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
14
例 2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
l
FaF
l
FbFF
ByAyAx ???,,0
2）弯矩方程
? ? axxlFbxFxM Ay ???? 1111 0,
AC 段：
? ? lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay ???????? 222222 ),()(
CB 段：
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
15
3）列挠曲线近似微分方程并积分
112
1
1
2
)( xlFbxMdx wdEI ??
1
2
1
1
1
12)( Cxl
FbxEI
dx
dwEI ??? ?
11131 16 DxCxl
FbE Iw ???
AC 段,ax ?? 10
)()( 2222
2
2
2
axFxlFbxMdx wdEI ????
2
2
2
2
2
2
2 )(
22)( 2 Cax
Fx
l
FbxEI
dx
dwEI ????? ?
222
3
2
3
2 )(66 2 DxCax
Fx
l
FbE I w ?????
CB 段,lxa ??
2
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
16
4）由边界条件确定积分常数
0)(,22 ?? lwlx
0)0(,0 11 ?? wx
代入求解，得
位移边界条件
光滑连续条件
)()(,2121 aaaxx ?? ???
)()(,2121 awawaxx ???
l
FbF b lCC
66
1 3
21 ????
021 ?? DD
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
17
5）确定转角方程和挠度方程
)(62 2221 1 bllFbxlFbEI ????
12231 )(66 1 xbll
Fbx
l
FbE I w ???
AC 段,ax ?? 10
)(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEI ??????
2
223
2
3
22 )(6)(66 xbll
FbaxFx
l
FbE I w ?????
CB 段,lxa ?? 2
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
18
6）确定最大转角和最大挠度
令 得，0?
dx
d?
))((6,m a x alE I lF a blx B ???? ??
令 得，0?
dx
dw
)(39 )(,3
322
m a x
22
EI l
blFbwblx ?????
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
19
讨 论
积分法求变形有什么优缺点？
目录
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
20
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
)(2
2
xME Iw ''dx wdEI ??
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩
为 M(x)，转角为,挠度为 w，则有：?
)( xME Iw' ' ii ?
若梁上只有第 i个载荷单独作用，截面上弯矩
为,转角为,挠度为,则有：
i? iw)(xMi
由弯矩的叠加原理知,)()(
1
xMxM
n
i
i ??
?
所以,)('')(''
11
xMwEIwEI
n
i
i
n
i
i ?? ??
??
7-4 目录
21
故 '')(''
1
?
?
?
n
i
iww
由于梁的边界条件不变，因此
,
1
?
?
?
n
i
i???
?
?
n
i
iww
1
重要结论：
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。
这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
22
例 3 已知简支梁受力如图示，
q,l,EI均为已知。求 C 截面
的挠度 wC ； B截面的转角 ?B
1）将梁上的载荷分解
321 CCCC wwww ???
321 BBBB ???? ???
wC1
wC2
wC3
2）查表得 3种情形下 C截面的
挠度和 B截面的转角 。
EI
ql
B 24
3
1 ??
EI
ql
B 16
3
1 ??
EI
ql
B 3
3
3 ???
EI
qlw
C 3 8 4
5 4
1 ??
EI
qlw
C 48
4
2 ??
EI
qlw
C 16
4
3 ?
解
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
23
wC1
wC2
wC3
3） 应用叠加法，将简单载荷
作用时的结果求和
)(
3 8 4
11
16483 8 4
5
4
4443
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
ww
i
CiC
?
????? ?
?
)(
48
11
31624
3
3333
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
i
BiB
??
???? ?
?
??
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
24
例 4 已知：悬臂梁受力如图
示,q,l,EI均为已知。求 C
截面的挠度 wC和转角 ?C
1）首先，将梁上的载荷变成
有表可查的情形
为了利用梁全长承受均
布载荷的已知结果，先将均
布载荷延长至梁的全长，为
了不改变原来载荷作用的效
果，在 AB 段还需再加上集
度相同、方向相反的均布载
荷。
Cw
解
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
25
Cw
2Cw
1Cw
2Bw
,8 41 EIqlw C ??
,
248128
2
34
222
l
EI
ql
EI
ql
l
ww BBC
???
??? ?
EI
ql
C 6
3
1 ???
EI
ql
C 48
3
2 ??
EI
qlww
i
CiC 3 8 4
41 42
1
??? ?
?
3）将结果叠加
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
??? ?
?
??
2）再将处理后的梁分解为简单
载荷作用的情形，计算各自 C截
面的挠度和转角。
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
26
讨 论
叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
27
§ 6-5 简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁,支反力数目大于有效平衡方程数目的梁
多余约束,从维持平衡角度而言,多余的约束
超静定次数,多余约束或多余支反力的数目。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统 —— 比较变形，列变
形协调条件 —— 由物理关系建立补充方程 —— 利用
静力平衡条件求其他约束反力。
相当系统,用多余约束力代替多余约束的静定系统
7-6 目录
28
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
解
例 5 求梁的支反力，梁的抗弯
刚度为 EI。
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
1）判定超静定次数
2）解除多余约束，建立相当系统
(d)
A B
C
F B y
A B
F
C
0)()( ??? ByFBFBB www
目录
3）进行变形比较，列出变形协
调条件
§ 6-5 简单超静定梁
29
4）由物理关系，列出补充方程
EI
Faaa
EI
aFw
FB 3
14)29(
6
)2()( 32 ?????
EI
aFw By
FB By 3
8)( 3?
038314
33
??? EI aFEIFa By所以
FFBy 47?
4）由整体平衡条件求其他约束反力
)(43),(2 FFFaM AyA ???
目录
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
(d)
A B
C
F B y
A B
F
CAM
AyF
§ 6-5 简单超静定梁
30
例 6 梁 AB 和 BC 在 B 处铰接,A,C 两端固定，梁的抗弯刚度
均为 EI,F = 40kN,q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
从 B 处拆开，使超静定结构变
成两个悬臂梁。
变形协调方程为,21 BB ww ?
BBFF??
FB
MA
FA
wB1
FB
MC
FC
wB2
物理关系
EI
F
EI
qw B
B 3
4
8
4 34
1
????
? ? EIFEIFw 'B B3 42436 2 322 ??????
解
§ 6-5 简单超静定梁
31
FB
FB
MA
FA
MC
FC
wB1
wB2
kN75.848 42046 104023 3
4
2 ?????
?
???
?
?
??
?
??
BF
代入得补充方程：
? ? EIFEIFEIFEIq BB 3 42436 23 48 4 3234 ?????????
确定 A 端约束力
04,0 ????? qFFF BAy
kN25.7175.82044 ?????? BA FqF
0424,0 ?????? BAA FqMM
? ? mkN12575.842204
424
??????????
???? BA FqM
§ 6-5 简单超静定梁
32
FB
F′B
MA
FA
MC
FC
wB1
wB2
0,0 ???? ?? FFFF CBy
确定 B 端约束力
? ?
kN75.48
75.840
?
????? ?BC FFF
042,0 ???? ?? BCC FFMM
? ? k N, m1 1 540275.84
24
???????
?? ? FFM BC
§ 6-5 简单超静定梁
33
MA
FA
MC
FC
A,B 端约束力已求出
最后作梁的剪力图和弯矩图)(?
)(?
25.71
75.8
75.48
? ?kN
?? SF
)(kN25.71?AF
)kN (75.48?CF
)(mkN125 ??AM
)m(kN115 ??CM
)(?
125 115
94.1
5.17
)mkN( ?
?? M
)(?
§ 6-5 简单超静定梁
34
3）采用超静定结构
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
35
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
1.刚度条件
][],[ m a xm a x ?? ?? ww
建筑钢梁的许可挠度：
1000~250
ll
机械传动轴的许可转角：
3000
1
精密机床的许可转角：
5000
1
7-5 目录
36
根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承 B
处转角不超过许用数值。
B
1） 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁 B 处的转角为：
EI
Fla
B 3??
解
目录
例 7 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转
角 ?θ ? =0.5° 。根据刚度要求
确定轴的直径 d。
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
37
例 7 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转
角 ?θ ? =0.5° 。根据刚度要求
确定轴的直径 d。
B
2） 由刚度条件确定轴的直径,? ??? ?
B
? ?
11 1m mm10111
5.0102063
18012102064
3
18064
3
4
29
3
4
???
????
?????
?
?
?
?
????E
F l a
d
目录
? ??? ?? 18 03 EIF la ? ???EF laI 3 1 8 0?? ? ???? EFl ad 3 18064 4 ??
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
38
2.提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
39
2）改善结构形式，减少弯矩数值
改
变
支
座
形
式
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
40
2）改善结构形式，减少弯矩数值
改
变
载
荷
类
型
目录
%5.62
1
2 ?
C
C
w
w
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
41
3）采用超静定结构
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
42
小结
1、明确挠曲线、挠度和转角的概念
2、掌握计算梁 变形的积分法和叠加法
3、学会用 变形比较法解简单超静定问题
目录
弯 曲 变 形
第 六 章
目录
2
第六章 弯曲变形
§ 6-1 概述
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§ 6-5 简单超静定梁
目录 目录
3
§ 6-1 概 述
7-1 目录
4
§ 6-1 概 述
目录
5
§ 6-1 概 述
目录
6
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
)( xww ?
由于小变形，截面形心在 x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为：
dx
dw?? ?? t a n
挠曲线y
x
x
w
挠度
? 转角
挠度 w：截面形心
在 y方向的位移
w 向上为正
转角 θ,截面绕中性轴转过的角度。 ? 逆钟向为正
7-2 目录
7
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
zEI
M
ρ
1 ?
忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1 ?
?
?
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
8
由数学知识可知：
32
2
2
])(1[
1
dx
dy
dx
yd
?
??
?
略去高阶小量，得
2
21
dx
yd??
?
所以
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
??
2
M ( x ) > 0 M ( x ) > 0
O
d y
d x
2 > 0
x
y
M ( x ) < 0
O
d x
d y
< 02
2
y
x
M ( x ) < 0
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
9
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲
线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方
程为：
zEI
xM
dx
wd )(
2
2
?
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角
和挠度。
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
10
挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
wd )(
2
2
?
积分一次得转角方程为：
? ??? CdxxMEIdxdwEI zz )(?
)(2
2
xMdx wdEI z ?
再积分一次得挠度方程为：
DxCd x d xxMwEI z ??? ?? )(
7-3 目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
11
积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~ A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
0?Aw 0?Aw
0?A?
??Aw
位移边界条件 光滑连续条件
ARAL ww ?
ARAL ?? ?
ARAL ww ?
－ 弹簧变形?
目录
§ 6-2 挠曲线的近似微分方程
12
例 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
,0?AxF ),(?? FF Ay )(FlM A ?
2）写出 x截面的弯矩方程
)()()( lxFxlFxM ?????
3）列挠曲线近似微分方程并积分
)()(2
2
lxFxMdx wdEI ???
ClxFEIdxdwEI ???? 2)(21?
DCxlxFE I w ???? 3)(61
积分一次
再积分一次
B?
A B x
y
x
l
F
Bw
目录
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
13
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0 ?? Awx
0,0 ?? Ax ?
32
6
1,
2
1 FlDFlC ???代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
22
2
1)(
2
1 FllxFEI ????
323
6
1
2
1)(
6
1 FlxFllxFE I w ????
EI
Flyw
EI
Fllx
BB 3,2,
3
m a x
2
m a x ????? ??
B?
A B x
y
x
l
F
Bw
目录
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
14
例 2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
l
FaF
l
FbFF
ByAyAx ???,,0
2）弯矩方程
? ? axxlFbxFxM Ay ???? 1111 0,
AC 段：
? ? lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay ???????? 222222 ),()(
CB 段：
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
15
3）列挠曲线近似微分方程并积分
112
1
1
2
)( xlFbxMdx wdEI ??
1
2
1
1
1
12)( Cxl
FbxEI
dx
dwEI ??? ?
11131 16 DxCxl
FbE Iw ???
AC 段,ax ?? 10
)()( 2222
2
2
2
axFxlFbxMdx wdEI ????
2
2
2
2
2
2
2 )(
22)( 2 Cax
Fx
l
FbxEI
dx
dwEI ????? ?
222
3
2
3
2 )(66 2 DxCax
Fx
l
FbE I w ?????
CB 段,lxa ??
2
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
16
4）由边界条件确定积分常数
0)(,22 ?? lwlx
0)0(,0 11 ?? wx
代入求解，得
位移边界条件
光滑连续条件
)()(,2121 aaaxx ?? ???
)()(,2121 awawaxx ???
l
FbF b lCC
66
1 3
21 ????
021 ?? DD
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
17
5）确定转角方程和挠度方程
)(62 2221 1 bllFbxlFbEI ????
12231 )(66 1 xbll
Fbx
l
FbE I w ???
AC 段,ax ?? 10
)(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEI ??????
2
223
2
3
22 )(6)(66 xbll
FbaxFx
l
FbE I w ?????
CB 段,lxa ?? 2
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
18
6）确定最大转角和最大挠度
令 得，0?
dx
d?
))((6,m a x alE I lF a blx B ???? ??
令 得，0?
dx
dw
)(39 )(,3
322
m a x
22
EI l
blFbwblx ?????
目录
maxw
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
19
讨 论
积分法求变形有什么优缺点？
目录
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
20
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
)(2
2
xME Iw ''dx wdEI ??
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩
为 M(x)，转角为,挠度为 w，则有：?
)( xME Iw' ' ii ?
若梁上只有第 i个载荷单独作用，截面上弯矩
为,转角为,挠度为,则有：
i? iw)(xMi
由弯矩的叠加原理知,)()(
1
xMxM
n
i
i ??
?
所以,)('')(''
11
xMwEIwEI
n
i
i
n
i
i ?? ??
??
7-4 目录
21
故 '')(''
1
?
?
?
n
i
iww
由于梁的边界条件不变，因此
,
1
?
?
?
n
i
i???
?
?
n
i
iww
1
重要结论：
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。
这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
22
例 3 已知简支梁受力如图示，
q,l,EI均为已知。求 C 截面
的挠度 wC ； B截面的转角 ?B
1）将梁上的载荷分解
321 CCCC wwww ???
321 BBBB ???? ???
wC1
wC2
wC3
2）查表得 3种情形下 C截面的
挠度和 B截面的转角 。
EI
ql
B 24
3
1 ??
EI
ql
B 16
3
1 ??
EI
ql
B 3
3
3 ???
EI
qlw
C 3 8 4
5 4
1 ??
EI
qlw
C 48
4
2 ??
EI
qlw
C 16
4
3 ?
解
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
23
wC1
wC2
wC3
3） 应用叠加法，将简单载荷
作用时的结果求和
)(
3 8 4
11
16483 8 4
5
4
4443
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
ww
i
CiC
?
????? ?
?
)(
48
11
31624
3
3333
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
i
BiB
??
???? ?
?
??
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
24
例 4 已知：悬臂梁受力如图
示,q,l,EI均为已知。求 C
截面的挠度 wC和转角 ?C
1）首先，将梁上的载荷变成
有表可查的情形
为了利用梁全长承受均
布载荷的已知结果，先将均
布载荷延长至梁的全长，为
了不改变原来载荷作用的效
果，在 AB 段还需再加上集
度相同、方向相反的均布载
荷。
Cw
解
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
25
Cw
2Cw
1Cw
2Bw
,8 41 EIqlw C ??
,
248128
2
34
222
l
EI
ql
EI
ql
l
ww BBC
???
??? ?
EI
ql
C 6
3
1 ???
EI
ql
C 48
3
2 ??
EI
qlww
i
CiC 3 8 4
41 42
1
??? ?
?
3）将结果叠加
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
??? ?
?
??
2）再将处理后的梁分解为简单
载荷作用的情形，计算各自 C截
面的挠度和转角。
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
26
讨 论
叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
27
§ 6-5 简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁,支反力数目大于有效平衡方程数目的梁
多余约束,从维持平衡角度而言,多余的约束
超静定次数,多余约束或多余支反力的数目。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统 —— 比较变形，列变
形协调条件 —— 由物理关系建立补充方程 —— 利用
静力平衡条件求其他约束反力。
相当系统,用多余约束力代替多余约束的静定系统
7-6 目录
28
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
解
例 5 求梁的支反力，梁的抗弯
刚度为 EI。
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
1）判定超静定次数
2）解除多余约束，建立相当系统
(d)
A B
C
F B y
A B
F
C
0)()( ??? ByFBFBB www
目录
3）进行变形比较，列出变形协
调条件
§ 6-5 简单超静定梁
29
4）由物理关系，列出补充方程
EI
Faaa
EI
aFw
FB 3
14)29(
6
)2()( 32 ?????
EI
aFw By
FB By 3
8)( 3?
038314
33
??? EI aFEIFa By所以
FFBy 47?
4）由整体平衡条件求其他约束反力
)(43),(2 FFFaM AyA ???
目录
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
(d)
A B
C
F B y
A B
F
CAM
AyF
§ 6-5 简单超静定梁
30
例 6 梁 AB 和 BC 在 B 处铰接,A,C 两端固定，梁的抗弯刚度
均为 EI,F = 40kN,q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
从 B 处拆开，使超静定结构变
成两个悬臂梁。
变形协调方程为,21 BB ww ?
BBFF??
FB
MA
FA
wB1
FB
MC
FC
wB2
物理关系
EI
F
EI
qw B
B 3
4
8
4 34
1
????
? ? EIFEIFw 'B B3 42436 2 322 ??????
解
§ 6-5 简单超静定梁
31
FB
FB
MA
FA
MC
FC
wB1
wB2
kN75.848 42046 104023 3
4
2 ?????
?
???
?
?
??
?
??
BF
代入得补充方程：
? ? EIFEIFEIFEIq BB 3 42436 23 48 4 3234 ?????????
确定 A 端约束力
04,0 ????? qFFF BAy
kN25.7175.82044 ?????? BA FqF
0424,0 ?????? BAA FqMM
? ? mkN12575.842204
424
??????????
???? BA FqM
§ 6-5 简单超静定梁
32
FB
F′B
MA
FA
MC
FC
wB1
wB2
0,0 ???? ?? FFFF CBy
确定 B 端约束力
? ?
kN75.48
75.840
?
????? ?BC FFF
042,0 ???? ?? BCC FFMM
? ? k N, m1 1 540275.84
24
???????
?? ? FFM BC
§ 6-5 简单超静定梁
33
MA
FA
MC
FC
A,B 端约束力已求出
最后作梁的剪力图和弯矩图)(?
)(?
25.71
75.8
75.48
? ?kN
?? SF
)(kN25.71?AF
)kN (75.48?CF
)(mkN125 ??AM
)m(kN115 ??CM
)(?
125 115
94.1
5.17
)mkN( ?
?? M
)(?
§ 6-5 简单超静定梁
34
3）采用超静定结构
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
35
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
1.刚度条件
][],[ m a xm a x ?? ?? ww
建筑钢梁的许可挠度：
1000~250
ll
机械传动轴的许可转角：
3000
1
精密机床的许可转角：
5000
1
7-5 目录
36
根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承 B
处转角不超过许用数值。
B
1） 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁 B 处的转角为：
EI
Fla
B 3??
解
目录
例 7 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转
角 ?θ ? =0.5° 。根据刚度要求
确定轴的直径 d。
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
37
例 7 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转
角 ?θ ? =0.5° 。根据刚度要求
确定轴的直径 d。
B
2） 由刚度条件确定轴的直径,? ??? ?
B
? ?
11 1m mm10111
5.0102063
18012102064
3
18064
3
4
29
3
4
???
????
?????
?
?
?
?
????E
F l a
d
目录
? ??? ?? 18 03 EIF la ? ???EF laI 3 1 8 0?? ? ???? EFl ad 3 18064 4 ??
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
38
2.提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
39
2）改善结构形式，减少弯矩数值
改
变
支
座
形
式
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
40
2）改善结构形式，减少弯矩数值
改
变
载
荷
类
型
目录
%5.62
1
2 ?
C
C
w
w
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
41
3）采用超静定结构
目录
§ 6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
42
小结
1、明确挠曲线、挠度和转角的概念
2、掌握计算梁 变形的积分法和叠加法
3、学会用 变形比较法解简单超静定问题
目录
