上次课回顾：
1、弯曲的概念
2、弯曲内力：剪力、弯矩
3、剪力方程、弯矩方程；剪力图，弯矩图
剪力值 =截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值 =截面左侧（或右侧）所有外力对该
截面形心的力矩代数和
左上右下为正
左顺右逆为正
a a
qa q
A
x
)()( axqqaxF S ????
2)(
2
1)( axqq a xxM ????
qdx xdF S ?)(
)()()( xFaxqqadx xdM S?????
qdx xMd ?2
2 )(
Ⅲ,弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
? ? 0yF ? ?
? ?xqx xF ?dd S
? ? 0CM
? ? ? ?xF
x
xM
Sd
d ?
? ? ? ? xxqxF dd S ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 02dddd S ?????? xxxqxxFxMxMxM
? ? ? ? xxFxM dd S?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0dd SSS ???? xxqxFxFxF
略去
m
m n
n
m
m
C
n
n
q(x)
FS(x)
M(x) M(x)+dM(x)
O
F y
x
Me
q(x)x dx FS(x)+dFS(x)
? ? ? ?xq
x
xM ?
2
2
d
d? ? ? ?xqx xF ?dd S
? ? ? ?xF
x
xM
Sd
d ?
q(x),FS(x),M(x)间的微分关系
其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。
O
F y
x
Me
q(x)
剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
FS
图
特
征
M
图
特
征
C
F
C
m
水平直线
x
FS >0 FS <0
x
斜直线
增函数
x x
降函数
x
C
自左向右突变
x
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 F反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
利用以上特征
1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；
2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关
系直接绘制剪力图和弯矩图。
利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：
1,求支座反力；
2,分段确定剪力图和弯矩图的形状；
3,计算控制截面内力值, 根据微分关系绘剪力图
和弯矩图；
4,确定 和 。maxSF maxM
例 5-8 试利用弯矩、剪力与分布荷载集
度间的微分关系作图示梁的剪力图和
弯矩图。
解, 利用内力和外力的
关系及特殊点的内力
值来作图。a a
qa q
A
a a
qa q
A
左端点：
分区点 A：
右端点：
FS x
223qa
qa2
qa
–
x
M
0,??? MqaF S
2,qaMqaF
S ????
2
2
3,0 qaMF
S ???
B
3a
A C
Me =3qa2
a x
q
例 5-9试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分
关系作图示梁的剪力图和弯矩图。
解,1、支反力为
qaF A 35? qaF B 31?
? ? 0BM
? ? 0BM
0323 2 ?????? aFaaqqa A
02233 2 ?????? aaqqaaF A
FA FB
B
3a
A C
Me =3qa2
a x
q
AC段,q=0
剪力图为水平直线
剪力值
qaF 35S ?
2、作剪力图
FS 5qa/3
xqa/38a/3
xF
A FB
B
3a
A C
Me =3qa2
a
x
q
CB段,q=常量 <0
剪力图为向右下方
倾斜的斜直线
qaF 35SC ?
qaF B 31S ??
3、作弯矩图
AC段
弯矩图 → 斜直线
CB段
弯矩图 → 二次抛
物线
B
3a
A C
Me =3qa2
a x
q
M
x
4qa2/3
5qa2/3
qa2/18（ +）
FS 5qa/3
xqa/38a/3
M
x
4qa2/3
qa2/18
5qa2/3
（ +）
例 5-10 试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
已知,? ??? kN81AyF
mkN5.96 ??AM
kN29?ByF
(逆时针 )
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kNMA
FAx
FAy
FBy
96
.5
15.5
31
55 34
5
M图 (kN·m)
81
31
29
Fs图 (kN)
1.45 m
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kNMA
FAx
FAy
FBy
例 4-11 改内力图之错。
a 2aa
qqa2A
B
FS x
x
M
– –
+
+
qa/4 qa/4
3qa/4
7qa/4
qa2/4
49qa2/32
3qa2/2
5qa2/4
47;4 qaRqaR BA ??
IV,按叠加原理作弯矩图
叠加原理,多个载荷同时作用于结构而引起的
内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内
力的代数和。
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）
必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内
满足虎克定律。
按叠加原理作弯矩图步骤：
①分别作出各项荷载单独作用下梁
的弯矩图；
②将其相应的纵坐标叠加即可（注
意：不是图形的简单拼凑）。
例 4-12 按叠加原理作弯矩图 (AB=2a，力 F作用
在梁 AB的中点处）。
q
q
F
F =
+
A
A
A
B
B
B x
M2
x
M1
x
M
2
Fa
+
+
+
2
2qa
22
2qaFa
?
=
+
§ 4-3 平面刚架和曲杆的内力图
Ⅰ, 平面刚架 —— 由同一平面内不同取向的杆件相
互间刚性连接的结构。
面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、
剪力、弯矩
作刚架内力图的约定：
弯矩图：画在各杆的受拉一侧, 不注明正, 负号；
剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧, 但应
注明正, 负号；
剪力和轴力的正, 负规定仍与前面章节一致 。
例 5-13 试作图示刚架的内力图。
解：从自由端取分离体作为
研究对象写各段的内力方程，
可不求固定端 A处的支反力。
? ? 0N ?xF
CB段：
(外侧受拉 )
? ? qxxF ?S
)20(2)(
2
axqxxM ????
)20( ax ??
y x
q
F=2qa
B C
A
2a
a 2a
D
FS(x)
M(x) C
q
x
? ? )0(2N ayqayF ????
(外侧受拉 )
BD段：
? ? 0S ?yF
? ? ? ?ayqayM ???? 02 2
(外侧受拉 )
? ? )3(2N ayaqayF ????
DA段：
? ? )3(2S axaqayF ???
? ?
? ?aya
qay
ayqaqayM
3
2
)(22 2
??
??
???? F=2qa
B C
a y 2a
D
q
FS(x)
M(x)
q
B C
y 2a
FS(x)
M(x)
FN(y)
FN(y)
可取刚性结点
B为分离体，
考察该结点是
否满足平衡条
件来校核内力
图的正误。
F=2qa
B C
A
2a
a 2a
D
q 2qa
2qa2
6qa2
2qa
2qa
FN图
FS图 M图
Ⅱ,平面曲杆
面内受力时的内力 —— 轴力、剪力、弯矩
弯矩的符号约定 —— 使杆的曲率增加（即外侧受拉）
为正
作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。
A
O
Bmm
R
F
例 5-14 一端固定的四分之一圆环，半径为 R，在自
由端 B受轴线平面内的集中荷载 F作用如图，试作出
其内力图。
解：取分离体如图写出其任意横截面 m-m上的内力
方程,? ? ? ?π/ 20s i nN ???? ??? FF
? ? ? ?π/ 20c o sS ??? ??? FF
? ? ? ?π/ 20s i n ??? ??? FRM
A
O
Bmm
R
F F
O
h
z
FN(??
FS(??
M(??
根据内力方程绘出内力图，如图所示。
? ? ?? s i nN FF ??
? ? ?? c o sS FF ? ? ? ?? s i nFRM ?
A
O
Bmm
R
F B
A F
FN图
FR A
B
M图
A
F
B
FS图
练习题,作图示梁的剪力图和弯矩图
2 k N / m 2 k N
B
A C
4 m 2m
3kN
5kN
2kN
(+) (+)
(-)
(+)
(-)
4kN.m
2.25kN.m
作业：
4-3(b),(h)
4-4(a)
4-15(a)
4-18(b)
1、弯曲的概念
2、弯曲内力：剪力、弯矩
3、剪力方程、弯矩方程；剪力图，弯矩图
剪力值 =截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值 =截面左侧（或右侧）所有外力对该
截面形心的力矩代数和
左上右下为正
左顺右逆为正
a a
qa q
A
x
)()( axqqaxF S ????
2)(
2
1)( axqq a xxM ????
qdx xdF S ?)(
)()()( xFaxqqadx xdM S?????
qdx xMd ?2
2 )(
Ⅲ,弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
? ? 0yF ? ?
? ?xqx xF ?dd S
? ? 0CM
? ? ? ?xF
x
xM
Sd
d ?
? ? ? ? xxqxF dd S ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 02dddd S ?????? xxxqxxFxMxMxM
? ? ? ? xxFxM dd S?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0dd SSS ???? xxqxFxFxF
略去
m
m n
n
m
m
C
n
n
q(x)
FS(x)
M(x) M(x)+dM(x)
O
F y
x
Me
q(x)x dx FS(x)+dFS(x)
? ? ? ?xq
x
xM ?
2
2
d
d? ? ? ?xqx xF ?dd S
? ? ? ?xF
x
xM
Sd
d ?
q(x),FS(x),M(x)间的微分关系
其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。
O
F y
x
Me
q(x)
剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
FS
图
特
征
M
图
特
征
C
F
C
m
水平直线
x
FS >0 FS <0
x
斜直线
增函数
x x
降函数
x
C
自左向右突变
x
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 F反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
利用以上特征
1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；
2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关
系直接绘制剪力图和弯矩图。
利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：
1,求支座反力；
2,分段确定剪力图和弯矩图的形状；
3,计算控制截面内力值, 根据微分关系绘剪力图
和弯矩图；
4,确定 和 。maxSF maxM
例 5-8 试利用弯矩、剪力与分布荷载集
度间的微分关系作图示梁的剪力图和
弯矩图。
解, 利用内力和外力的
关系及特殊点的内力
值来作图。a a
qa q
A
a a
qa q
A
左端点：
分区点 A：
右端点：
FS x
223qa
qa2
qa
–
x
M
0,??? MqaF S
2,qaMqaF
S ????
2
2
3,0 qaMF
S ???
B
3a
A C
Me =3qa2
a x
q
例 5-9试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分
关系作图示梁的剪力图和弯矩图。
解,1、支反力为
qaF A 35? qaF B 31?
? ? 0BM
? ? 0BM
0323 2 ?????? aFaaqqa A
02233 2 ?????? aaqqaaF A
FA FB
B
3a
A C
Me =3qa2
a x
q
AC段,q=0
剪力图为水平直线
剪力值
qaF 35S ?
2、作剪力图
FS 5qa/3
xqa/38a/3
xF
A FB
B
3a
A C
Me =3qa2
a
x
q
CB段,q=常量 <0
剪力图为向右下方
倾斜的斜直线
qaF 35SC ?
qaF B 31S ??
3、作弯矩图
AC段
弯矩图 → 斜直线
CB段
弯矩图 → 二次抛
物线
B
3a
A C
Me =3qa2
a x
q
M
x
4qa2/3
5qa2/3
qa2/18（ +）
FS 5qa/3
xqa/38a/3
M
x
4qa2/3
qa2/18
5qa2/3
（ +）
例 5-10 试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
已知,? ??? kN81AyF
mkN5.96 ??AM
kN29?ByF
(逆时针 )
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kNMA
FAx
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96
.5
15.5
31
55 34
5
M图 (kN·m)
81
31
29
Fs图 (kN)
1.45 m
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kNMA
FAx
FAy
FBy
例 4-11 改内力图之错。
a 2aa
qqa2A
B
FS x
x
M
– –
+
+
qa/4 qa/4
3qa/4
7qa/4
qa2/4
49qa2/32
3qa2/2
5qa2/4
47;4 qaRqaR BA ??
IV,按叠加原理作弯矩图
叠加原理,多个载荷同时作用于结构而引起的
内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内
力的代数和。
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）
必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内
满足虎克定律。
按叠加原理作弯矩图步骤：
①分别作出各项荷载单独作用下梁
的弯矩图；
②将其相应的纵坐标叠加即可（注
意：不是图形的简单拼凑）。
例 4-12 按叠加原理作弯矩图 (AB=2a，力 F作用
在梁 AB的中点处）。
q
q
F
F =
+
A
A
A
B
B
B x
M2
x
M1
x
M
2
Fa
+
+
+
2
2qa
22
2qaFa
?
=
+
§ 4-3 平面刚架和曲杆的内力图
Ⅰ, 平面刚架 —— 由同一平面内不同取向的杆件相
互间刚性连接的结构。
面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、
剪力、弯矩
作刚架内力图的约定：
弯矩图：画在各杆的受拉一侧, 不注明正, 负号；
剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧, 但应
注明正, 负号；
剪力和轴力的正, 负规定仍与前面章节一致 。
例 5-13 试作图示刚架的内力图。
解：从自由端取分离体作为
研究对象写各段的内力方程，
可不求固定端 A处的支反力。
? ? 0N ?xF
CB段：
(外侧受拉 )
? ? qxxF ?S
)20(2)(
2
axqxxM ????
)20( ax ??
y x
q
F=2qa
B C
A
2a
a 2a
D
FS(x)
M(x) C
q
x
? ? )0(2N ayqayF ????
(外侧受拉 )
BD段：
? ? 0S ?yF
? ? ? ?ayqayM ???? 02 2
(外侧受拉 )
? ? )3(2N ayaqayF ????
DA段：
? ? )3(2S axaqayF ???
? ?
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qay
ayqaqayM
3
2
)(22 2
??
??
???? F=2qa
B C
a y 2a
D
q
FS(x)
M(x)
q
B C
y 2a
FS(x)
M(x)
FN(y)
FN(y)
可取刚性结点
B为分离体，
考察该结点是
否满足平衡条
件来校核内力
图的正误。
F=2qa
B C
A
2a
a 2a
D
q 2qa
2qa2
6qa2
2qa
2qa
FN图
FS图 M图
Ⅱ,平面曲杆
面内受力时的内力 —— 轴力、剪力、弯矩
弯矩的符号约定 —— 使杆的曲率增加（即外侧受拉）
为正
作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。
A
O
Bmm
R
F
例 5-14 一端固定的四分之一圆环，半径为 R，在自
由端 B受轴线平面内的集中荷载 F作用如图，试作出
其内力图。
解：取分离体如图写出其任意横截面 m-m上的内力
方程,? ? ? ?π/ 20s i nN ???? ??? FF
? ? ? ?π/ 20c o sS ??? ??? FF
? ? ? ?π/ 20s i n ??? ??? FRM
A
O
Bmm
R
F F
O
h
z
FN(??
FS(??
M(??
根据内力方程绘出内力图，如图所示。
? ? ?? s i nN FF ??
? ? ?? c o sS FF ? ? ? ?? s i nFRM ?
A
O
Bmm
R
F B
A F
FN图
FR A
B
M图
A
F
B
FS图
练习题,作图示梁的剪力图和弯矩图
2 k N / m 2 k N
B
A C
4 m 2m
3kN
5kN
2kN
(+) (+)
(-)
(+)
(-)
4kN.m
2.25kN.m
作业：
4-3(b),(h)
4-4(a)
4-15(a)
4-18(b)
