第五章
摩 擦
§ 5-1 滑动摩擦
0?? xF 0?? sT FF Ts FF ?
静滑动摩擦力的特点
1 方向,沿接触处的公切线，
2 大小：
m a x0 FF s ??
3 NFfF s?m a x （库仑摩擦定律）
与相对滑动趋势反向；
2 大小,
NFfF dd ?
sd ff ?
（对多数材料，通常情况下）
动滑动摩擦的特点
1 方向,沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
1 摩擦角
RAF? 全约束力
物体处于临界平衡状态时，
全约束力和法线间的夹角．
摩擦角和自锁现象§ 5-2
摩擦角
f?tan s
f?
NF
Fmax?
N
Ns
F
Ff?
全约束力和法线间的夹角的
正切等于静滑动摩擦系数．
摩擦锥（角） f0 ?? ??
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
sf f?? ?? t ant an
斜面自锁条件
f?? ?
螺纹自锁条件
f?? ?
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本
相同．
几个新特点
2 严格区分物体处于临界、非临界状态 ；
3 因,问题的解有时在一个范围内．
m axFF s ??0
1 画受力图时，必须考虑摩擦力；
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题§ 5-3
求,物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
030s in30co s,0 oo ????? sx FPFF
030c o s30s in,0 oo ?????? Ny FPFF
解,取物块，设物块平衡
已知：,N1500?P,2.0?
sf,18.0?df,N400?F
例 5-1
N1499?NF
物块处于非静止状态．
,N8.269?? Ndd FfF 向上．
Ns FfF ?m ax N8.2 9 9?
而
解得,N6.4 0 3??
sF
(向上 )
推力为,解：使物块有上滑趋势时,1F?
已知,.,,sfP ?
水平推力 的大小．求,使物块静止,F?
例 5-2
画物块受力图
,0?xF? 0s inc o s 11 ??? sFPF ?? (1)
,0?yF? 0co ss in 11 ???? NFPF ?? (2)
11 NsS FfF ? (3)
解得,PffF
s
s
??
??
s inc o s
c o ss in
1 ?
??
设物块有下滑趋势时，推力为,2F? 画物块受力图：
PffF
s
s
??
??
s i nco s
co ss i n
2 ?
??
,0?? xF 0s i nco s 22 ??? sFPF ??(1)
,0?? yF 0c o ss in 22 ???? NFPF ?? (2)
22 Nss FfF ? (3)
为使物块静止
12 s i ncos
coss i n
s i ncos
coss i n FP
f
fFP
f
fF
s
s
s
s ?
?
???
?
??
??
??
??
??
若,,0 ?tgPFf s ??
解, 物块有向上滑动趋势时，
用几何法求解上例,
)ta n (1 ?? ?? PF
物块有向下滑动趋势时，
12 )t a n()t a n( FPFPF ?????? ????
利用三角公式与
,tan sf??
得
??
??
??
??
s inco s
co ss in
s inco s
co ss in
s
s
s
s
f
fPF
f
fP
?
???
?
?
)ta n (2 ?? ?? PF
求,推杆不被卡住之 值,
a
,,,sfdb
已知,不计凸轮与推杆处摩擦，不计推杆质量；
例 5-3
解得：
sf
ba
2?
0?? AM
0)2( ???? bFdFdaF BNB
BNsBANsA FfFFfF ??
解,取推杆，设推杆处于刚好卡住位置,
0?? xF 0?? BNAN FF
0?? yF 0???? FFF BA
则：推杆不被卡住时，
sf
ba
2?,
解：
?? t a n)2(t a n)2( dadab ???? 极限极限
?tan2 极限a? sfa 极限2?
sf
ba
2?极限
sf
ba
2?
用几何法求解上例
求,制动鼓轮所需铅直力 F.
已知,物块重 P,鼓轮重心位于 处，
1O 闸杆重量不计，
,sf 各尺寸如图所示：
例 5-4
解,分别取闸杆与鼓轮
设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮，
01 ?? OM 0?? sT RFrF
对闸杆，
0?? OM 0????? cFbFFa sN
且
Nss FfF ???
而
ssT FFPF ???,
解得
Raf
cfbrF
s
s )( ?? ?
（ 2）能保持木箱平衡的最大拉力,
（ 1）当 D处为拉力 时，木箱是否平衡?求,Nk1?F
已知,均质木箱重,kN5?P,4.0?
sf,m22 ?? ah ；
o30??
例 5-5
解,（ 1）取木箱，设其处于平衡状态,
0?? xF 0c o s ?? ?FF s
0?? yF 0s in ??? ?FPF N
0?? AM 0
2c o s ???? dF
aPhF
N?
解得
N866?sF N4500?NF m1 7 1.0?d
而
N1 8 0 0m a x ?? Ns FfF
因
,m a xFFs ?
木箱不会滑动；
又
,0?d
木箱无翻倒趋势,
木箱平衡
（ 2）设木箱将要滑动时拉力为
1F
0?? xF 0c o s1 ?? ?FF s
0?? yF 0s in1 ??? ?FPF N
又
Nss FfFF ?? m a x
解得
N1 8 7 6s inc o s1 ??? ?? ?
s
s
f
fF
设木箱有翻动趋势时拉力为
2F
0?? AM 02co s2 ????
aPhF ?
解得
N1443c o s22 ?? ?h PaF
能保持木箱平衡的最大拉力为 N1443
* 对此题，先解答完（ 2），自然有（ 1）,
求,作用于鼓轮上的制动力矩,
已知：
,N200?F,5.0?sf
,m5.022121 ??????? RLOKLAODCKDOO
,m75.01 ?BO,m11 ?? DOAC,m25.0?ED 各构件自重不计；
例 5-10
对图 )a(
01 ?? OM
011 ???? BOFAOF AC
N300?ACF
得
0?? DM
0c o s ???? CDFDEF CAEK ?
N6 0 0c o s ??EKF得
0?? xF 0c o s ?? ?EKxD FF
N600?xDF
得
（ a）
对图 )b(
(b) θ
对图 )c( 0
1 ?? OM
021 121 ?????? DOFDOF NxD
N12002 ??NF得
对图 )d( 0
2 ?? OM
021 212 ?????? KOFKOF NKE
N12001 ??NF
得
22 Nss FfF ? 11 Nss FfF ?
解得 mN3 0 0 ??M
RFRFM ssO 12 ???
对图 )e(
(c) (d)
(e)
sf
（抽屉与两壁间）,不计抽屉底部摩擦；
已知,抽屉尺寸,ba,例 5-11
求,抽拉抽屉不被卡住之 e值。
解,取抽屉，设抽屉刚好被卡住
0?? xF 0?? NCNA FF
0?? yF 0??? FFF sCsA
0?? AM
0)2( ?????? ebFaFbF NCsC
NAssA FfF ?
又
NCssC FfF ?
联立解得
sf
ae
2?
则抽屉不被卡住,.
sf
ae
2?
求,保持系统平衡的力偶矩,
CM
设 时，系统即将逆时针方向转动，
1CC MM ?
解：
画两杆受力图,
已知：,mN40 ??
AM,3.0?sf
各构件自重不计，
尺寸如图；
例 5-12
(a) (b)
对图,)(b 0??
CM 060co s60s in
o1o11 ??????? lFlFM sNC
0?? AM 01 ??? AN MABF对图,)(a
又
1111 NsNsss FfFfFF ?????
设 时，系统有顺时针方向转动趋势，
2CC MM ?
画两杆受力图,
02 ??? AN MABF
0?? AM对图,)c( (c)
解得 mNM C ?? 39.701
又
2222 NsNsss FfFfFF ?????
解得 mN61.49
2 ??CM
系统平衡时，
mN39.70mN61.49 ???? CM
0?? CM 060co s60s in o2o22 ??????? lFlFM sNC对图,)d(
(d)
求,使系统保持平衡的力 的值,F
不计自重的 块间的已知：
其它接触处光滑；
力 角,P ? BA,
静摩擦系数为,
sf
例 5-13
解,取整体
0?? yF 0?? PF NA PFNA ?
楔块 向右运动，A设力 小于 时，
1FF
)t a n ()t a n (1 ???? ???? PFF NA取楔块,A
或用三角公式，注意,
sf??tan
有
??
??
??
??
s inco s
co ss in
s inco s
co ss in
s
s
s
s
f
fPF
f
fP
?
???
?
?
)t a n ()t a n (2 ???? ???? PFF NA 则 21 FFF ??
)t a n ()t a n ( ???? ???? PFP
设力 大于 时，
2FF
楔块 向左运动，A 取楔块,A
摩 擦
§ 5-1 滑动摩擦
0?? xF 0?? sT FF Ts FF ?
静滑动摩擦力的特点
1 方向,沿接触处的公切线，
2 大小：
m a x0 FF s ??
3 NFfF s?m a x （库仑摩擦定律）
与相对滑动趋势反向；
2 大小,
NFfF dd ?
sd ff ?
（对多数材料，通常情况下）
动滑动摩擦的特点
1 方向,沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
1 摩擦角
RAF? 全约束力
物体处于临界平衡状态时，
全约束力和法线间的夹角．
摩擦角和自锁现象§ 5-2
摩擦角
f?tan s
f?
NF
Fmax?
N
Ns
F
Ff?
全约束力和法线间的夹角的
正切等于静滑动摩擦系数．
摩擦锥（角） f0 ?? ??
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
sf f?? ?? t ant an
斜面自锁条件
f?? ?
螺纹自锁条件
f?? ?
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本
相同．
几个新特点
2 严格区分物体处于临界、非临界状态 ；
3 因,问题的解有时在一个范围内．
m axFF s ??0
1 画受力图时，必须考虑摩擦力；
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题§ 5-3
求,物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
030s in30co s,0 oo ????? sx FPFF
030c o s30s in,0 oo ?????? Ny FPFF
解,取物块，设物块平衡
已知：,N1500?P,2.0?
sf,18.0?df,N400?F
例 5-1
N1499?NF
物块处于非静止状态．
,N8.269?? Ndd FfF 向上．
Ns FfF ?m ax N8.2 9 9?
而
解得,N6.4 0 3??
sF
(向上 )
推力为,解：使物块有上滑趋势时,1F?
已知,.,,sfP ?
水平推力 的大小．求,使物块静止,F?
例 5-2
画物块受力图
,0?xF? 0s inc o s 11 ??? sFPF ?? (1)
,0?yF? 0co ss in 11 ???? NFPF ?? (2)
11 NsS FfF ? (3)
解得,PffF
s
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??
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s inc o s
c o ss in
1 ?
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设物块有下滑趋势时，推力为,2F? 画物块受力图：
PffF
s
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s i nco s
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,0?? xF 0s i nco s 22 ??? sFPF ??(1)
,0?? yF 0c o ss in 22 ???? NFPF ?? (2)
22 Nss FfF ? (3)
为使物块静止
12 s i ncos
coss i n
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f
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若,,0 ?tgPFf s ??
解, 物块有向上滑动趋势时，
用几何法求解上例,
)ta n (1 ?? ?? PF
物块有向下滑动趋势时，
12 )t a n()t a n( FPFPF ?????? ????
利用三角公式与
,tan sf??
得
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)ta n (2 ?? ?? PF
求,推杆不被卡住之 值,
a
,,,sfdb
已知,不计凸轮与推杆处摩擦，不计推杆质量；
例 5-3
解得：
sf
ba
2?
0?? AM
0)2( ???? bFdFdaF BNB
BNsBANsA FfFFfF ??
解,取推杆，设推杆处于刚好卡住位置,
0?? xF 0?? BNAN FF
0?? yF 0???? FFF BA
则：推杆不被卡住时，
sf
ba
2?,
解：
?? t a n)2(t a n)2( dadab ???? 极限极限
?tan2 极限a? sfa 极限2?
sf
ba
2?极限
sf
ba
2?
用几何法求解上例
求,制动鼓轮所需铅直力 F.
已知,物块重 P,鼓轮重心位于 处，
1O 闸杆重量不计，
,sf 各尺寸如图所示：
例 5-4
解,分别取闸杆与鼓轮
设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮，
01 ?? OM 0?? sT RFrF
对闸杆，
0?? OM 0????? cFbFFa sN
且
Nss FfF ???
而
ssT FFPF ???,
解得
Raf
cfbrF
s
s )( ?? ?
（ 2）能保持木箱平衡的最大拉力,
（ 1）当 D处为拉力 时，木箱是否平衡?求,Nk1?F
已知,均质木箱重,kN5?P,4.0?
sf,m22 ?? ah ；
o30??
例 5-5
解,（ 1）取木箱，设其处于平衡状态,
0?? xF 0c o s ?? ?FF s
0?? yF 0s in ??? ?FPF N
0?? AM 0
2c o s ???? dF
aPhF
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解得
N866?sF N4500?NF m1 7 1.0?d
而
N1 8 0 0m a x ?? Ns FfF
因
,m a xFFs ?
木箱不会滑动；
又
,0?d
木箱无翻倒趋势,
木箱平衡
（ 2）设木箱将要滑动时拉力为
1F
0?? xF 0c o s1 ?? ?FF s
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Nss FfFF ?? m a x
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N1 8 7 6s inc o s1 ??? ?? ?
s
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设木箱有翻动趋势时拉力为
2F
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N1443c o s22 ?? ?h PaF
能保持木箱平衡的最大拉力为 N1443
* 对此题，先解答完（ 2），自然有（ 1）,
求,作用于鼓轮上的制动力矩,
已知：
,N200?F,5.0?sf
,m5.022121 ??????? RLOKLAODCKDOO
,m75.01 ?BO,m11 ?? DOAC,m25.0?ED 各构件自重不计；
例 5-10
对图 )a(
01 ?? OM
011 ???? BOFAOF AC
N300?ACF
得
0?? DM
0c o s ???? CDFDEF CAEK ?
N6 0 0c o s ??EKF得
0?? xF 0c o s ?? ?EKxD FF
N600?xDF
得
（ a）
对图 )b(
(b) θ
对图 )c( 0
1 ?? OM
021 121 ?????? DOFDOF NxD
N12002 ??NF得
对图 )d( 0
2 ?? OM
021 212 ?????? KOFKOF NKE
N12001 ??NF
得
22 Nss FfF ? 11 Nss FfF ?
解得 mN3 0 0 ??M
RFRFM ssO 12 ???
对图 )e(
(c) (d)
(e)
sf
（抽屉与两壁间）,不计抽屉底部摩擦；
已知,抽屉尺寸,ba,例 5-11
求,抽拉抽屉不被卡住之 e值。
解,取抽屉，设抽屉刚好被卡住
0?? xF 0?? NCNA FF
0?? yF 0??? FFF sCsA
0?? AM
0)2( ?????? ebFaFbF NCsC
NAssA FfF ?
又
NCssC FfF ?
联立解得
sf
ae
2?
则抽屉不被卡住,.
sf
ae
2?
求,保持系统平衡的力偶矩,
CM
设 时，系统即将逆时针方向转动，
1CC MM ?
解：
画两杆受力图,
已知：,mN40 ??
AM,3.0?sf
各构件自重不计，
尺寸如图；
例 5-12
(a) (b)
对图,)(b 0??
CM 060co s60s in
o1o11 ??????? lFlFM sNC
0?? AM 01 ??? AN MABF对图,)(a
又
1111 NsNsss FfFfFF ?????
设 时，系统有顺时针方向转动趋势，
2CC MM ?
画两杆受力图,
02 ??? AN MABF
0?? AM对图,)c( (c)
解得 mNM C ?? 39.701
又
2222 NsNsss FfFfFF ?????
解得 mN61.49
2 ??CM
系统平衡时，
mN39.70mN61.49 ???? CM
0?? CM 060co s60s in o2o22 ??????? lFlFM sNC对图,)d(
(d)
求,使系统保持平衡的力 的值,F
不计自重的 块间的已知：
其它接触处光滑；
力 角,P ? BA,
静摩擦系数为,
sf
例 5-13
解,取整体
0?? yF 0?? PF NA PFNA ?
楔块 向右运动，A设力 小于 时，
1FF
)t a n ()t a n (1 ???? ???? PFF NA取楔块,A
或用三角公式，注意,
sf??tan
有
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)t a n ()t a n ( ???? ???? PFP
设力 大于 时，
2FF
楔块 向左运动，A 取楔块,A
