1
第 二 章
拉伸压缩 与 剪切
2
? 轴向拉伸 —— 轴力作用下，杆件伸长
（简称 拉伸 ）
? 轴向压缩 —— 轴力作用下，杆件缩短
（简称 压缩 ）
§ 2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
3
拉, 压的特点：
? 1.两端 受力 —— 沿轴线, 大小相等, 方向相反
? 2,变形 —— 沿轴线
4
§ 2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1, 横截面上的内力
F F
(1)轴力：横截面上的内力
(2)截面法求轴力
m
m
F FN
切, 假想沿 m-m横截面将杆
切开
留, 留下左半段或右半段
代, 将抛掉部分对留下部分
的作用用内力代替
平, 对留下部分写平衡方程
求出内力即轴力的值
? ? 0xF
FFN
0?? FF N
FFN ?
目 录
5
(3)轴力正负号：拉为正、
压为负
(4)轴力图：轴力沿杆件轴
线的变化
由于外力的作用线与
杆件的轴线重合，内力的
作用线也与杆件的轴线重
合。所以称为轴力。
F F
m
m
F FN
? ? 0xF
FFN
0?? FF N
FFN ?
目 录
6
已知 F1=10kN； F2=20kN；
F3=35kN； F4=25kN;试画
出图示杆件的轴力图。
1
1
? ? 0xF
kN1011 ?? FF N
例题 2-1
解,1、计算各段的轴力。
AB段
kN102010
212
???
??? FFF N
BC段
2
2
3
3
FN2F
1 F2 122 FFF N ??? ? 0xF
? ? 0xF
kN2543 ?? FF N
CD段
2、绘制轴力图。
? ?kNNF
x
10
25
10
???
???
???
目 录
F1 F3F
2 F4
A B C D
FN1F
1
FN3 F
4
7
目 录
8
2, 横截面上的应力
杆件 1 —— 轴力 = 1N,截面积 = 0.1 cm2
杆件 2 —— 轴力 = 100N,截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力 —— 应力
? 怎样求出应力？ (内力集度）
思路 —— 应力是内力延伸出的概念，应当由
内力 应力
9
由 积分得
AN d d ??
??
A
AN d ?
1）静力平衡
截面各点应力的分布？
因不知道，故
上式求不出应力
要想另外的办法
F
10
2）几何变形
实验结果 —— 变形后，外表面垂线保持为直线
平面假设 —— 变形后，截面平面仍垂直于杆轴
推得,同一横截面上各点的正应力 σ 相等，即正应
力均匀分布于横截面上,σ等于常量。于是有：
得应力：
A A AN
AA
dd ??? ?? ???
A
N
??
a b
F a` b` F
c` d`
c d
F
FN
σ
11
例题 2-2
图示结构，试求杆件 AB,CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆 AB为直
径 20mm的圆截面杆，水平杆 CB为
15× 15的方截面杆。
F
A
B
C
? ? 0yF
kN3.281 ?NF
解,1、计算各杆件的轴力。
（设斜杆为 1杆，水平杆为 2杆）
用截面法取节点 B为研究对象
kN202 ??NF
? ? 0xF
45°
045c o s 21 ?? NN FF ?
045s in1 ?? FF N ?
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
目 录
12
kN3.281 ?NF kN202 ??NF
2、计算各杆件的应力 。
M Pa90Pa1090
1020
4
103.28
6
62
3
1
1
1
??
?
??
?
??
??
?
A
F N
M Pa89Pa1089
1015
1020
6
62
3
2
2
2
????
?
?
??
??
?A
F N
?
F
A
B
C
45°
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
目 录
13
若杆件的横截面沿轴线变化 A(x),轴力也沿轴线变
化 FN(x)时有：
（ 2— 2）
（ 2— 1）式的适用条件：外力合力的作用线必须
与杆件的轴线重合。
)(
)( )(
xA
xFx N
??
14
k
F Fα
p α
k
§ 2— 3 直杆轴向拉伸或压缩时 斜截面上的应力
为什么研究它？ 弄清楚 截面方向 对应力的影响
研究方法,(1)仿横截面应力公式去推导
? (2)找出同横截面 应力的关系
k σ α
F α
τ α
k
k
F F
α
k
15
由 平衡 ??
A
α ApF ?d
于是 ??? c o sc o s ???
A
F
A
Fp
α
α
分解成 正应力 和 剪应 力,有
???? ?? 2c o sc o s ?? p
???? ?? 2s in
2
s in ?? p
由实验结果分析知斜截面上的应力也是均匀
分布的。
16
??? ? 2c o s?
??? ? 2s in
2
?
0?? ?? ? ?max
?90?? 0min ???
?45???
2max
??
? ?
0???
正负号规定：
正应力 — 拉应力为正，压应力为负
切应力 — 自外法线 n 顺时针转向它，为正；逆时针为负
0???
2m i n
??
? ??
17
§ 2-4 材料在拉伸时的力学性能
? 材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变
形和破坏等方面的特性 。
? 现在要研究 材料 的 整个力学性能 （ 应力 —— 应变 ）,
理论上 —— 用 简单 描述 复杂
工程上 —— 为 （材料 组成的 ）构件 当好 医生
从受力很小 破坏
18
一, 低碳钢拉伸时的力学性能
（ 含碳量 <0.3%的碳素钢 ）
? 要反映同试件几何尺寸无关的特性
? 要标准化 ——
形状尺寸
试件的 加工精度
试验条件
国家标准规定, 金属拉伸试验方法, （ GB228-87）
19
试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）
20
?
?
??
d
d
l
10
5
试验方法 —— 拉力 F 从 0 渐增
lF ??
l l?标距 的 伸长 随之 渐增
得 曲线（拉伸图）
21
为使 材料 的 性能 同 几何尺寸 无关：
〈 将 F 除以 A〉 = 名义应力
〈 将 伸长 除以 标距 〉 = 名义应变
从而得 应力应变图,即
曲线?? ?
22
3,强化阶段 ——
4,局部变形阶段 —— 出现径缩
1,弹性阶段 ——
2,屈服阶段 ——
?t a n?? εσE
s?
P?
b?
23
24
25
?延伸率 ——
%1001 ??? A AA?
% 1 0 01 ??? l ll?
?截面收缩率 ——
这两个值 —— 材料塑性标志
值越大, 塑性越强 % 5?? 塑性
% 5?? 脆性
对于低碳钢 % 3020 ???
% 8060 ???
5、延伸率和截面收缩率
26
三、其它材料拉伸时的力学性能
1,塑性材料
?看书 [P24]，观察各有几个阶段？
?没有明显屈服阶段的
把塑性应变 0.2%对应的应力 —— 称为名义屈服
极限，表示为
2.0?
6、卸载定律及冷作硬化
27
2,脆性材料 （ 铸铁）
铸铁拉伸时的力学性能
1）应力 — 应变关系微弯曲线，没有直线阶段
2）只有一个强度指标
b?
3）拉断时应力、变形较小
结论 —— 脆性材料
处理 —— 以 O-A 割线的斜率作
为弹性模量
A为曲线上 1/4点
28
§ 2— 5 材料在压缩时的力学性能
? 避免被压弯, 试件一般为很短的圆柱
高度 /直径 =1.5 - 3
? 1,低碳钢压缩时的曲线
? 屈服前与拉伸时大致相同
? 2,铸铁压缩时的曲线
? 较小变形下突然破坏, 破坏断面约 45度
29
30
§ 2-6 失效, 安全因数和强度条件
对于拉压杆, 学习了
? 应力计算
? 力学性能
? 如何设计拉压杆？ —— 安全, 或 不失效
反面看,危险, 或 失效 （ 丧失正常工作能力 ）
（ 1） 塑性屈服：塑性材料的极限应力 σ s
（ 2） 脆性断裂 脆性材料的极限应力 σ b
31
为了 —— 安全,或 不失效
（ 1）塑性 ns =1.5 - 2.5
? 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
][ma x ?? ?
][?许用应力 (Allowable stress)——
（ 2）脆性 nb = 2 - 3.5
? ? ? ?
b
b
s
s
nn
???? ?? 或
根据 上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算,
一、校核杆的强度
已知 Fmax,A,[σ]，验算构件是否满足强度条件
二、设计截面
已知 Fmax,[σ],根据强度条件，求 A
三、确定许可载荷
已知 A,[σ]，根据强度条件,求 Fmax
例 2— 2,图示三角形托架,其杆 AB是由两根等边角钢组
成。已知 F=75kN,[σ]=160MPa,试选择等边角钢的型号 。
CL2TU7
34
解,kN75:,0 ???? FFM
N A BC 得由
][?
N A BFA ? ?
?
?
75 10
160 10
3
6
? ? ??4 687 10 4 6874 2.,m cm2
选边厚为 的 号等边角钢 其3 4 2 359mm cm 2,.A ?
例 2— 3,图示起重机，钢丝绳 AB的直径 d=24mm，
[σ]=40MPa，试求该起重机容许吊起的最大荷载 F。
CL2TU8解,1.求钢丝绳 Ab的内力
0510
1015
150
22
????
?
?? FFM N A BC
FF N A B 6.0?
2.确定 容许吊起的最大
荷载 F
36
6
2
1040
4
024.0][ ?????? ??AF
AB
? ? ?18 086 10 18 0863.,N kN
kN3 0,0 24=F
37
§ 2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
一 纵向变形
lll ??? 1
A
Fll ??
EA
lFl N??
?? E?
二 横向变形
l
l???
bbb ??? 1 bb????
?
?? ?? ??? ???
钢材的 E约为 200GPa,μ 约为 0.25—0.33
E为弹性摸量,EA为抗拉刚度
泊松比 横向应变
A
FN??
目 录
F F b1 b
l
ll
38
目 录
39
目 录
40
例题 2-4
AB长 2m,面积为 200mm2。 AC面积为
250mm2。 E=200GPa。 F=10kN。试求节点 A的
位移。
? ? 0yF
kN202s in/1 ??? FFF N ?
解,1、计算轴力。（设斜杆为 1杆，水
平杆为 2杆）取节点 A为研究对象
kN32.173c o s12 ?????? FFF NN ?
? ? 0xF 0c o s 21 ?? NN FF ?
0s in1 ?? FF N ?
2、根据胡克定律计算杆的变形。
1 m mm1011020010200 21020 369
3
11
11
1 ??????
????? ?
?AE
lFl N
A
F
1NF
2NF x
y
300
mm6.0m106.01025010200 732.11032.17 369
3
22
22
2 ??????
????? ?
?AE
lFl N
斜杆伸长
水平杆缩短
目 录
41
3、节点 A的位移（以切代弧）
A
F
1NF
2NF x
y
300
1 m m
11
11
1 ??? AE
lFl N
mm6.0
22
22
2 ??? AE
lFl N
A?
A?
1A
2A
A?
A
1A
2A
mm111 ??? lAA
mm6.022 ??? lAA
mm6.02 ??? lx?
mm0 39.30 39.12
30t a n30s in
21
433
???
??????
??
llAAAA
y?
mm1.3
03 9.36.0 2222
?
?????? yxAA ??
3A
4A
目 录
42
060s i n6.12.18.060s i n
0
????
??
oo
A
TFT
m
kN55.113/ ??? FT
M Pa1511036.76 55.11 9 ???? AT?
例 2— 5 截面积为 76.36mm2的钢索绕过无摩擦的定滑轮
F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。
（刚索的 E =177GPa，设横梁 ABCD为刚梁）
解 1）求钢索内力 （ ABCD为对象）
2) 钢索的应力和伸长分别为
800 400 400
D
C F
A B 60° 60°
F
A B
C
DT T
YA
XA
43
mm36.1m
17736.76
6.155.11 ?
?
????
EA
TLL
C F
A B 60° 60°
800 400 400
D
A B 60° 60° D
B' D'
1?
2?
C?
C
3）变形图如左
C点的垂直位移为：
2
60s i n60s i n
2
21 ????
???
??
DDBB
L C
mm79.0
60s in2
36.1
60s in2
?
?
?
? o
L
§ 2—9轴向拉伸和压缩的应变能
一、轴向拉伸和压缩的应变能
应变能：因变形而储存的能量
WV e ?
F
F
?l ?l
CL12TU1
lF ???
2
1
EA
lFF
2
1?
EA
lF
EA
lP
22
22
??
??
l
e xxEA
xF
V d
)(2
)(2
F
二、应变能密度, 单位体积的应变能
?
?
? ?
CL12TU1F
σ
dy
dx dz
E
E
ev 2
2
2
2
2
1 ???? ???
应变能密度的单位,J/m3
46
§ 2.10 拉伸、压缩超静定问题
1、问题的提出
两杆桁架变成
三杆桁架，缺一个
方程，无法求解
一、超静定问题及其处理方法
C
F
A
B D
??
1 2
3
C
F
A
B
??
1 2
? ??? 0s i ns i n 21 ?? NNx FFF
? ????? 0c o sc o s 321 FFFFF NNNy ??
47
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为
单凭 静力平衡方程 不能求解 —— 超静定问题
超静定问题的求解方法：
静不定 ——静力不能确定
超静定问题 ——超出了静力范围
补充 变形协调方程
建立 本构（或物理）方程 予以沟通
结合 平衡方程 联立求解
48
个性：杆件，桁架（杆件组合）
2、超静定的处理方法
平衡方程
变形协调方程
本构方程
共性,超静定问题 —— 单凭静平衡方程不能确定出
全部未知力（ 外力、内力、应力 ）
49
例, 2—6求三杆桁架内力，杆长 L1=L2,L3 =L
面积 A1=A2=A,A3 弹性模量 E1=E2=E,E3
C
F
A
B D
??
1 2
3
解 (1)静力 平衡方程 ——力学
F
A
??FN1
FN3
FN2
? ??? 0s i ns i n 21 ?? NNx FFF
? ????? 0c o sc o s 321 FFFFF NNNy ??
50
11
11
1 AE
LFL N??
33
33
3 AE
LFL N??
(3) 本构方程 —— 物理
（ 4）联立求解 —— 代数
此 方程于平衡方程是 3个方程（含 3个力未知量），解得
?c o s31 LL ???
?c o s
33
33
11
11
AE
LF
AE
LF NN ?
C
A
B D
??
1 2
3
A1
1L?2L?
3L?
(2)变形协调方程 —— 几何
51
33
3
11
33
3
33
3
11
2
11
21
c o s2
;
c o s2
c o s
AEAE
FAE
F
AEAE
FAE
FF
N
NN
?
?
?
??
?
?
?
3、超静定问题的解法
（ 1）静力平衡方程 —— 力学 —— 原有基地
（ 2） 变形协调方程 —— 几何 —— 新开方向
（ 3）材料本构方程 —— 物理 —— 构筑桥梁
（ 4）方程联立求 解 —— 代数 —— 综合把握
52
例 2—7 木制短柱四角用四个 40?40?4的等边角钢加固，角
钢和木材的许用应力分别为 [?]1=160M Pa和 [?]2=12MPa，
弹性模量分别为 E1=200GPa 和 E2 =10GPa； 求许可载荷
? ???? 04 21 FFFF NNy
21 LL ???
2
22
22
11
11
1 LAE
LF
AE
LFL NN ?????
(2)变形方程
(3)本构方程
解,(1)平衡方程
P FF
y
4FN1
FN2
53
（ 4） 联立求解得
FFFF NN 72.0 ; 07.0 21 ??
) ( ][ 21,iAF iiNi ?? ?
（ 5） 求结构的许可载荷
,方法 1》
角钢面积由型钢表查得
A1=3.086cm2
? ? ? ?
kN1 0 4 272.0/12250
72.0/72.0/
2
2222
??
???? ?AFF N
? ? ? ?
kN4.70507.0/1606.308
07.0/07.0/ 1111
??
???? ?AFF N
PF F
y
4FN1
FN2
54
? ? ? ? mm8.0/ 111 ??? EL ?
? ? ? ? mm2.1/ 222 ??? EL ?
所以在 △ 1=△ 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，
即角钢决定最大载荷
? ? ? ? 07.0 07.0 111 AFF N ??? kN4.705
07.0
6.308160 ???
另外：若将钢的面积增大 5倍，怎样？
若将木的面积 缩小 10倍,又 怎样？
结构的最大载荷永远由钢控制着
,方法 2》
55
（ 2）变形方程
解：（ 1） 平衡方程
2,静不定问题存在装配应力
一、装配应力
13 c o s)( LL ???? ??
§ 2—11 温度应力和装配应力
1、静定问题无装配应力
下图,3号杆的尺寸误差为 ?，求各杆的装配内力
A
B C
1 2
D
A1
3
? ?
?
? ??? 0s i ns i n 21 ?? NNx FFF
? ???? 0c o sc o s 321 NNNy FFFF ??
56
?
A
A13L?
2L?1L?
11
11
33
33 c o s)(
AE
LF
AE
LF NN ?? ??
（ 3） 本构方程
（ 4）联立求解
/ c o s21
c o s
3311
3
2
11
3
21 AEAE
AE
L
FF NN
?
??
?
???
/ c o s21
c o s2
3311
3
3
11
3
3 AEAE
AE
L
F N
?
??
?
??
A1
? ?FN1 FN2
FN3
57
a
a
a
a
FN1
FN2
例 2—8 阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃ 时被固
定,上下两段的面积为 ?1=?cm2, ?2=??cm2，
当温度升至 T2=25℃ 时,求各杆的温度应力
弹性模量 E=200GPa，线膨胀系数 ?=12.5× 10-61/oC
（ 2）变形方程
解：（ 1） 平衡方程
? ??? 021 NNy FFF
0?????? NT LLL
二、温度应力
1,静定问题无温度应力
2,静不定问题存在温度应力
58
（ 3）本构方程
（ 4）联立求解得
kN3.3321 ?? NN FF
由变形和本构方程消除位移未知量
2
2
1
1 ; 2
EA
aF
EA
aFLTaL NN
NT ?????? ?
2
2
1
12
EA
N
EA
FT NN ??? ?
（ 5）温度应力
M P a7.66
1
1
1 ?? A
F N? M P a3.33
2
2
2 ?? A
F N?
59
螺栓连接铆钉连接
销轴连接
§ 2-13 剪切和挤压的实用计算
1.实例
60
剪切受力特点,作用在构件两侧
面上的外力合力大小相等、方向
相反且作用线很近。
变形特点,位于两力之间的截面
发生相对错动。
2.剪切的实用计算
F
F
得切应力计算公式：
A
Fs??
切应力强度条件,? ??? ??
A
F s
常由实验方法确定???
假设切应力在剪切面（ m-m
截面）上是均匀分布的
F
Fm
m
F
SF
m
m
SF m
m F
61
bsF
bsF
3.挤压的实用计算
bs
bs
bs A
F??
假设应力在挤压面上是均
匀分布的
得实用挤压应力公式
? ?bs
bs
bs
bs A
F ?? ??挤压强度条件：
? ?bs? 常由实验方法确定
?dAbs ?
*注意挤压面面积的计算
F
F
62
? ?bs
bs
bs
bs A
F ?? ??挤压强度条件：
? ? ? ?? ??? 7.05.0 ??
切应力强度条件,? ??? ??
A
F s
脆性材料：
塑性材 料,? ? ? ?? ??? 5.25.1 ??
bs
? ? ? ?? ??? 0.18.0 ?? ? ? ? ?? ??? 5.19.0 ??bs
4.强度条件
63
cb
F
A
F
bs
bs
bs ???lb
F
A
F s ???
64
dh
F
A
F
bs
bs
bs ???
2
4
d
F
A
F s
?? ??
为充分利用材
料，切应力和挤压
应力应满足
2
42
d
F
dh
F
??? ?
hd 8?
?? 2?bs
65
dh
F
A
F
bs
bs
bs ???
2
4
d
F
A
F s
?? ??
为充分利用材
料，切应力和挤压
应力应满足
2
42
d
F
dh
F
??? ?
hd 8?
?? 2?bs
66
图示接头，受轴向力 F 作
用。已知 F=50kN,b=150mm，
δ =10mm,d=17mm,a=80mm，
[σ ]=160MPa,[τ ]=120MPa，
[σ bs]=320MPa，铆钉和板的材
料相同，试校核其强度。
][M P a1.43101.43
01.0)0 1 7.0215.0(
1050
)2(
6
3
?
?
?
???
?
???
?
?
?
??
db
F
A
F N
2.板的剪切强度
][M P a7.15107.1501.008.04 10504 6
3
??? ?????? ???? aFAF s
解,1.板的拉伸强度
?
? d
b a
例题 2-9
67
3.铆钉的剪切强度
][M P a1 1 0101 1 0
0 1 7.0π
10502
π
2
π2
4
6
2
3
22
?
?
???
?
?
??
????
d
F
d
F
A
F
s
4.板和铆钉的挤压强度
][M P a1 4 7101 4 7
01.00 1 7.02
1050
2
6
3
bs
bs
bs
bs d
F
A
F
?
?
?
???
?
??
?
???
结论：强度足够。
?
? d
b a
68
小结
1.研究对象
2.轴力的计算和轴力图的绘制
3.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相
关指标
4.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算
5.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移
6.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法
目 录
7.连接件的强度计算
第 二 章
拉伸压缩 与 剪切
2
? 轴向拉伸 —— 轴力作用下，杆件伸长
（简称 拉伸 ）
? 轴向压缩 —— 轴力作用下，杆件缩短
（简称 压缩 ）
§ 2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
3
拉, 压的特点：
? 1.两端 受力 —— 沿轴线, 大小相等, 方向相反
? 2,变形 —— 沿轴线
4
§ 2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1, 横截面上的内力
F F
(1)轴力：横截面上的内力
(2)截面法求轴力
m
m
F FN
切, 假想沿 m-m横截面将杆
切开
留, 留下左半段或右半段
代, 将抛掉部分对留下部分
的作用用内力代替
平, 对留下部分写平衡方程
求出内力即轴力的值
? ? 0xF
FFN
0?? FF N
FFN ?
目 录
5
(3)轴力正负号：拉为正、
压为负
(4)轴力图：轴力沿杆件轴
线的变化
由于外力的作用线与
杆件的轴线重合，内力的
作用线也与杆件的轴线重
合。所以称为轴力。
F F
m
m
F FN
? ? 0xF
FFN
0?? FF N
FFN ?
目 录
6
已知 F1=10kN； F2=20kN；
F3=35kN； F4=25kN;试画
出图示杆件的轴力图。
1
1
? ? 0xF
kN1011 ?? FF N
例题 2-1
解,1、计算各段的轴力。
AB段
kN102010
212
???
??? FFF N
BC段
2
2
3
3
FN2F
1 F2 122 FFF N ??? ? 0xF
? ? 0xF
kN2543 ?? FF N
CD段
2、绘制轴力图。
? ?kNNF
x
10
25
10
???
???
???
目 录
F1 F3F
2 F4
A B C D
FN1F
1
FN3 F
4
7
目 录
8
2, 横截面上的应力
杆件 1 —— 轴力 = 1N,截面积 = 0.1 cm2
杆件 2 —— 轴力 = 100N,截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力 —— 应力
? 怎样求出应力？ (内力集度）
思路 —— 应力是内力延伸出的概念，应当由
内力 应力
9
由 积分得
AN d d ??
??
A
AN d ?
1）静力平衡
截面各点应力的分布？
因不知道，故
上式求不出应力
要想另外的办法
F
10
2）几何变形
实验结果 —— 变形后，外表面垂线保持为直线
平面假设 —— 变形后，截面平面仍垂直于杆轴
推得,同一横截面上各点的正应力 σ 相等，即正应
力均匀分布于横截面上,σ等于常量。于是有：
得应力：
A A AN
AA
dd ??? ?? ???
A
N
??
a b
F a` b` F
c` d`
c d
F
FN
σ
11
例题 2-2
图示结构，试求杆件 AB,CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆 AB为直
径 20mm的圆截面杆，水平杆 CB为
15× 15的方截面杆。
F
A
B
C
? ? 0yF
kN3.281 ?NF
解,1、计算各杆件的轴力。
（设斜杆为 1杆，水平杆为 2杆）
用截面法取节点 B为研究对象
kN202 ??NF
? ? 0xF
45°
045c o s 21 ?? NN FF ?
045s in1 ?? FF N ?
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
目 录
12
kN3.281 ?NF kN202 ??NF
2、计算各杆件的应力 。
M Pa90Pa1090
1020
4
103.28
6
62
3
1
1
1
??
?
??
?
??
??
?
A
F N
M Pa89Pa1089
1015
1020
6
62
3
2
2
2
????
?
?
??
??
?A
F N
?
F
A
B
C
45°
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
目 录
13
若杆件的横截面沿轴线变化 A(x),轴力也沿轴线变
化 FN(x)时有：
（ 2— 2）
（ 2— 1）式的适用条件：外力合力的作用线必须
与杆件的轴线重合。
)(
)( )(
xA
xFx N
??
14
k
F Fα
p α
k
§ 2— 3 直杆轴向拉伸或压缩时 斜截面上的应力
为什么研究它？ 弄清楚 截面方向 对应力的影响
研究方法,(1)仿横截面应力公式去推导
? (2)找出同横截面 应力的关系
k σ α
F α
τ α
k
k
F F
α
k
15
由 平衡 ??
A
α ApF ?d
于是 ??? c o sc o s ???
A
F
A
Fp
α
α
分解成 正应力 和 剪应 力,有
???? ?? 2c o sc o s ?? p
???? ?? 2s in
2
s in ?? p
由实验结果分析知斜截面上的应力也是均匀
分布的。
16
??? ? 2c o s?
??? ? 2s in
2
?
0?? ?? ? ?max
?90?? 0min ???
?45???
2max
??
? ?
0???
正负号规定：
正应力 — 拉应力为正，压应力为负
切应力 — 自外法线 n 顺时针转向它，为正；逆时针为负
0???
2m i n
??
? ??
17
§ 2-4 材料在拉伸时的力学性能
? 材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变
形和破坏等方面的特性 。
? 现在要研究 材料 的 整个力学性能 （ 应力 —— 应变 ）,
理论上 —— 用 简单 描述 复杂
工程上 —— 为 （材料 组成的 ）构件 当好 医生
从受力很小 破坏
18
一, 低碳钢拉伸时的力学性能
（ 含碳量 <0.3%的碳素钢 ）
? 要反映同试件几何尺寸无关的特性
? 要标准化 ——
形状尺寸
试件的 加工精度
试验条件
国家标准规定, 金属拉伸试验方法, （ GB228-87）
19
试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）
20
?
?
??
d
d
l
10
5
试验方法 —— 拉力 F 从 0 渐增
lF ??
l l?标距 的 伸长 随之 渐增
得 曲线（拉伸图）
21
为使 材料 的 性能 同 几何尺寸 无关：
〈 将 F 除以 A〉 = 名义应力
〈 将 伸长 除以 标距 〉 = 名义应变
从而得 应力应变图,即
曲线?? ?
22
3,强化阶段 ——
4,局部变形阶段 —— 出现径缩
1,弹性阶段 ——
2,屈服阶段 ——
?t a n?? εσE
s?
P?
b?
23
24
25
?延伸率 ——
%1001 ??? A AA?
% 1 0 01 ??? l ll?
?截面收缩率 ——
这两个值 —— 材料塑性标志
值越大, 塑性越强 % 5?? 塑性
% 5?? 脆性
对于低碳钢 % 3020 ???
% 8060 ???
5、延伸率和截面收缩率
26
三、其它材料拉伸时的力学性能
1,塑性材料
?看书 [P24]，观察各有几个阶段？
?没有明显屈服阶段的
把塑性应变 0.2%对应的应力 —— 称为名义屈服
极限，表示为
2.0?
6、卸载定律及冷作硬化
27
2,脆性材料 （ 铸铁）
铸铁拉伸时的力学性能
1）应力 — 应变关系微弯曲线，没有直线阶段
2）只有一个强度指标
b?
3）拉断时应力、变形较小
结论 —— 脆性材料
处理 —— 以 O-A 割线的斜率作
为弹性模量
A为曲线上 1/4点
28
§ 2— 5 材料在压缩时的力学性能
? 避免被压弯, 试件一般为很短的圆柱
高度 /直径 =1.5 - 3
? 1,低碳钢压缩时的曲线
? 屈服前与拉伸时大致相同
? 2,铸铁压缩时的曲线
? 较小变形下突然破坏, 破坏断面约 45度
29
30
§ 2-6 失效, 安全因数和强度条件
对于拉压杆, 学习了
? 应力计算
? 力学性能
? 如何设计拉压杆？ —— 安全, 或 不失效
反面看,危险, 或 失效 （ 丧失正常工作能力 ）
（ 1） 塑性屈服：塑性材料的极限应力 σ s
（ 2） 脆性断裂 脆性材料的极限应力 σ b
31
为了 —— 安全,或 不失效
（ 1）塑性 ns =1.5 - 2.5
? 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
][ma x ?? ?
][?许用应力 (Allowable stress)——
（ 2）脆性 nb = 2 - 3.5
? ? ? ?
b
b
s
s
nn
???? ?? 或
根据 上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算,
一、校核杆的强度
已知 Fmax,A,[σ]，验算构件是否满足强度条件
二、设计截面
已知 Fmax,[σ],根据强度条件，求 A
三、确定许可载荷
已知 A,[σ]，根据强度条件,求 Fmax
例 2— 2,图示三角形托架,其杆 AB是由两根等边角钢组
成。已知 F=75kN,[σ]=160MPa,试选择等边角钢的型号 。
CL2TU7
34
解,kN75:,0 ???? FFM
N A BC 得由
][?
N A BFA ? ?
?
?
75 10
160 10
3
6
? ? ??4 687 10 4 6874 2.,m cm2
选边厚为 的 号等边角钢 其3 4 2 359mm cm 2,.A ?
例 2— 3,图示起重机，钢丝绳 AB的直径 d=24mm，
[σ]=40MPa，试求该起重机容许吊起的最大荷载 F。
CL2TU8解,1.求钢丝绳 Ab的内力
0510
1015
150
22
????
?
?? FFM N A BC
FF N A B 6.0?
2.确定 容许吊起的最大
荷载 F
36
6
2
1040
4
024.0][ ?????? ??AF
AB
? ? ?18 086 10 18 0863.,N kN
kN3 0,0 24=F
37
§ 2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
一 纵向变形
lll ??? 1
A
Fll ??
EA
lFl N??
?? E?
二 横向变形
l
l???
bbb ??? 1 bb????
?
?? ?? ??? ???
钢材的 E约为 200GPa,μ 约为 0.25—0.33
E为弹性摸量,EA为抗拉刚度
泊松比 横向应变
A
FN??
目 录
F F b1 b
l
ll
38
目 录
39
目 录
40
例题 2-4
AB长 2m,面积为 200mm2。 AC面积为
250mm2。 E=200GPa。 F=10kN。试求节点 A的
位移。
? ? 0yF
kN202s in/1 ??? FFF N ?
解,1、计算轴力。（设斜杆为 1杆，水
平杆为 2杆）取节点 A为研究对象
kN32.173c o s12 ?????? FFF NN ?
? ? 0xF 0c o s 21 ?? NN FF ?
0s in1 ?? FF N ?
2、根据胡克定律计算杆的变形。
1 m mm1011020010200 21020 369
3
11
11
1 ??????
????? ?
?AE
lFl N
A
F
1NF
2NF x
y
300
mm6.0m106.01025010200 732.11032.17 369
3
22
22
2 ??????
????? ?
?AE
lFl N
斜杆伸长
水平杆缩短
目 录
41
3、节点 A的位移（以切代弧）
A
F
1NF
2NF x
y
300
1 m m
11
11
1 ??? AE
lFl N
mm6.0
22
22
2 ??? AE
lFl N
A?
A?
1A
2A
A?
A
1A
2A
mm111 ??? lAA
mm6.022 ??? lAA
mm6.02 ??? lx?
mm0 39.30 39.12
30t a n30s in
21
433
???
??????
??
llAAAA
y?
mm1.3
03 9.36.0 2222
?
?????? yxAA ??
3A
4A
目 录
42
060s i n6.12.18.060s i n
0
????
??
oo
A
TFT
m
kN55.113/ ??? FT
M Pa1511036.76 55.11 9 ???? AT?
例 2— 5 截面积为 76.36mm2的钢索绕过无摩擦的定滑轮
F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。
（刚索的 E =177GPa，设横梁 ABCD为刚梁）
解 1）求钢索内力 （ ABCD为对象）
2) 钢索的应力和伸长分别为
800 400 400
D
C F
A B 60° 60°
F
A B
C
DT T
YA
XA
43
mm36.1m
17736.76
6.155.11 ?
?
????
EA
TLL
C F
A B 60° 60°
800 400 400
D
A B 60° 60° D
B' D'
1?
2?
C?
C
3）变形图如左
C点的垂直位移为：
2
60s i n60s i n
2
21 ????
???
??
DDBB
L C
mm79.0
60s in2
36.1
60s in2
?
?
?
? o
L
§ 2—9轴向拉伸和压缩的应变能
一、轴向拉伸和压缩的应变能
应变能：因变形而储存的能量
WV e ?
F
F
?l ?l
CL12TU1
lF ???
2
1
EA
lFF
2
1?
EA
lF
EA
lP
22
22
??
??
l
e xxEA
xF
V d
)(2
)(2
F
二、应变能密度, 单位体积的应变能
?
?
? ?
CL12TU1F
σ
dy
dx dz
E
E
ev 2
2
2
2
2
1 ???? ???
应变能密度的单位,J/m3
46
§ 2.10 拉伸、压缩超静定问题
1、问题的提出
两杆桁架变成
三杆桁架，缺一个
方程，无法求解
一、超静定问题及其处理方法
C
F
A
B D
??
1 2
3
C
F
A
B
??
1 2
? ??? 0s i ns i n 21 ?? NNx FFF
? ????? 0c o sc o s 321 FFFFF NNNy ??
47
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为
单凭 静力平衡方程 不能求解 —— 超静定问题
超静定问题的求解方法：
静不定 ——静力不能确定
超静定问题 ——超出了静力范围
补充 变形协调方程
建立 本构（或物理）方程 予以沟通
结合 平衡方程 联立求解
48
个性：杆件，桁架（杆件组合）
2、超静定的处理方法
平衡方程
变形协调方程
本构方程
共性,超静定问题 —— 单凭静平衡方程不能确定出
全部未知力（ 外力、内力、应力 ）
49
例, 2—6求三杆桁架内力，杆长 L1=L2,L3 =L
面积 A1=A2=A,A3 弹性模量 E1=E2=E,E3
C
F
A
B D
??
1 2
3
解 (1)静力 平衡方程 ——力学
F
A
??FN1
FN3
FN2
? ??? 0s i ns i n 21 ?? NNx FFF
? ????? 0c o sc o s 321 FFFFF NNNy ??
50
11
11
1 AE
LFL N??
33
33
3 AE
LFL N??
(3) 本构方程 —— 物理
（ 4）联立求解 —— 代数
此 方程于平衡方程是 3个方程（含 3个力未知量），解得
?c o s31 LL ???
?c o s
33
33
11
11
AE
LF
AE
LF NN ?
C
A
B D
??
1 2
3
A1
1L?2L?
3L?
(2)变形协调方程 —— 几何
51
33
3
11
33
3
33
3
11
2
11
21
c o s2
;
c o s2
c o s
AEAE
FAE
F
AEAE
FAE
FF
N
NN
?
?
?
??
?
?
?
3、超静定问题的解法
（ 1）静力平衡方程 —— 力学 —— 原有基地
（ 2） 变形协调方程 —— 几何 —— 新开方向
（ 3）材料本构方程 —— 物理 —— 构筑桥梁
（ 4）方程联立求 解 —— 代数 —— 综合把握
52
例 2—7 木制短柱四角用四个 40?40?4的等边角钢加固，角
钢和木材的许用应力分别为 [?]1=160M Pa和 [?]2=12MPa，
弹性模量分别为 E1=200GPa 和 E2 =10GPa； 求许可载荷
? ???? 04 21 FFFF NNy
21 LL ???
2
22
22
11
11
1 LAE
LF
AE
LFL NN ?????
(2)变形方程
(3)本构方程
解,(1)平衡方程
P FF
y
4FN1
FN2
53
（ 4） 联立求解得
FFFF NN 72.0 ; 07.0 21 ??
) ( ][ 21,iAF iiNi ?? ?
（ 5） 求结构的许可载荷
,方法 1》
角钢面积由型钢表查得
A1=3.086cm2
? ? ? ?
kN1 0 4 272.0/12250
72.0/72.0/
2
2222
??
???? ?AFF N
? ? ? ?
kN4.70507.0/1606.308
07.0/07.0/ 1111
??
???? ?AFF N
PF F
y
4FN1
FN2
54
? ? ? ? mm8.0/ 111 ??? EL ?
? ? ? ? mm2.1/ 222 ??? EL ?
所以在 △ 1=△ 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，
即角钢决定最大载荷
? ? ? ? 07.0 07.0 111 AFF N ??? kN4.705
07.0
6.308160 ???
另外：若将钢的面积增大 5倍，怎样？
若将木的面积 缩小 10倍,又 怎样？
结构的最大载荷永远由钢控制着
,方法 2》
55
（ 2）变形方程
解：（ 1） 平衡方程
2,静不定问题存在装配应力
一、装配应力
13 c o s)( LL ???? ??
§ 2—11 温度应力和装配应力
1、静定问题无装配应力
下图,3号杆的尺寸误差为 ?，求各杆的装配内力
A
B C
1 2
D
A1
3
? ?
?
? ??? 0s i ns i n 21 ?? NNx FFF
? ???? 0c o sc o s 321 NNNy FFFF ??
56
?
A
A13L?
2L?1L?
11
11
33
33 c o s)(
AE
LF
AE
LF NN ?? ??
（ 3） 本构方程
（ 4）联立求解
/ c o s21
c o s
3311
3
2
11
3
21 AEAE
AE
L
FF NN
?
??
?
???
/ c o s21
c o s2
3311
3
3
11
3
3 AEAE
AE
L
F N
?
??
?
??
A1
? ?FN1 FN2
FN3
57
a
a
a
a
FN1
FN2
例 2—8 阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃ 时被固
定,上下两段的面积为 ?1=?cm2, ?2=??cm2，
当温度升至 T2=25℃ 时,求各杆的温度应力
弹性模量 E=200GPa，线膨胀系数 ?=12.5× 10-61/oC
（ 2）变形方程
解：（ 1） 平衡方程
? ??? 021 NNy FFF
0?????? NT LLL
二、温度应力
1,静定问题无温度应力
2,静不定问题存在温度应力
58
（ 3）本构方程
（ 4）联立求解得
kN3.3321 ?? NN FF
由变形和本构方程消除位移未知量
2
2
1
1 ; 2
EA
aF
EA
aFLTaL NN
NT ?????? ?
2
2
1
12
EA
N
EA
FT NN ??? ?
（ 5）温度应力
M P a7.66
1
1
1 ?? A
F N? M P a3.33
2
2
2 ?? A
F N?
59
螺栓连接铆钉连接
销轴连接
§ 2-13 剪切和挤压的实用计算
1.实例
60
剪切受力特点,作用在构件两侧
面上的外力合力大小相等、方向
相反且作用线很近。
变形特点,位于两力之间的截面
发生相对错动。
2.剪切的实用计算
F
F
得切应力计算公式：
A
Fs??
切应力强度条件,? ??? ??
A
F s
常由实验方法确定???
假设切应力在剪切面（ m-m
截面）上是均匀分布的
F
Fm
m
F
SF
m
m
SF m
m F
61
bsF
bsF
3.挤压的实用计算
bs
bs
bs A
F??
假设应力在挤压面上是均
匀分布的
得实用挤压应力公式
? ?bs
bs
bs
bs A
F ?? ??挤压强度条件：
? ?bs? 常由实验方法确定
?dAbs ?
*注意挤压面面积的计算
F
F
62
? ?bs
bs
bs
bs A
F ?? ??挤压强度条件：
? ? ? ?? ??? 7.05.0 ??
切应力强度条件,? ??? ??
A
F s
脆性材料：
塑性材 料,? ? ? ?? ??? 5.25.1 ??
bs
? ? ? ?? ??? 0.18.0 ?? ? ? ? ?? ??? 5.19.0 ??bs
4.强度条件
63
cb
F
A
F
bs
bs
bs ???lb
F
A
F s ???
64
dh
F
A
F
bs
bs
bs ???
2
4
d
F
A
F s
?? ??
为充分利用材
料，切应力和挤压
应力应满足
2
42
d
F
dh
F
??? ?
hd 8?
?? 2?bs
65
dh
F
A
F
bs
bs
bs ???
2
4
d
F
A
F s
?? ??
为充分利用材
料，切应力和挤压
应力应满足
2
42
d
F
dh
F
??? ?
hd 8?
?? 2?bs
66
图示接头，受轴向力 F 作
用。已知 F=50kN,b=150mm，
δ =10mm,d=17mm,a=80mm，
[σ ]=160MPa,[τ ]=120MPa，
[σ bs]=320MPa，铆钉和板的材
料相同，试校核其强度。
][M P a1.43101.43
01.0)0 1 7.0215.0(
1050
)2(
6
3
?
?
?
???
?
???
?
?
?
??
db
F
A
F N
2.板的剪切强度
][M P a7.15107.1501.008.04 10504 6
3
??? ?????? ???? aFAF s
解,1.板的拉伸强度
?
? d
b a
例题 2-9
67
3.铆钉的剪切强度
][M P a1 1 0101 1 0
0 1 7.0π
10502
π
2
π2
4
6
2
3
22
?
?
???
?
?
??
????
d
F
d
F
A
F
s
4.板和铆钉的挤压强度
][M P a1 4 7101 4 7
01.00 1 7.02
1050
2
6
3
bs
bs
bs
bs d
F
A
F
?
?
?
???
?
??
?
???
结论：强度足够。
?
? d
b a
68
小结
1.研究对象
2.轴力的计算和轴力图的绘制
3.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相
关指标
4.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算
5.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移
6.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法
目 录
7.连接件的强度计算
