§ 2-5 拉（压）杆的变形 ·胡克定律
1、拉 (压 )杆的纵向变形
绝对变形
线应变 --每单位长度
的变形，无量纲
lll -1??
l
l???相对变形
长度量纲
F F
d
l
l1
d 1
当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变
形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵
向线应变。
x
y
z
C
A
O
B?x
A B' x
?x+?dx
x截面处沿 x方向的纵向平均
线应变为
x
x
?
?d
x截面处沿 x方向的纵向线应
变为
xx
xx
xx d
dl i m
0
dd? ?
?
??
??
线应变以伸长时为正，缩短时为负。
2、横向变形
d
d????
横向绝对变形 ddd -1??
横向线应变
F F
d
l
l1
d 1
A
Fll ??
EA
Fll ??
3、荷载与变形量的关系 —— 胡克定律
当杆内应力不超过材料的某一极限值（, 比例极
限, ）时
引进比例常数 E EAlFN?
F F
d
l
l1
d 1
E — 弹性模量,量纲与应力相同，为, 2- 1- TML
EA
lFl N?? 拉（压）杆的 胡克定律
EA — 杆的 拉伸（压缩）刚度 。
单位为 Pa；
F F
d
l
l1
d 1
A
F
El
l N1??
E
?? ?
称为单轴应力状态下的 胡克定律
EA
lFl N??
即
F F
d
l
l1
d 1
4、横向变形的计算
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例
极限时，一点处的纵向线应变 ? 与横向线应变 ??
的绝对值之比为一常数：
?
??? ν
或 ?? ν-??
n ----- 横向变形因数 或 泊松比
F F
d
l
l1
d 1
低碳钢（ Q235）：
28.0~24.0?ν
G P a2 1 0~2 0 0?E
例 2-8 一阶梯状钢杆受力如图，已知 AB段的横截
面面积 A1=400mm2,BC段的横截面面积
A2=250mm2,材料的弹性模量 E=210GPa。试求,AB、
BC段的伸长量和杆的总伸长量。
F=40kN
C BA B' C'
解,由静力平衡知,AB,BC两段的轴力均为
FF ?N
l1 =300 l2=200
故
1
1N
1 EA
lFl ??
mm143.0?
2
2N
2 EA
lFl ??
mm152.0?
23
3
mm4 0 0M P a102 1 0
mm3 0 0N1040
??
???
23
3
mm2 5 0M P a102 1 0
mm2 0 0N1040
??
???
F=40kN
C BA B' C'
l1 =300 l2=200
AC杆的总伸长 21 lll ?+???
mm295.0152.0143.0 ?+?
F=40kN
C BA B' C'
例 2-9 图示杆系，荷载 F=100kN,求结点 A的位
移 ?A。已知两杆均为长度 l =2m,直径 d =25mm的圆
杆, ?=30o，杆材 (钢 )的弹性模量 E = 210GPa。
解,1、求两杆的轴力。
?c o s22N1N
FFF ??
? ? 0xF
FF ??co s2 1N
2N1N FF ?
? ? 0yF
得x
y
FN2FN1
F
A
B C
1 2
A
F
2、由胡克定律得两杆的伸长：
21 ll ??? EA
lF
EA
lF 2N1N ??
?c o s2 EA
Fl?
?c o sπd
2
2E
Fl?
根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点
A只有竖向位移。
F
A
B C
1 2
3、计算节点位移
此位置既应该符合两杆
间的约束条件，又满足
两杆的变形量要求。
关键步骤 —— 如何确定杆系变形后结点 A的位置？
A
B C
1 2
A'
21
A2A1 A'
A''
?? c osc os
21 AAAAAA ???
即 ?? c osc os 21 llΔ A ????
由变形图即确定结点 A
的位移。 由几何关系得
?22 c o sπ
2
dE
Fl?
21
A2A1 A'
A''
)(mm29 3.1
30cos])mm25(π)[MPa1021 0(
)mm102)(N1010 0(2
223
33
??
??
??
?
?A
Δ代入数值得
杆件几何尺寸的
改变，标量
此例可以进一步加深对变
形和位移两个概念的理解。
变形
位移 结点位置的移动，
矢量
与各杆件间的约束有关，实
际是变形的几何相容条件。
二者间的函数关系
A
B C
1 2
A'
§ 2-6 拉 (压 )杆内的应变能
应变能 —— 弹性体受力而变形时所积蓄的能量。
单位：
WV ?ε
mN1J1 ??
应变能的计算,能量守恒原理
焦耳 J
弹性体的
功能原理
F
l1
l ?l
拉 (压）杆在线弹性范围内的应变能
外力功,lFW ??? 21
)( EAFll ??WV ?ε杆内应变能,lF ??? 21
EA
lF
2
2
? EAlF2
2
N?
F
l1
l ?l
F
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F
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)( EAFll ??WV ?ε lF ??? 21
l
lEA
2
)( 2??
或
F
l1
l ?l
F
?l
F
?l
应变能密度
V
Vv ε
ε ?
应变能密度单位,3m/J
εv —— 杆件单位体积内的应变能
两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上
所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀
分布的。
Al
lF ??
? 2
1
??21?
E2
2?
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)( ?? E?
F F
l
l1
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2
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2
N
εε 2
d)(d
FN(x)
FN(x) +d FN(x)
l
B
A
q
x
B
q
ql
dx
FN(x)
J67.64mmN1067.64
])mm25(
4
π
)[MP a102 1 0(
)mm102()
30c o s2
N1010
(
)
c o s2
(
2
2
3
23
32
3
2
2
1N
ε
????
?
?
?
?
???
?
EA
l
F
EA
lF
V
?
解：
例 2-10 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理
求结点 A的位移 ?A。 已知 F =10 kN,杆长 l =2m，杆
径 d =25mm,? =30°,材料的弹性模量 E =210GPa。
?c o s22N1N
FFF ??
F
A
B C
1 2
)(mm2 9 3.1
N101 0 0
mmN1067.6422
3
3
ε
??
?
???
??
F
V
Δ A
ε2
1 VF Δ
A ?
J67.64mmN1067.64 3ε ????V
而
F
A
B C
1 2
练习题,求图示变截面杆 D点的位移。
已知,E=200 GPa,A1=500 mm2,A2=300
mm2。
5 0 k N 2 0 k N 4 0 k N
A
1
A
2
A
1
A B C D
1 m 2 m 1 m
作业, 2-7,2-12,2-15
1、拉 (压 )杆的纵向变形
绝对变形
线应变 --每单位长度
的变形，无量纲
lll -1??
l
l???相对变形
长度量纲
F F
d
l
l1
d 1
当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变
形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵
向线应变。
x
y
z
C
A
O
B?x
A B' x
?x+?dx
x截面处沿 x方向的纵向平均
线应变为
x
x
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x截面处沿 x方向的纵向线应
变为
xx
xx
xx d
dl i m
0
dd? ?
?
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线应变以伸长时为正，缩短时为负。
2、横向变形
d
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横向绝对变形 ddd -1??
横向线应变
F F
d
l
l1
d 1
A
Fll ??
EA
Fll ??
3、荷载与变形量的关系 —— 胡克定律
当杆内应力不超过材料的某一极限值（, 比例极
限, ）时
引进比例常数 E EAlFN?
F F
d
l
l1
d 1
E — 弹性模量,量纲与应力相同，为, 2- 1- TML
EA
lFl N?? 拉（压）杆的 胡克定律
EA — 杆的 拉伸（压缩）刚度 。
单位为 Pa；
F F
d
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l1
d 1
A
F
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l N1??
E
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称为单轴应力状态下的 胡克定律
EA
lFl N??
即
F F
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l1
d 1
4、横向变形的计算
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例
极限时，一点处的纵向线应变 ? 与横向线应变 ??
的绝对值之比为一常数：
?
??? ν
或 ?? ν-??
n ----- 横向变形因数 或 泊松比
F F
d
l
l1
d 1
低碳钢（ Q235）：
28.0~24.0?ν
G P a2 1 0~2 0 0?E
例 2-8 一阶梯状钢杆受力如图，已知 AB段的横截
面面积 A1=400mm2,BC段的横截面面积
A2=250mm2,材料的弹性模量 E=210GPa。试求,AB、
BC段的伸长量和杆的总伸长量。
F=40kN
C BA B' C'
解,由静力平衡知,AB,BC两段的轴力均为
FF ?N
l1 =300 l2=200
故
1
1N
1 EA
lFl ??
mm143.0?
2
2N
2 EA
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mm152.0?
23
3
mm4 0 0M P a102 1 0
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mm2 0 0N1040
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F=40kN
C BA B' C'
l1 =300 l2=200
AC杆的总伸长 21 lll ?+???
mm295.0152.0143.0 ?+?
F=40kN
C BA B' C'
例 2-9 图示杆系，荷载 F=100kN,求结点 A的位
移 ?A。已知两杆均为长度 l =2m,直径 d =25mm的圆
杆, ?=30o，杆材 (钢 )的弹性模量 E = 210GPa。
解,1、求两杆的轴力。
?c o s22N1N
FFF ??
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1 2
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2、由胡克定律得两杆的伸长：
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根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点
A只有竖向位移。
F
A
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1 2
3、计算节点位移
此位置既应该符合两杆
间的约束条件，又满足
两杆的变形量要求。
关键步骤 —— 如何确定杆系变形后结点 A的位置？
A
B C
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A'
21
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此例可以进一步加深对变
形和位移两个概念的理解。
变形
位移 结点位置的移动，
矢量
与各杆件间的约束有关，实
际是变形的几何相容条件。
二者间的函数关系
A
B C
1 2
A'
§ 2-6 拉 (压 )杆内的应变能
应变能 —— 弹性体受力而变形时所积蓄的能量。
单位：
WV ?ε
mN1J1 ??
应变能的计算,能量守恒原理
焦耳 J
弹性体的
功能原理
F
l1
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拉 (压）杆在线弹性范围内的应变能
外力功,lFW ??? 21
)( EAFll ??WV ?ε杆内应变能,lF ??? 21
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应变能密度
V
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应变能密度单位,3m/J
εv —— 杆件单位体积内的应变能
两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上
所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀
分布的。
Al
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解：
例 2-10 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理
求结点 A的位移 ?A。 已知 F =10 kN,杆长 l =2m，杆
径 d =25mm,? =30°,材料的弹性模量 E =210GPa。
?c o s22N1N
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F
A
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)(mm2 9 3.1
N101 0 0
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练习题,求图示变截面杆 D点的位移。
已知,E=200 GPa,A1=500 mm2,A2=300
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5 0 k N 2 0 k N 4 0 k N
A
1
A
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A
1
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作业, 2-7,2-12,2-15
