第三章 扭 转
§ 3-1 概 述
工程实例
1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；
2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面
垂直于杆的轴线的外力偶作用
变形特点：
MeMe
实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有
弯曲、拉压等其他变形。
§ 3-2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
Ⅰ,传动轴的外力偶矩
传动轴的转速
n ； 某一轮上
所传递的功率
P (kW)
作用在该轮上的外力偶矩 Me。
)J(1060 3??P
已知：
求：
一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所
作的功：
m)(Nπ2e ??? nM
Me1Me2 Me3n
从动轮 主动轮 从动轮
传动轮的转速 n、功率 P 及其上的外力偶矩 Me之
间的关系：
n
PM
π2
6010 3
e
???
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，
从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
)J(1060 3??P m)(Nπ2e ??? nM
)mN(1055.9 3 ??? nP
Me1Me2 Me3n
从动轮 主动轮 从动轮
Ⅱ,扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为 扭矩,
用符号 T表示。
eMT ?
扭矩大小可利用 截面法 来确定。
1
1
T
T
Me Me
A B
1
1 B
Me
A
Me 1
1
x
扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定,
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作 扭矩图,表明沿杆
轴线各横截面上扭矩的变化情况。
T
T
T
T
T (+)
T (-)
eMT ?
1
1
T
T
Me Me
A B
1
1 B
Me
A
Me 1
1
x
Me
T 图+
例 3-1 一传动轴如图，转速 n = 300r/min； 主动轮
输入的功率 P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分
别为,P2= 150kW,P3= 150kW,P4= 200kW。
试作轴的扭矩图。
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
mkN9.15mN)30 050 01055.9( 31 ??????M
mkN78.4mN)1001501055.9( 332 ??????? MM
mkN37.6mN)30 020 01055.9( 34 ??????M
解：
2
2
1
1
3
3
M1M2 M3 M4
A B C D
分别计算各段的扭矩
mkN78.421 ????? MT
m9, 5 6 k N
322
???
??? MMT
mkN37.643 ??? MT
2
2
1
1
3
3
M1M2 M3 M4
A B C D
T1
1
1 xM2
A
T2
A
M2
B
M3 2
2 x
T3 3
3 D
M4
x
扭矩图
Tmax = 9.56 kN·m 在 BC段内
M1M2 M3 M4
A B C D
4.78
9.56
6.37
T 图 (kN·m)
§ 3-3 薄壁圆筒的扭转
—— 通常指 的圆筒，可假定其
应力沿壁厚方向均匀分布
10
0r??
内力偶矩 —— 扭矩 T
eMT ?
薄壁圆筒
n
n
Me Me
l
T
Me n
n
r0
圆筒两端截面之间相对转过
的圆心角 ? 相对扭转角 ?
表面正方格子倾斜的角度 —
直角的改变量 ? 切应变 ?
?? t a n??? lr 即 lr /?? ???? l
? ?
A
B
D
C
Me Me
薄壁圆筒受扭时变形情况：
?
A
B C
D
B1
A1 D1
C1
D' D1'
C1'
C'
Me Me
圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距
不变；
表面变形特点及分析：
—— 横截面在变形前后都保持为形状、大小未改
变的平面，没有正应力产生
所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。
—— 横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周
向均匀分布
? ?
A
B
D
C
Me Me
1、横截面上无正应力；
2、只有与圆周相切的切应力，
且沿圆筒周向均匀分布；
薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：
? ?
A
B
D
C
?
A
B C
D
B1
A1 D1
C1
D' D1'
C1'
C'
n
nMe
r0
x?
3、对于薄壁圆筒，可认为切
应力沿壁厚也均匀分布。
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式,
? ??A TrA 0d?
Ar
T
0
??
静力学条件
因薄壁圆环横截面上各点处的
切应力相等
?0π2 rA ?
?20π2 r
T?
ArArT A 00 d ?? ?? ?
得
? dA
n
nMe
r0
x
r0
剪切胡克定律
?? 20π2 r
T?
lr /0?? ?
由前述推导可知
薄壁圆筒的扭转实验曲线
Me Me
? ?
A
B
D
C
钢材的切变模量值约为：
G P a80?G
时即 p?? ?
?? G?
这就是 剪切胡克定律
其中,G—— 材料的 切变模量
? p—— 剪切屈服极限
§ 3-4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
Ⅰ,横截面上的应力
（一）几何方面
相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、
形状、间距都未变；
纵向线倾斜了同一个角度 ?,表面上所有矩形均变
成平行四边形。
(a)
MeMe
(b)
杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没
有正应力产生。
平面假设
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一
样绕杆的轴线转动。
推论：
(a)
MeMe
(b)
EG
GG ???
?? ?? t an
x
d
d
d)2/( ?? ?? xd
d???
MeMe
d??
D'
G'
GE
TT
O1 O2
a b
a bdx
DA
??
d??
D'
G'
GE O1 O2
DA
??
dx
d
横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律
即 xdd ??? ? ?
xd
d? 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给
定的横截面为常量
?? ? ?
d??
D'
G'
GE
TT
O1 O2
a b
a bdx
DA
??
d??
D'
G'
GE O1 O2
DA
??
dx
d
剪切胡克定律 ?? G?
xG d
d ???
? ?
（二）物理方面
xd
d ???
? ?
（三）静力学方面
Ad??? T??A TAxG A ?? ddd 2??
?? A AI d2p ?
pd
d
GI
T
x ?
?
称为横截面
的 极惯性矩
?? ? ?
??dA
??dA
O
令
得
T
O
d
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
pp I
T
GI
TG ???
? ???
?
?
???
?
?
xG d
d ???
? ?
pd
d
GI
T
x ?
?
pI
T??
? ?
?
?max ??
?maxT
发生在横截面周边上各点处。
r??
p
m a x I
Tr??
称为 扭转
截面系数rIW pp ?
最大切应力
rI
T
/p? pW
T?
?max
?max
令
即
p
m a x W
T??
O
d
?
??
T
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
pI
T??
? ?
p
m a x W
T??
?max
?max
O
D
d
T
?
??
（四）圆截面的极惯性矩 Ip和扭转截面系数 Wp
?? A AI d2p ?
16
π
2/
3
p
p
d
d
IW ??
)dπ2(2
0
2??
d
???
32
π 4d?
?? dπ2d ?A
2/
0
4
)
4
π(2
d?
?
实心圆截面：
Od
?? 2
2
3
p dπ2
D
dI ??
? ? ? ?4344p
p 116
π
16
π
2/ ???
??? D
D
dD
D
IW
空心圆截面：
?? dπ2d ?A
? ?4432π dD ??
? ?44 132π ??? D
D
d?? D Od
注意：对于空心圆截面
? ?33p 16π dDW ??
? ?44p 32π dDI ??D
Od
此处为以横截面、径截面以及与表面平
行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一
微小的正六面体
（五）单元体 ·切应力互等定理
单元体 ——
zy dd?
zx dd??
MeMe
x
y
z
a
b
O
c
d
dx
dy
?'
??
?'
0?? yF
0?? zM
?? ??
自动满足
0?? xF
? ? ? ? yzxxzy dddddd ?? ??
存在 ?'
得
?? ??
单元体的两个相互垂直
的截面上，与该两个面的交
线垂直的切应力数值相等，
且均指向 (或背离 ) 两截面
的交线。
切应力互等定理
单元体在其两对互相
垂直的平面上只有切应力
而无正应力的状态称为 纯
剪切应力状态 。
da
b c
?
?'
?'
?
x
y
z
a
b
O
c
d
dx
dy
?'
??
?'
例 3-2 实心圆截面轴 Ⅰ 和空心圆截面轴 Ⅱ (? = d2/D2 =0.8)
的材料、扭转力偶矩 Me 和长度 l均相同。试求在两圆轴
横截面上最大切应力相等的情况下,D2/d1之比以及两轴
的重量比。
(a)
Me Me
d 1
l
Ⅰ
Me
(b)
Me
l
Ⅱ
D 2
3
1
e
1p
e
1p
1
m a x,1 π
16
d
M
W
M
W
T ????
? ?432 e2p e2p2m a x,2 1π
16
?? ???? D
M
W
M
W
T
解,16π
3
1
1p
dW ? ? ?432
2p 116
π ??? DW
m ax,2m ax1 ?? ?，
? ? 31432 1 dD ?? ?
194.18.01 13 4
1
2 ?
??d
D
8.0??已知
得
两轴的重量比
1
2
1
2
A
A
W
W ?
可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。
? ? ? ?
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2 1
4
π
4
π
d
D
d
dD
??
?
?
?
? ? 512.08.01194.1 22 ????
讨论：
为什么说 空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构
件？
Ⅱ,斜截面上的应力
0?? ?F
0?? ?F
? ? ? ? 0c o ss i nds i nc o sdd ???? ??????? ? AAA
? ? ? ? 0s i ns i ndc o sc o sdd ???? ??????? ? AAA
假定斜截面
ef 的面积为
d A
?
e
f
da
b c
?
?'
?'
? x
n
?'
? ?
?
?
?
??
f
e
b
? x
讨论：
?0??
?45??? ?? ??m a x
?90??
1,?? ?
m ax
?45???
2、
?? ??m i n
此时切应力均为零。
f
?'
? ?
?
e
b
?
?
?
??
x
解得
??? ? 2s i n??
??? ? 2c o s?
?'
?
?'
? x
?max
?max
?min
?min
Ⅲ,强度条件
][m a x ?? ?
等直圆轴 ][
p
m a x ??
W
T
材料的许用切应力
?? ?m a x
例 3-3 图示阶梯状圆轴,AB段直径 d1=120mm,BC
段直径 d2=100mm。扭转力偶矩 MA=22 kN?m，
MB=36 kN?m,MC=14 kN?m。 材料的许用切应力 [? ]
= 80MPa,试校核该轴的强度。
解,1、求内力，作出轴的扭矩图
22
14
T图 （ kN·m）
MA MB ⅡⅠ M
C
A CB
BC段 ? ?
M P a3.71
mm100
16
π
mmN1014
3
6
2p
2
m a x,2 ?
??
??
W
T
?
AB段
1p
1
m a x,1 W
T??
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
? ?
M P a8.64
mm12 0
16
π
mmN1022
3
6
?
??
?
M Pa80][ ?? ?
即该轴满足强度条件。
22
14
T图 （ kN·m）
例 3-4 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合
器连接 。 已知轴的转速 n=100 r/min,传递
功率 P=10 kW,许用切应力 [τ]=80MPa，
d1/d2=0.6。 试确定实心轴的直径 d,空心轴
的内, 外径 d1和 d2。
1、扭矩：
2,由实心轴的切应力强度条件：
解：
mkNT,955.0
100
1055.9 ???
mmd
mm
T
d
40
,2.39
8014.3
109 5 5.016
][
16
3
6
3
?
?
?
??
??
取
??
3、由空心轴的切应力强度条件：
mmdd
mm
T
d
7.246.0
2.41
80)6.01(14.3
10955.016
])[1(
16
21
3
4
6
3
42
???
?
???
??
?
?
?
???
作业,3-1,3-3,3-9
§ 3-1 概 述
工程实例
1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；
2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面
垂直于杆的轴线的外力偶作用
变形特点：
MeMe
实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有
弯曲、拉压等其他变形。
§ 3-2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
Ⅰ,传动轴的外力偶矩
传动轴的转速
n ； 某一轮上
所传递的功率
P (kW)
作用在该轮上的外力偶矩 Me。
)J(1060 3??P
已知：
求：
一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所
作的功：
m)(Nπ2e ??? nM
Me1Me2 Me3n
从动轮 主动轮 从动轮
传动轮的转速 n、功率 P 及其上的外力偶矩 Me之
间的关系：
n
PM
π2
6010 3
e
???
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，
从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
)J(1060 3??P m)(Nπ2e ??? nM
)mN(1055.9 3 ??? nP
Me1Me2 Me3n
从动轮 主动轮 从动轮
Ⅱ,扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为 扭矩,
用符号 T表示。
eMT ?
扭矩大小可利用 截面法 来确定。
1
1
T
T
Me Me
A B
1
1 B
Me
A
Me 1
1
x
扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定,
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作 扭矩图,表明沿杆
轴线各横截面上扭矩的变化情况。
T
T
T
T
T (+)
T (-)
eMT ?
1
1
T
T
Me Me
A B
1
1 B
Me
A
Me 1
1
x
Me
T 图+
例 3-1 一传动轴如图，转速 n = 300r/min； 主动轮
输入的功率 P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分
别为,P2= 150kW,P3= 150kW,P4= 200kW。
试作轴的扭矩图。
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
mkN9.15mN)30 050 01055.9( 31 ??????M
mkN78.4mN)1001501055.9( 332 ??????? MM
mkN37.6mN)30 020 01055.9( 34 ??????M
解：
2
2
1
1
3
3
M1M2 M3 M4
A B C D
分别计算各段的扭矩
mkN78.421 ????? MT
m9, 5 6 k N
322
???
??? MMT
mkN37.643 ??? MT
2
2
1
1
3
3
M1M2 M3 M4
A B C D
T1
1
1 xM2
A
T2
A
M2
B
M3 2
2 x
T3 3
3 D
M4
x
扭矩图
Tmax = 9.56 kN·m 在 BC段内
M1M2 M3 M4
A B C D
4.78
9.56
6.37
T 图 (kN·m)
§ 3-3 薄壁圆筒的扭转
—— 通常指 的圆筒，可假定其
应力沿壁厚方向均匀分布
10
0r??
内力偶矩 —— 扭矩 T
eMT ?
薄壁圆筒
n
n
Me Me
l
T
Me n
n
r0
圆筒两端截面之间相对转过
的圆心角 ? 相对扭转角 ?
表面正方格子倾斜的角度 —
直角的改变量 ? 切应变 ?
?? t a n??? lr 即 lr /?? ???? l
? ?
A
B
D
C
Me Me
薄壁圆筒受扭时变形情况：
?
A
B C
D
B1
A1 D1
C1
D' D1'
C1'
C'
Me Me
圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距
不变；
表面变形特点及分析：
—— 横截面在变形前后都保持为形状、大小未改
变的平面，没有正应力产生
所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。
—— 横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周
向均匀分布
? ?
A
B
D
C
Me Me
1、横截面上无正应力；
2、只有与圆周相切的切应力，
且沿圆筒周向均匀分布；
薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：
? ?
A
B
D
C
?
A
B C
D
B1
A1 D1
C1
D' D1'
C1'
C'
n
nMe
r0
x?
3、对于薄壁圆筒，可认为切
应力沿壁厚也均匀分布。
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式,
? ??A TrA 0d?
Ar
T
0
??
静力学条件
因薄壁圆环横截面上各点处的
切应力相等
?0π2 rA ?
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T?
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得
? dA
n
nMe
r0
x
r0
剪切胡克定律
?? 20π2 r
T?
lr /0?? ?
由前述推导可知
薄壁圆筒的扭转实验曲线
Me Me
? ?
A
B
D
C
钢材的切变模量值约为：
G P a80?G
时即 p?? ?
?? G?
这就是 剪切胡克定律
其中,G—— 材料的 切变模量
? p—— 剪切屈服极限
§ 3-4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
Ⅰ,横截面上的应力
（一）几何方面
相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、
形状、间距都未变；
纵向线倾斜了同一个角度 ?,表面上所有矩形均变
成平行四边形。
(a)
MeMe
(b)
杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没
有正应力产生。
平面假设
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一
样绕杆的轴线转动。
推论：
(a)
MeMe
(b)
EG
GG ???
?? ?? t an
x
d
d
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MeMe
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a b
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DA
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横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律
即 xdd ??? ? ?
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d? 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给
定的横截面为常量
?? ? ?
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DA
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剪切胡克定律 ?? G?
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（二）物理方面
xd
d ???
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（三）静力学方面
Ad??? T??A TAxG A ?? ddd 2??
?? A AI d2p ?
pd
d
GI
T
x ?
?
称为横截面
的 极惯性矩
?? ? ?
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等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
pp I
T
GI
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? ???
?
?
???
?
?
xG d
d ???
? ?
pd
d
GI
T
x ?
?
pI
T??
? ?
?
?max ??
?maxT
发生在横截面周边上各点处。
r??
p
m a x I
Tr??
称为 扭转
截面系数rIW pp ?
最大切应力
rI
T
/p? pW
T?
?max
?max
令
即
p
m a x W
T??
O
d
?
??
T
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
pI
T??
? ?
p
m a x W
T??
?max
?max
O
D
d
T
?
??
（四）圆截面的极惯性矩 Ip和扭转截面系数 Wp
?? A AI d2p ?
16
π
2/
3
p
p
d
d
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0
2??
d
???
32
π 4d?
?? dπ2d ?A
2/
0
4
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4
π(2
d?
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实心圆截面：
Od
?? 2
2
3
p dπ2
D
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p 116
π
16
π
2/ ???
??? D
D
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D
IW
空心圆截面：
?? dπ2d ?A
? ?4432π dD ??
? ?44 132π ??? D
D
d?? D Od
注意：对于空心圆截面
? ?33p 16π dDW ??
? ?44p 32π dDI ??D
Od
此处为以横截面、径截面以及与表面平
行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一
微小的正六面体
（五）单元体 ·切应力互等定理
单元体 ——
zy dd?
zx dd??
MeMe
x
y
z
a
b
O
c
d
dx
dy
?'
??
?'
0?? yF
0?? zM
?? ??
自动满足
0?? xF
? ? ? ? yzxxzy dddddd ?? ??
存在 ?'
得
?? ??
单元体的两个相互垂直
的截面上，与该两个面的交
线垂直的切应力数值相等，
且均指向 (或背离 ) 两截面
的交线。
切应力互等定理
单元体在其两对互相
垂直的平面上只有切应力
而无正应力的状态称为 纯
剪切应力状态 。
da
b c
?
?'
?'
?
x
y
z
a
b
O
c
d
dx
dy
?'
??
?'
例 3-2 实心圆截面轴 Ⅰ 和空心圆截面轴 Ⅱ (? = d2/D2 =0.8)
的材料、扭转力偶矩 Me 和长度 l均相同。试求在两圆轴
横截面上最大切应力相等的情况下,D2/d1之比以及两轴
的重量比。
(a)
Me Me
d 1
l
Ⅰ
Me
(b)
Me
l
Ⅱ
D 2
3
1
e
1p
e
1p
1
m a x,1 π
16
d
M
W
M
W
T ????
? ?432 e2p e2p2m a x,2 1π
16
?? ???? D
M
W
M
W
T
解,16π
3
1
1p
dW ? ? ?432
2p 116
π ??? DW
m ax,2m ax1 ?? ?，
? ? 31432 1 dD ?? ?
194.18.01 13 4
1
2 ?
??d
D
8.0??已知
得
两轴的重量比
1
2
1
2
A
A
W
W ?
可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。
? ? ? ?
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2 1
4
π
4
π
d
D
d
dD
??
?
?
?
? ? 512.08.01194.1 22 ????
讨论：
为什么说 空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构
件？
Ⅱ,斜截面上的应力
0?? ?F
0?? ?F
? ? ? ? 0c o ss i nds i nc o sdd ???? ??????? ? AAA
? ? ? ? 0s i ns i ndc o sc o sdd ???? ??????? ? AAA
假定斜截面
ef 的面积为
d A
?
e
f
da
b c
?
?'
?'
? x
n
?'
? ?
?
?
?
??
f
e
b
? x
讨论：
?0??
?45??? ?? ??m a x
?90??
1,?? ?
m ax
?45???
2、
?? ??m i n
此时切应力均为零。
f
?'
? ?
?
e
b
?
?
?
??
x
解得
??? ? 2s i n??
??? ? 2c o s?
?'
?
?'
? x
?max
?max
?min
?min
Ⅲ,强度条件
][m a x ?? ?
等直圆轴 ][
p
m a x ??
W
T
材料的许用切应力
?? ?m a x
例 3-3 图示阶梯状圆轴,AB段直径 d1=120mm,BC
段直径 d2=100mm。扭转力偶矩 MA=22 kN?m，
MB=36 kN?m,MC=14 kN?m。 材料的许用切应力 [? ]
= 80MPa,试校核该轴的强度。
解,1、求内力，作出轴的扭矩图
22
14
T图 （ kN·m）
MA MB ⅡⅠ M
C
A CB
BC段 ? ?
M P a3.71
mm100
16
π
mmN1014
3
6
2p
2
m a x,2 ?
??
??
W
T
?
AB段
1p
1
m a x,1 W
T??
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
? ?
M P a8.64
mm12 0
16
π
mmN1022
3
6
?
??
?
M Pa80][ ?? ?
即该轴满足强度条件。
22
14
T图 （ kN·m）
例 3-4 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合
器连接 。 已知轴的转速 n=100 r/min,传递
功率 P=10 kW,许用切应力 [τ]=80MPa，
d1/d2=0.6。 试确定实心轴的直径 d,空心轴
的内, 外径 d1和 d2。
1、扭矩：
2,由实心轴的切应力强度条件：
解：
mkNT,955.0
100
1055.9 ???
mmd
mm
T
d
40
,2.39
8014.3
109 5 5.016
][
16
3
6
3
?
?
?
??
??
取
??
3、由空心轴的切应力强度条件：
mmdd
mm
T
d
7.246.0
2.41
80)6.01(14.3
10955.016
])[1(
16
21
3
4
6
3
42
???
?
???
??
?
?
?
???
作业,3-1,3-3,3-9
