上次课小结,
基本概念：
强度、刚度、稳定性、可变性固体、弹性变形、
塑性变形、内力、轴力
基本方法：
截面法 — 截、取、代、平
作轴力图
NF FF
F
+
-
+
思考：
此题中 FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？
F
F
F q=F/l
l 2l l
§ 2-3 应力 ·拉（压）杆内的应力
Ⅰ,应力的概念
拉压杆的强度
轴力
横截面尺寸
材料的强度
即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律
直接相关的。
杆件截面上的分布内力的集度，称为 应力 。
M点平均应力
A
Fp
?
??
m
总应力
A
F
A
Fp
A d
dlim
0
????
??
(a)
M
?A?F M
(b)
p
总应力 p 法向分量,引起长度改变正应力,
切向分量，引起角度改变切应力,?
?
正应力：拉为正，压为负
切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为
正，反之为负
?
?
M
(b) (a)
M
?F ?A
内力与应力间的关系
A
Fp
d
d?
A
F
d
d N??
A
F
d
d S??
?? A AF dN ?
?? A AF dS ?
?
?
M
(b) (a)
M
?F
?A
?FN
?FS
应力量纲 21 -- TML
Pa应力单位 2N / m1Pa1 ?
Pa10M P a1 6?
2N / m m1M P a1 ?
MPa
?
?
M
(b) (a)
M
?F ?A
Pa10G P a1 9?GPa
Ⅱ,拉（压）杆横截面上的应力
FAF A ?? ? dN ?
无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律
已知静力学条件
m
m
F F
m
mF
?
FN
m
m
F FN ?
但荷载不仅在杆
内引起应力，还
要引起杆件的变
形。
可以从观察杆件
的表面变形出发，
来分析内力的分
布规律。F F a c
b d
a' c'b' d'
m
m
F F
m
mF
?
FN
m
m
F FN ?
等直杆相邻两条横向线在杆受拉 (压 )后仍
为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。
原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，
对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
观察现象：
平面假设
F F a c
b d
a' c'
b' d'
亦即横截面上各点处的正应力 都相等。?
推论：
1、等直 拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，
因而横截面上没有切应力。
2,拉 (压 )杆受力后任意两个横截面之间纵向线
段的伸长 (缩短 )变形是均匀的。
F F a c
b d
a' c'
b' d'
等截面拉 (压 )杆横截面上正应力的计算公式
A
F N??
即
AAF A ?? ?? ? dN
m
m
F F
m
mF
?
FN
m
m
F FN ?
适用条件：
⑴ 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横
截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平截
面假设不成立的某些特定截面,原则上不宜用上
式计算横截面上的正应力。
⑵ 实验研究及数值计算表明，在载荷作用
区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的
应力情况复杂，上述公式不再正确。
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距
离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
圣维南原理
}
F
F
F
F
影响区
影响区
2
F
2
F
2
F
2
F
例 2-3 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上
的最大工作应力。已知 F =50 kN。
解,Ⅰ 段柱横截面上的正应力
MP a87.0
)mm240()mm240(
N1050
3
1
1N
1
-?
?
?-
?
?
A
F
?
（压）
kN501N -?F
150kN
50kN
F
C
B
A
F F
4000
3000
370 240
Ⅱ 段柱横截面上的正应力
1, 1 MP a
)mm3 7 0)(mm3 7 0(
N101 5 0
3
2
N2
2
-?
?-
?
?
A
F
?
（压应力）
kN1502N -?F
最大工作应力为
M P a1.12m a x ?? ??
150kN
50kN
F
C
B
A
F F
4000
3000
370 240
例 2-4 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上
的拉应力。已知,。M P a2 mm,5 mm,2 0 0 ??? pδd
可认为径向截面上的拉应力沿壁厚
均匀分布
d???
?bA ?
解：
b
p
2
R
N
FF ?
根据对称性可得，径截面上内力处处相等
d
y
FNFN
p p FR
?? π0R s ind ?FF
4 0 M P a2 ( 5 m m ) )M P a) ( 2 0 0 m m2( ??
)d2(d ?dbpF ??
pbddpb ??? ? ?? ) s i nd2(π
0
2N
p b dF ?
A
F N??
?? 2)2(
1 pdp b d
b ??
d?
d
y
FNFN
p FR
Ⅲ, 拉 （ 压 ） 杆斜截面上的应力
FF ??
由静力平衡得斜截面上的
内力：
F F k
k
F?F k
k
F F?p?k
k
??p
变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉 （ 压 ）
变形后仍相互平行 。
推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长
变形相同 。
即斜截面上各点处总应力相等。
F F
?0 为拉 (压 )杆横截面上 ( )的正应力。0??
?
?
? A
Fp ? ?
? c o sc o s/ A
F
A
F ??
?? co s0?
F F?p?k
k
F F k
k
A?
A
总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：
???? ?? 20 c o sc o s ?? p
?? ?? s i np? ?? 2s in2 0? ??? s i nc o s0?
p?
??
??? ? 20 c o s?
??? ? 2s i n2 0?
通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，
成为该点处的 应力状态 。
对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上
一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为
单向应力状态 。
p?
??
2/0m a x ??? ? ??
??? ? 20 c o s?
??? ? 2s i n2 0?
讨论,0??（ 1）
?45-??
0m a x ?? ?
?45??
?90?? 0???
（ 2）
2/0m i n ??? ? -??
?0?? 0???
（横截面）
（纵截面）
（纵截面）
（横截面）
?90?? 0???
p?
??
§ 2-4 强度条件 ?安全系数 ?许用应力
Ⅰ,材料的许用应力
塑性材料,
脆性材料,
对应于拉、压强度的安全因数
极限应力 ?u
?s 或 ?p0.2
?b
许用应力 nu][ ?? ?
n >1
ns一般取 1.25 ~ 2.5，
塑性材料,
脆性材料,
s
s][
n
?? ?
s
p 0,2][
n
?? ?
或
b
bcb )(][
n
??? ?
nb一般取 2.5 ~ 3.0，甚至 4 ~ 14。
Ⅱ,关于安全 因数 的考虑
（ 1）极限应力的差异；
（ 2）构件横截面尺寸的变异；
（ 3）荷载的变异；
（ 4）计算简图与实际结构的差异；
（ 5）考虑强度储备。
Ⅲ,拉（压）杆的强度条件 保证拉（压）杆不因强度不足发生破
坏的条件
][m a x ?? ?
等直杆 ][m a xN,??AF
强度计算的三种类型：
（ 1） 强度校核
（ 2）截面选择
（ 3）计算许可荷载
][m a x,Nm a x ?? ?? AF
][
m a x,N
?
FA ?
][m axN,?AF ?
例 2-5 图示三铰屋架中，均布荷载的集度 q
=4.2kN/m，钢拉杆直径 d =16mm，许用应力 [? ] =
170MPa 。试校核拉杆的强度。
A
C
B 1.4
2m
8.5m
9.3m
0.4m
q
解,1、求支反力
考虑结构的整体平衡并利用其对称性
0?AxF? ? 0xF
kN5.192 m3.9kN2.42 ????? qlFF ByAy
FByF
Ax
FAyA C B 1.42m
8.5m
9.3m
0.4m
q
取分离体如图并考虑其平衡
? ? 0CM
2、求钢拉杆的轴力。
0)
2
5.8
(
)
2
3.9
(
2
42.1
2
N
?-
+?
Ay
F
q
F
m42.1
)m
2
3.9(
2
)m
2
5.8( 2
N
qF
F
Ay -
?
m42.1
)m65.4(k N/ m1.2)m25.4(kN5.19 2-?
kN3.26?
FAy
q
C
A 1.42m
4.65m
4.25m FN
FCy
FCx
3、求钢拉杆的应力并校核强度。
kN3.26N ?F
A
FN??
4/m m )16(π
N103.26
2
3
?
??
M P a131? M P a170][ ?? ?
故钢拉杆的强度是满足要求的。
FCy
FCx
FAy
q
C
A 1.42m
4.65m
4.25m FN
例 2-6 已知,F =16kN,[? ]= 120MPa。试选择图示
桁架的钢拉杆 DI的直径 d。
解：巧取分离体如图
kN82N ?? FF? ? 0AM
A
C
B
4m
6?3=18m
F
F
F
F
F D
E
G
H I J K L
F m
m
FN
F'N
F"NF
A
F
3m3m
A
C
IH
由杆件的强度条件得
由于圆钢的最小直径为 10mm，故取 d =10mm。
][
N
?
FA ?
kN8N ?F
π
4 Ad ?
M P a1 2 0
N108 3?? 2mm7.66?
mm2.9)mm7.66(π4 2 ??
FN
F'N
F"NF
A
F
3m3m
A
C
IH
例 2-7 图示三角架中，杆 AB由两根 10号工字钢组成，
杆 AC由两根 80mm ? 80mm?7mm 的等边角钢组成。
两杆的材料均为 Q235钢,[? ]=170MPa 。试求此结
构的许可荷载 [F ]。
F
1m
A
C
B
（ 1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
拉）(21N FF ?
? ? 0xF
解：
? ? 0yF
030c o sN1N2 ?- ?FF
030s i nN1 ?- FF ?
压）(732.12N FF ?得
F
1m
A
C
B
A
F x
y
FN2
FN1
（ 2）查型钢表得两杆的面积
（ 3）由强度条件得两杆的许可轴力：
kN24.36 9N1024.36 9
)mm21 72()MP a17 0(][
3
2
1N
???
??F
222 mm28602)mm1430( ???A
221 mm2 1 7 22)mm1 0 8 6( ???A杆 AC
杆 AB
kN20.48 6N1020.48 6
)mm28 60()M P a17 0(][
3
2
2N
???
??F
杆 AC
杆 AB
kN24.3 6 9][ 1N ?F
kN20.4 8 6][ 2N ?F
FF 21N ?
FF 732.12N ?
(4) 按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：
kN6.1842 kN24.3692 ][][ 1N1 ??? FF
kN7.28 073 2.1 kN20.48 673 2.1 ][][ N12 ??? FF
kN6.184][ ?F
F
1m
A
C
B
作业,2-3,2-19,2-21
练习题：图示钢杆，杆横截面面积 A1=300 mm2,
A2=100 mm2,试作轴力图并求出最大工作应力。
45kN 65kN 50kN 30kN
A
1
A
2
A
1
A B C D
基本概念：
强度、刚度、稳定性、可变性固体、弹性变形、
塑性变形、内力、轴力
基本方法：
截面法 — 截、取、代、平
作轴力图
NF FF
F
+
-
+
思考：
此题中 FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？
F
F
F q=F/l
l 2l l
§ 2-3 应力 ·拉（压）杆内的应力
Ⅰ,应力的概念
拉压杆的强度
轴力
横截面尺寸
材料的强度
即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律
直接相关的。
杆件截面上的分布内力的集度，称为 应力 。
M点平均应力
A
Fp
?
??
m
总应力
A
F
A
Fp
A d
dlim
0
????
??
(a)
M
?A?F M
(b)
p
总应力 p 法向分量,引起长度改变正应力,
切向分量，引起角度改变切应力,?
?
正应力：拉为正，压为负
切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为
正，反之为负
?
?
M
(b) (a)
M
?F ?A
内力与应力间的关系
A
Fp
d
d?
A
F
d
d N??
A
F
d
d S??
?? A AF dN ?
?? A AF dS ?
?
?
M
(b) (a)
M
?F
?A
?FN
?FS
应力量纲 21 -- TML
Pa应力单位 2N / m1Pa1 ?
Pa10M P a1 6?
2N / m m1M P a1 ?
MPa
?
?
M
(b) (a)
M
?F ?A
Pa10G P a1 9?GPa
Ⅱ,拉（压）杆横截面上的应力
FAF A ?? ? dN ?
无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律
已知静力学条件
m
m
F F
m
mF
?
FN
m
m
F FN ?
但荷载不仅在杆
内引起应力，还
要引起杆件的变
形。
可以从观察杆件
的表面变形出发，
来分析内力的分
布规律。F F a c
b d
a' c'b' d'
m
m
F F
m
mF
?
FN
m
m
F FN ?
等直杆相邻两条横向线在杆受拉 (压 )后仍
为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。
原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，
对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
观察现象：
平面假设
F F a c
b d
a' c'
b' d'
亦即横截面上各点处的正应力 都相等。?
推论：
1、等直 拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，
因而横截面上没有切应力。
2,拉 (压 )杆受力后任意两个横截面之间纵向线
段的伸长 (缩短 )变形是均匀的。
F F a c
b d
a' c'
b' d'
等截面拉 (压 )杆横截面上正应力的计算公式
A
F N??
即
AAF A ?? ?? ? dN
m
m
F F
m
mF
?
FN
m
m
F FN ?
适用条件：
⑴ 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横
截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平截
面假设不成立的某些特定截面,原则上不宜用上
式计算横截面上的正应力。
⑵ 实验研究及数值计算表明，在载荷作用
区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的
应力情况复杂，上述公式不再正确。
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距
离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
圣维南原理
}
F
F
F
F
影响区
影响区
2
F
2
F
2
F
2
F
例 2-3 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上
的最大工作应力。已知 F =50 kN。
解,Ⅰ 段柱横截面上的正应力
MP a87.0
)mm240()mm240(
N1050
3
1
1N
1
-?
?
?-
?
?
A
F
?
（压）
kN501N -?F
150kN
50kN
F
C
B
A
F F
4000
3000
370 240
Ⅱ 段柱横截面上的正应力
1, 1 MP a
)mm3 7 0)(mm3 7 0(
N101 5 0
3
2
N2
2
-?
?-
?
?
A
F
?
（压应力）
kN1502N -?F
最大工作应力为
M P a1.12m a x ?? ??
150kN
50kN
F
C
B
A
F F
4000
3000
370 240
例 2-4 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上
的拉应力。已知,。M P a2 mm,5 mm,2 0 0 ??? pδd
可认为径向截面上的拉应力沿壁厚
均匀分布
d???
?bA ?
解：
b
p
2
R
N
FF ?
根据对称性可得，径截面上内力处处相等
d
y
FNFN
p p FR
?? π0R s ind ?FF
4 0 M P a2 ( 5 m m ) )M P a) ( 2 0 0 m m2( ??
)d2(d ?dbpF ??
pbddpb ??? ? ?? ) s i nd2(π
0
2N
p b dF ?
A
F N??
?? 2)2(
1 pdp b d
b ??
d?
d
y
FNFN
p FR
Ⅲ, 拉 （ 压 ） 杆斜截面上的应力
FF ??
由静力平衡得斜截面上的
内力：
F F k
k
F?F k
k
F F?p?k
k
??p
变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉 （ 压 ）
变形后仍相互平行 。
推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长
变形相同 。
即斜截面上各点处总应力相等。
F F
?0 为拉 (压 )杆横截面上 ( )的正应力。0??
?
?
? A
Fp ? ?
? c o sc o s/ A
F
A
F ??
?? co s0?
F F?p?k
k
F F k
k
A?
A
总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：
???? ?? 20 c o sc o s ?? p
?? ?? s i np? ?? 2s in2 0? ??? s i nc o s0?
p?
??
??? ? 20 c o s?
??? ? 2s i n2 0?
通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，
成为该点处的 应力状态 。
对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上
一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为
单向应力状态 。
p?
??
2/0m a x ??? ? ??
??? ? 20 c o s?
??? ? 2s i n2 0?
讨论,0??（ 1）
?45-??
0m a x ?? ?
?45??
?90?? 0???
（ 2）
2/0m i n ??? ? -??
?0?? 0???
（横截面）
（纵截面）
（纵截面）
（横截面）
?90?? 0???
p?
??
§ 2-4 强度条件 ?安全系数 ?许用应力
Ⅰ,材料的许用应力
塑性材料,
脆性材料,
对应于拉、压强度的安全因数
极限应力 ?u
?s 或 ?p0.2
?b
许用应力 nu][ ?? ?
n >1
ns一般取 1.25 ~ 2.5，
塑性材料,
脆性材料,
s
s][
n
?? ?
s
p 0,2][
n
?? ?
或
b
bcb )(][
n
??? ?
nb一般取 2.5 ~ 3.0，甚至 4 ~ 14。
Ⅱ,关于安全 因数 的考虑
（ 1）极限应力的差异；
（ 2）构件横截面尺寸的变异；
（ 3）荷载的变异；
（ 4）计算简图与实际结构的差异；
（ 5）考虑强度储备。
Ⅲ,拉（压）杆的强度条件 保证拉（压）杆不因强度不足发生破
坏的条件
][m a x ?? ?
等直杆 ][m a xN,??AF
强度计算的三种类型：
（ 1） 强度校核
（ 2）截面选择
（ 3）计算许可荷载
][m a x,Nm a x ?? ?? AF
][
m a x,N
?
FA ?
][m axN,?AF ?
例 2-5 图示三铰屋架中，均布荷载的集度 q
=4.2kN/m，钢拉杆直径 d =16mm，许用应力 [? ] =
170MPa 。试校核拉杆的强度。
A
C
B 1.4
2m
8.5m
9.3m
0.4m
q
解,1、求支反力
考虑结构的整体平衡并利用其对称性
0?AxF? ? 0xF
kN5.192 m3.9kN2.42 ????? qlFF ByAy
FByF
Ax
FAyA C B 1.42m
8.5m
9.3m
0.4m
q
取分离体如图并考虑其平衡
? ? 0CM
2、求钢拉杆的轴力。
0)
2
5.8
(
)
2
3.9
(
2
42.1
2
N
?-
+?
Ay
F
q
F
m42.1
)m
2
3.9(
2
)m
2
5.8( 2
N
qF
F
Ay -
?
m42.1
)m65.4(k N/ m1.2)m25.4(kN5.19 2-?
kN3.26?
FAy
q
C
A 1.42m
4.65m
4.25m FN
FCy
FCx
3、求钢拉杆的应力并校核强度。
kN3.26N ?F
A
FN??
4/m m )16(π
N103.26
2
3
?
??
M P a131? M P a170][ ?? ?
故钢拉杆的强度是满足要求的。
FCy
FCx
FAy
q
C
A 1.42m
4.65m
4.25m FN
例 2-6 已知,F =16kN,[? ]= 120MPa。试选择图示
桁架的钢拉杆 DI的直径 d。
解：巧取分离体如图
kN82N ?? FF? ? 0AM
A
C
B
4m
6?3=18m
F
F
F
F
F D
E
G
H I J K L
F m
m
FN
F'N
F"NF
A
F
3m3m
A
C
IH
由杆件的强度条件得
由于圆钢的最小直径为 10mm，故取 d =10mm。
][
N
?
FA ?
kN8N ?F
π
4 Ad ?
M P a1 2 0
N108 3?? 2mm7.66?
mm2.9)mm7.66(π4 2 ??
FN
F'N
F"NF
A
F
3m3m
A
C
IH
例 2-7 图示三角架中，杆 AB由两根 10号工字钢组成，
杆 AC由两根 80mm ? 80mm?7mm 的等边角钢组成。
两杆的材料均为 Q235钢,[? ]=170MPa 。试求此结
构的许可荷载 [F ]。
F
1m
A
C
B
（ 1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
拉）(21N FF ?
? ? 0xF
解：
? ? 0yF
030c o sN1N2 ?- ?FF
030s i nN1 ?- FF ?
压）(732.12N FF ?得
F
1m
A
C
B
A
F x
y
FN2
FN1
（ 2）查型钢表得两杆的面积
（ 3）由强度条件得两杆的许可轴力：
kN24.36 9N1024.36 9
)mm21 72()MP a17 0(][
3
2
1N
???
??F
222 mm28602)mm1430( ???A
221 mm2 1 7 22)mm1 0 8 6( ???A杆 AC
杆 AB
kN20.48 6N1020.48 6
)mm28 60()M P a17 0(][
3
2
2N
???
??F
杆 AC
杆 AB
kN24.3 6 9][ 1N ?F
kN20.4 8 6][ 2N ?F
FF 21N ?
FF 732.12N ?
(4) 按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：
kN6.1842 kN24.3692 ][][ 1N1 ??? FF
kN7.28 073 2.1 kN20.48 673 2.1 ][][ N12 ??? FF
kN6.184][ ?F
F
1m
A
C
B
作业,2-3,2-19,2-21
练习题：图示钢杆，杆横截面面积 A1=300 mm2,
A2=100 mm2,试作轴力图并求出最大工作应力。
45kN 65kN 50kN 30kN
A
1
A
2
A
1
A B C D
