第四章 弯曲应力
§ 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
a0901[1].swf
Ⅰ,弯曲的概念
受力特点：
杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力
偶（其矢量垂直于杆轴）作用。
Me Me
A BF
—— 以弯曲为主要变形的杆件通称为 梁 。梁
变形特点：
1、直杆的轴线在变形后变为曲线；
2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。
Me Me
A BF
最基本常见的弯曲问题
—— 对称弯曲
对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面
相重合，因而一定是 平面弯曲 。
梁变形后的轴线与外
力在同一平面内
FA
A
F1
F2 B
对称轴
纵对称面
FB
特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴
线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属
于 平面弯曲 。
1、梁不具有纵对称面；
2、梁有纵对称面，但外力没有作
用在纵对称面内，从而变形后轴线
所在平面与梁的纵对称面不一致。
非对称弯曲 ——
y
z
F
z
yF
q x
q
Ⅱ, 梁的计算简图
1、支座的基本形式
(1)固定端
MA
FA A
B
q0
MR FRy
FRx
约束反力
计算简图
(2)固定铰支座和可动铰支座
FRy
FRx
FR
可动铰
支座
固定铰
支座
约束反力
计算简图
(1)悬臂梁
2、梁的基本形式
(2)简支梁
(3)外伸梁
FRy1FRx
FRx
FRy
MR
FRy2
FRy1FRx FRy2
静定梁
梁的支反力均可由平面力系的三个独立
的平衡方程求出。
3,静定梁 和 超静定梁
梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。
静定梁
超静定梁
FAyFAx
MA
FB
FAyFAx F
C FB
A B
BCA
例 4-1 试求图示有中间铰 C的梁 AB的支反力。
关键在于中间铰不能传递力矩的特性，因而不论
AC段或 CB段均有
解,整体分析梁的受力如图。
未知支反力,4个 整体独立平衡方程,3个
? ? 0CM
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kN
FBy
MA
FAx
FAy
C
D K
q =20kN/m Me=5kN·m
A
E
F
B
? ? 0CM
? ? 0CM
FCx F
Cy
CA
E
50kN FCy'
FCx'
MA
FAx FAy
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kN
D K
q =20kN/m
C
FBy
Me=5kN·m
kN29?ByF
? ? 051052, 531020 33 ????????? ByF
? ? 0xF
? ??? kN81AyF
mkN5.96 ??AM
? ? 0AM
? ? 0yF
0?AxF
? ? 02932050 ?????? AyF
034102010511050 333 ??????????AM
FBy
MA
FAx
FAy
C
D K
q =20kN/m Me=5kN·m
A
E
F
B
1m
0.5m
1m 3m 1m
CB梁段上的荷载会传递到梁的 AC段，称为 副梁 ；
AC段上的荷载不会传递到梁的 CB段，称为 基本
梁 (或 主梁 )。
C
FCx F
Cy
A
E
F FCy'
FCx'
MA
FAx FAy
D K
q =20kN/m
C
FBy
Me=5kN·m
带有中间铰的梁的受力特点：
B
§ 4-2 梁的剪力和弯矩 ?剪力图和弯矩图
Ⅰ,梁的剪力和弯矩
? ?
l
alFF
A
??
取左侧分离体分析任一横截面 m-m
上的内力 ? ?
l
alFFF
A
???
S
l
FaF
B ?
? ? x
l
alFxFM
A
???
m
mx
a
A B
F F
BFA
FA
FS
y
A m
m
x x
C
M
? ? 0yF
? ? 0CM
由其右边分离体的平衡条件同样可得
? ? 0yF
? ? 0CM
? ?
l
alFFFF
B
????
S
0S ??? BFFF
? ? ? ? 0?????? xlFxaFM B
切向应力的合力，
称为 剪力
法向应力的合力，称为 弯矩
? ? ? ? ? ? xl alFxaFxlFM B ??????
am
mxA B
F F
BFA
FA
FS
y
A m
m
x x
C
M
M
FS
m
F m
BC
FB
剪力和弯矩的符号规则：
例 4-2 求图示外伸梁在截面 1— 1,2— 2,3— 3和
4— 4横截面上的剪力和弯矩。
解：支反力为
? ? 0yF
? ? 0AM 032 ????? aFFaaF B
)(2 ??? FF B
FFF AB ?? )(3 ?? FF A
x
y
AF B
a a
2a
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3Fa
FBFA
截面 1— 1 ? ? 0yF
? ? 01CM 01 ??? aFM
) (1 顺FaM ??
FF ??1S
截面 2— 2 ? ? 0yF
? ? 02CM 02 ??? aFM
) (2 顺FaM ??
02S ??? FFF A
FFFF A 22S ???
M1
FS1
F C
1
1
1
FA
M2
FS2
F C
2
2
2
x
y
AF B
a a
2a
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3Fa
FBFA
截面 3— 3
03 ????? aFaFM A
) (3 逆FaM ?
FFF B 24S ???截面 4— 4
04 ??? aFM B
) (24 顺FaM ??
03S ??? FFF A
FFFF A 23S ???
x
y
AF B
a a
2a
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3Fa
FBFA
3
3
C3 M3F
FS3FA
FS4
M4
4
C4
FB
4
内力 1— 1 2— 2 3— 3 4— 4
FS -F 2F 2F 2F
M -Fa -Fa Fa -2Fa
1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或
右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
剪力值 = 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值 = 截面左侧（或右侧）所有外力对该截
面形心的力矩代数和
xA
F
B
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3FaFA=3F FB =-2F
2、截面左侧梁段 向上的外力 → 正剪力 → 正弯矩
顺时针外力偶 → 正弯矩
截面右侧梁段 向上的外力 → 负剪力 → 正弯矩
顺时针外力偶 → 负弯矩
内力 1— 1 2— 2 3— 3 4— 4
FS -F 2F 2F 2F
M -Fa -Fa Fa -2Fa
xA
F
B
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3FaFA=3F FB =-2F
剪力：左上右下为正
弯矩：左顺右逆为正
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值 =
集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值 =
集中力偶矩大小。
内力 1— 1 2— 2 3— 3 4— 4
FS -F 2F 2F 2F
M -Fa -Fa Fa -2Fa
xA
F
B
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3FaFA=3F FB =-2F
例 4-3 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大
荷载集度为 q0，试求截面 C上的内力。
解：先求支反力
? ? 0AM
? ? 0BM
03220 ??? llqlF B
0320 ???? llqlF A
3
0 lqF
B ?
6
0 lqF
A ?
x
y
A B
a
l
C
q0
FBFA
q0l/2
截面 C的内力
l
lqlq
l
aqaFF
AC 262
2
000
S ?????
l
aqalqa
l
aqaaFM
AC 6632
3
000 ???????
思考：
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的
合力代替来求截面 C的内力？
FSC
MC
FA a
A
a/3
l
xqxq 0)( ?
Ⅱ,剪力方程和弯矩方程 ?剪力图和弯矩图
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则
分别称为 剪力图 和 弯矩图 。
)(SS xFF ?
)( xMM ?
剪力方程
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪
力和弯矩随截面位置变
化的函数式
例 4-4 图示悬臂梁受集度为 q的满布均布荷载作用。
试作梁的剪力图和弯矩图。
解,1、以自由端为坐标原点，则可不求反力
列剪力方程和弯矩方程：
? ? ? ?lxqxxF ??? 0S
? ? ? ?lxqxxqxxM ??????? 022 2
A Bxl
Bx
FS(x)
M(x)
2,作剪力图和弯矩图
注意：
弯矩图中正的弯矩值绘在 x轴的下方 (即弯矩值绘在
弯曲时梁的受拉侧 )。
? ? qxxF ?S
? ? 2 2qxxM ??
x
ql FS
ql2 2
x
M
l/2
ql2 8
A Bl
qlF ?m ax,S
2
2
m a x
qlM ?
例 4-5 图示简支梁受集度为 q的满布荷载作用。试作
梁的剪力图和弯矩图。
解,1、求支反力 2qlFF BA ??
2、列剪力方程和弯矩方程
? ? qxqlqxFxF A ???? 2S
? ?
222
2qxq l xx
qxxFxM A ?????
x F
BFA
B
l
A
q
FA
M(x)
FS(x)x
A
q
ql 2
FS
ql2 8
l/2M
B
l
A
q3、作剪力图和弯矩图
2m a x,S
qlF ?
8
2
m a x
qlM ?
? ? 22 2qxqlxxM ??
? ? qxqlxF ?? 2S
例 4-6 图示简支梁受集中荷载 F作用。试作梁的剪
力图和弯矩图。
解,1、求支反力
l
FbF
A ? l
FaF
B ?
2、列剪力方程和弯矩方程 —— 需分两段列出
x
B
l
A
F a b
C
FBFA
AC段
CB段? ? ? ?lxalFaFxF B ??????S
? ? ? ?axlFbxF ??? 0S
? ? ? ?
? ?lxa
xl
l
Fa
xlFxM B
??
???? )(
? ? ? ?axxlFbxM ??? 0
x
B
l
A
F a b
C
FBFA
FA x
A
M(x)
FS(x)
FB
B
FS(x)
M(x)
3,作剪力图和弯矩图
? ?xllFaxM ??)(2
? ? lFbxF ?S1
? ? xlFbxM ?1
? ? lFaxF ??S2
FS Fbl
xFbl
M
xFab
l
F
B
l
A
a b
C
l
FbF ?
m a x,S
l
F a bM ?
m a x
发生在集中荷
载作用处
发生在 AC段
b>a时
FS Fbl
xFbl
M
xFab
l
F
B
l
A
a b
C
为极大值。时,42/ m a x FlMlba ???
例 4-7 图示简支梁在 C点受矩为 Me 的集中力偶作用。
试作梁的剪力图和弯矩图。
解, 1、求支反力
? ??? lMF A e ? ??? lMF B e
? ? 0AM 0e ??? lFM A
Me
FA FB
B
l
A C
a b
2,列剪力方程和弯矩方程
剪力方程无需分段,? ? ? ?lx
l
MFxF
A ???? 0
e
S
弯矩方程 —— 两段：
AC段：
CB段：
? ? xlMxFxM A e??
? ? ? ?xllMMxFxM A ????? ee? ?lxa ??
? ?ax ??0
FA FB
B
l
A C
a b
x
A
FA
M(x)
FS(x)
x
FB
B
FS(x)
M(x)
3、作剪力图和弯矩图
b>a时 l bMM em a x ?
? ? lMxF eS ?
发生在 C截面右侧
B
l
A C
a b
Fs l
x
Me
l
M
x
M e
a
lM eb
思考：对称性与反对称性
B
l/2
FA
A
FB
C
l/2
F
x
M Fl/4
x
Fs F/2
F/2
B
l/2
FA
A
FB
C
Me
l/2
Fs l
x
Me
M
xMe/2
Me/2
? 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，
剪力图为反对称
? 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，
剪力图为正对称
结论：
作业,4-1(b),(g); 4-2(b),(c)
§ 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
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Ⅰ,弯曲的概念
受力特点：
杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力
偶（其矢量垂直于杆轴）作用。
Me Me
A BF
—— 以弯曲为主要变形的杆件通称为 梁 。梁
变形特点：
1、直杆的轴线在变形后变为曲线；
2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。
Me Me
A BF
最基本常见的弯曲问题
—— 对称弯曲
对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面
相重合，因而一定是 平面弯曲 。
梁变形后的轴线与外
力在同一平面内
FA
A
F1
F2 B
对称轴
纵对称面
FB
特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴
线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属
于 平面弯曲 。
1、梁不具有纵对称面；
2、梁有纵对称面，但外力没有作
用在纵对称面内，从而变形后轴线
所在平面与梁的纵对称面不一致。
非对称弯曲 ——
y
z
F
z
yF
q x
q
Ⅱ, 梁的计算简图
1、支座的基本形式
(1)固定端
MA
FA A
B
q0
MR FRy
FRx
约束反力
计算简图
(2)固定铰支座和可动铰支座
FRy
FRx
FR
可动铰
支座
固定铰
支座
约束反力
计算简图
(1)悬臂梁
2、梁的基本形式
(2)简支梁
(3)外伸梁
FRy1FRx
FRx
FRy
MR
FRy2
FRy1FRx FRy2
静定梁
梁的支反力均可由平面力系的三个独立
的平衡方程求出。
3,静定梁 和 超静定梁
梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。
静定梁
超静定梁
FAyFAx
MA
FB
FAyFAx F
C FB
A B
BCA
例 4-1 试求图示有中间铰 C的梁 AB的支反力。
关键在于中间铰不能传递力矩的特性，因而不论
AC段或 CB段均有
解,整体分析梁的受力如图。
未知支反力,4个 整体独立平衡方程,3个
? ? 0CM
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kN
FBy
MA
FAx
FAy
C
D K
q =20kN/m Me=5kN·m
A
E
F
B
? ? 0CM
? ? 0CM
FCx F
Cy
CA
E
50kN FCy'
FCx'
MA
FAx FAy
1m
0.5m
1m 3m 1m
BA C D KE
q=20kN/m Me=5kN·mF=50kN
D K
q =20kN/m
C
FBy
Me=5kN·m
kN29?ByF
? ? 051052, 531020 33 ????????? ByF
? ? 0xF
? ??? kN81AyF
mkN5.96 ??AM
? ? 0AM
? ? 0yF
0?AxF
? ? 02932050 ?????? AyF
034102010511050 333 ??????????AM
FBy
MA
FAx
FAy
C
D K
q =20kN/m Me=5kN·m
A
E
F
B
1m
0.5m
1m 3m 1m
CB梁段上的荷载会传递到梁的 AC段，称为 副梁 ；
AC段上的荷载不会传递到梁的 CB段，称为 基本
梁 (或 主梁 )。
C
FCx F
Cy
A
E
F FCy'
FCx'
MA
FAx FAy
D K
q =20kN/m
C
FBy
Me=5kN·m
带有中间铰的梁的受力特点：
B
§ 4-2 梁的剪力和弯矩 ?剪力图和弯矩图
Ⅰ,梁的剪力和弯矩
? ?
l
alFF
A
??
取左侧分离体分析任一横截面 m-m
上的内力 ? ?
l
alFFF
A
???
S
l
FaF
B ?
? ? x
l
alFxFM
A
???
m
mx
a
A B
F F
BFA
FA
FS
y
A m
m
x x
C
M
? ? 0yF
? ? 0CM
由其右边分离体的平衡条件同样可得
? ? 0yF
? ? 0CM
? ?
l
alFFFF
B
????
S
0S ??? BFFF
? ? ? ? 0?????? xlFxaFM B
切向应力的合力，
称为 剪力
法向应力的合力，称为 弯矩
? ? ? ? ? ? xl alFxaFxlFM B ??????
am
mxA B
F F
BFA
FA
FS
y
A m
m
x x
C
M
M
FS
m
F m
BC
FB
剪力和弯矩的符号规则：
例 4-2 求图示外伸梁在截面 1— 1,2— 2,3— 3和
4— 4横截面上的剪力和弯矩。
解：支反力为
? ? 0yF
? ? 0AM 032 ????? aFFaaF B
)(2 ??? FF B
FFF AB ?? )(3 ?? FF A
x
y
AF B
a a
2a
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3Fa
FBFA
截面 1— 1 ? ? 0yF
? ? 01CM 01 ??? aFM
) (1 顺FaM ??
FF ??1S
截面 2— 2 ? ? 0yF
? ? 02CM 02 ??? aFM
) (2 顺FaM ??
02S ??? FFF A
FFFF A 22S ???
M1
FS1
F C
1
1
1
FA
M2
FS2
F C
2
2
2
x
y
AF B
a a
2a
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3Fa
FBFA
截面 3— 3
03 ????? aFaFM A
) (3 逆FaM ?
FFF B 24S ???截面 4— 4
04 ??? aFM B
) (24 顺FaM ??
03S ??? FFF A
FFFF A 23S ???
x
y
AF B
a a
2a
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3Fa
FBFA
3
3
C3 M3F
FS3FA
FS4
M4
4
C4
FB
4
内力 1— 1 2— 2 3— 3 4— 4
FS -F 2F 2F 2F
M -Fa -Fa Fa -2Fa
1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或
右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
剪力值 = 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值 = 截面左侧（或右侧）所有外力对该截
面形心的力矩代数和
xA
F
B
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3FaFA=3F FB =-2F
2、截面左侧梁段 向上的外力 → 正剪力 → 正弯矩
顺时针外力偶 → 正弯矩
截面右侧梁段 向上的外力 → 负剪力 → 正弯矩
顺时针外力偶 → 负弯矩
内力 1— 1 2— 2 3— 3 4— 4
FS -F 2F 2F 2F
M -Fa -Fa Fa -2Fa
xA
F
B
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3FaFA=3F FB =-2F
剪力：左上右下为正
弯矩：左顺右逆为正
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值 =
集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值 =
集中力偶矩大小。
内力 1— 1 2— 2 3— 3 4— 4
FS -F 2F 2F 2F
M -Fa -Fa Fa -2Fa
xA
F
B
1
1
2
2
4
4
3
3
Me =3FaFA=3F FB =-2F
例 4-3 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大
荷载集度为 q0，试求截面 C上的内力。
解：先求支反力
? ? 0AM
? ? 0BM
03220 ??? llqlF B
0320 ???? llqlF A
3
0 lqF
B ?
6
0 lqF
A ?
x
y
A B
a
l
C
q0
FBFA
q0l/2
截面 C的内力
l
lqlq
l
aqaFF
AC 262
2
000
S ?????
l
aqalqa
l
aqaaFM
AC 6632
3
000 ???????
思考：
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的
合力代替来求截面 C的内力？
FSC
MC
FA a
A
a/3
l
xqxq 0)( ?
Ⅱ,剪力方程和弯矩方程 ?剪力图和弯矩图
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则
分别称为 剪力图 和 弯矩图 。
)(SS xFF ?
)( xMM ?
剪力方程
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪
力和弯矩随截面位置变
化的函数式
例 4-4 图示悬臂梁受集度为 q的满布均布荷载作用。
试作梁的剪力图和弯矩图。
解,1、以自由端为坐标原点，则可不求反力
列剪力方程和弯矩方程：
? ? ? ?lxqxxF ??? 0S
? ? ? ?lxqxxqxxM ??????? 022 2
A Bxl
Bx
FS(x)
M(x)
2,作剪力图和弯矩图
注意：
弯矩图中正的弯矩值绘在 x轴的下方 (即弯矩值绘在
弯曲时梁的受拉侧 )。
? ? qxxF ?S
? ? 2 2qxxM ??
x
ql FS
ql2 2
x
M
l/2
ql2 8
A Bl
qlF ?m ax,S
2
2
m a x
qlM ?
例 4-5 图示简支梁受集度为 q的满布荷载作用。试作
梁的剪力图和弯矩图。
解,1、求支反力 2qlFF BA ??
2、列剪力方程和弯矩方程
? ? qxqlqxFxF A ???? 2S
? ?
222
2qxq l xx
qxxFxM A ?????
x F
BFA
B
l
A
q
FA
M(x)
FS(x)x
A
q
ql 2
FS
ql2 8
l/2M
B
l
A
q3、作剪力图和弯矩图
2m a x,S
qlF ?
8
2
m a x
qlM ?
? ? 22 2qxqlxxM ??
? ? qxqlxF ?? 2S
例 4-6 图示简支梁受集中荷载 F作用。试作梁的剪
力图和弯矩图。
解,1、求支反力
l
FbF
A ? l
FaF
B ?
2、列剪力方程和弯矩方程 —— 需分两段列出
x
B
l
A
F a b
C
FBFA
AC段
CB段? ? ? ?lxalFaFxF B ??????S
? ? ? ?axlFbxF ??? 0S
? ? ? ?
? ?lxa
xl
l
Fa
xlFxM B
??
???? )(
? ? ? ?axxlFbxM ??? 0
x
B
l
A
F a b
C
FBFA
FA x
A
M(x)
FS(x)
FB
B
FS(x)
M(x)
3,作剪力图和弯矩图
? ?xllFaxM ??)(2
? ? lFbxF ?S1
? ? xlFbxM ?1
? ? lFaxF ??S2
FS Fbl
xFbl
M
xFab
l
F
B
l
A
a b
C
l
FbF ?
m a x,S
l
F a bM ?
m a x
发生在集中荷
载作用处
发生在 AC段
b>a时
FS Fbl
xFbl
M
xFab
l
F
B
l
A
a b
C
为极大值。时,42/ m a x FlMlba ???
例 4-7 图示简支梁在 C点受矩为 Me 的集中力偶作用。
试作梁的剪力图和弯矩图。
解, 1、求支反力
? ??? lMF A e ? ??? lMF B e
? ? 0AM 0e ??? lFM A
Me
FA FB
B
l
A C
a b
2,列剪力方程和弯矩方程
剪力方程无需分段,? ? ? ?lx
l
MFxF
A ???? 0
e
S
弯矩方程 —— 两段：
AC段：
CB段：
? ? xlMxFxM A e??
? ? ? ?xllMMxFxM A ????? ee? ?lxa ??
? ?ax ??0
FA FB
B
l
A C
a b
x
A
FA
M(x)
FS(x)
x
FB
B
FS(x)
M(x)
3、作剪力图和弯矩图
b>a时 l bMM em a x ?
? ? lMxF eS ?
发生在 C截面右侧
B
l
A C
a b
Fs l
x
Me
l
M
x
M e
a
lM eb
思考：对称性与反对称性
B
l/2
FA
A
FB
C
l/2
F
x
M Fl/4
x
Fs F/2
F/2
B
l/2
FA
A
FB
C
Me
l/2
Fs l
x
Me
M
xMe/2
Me/2
? 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，
剪力图为反对称
? 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，
剪力图为正对称
结论：
作业,4-1(b),(g); 4-2(b),(c)
