第七章 力法
§ 7-1概述
一,超静定结构的静力特征和几何特征
静力特征,仅由静力平衡方程不能求出
所有内力和反力,
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变
形、本构、平衡”,
几何特征,有多余约束的几何不变体系。
一,超静定结构的静力特征和几何特征
与静定结构相比,超静定结构的优点为,
1.内力分布均匀
2.抵抗破坏的能力强
1.内力与材料的物理性质, 截面的几何形状和尺寸有关 。
二,超静定结构的性质
2.温度变化、支座移动一般会产生内力 。
§ 7-1概述
一,超静定结构的静力特征和几何特征
1.力法 ----以多余约束力作为基本未知量 。
二,超静定结构的性质
2.位移法 ----以结点位移作为基本未知量,
三,超静定结构的计算方法
3.混合法 ----以结点位移和多余约束力作为
基本未知量,
4.力矩分配法 ----近似计算方法,
5.矩阵位移法 ----结构矩阵分析法之一,
§ 7-1概述
一,超静定结构的静力特征和几何特征
力法等方法的基本思想,
1.找出未知问题不能求解的原因,
2.将其化成会求解的问题,
3.找出改造后的问题与原问题的差别,
4.消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解
二,超静定结构的性质
三,超静定结构的计算方法
§ 7-1概述
超静定结构,具有多余约束的的几何不变体系。
超静定次数,多余约束的数目。
多余力,多余约束所发生的力。
§ 7-1超静定次数的确定
1,去掉一个支链杆相当于去掉一个联系。
绝对需要的约束不能去掉。
多余约束的位置不是任意的
多余约束的位置不唯一
X1
X1
X1
§ 7-2 超静定次数的确定
2.去掉一个铰相当于去掉两个约束
2X
1X
X1
X2
3.去掉一个固定端相当于去掉两个约束
4.切断一个梁式杆相当于去掉三个约束
5.刚节变铰接相当于去掉一个约束
X1 X2
X3
1?
01 ??
基本体系
待解的未知问题
变形条件
在变形条件成立条件下,基本体
系的内力和位移与原结构相同,
1X
力法基本
未知量
§ 7-3 力法的基本概念
1?
01 ??
01111 ?????? P
11111 ???? X
01111 ???? PX?
力法
方程
22 /ql MP
l M
1
EIl 3311 /?? EIqlP 841 /???
)(/ ?? 831 qlX PMXMM ??? 11
82 /ql
M 力法步骤,
1.确定基本体系
2.写出位移条件,力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ;
4.求出系数和自由项
5.解力法方程
6.叠加法作弯矩图
§ 7-3 力法的基本概念
1?
01 ??
01111 ?????? P
11111 ???? X
01111 ???? PX?
力法
方程
22 /ql MP l M1
EIl 3311 /?? EIqlP 841 /???
)(/ ?? 831 qlX PMXMM ??? 11
82 /ql
M
力法步骤,
1.确定基本体系 4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ; 6.叠加法作弯矩图
l
l
EI
EI P 作弯矩图, 练习
力法步骤,
1.确定基本体系 4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ; 6.叠加法作弯矩图
l
l
EI
EI P
X1
P
X1=1
P l
M1 Pl MP
01 ??
01111 ???? PX?
EIl 34 311 /??
EIPlP 231 /???
)(/ ?? 831 PX
PMXMM ??? 11
解,
M
Pl83
Pl85
l
l
EI
EI
P
力法步骤,
1.确定基本体系 4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ; 6.叠加法作弯矩图
X1
P
X1=1
l M1
01 ??
01111 ???? PX?
EIl 3311 /??
EIPlP 231 /???
)(/ ?? 231 PX
PMXMM ??? 11
解,
l
l
EI
EI
P
P Pl
MP
M
Pl
Pl23
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约
束代以多余未知力 —— 基本未知力 。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因
素作用下的位移，建立 位移协调条件 —— 力
法方程 。
从力法方程解得基本未知力，由 叠加原理
获得结构内力。 超静定结构分析通过转化为
静定结构获得了解决。
二,力法的基本体系与基本未知量
超静定次数, 多余约束个数,
几次超静定结构?
比较法,与相近的静定结构
相比,比静定结构
多几个约束即为几
次超静定结构,
X1 X2
X1
X2
力法基本体系不惟一,
若一个结构有 N个多余约束,则称其为 N次 超静定结构,
去掉几个约束后成为静
定结构,则为几次超静定
X1
X1
X2
X2
X3
X3
X1 X2 X3
去掉一个链杆或切断
一个链杆相当于去掉
一个约束
去掉一个固定端支
座或切断一根弯曲
杆相当于去掉三个
约束,
1X
2X
3X
1X
2X
3X
1X
2X
3X
将刚结点变成铰结
点或将固定端支座
变成固定铰支座相
当于去掉一个约束,
2X
3X
1X
2X
3X
1X
几何可变体系不能
作为基本体系
一个无铰封闭框有
三个多余约束,
1X
2X
3X
4X
5X
6X1
X
2X
3X
根据计算自由度
确定超静定次数
31928 ?????W
(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构,
不同基本结构带来不同的计算工作量。
确定超静定次数小结,
(c) 可变体系不能作为基本结构
(a) 方法,比较法,减约束,计算自由度,封闭框计算。
基本结构指去掉多
余约束后的结构
（ 14 次）
14436 ???
(1 次）
11728 ???
(6 次 )
6333 ???
(4 次 )
4533 ???
(6 次 ) 61838 ???
1X
2X
3X
4X
5X
6X
7X 8
X
9X 10X
10836 ???
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
l
l
EI
2EI
X1
X2
1?
2?
变形条件,
?
?
?
??
??
0
0
2
1
§ 7-4 力法的典型方程
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
变形条件,
?
?
?
??
??
0
0
2
1
q
X1=1
1X?
11?
21?
X2=1
2X?
22?
12?
P1?
P2?
012121111 ???????? PXX ??
022221212 ???????? PXX ??
----力法的典型方程
)( jiij ?? 主系数 >0
)( jiij ?? 付系数
iP?
荷载系数
jiij ?? ?
位移互等
柔度系数
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
q
X1=1
1X?
X2=1
2X?
11?
21? 22?
12?
P1?
P2?
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
EI
ll
EI
ll
EI
3
3
2
11 6
71
3
2
22
1 ????????
M1
l
M2
l
MP 22 /ql
EI
lll
EI
32
12 2
1
2
1 ??????
EI
lll
EI
32
21 2
1
2
1 ??????
EI
lll
EI
32
22 3
1
3
2
2
1 ??????
EI
ql
P
4
1 16
9 ????
EI
ql
P
4
2 4
1 ????
403209 21 /,/ qlXqlX ??
PMXMXMM ??? 2211
20
2ql
402 /ql M
内力分布与
刚度无关吗?
荷载作用下超静定
结构内力分布与刚度的
绝对值无关只与各杆刚
度的比值有关,
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
20
2ql
402 /ql M
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
403209 21 /,/ qlXqlX ??
?
?
?
??
??
0
0
2
1
q
1X
2X
4020 2221 /,/ qlXqlX ???
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
?
?
?
??
??
0
0
2
1
1X
2X
40203 221 /,/ qlXqlX ????
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
?
?
?
??
??
0
0
2
1
小结,
1.力法的典型方程是体系的变形协调方程
2.主系数恒大于零,付系数满足位移互等定理
3.柔度系数是体系常数
4.荷载作用时,内力分布与刚度大小无关,与
各杆刚度比值有关,荷载不变,调整各杆刚
度比可使内力重分布,
求 A截面转角
??
?
??
??
0
0
2
1
1.位移计算
q
l
l
EI
2EI A
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211 ??????????
§ 7-5 力法的计算步骤和示例
求 A截面转角
1.位移计算
q
l
l
EI
2EI A
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211 ??????????
1X
2X
20
2ql
402 /ql
M
1
Mi )()
(
EI
qlql
l
ql
l
EIA
32
2
80
1
2
1
83
2
3
2
202
1
2
1
?????
??????
单位荷载法 求
超静定结构位
移时,单位力可
加在任意力法
基本结构上,
正确的解答应
满足什么条件?
错误的解答能否
满足平衡条件?
2.力法计算校核
q
l
l
EI
2EI A
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
? ? ??? 011 dsEIMM
? ? ??? 022 dsEIMM
X1=1
M1
l
X2=1
M2
l
例 1,力法解图示结构,作 M图,
01 ??
3.算例
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 ??? PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /??
EI
PllPl
l
lPl
l
EI
P
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
??????
?????
?
??
)
(
4/Pl 16111 /PX ?
PMXMM ?? 11
01 ??
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 ??? PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /??
EI
PllPll
lPll
EIP
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
??????
????????
)
(
4/Pl 16111 /PX ?
PMXMM ?? 11
01 ??解,
01111 ??? PX?
EIl 3211 /??
EI
PlPll
EIP 162
1
42
11 2
1 ?????????
3231 /PlX ?
PMXMM ?? 11
P X1
4/Pl
MP
P
1
M1
X1=1
另一解法
03113 ?? ??
?
?
?
?
?
??
??
??
0
0
0
3
2
1
P
X1=1
M1
X2=1
M2
M3
X3=1 P
MP
X1
P
X2 X3
X1=1
X2=1 X3=1
P
M1
M2
M3
MP
P
X1 X2 X3
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
???
???
???
032 ???? PP
例 2,力法解图示结构,作 M图,
解,
P
l l
X1
P X2
X3
??
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
????
????
????
0332233113 ????? P?????
?? ? ????? 023232333 EA lGA skQEA sNEI sM d dd?
03 ?X
??
?
???
???
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
???
???
EIl 32211 /?? ??
EIl 62112 /?? ??
EIPlPP 16221 /?????
??
???
?
?
8
8
2
2
2
1
/
/
PlX
plX
PMXMXMM ??? 2211
82 /Pl
两端固支梁在竖向
荷载作用下没有水
平反力,
例 3,力法解图示桁架,
EA=常数,
解, P
a
a
1X
P 0
1 ??
01111 ??? PX?
EA
a
EA
lNN )( 21411
11 ??? ??
EA
Pa
EA
lNN P
P )( 21211 ???? ?
21 /PX ??
PNXNN ?? 11
P P2?
P 0 0
P
0 0
NP
11 ?X
N1
1
1
1
1 1
2?
2?
1X
P
-P/2
-P/2 P/2
P/2
22/?
22/
1X1X EA
aX 1
1 ???
变形条件仍为,
对吗? 01 ??
解,
kXX P /11111 ??? ??
)(32251 ?? qlX
例 4,求作图示梁的弯矩图。
PMXMM ?? 11
)1( 11
1
1
k
X P
?
??
?
?
,310 l EIk ?当
??k
当
)( ?? qlX 451
EI
kX /11 ???
EI
l
6
3
11 ?? EI
Pl
P 24
5 3
1 ???
0?k当 01 ?X
解,01111 ?? PX ??
例 5,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101 ???I
EI
EAEI
P
3.533
,
2.1267.10
1
11
?
??
?
?
当
kN,
,m
944
101
1
23
??
?? ?
X
A
PP,NXNNMXMM ???? 1111
有无下部链杆时梁内最大弯矩
之比,
%../,3191925080415 ??
通过改变连杆的刚度
来调整梁内弯矩分布,
当
kN,
,m
944
101
1
23
??
?? ?
X
A
令梁内正、负弯矩值
相等可得,
23 m107.1 ???A
qlX 4598.4967.10 3.5331 ??????
当,??A
梁的受力与两跨
连续梁相同。
（同例 4中 ） ??k
下侧正弯矩为
设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX ????
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 ??? X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
862915.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1 ???A
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别
在 不计轴向变形 前提下,
下述情况无弯矩,只有轴力,
(1).集中荷载沿柱轴作用
P
(2).等值反向共线集中荷
载沿杆轴作用,
P P
(3).集中荷载作用在不动结点 P
可利用下面方法判断,
化成铰接体系后,若能
平衡外力,则原体系无弯矩,
4.无弯矩情况判别
??
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
????
????
????
0321 ?????? PPP
奇次线性方程的
系数组成的矩阵
可逆,只有零解,
0321 ??? XXX
PMXMXMXMM ???? 332211
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别
5.超静定拱的计算
P
P
X1
X1=1
11?P
P1?
dsGAQdsEANdsEIM ??? ???
2
1
2
1
2
1
11
??
01111 ??? PX?
01 ??
??? dsEIMM PP 11
通常用数值积分方法或计算机计算
§ 7-6对称性的利用
1,对称性的概念
对称结构,几何形状、支承情况,刚度分布 对称的结构,
对称结构 非对称结构
支承不对称
刚度不对称
几何对称
支承对称
刚度对称
1,对称性的概念
对称结构,几何形状、支承情况,刚度分布 对称的结构,
对称荷载,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向
和作用点对称的荷载
反对称荷载,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作
用点对称,方向反对称的荷载
PP
对称荷载
PP
反对称荷载
P
l l
M
l l
P
l l
EI=C
l l
EI=C
M
下面这些荷载是
对称,反对称荷载,还是
一般性荷载?
2.选取对称基本结构,对称基本未
知量和反对称基本未知量
P EI
EI
EI P
1X
2X
3X
11?X
M1
12 ?X
M2
13 ?X
M3
P
MP
??
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
????
????
????
032233113 ???? ????
??
?
?
?
??
???
???
0
0
0
3333
P2222121
P1212111
PX
XX
XX
??
???
???
典型方程分为两组,
一组只含对称未知量
另一组只含反对称未知量
对称荷载,反对称未知量为零
反对称荷载,对称未知量为零
P
P
P
1X
2X
3X
11?X
M1
12 ?X
M2
13 ?X
M3
PMXMXMM ??? 2211
对称荷载,反对称未知量为零
反对称荷载,对称未知量为零
P
MP
P
P EI
EI
EI P
X3=0
对称结构在正对称荷载作用下,
其弯矩图和轴力图是正对称的,
剪力图反对称；变形与位移对称,
P
对称荷载,
P
1X
2X
3X
11?X
M1
12 ?X
M2
13 ?X
M3
PMXMM ?? 33
对称荷载,反对称未知量为零
反对称荷载,对称未知量为零
P
MP
P
X1= X2 =0
对称结构在反正对称荷载作用下,
其弯矩图和轴力图是反正对称的,
剪力图对称；变形与位移反对称,
EI
P EI EI P P
反正对称荷载,
例,作图示梁弯矩图 P
l/2 l/2
EI
1X
2X
3X
P/2 P/2
解, X3=0 X2=0
01111 ??? PX?
11?X
M1
1
MP
P/2 P/2 Pl/4 Pl/4
EI
l?
11?
EI
Pl
P 8
3
1 ??
81
PlX ??
PMXMM ?? 11
M
P Pl/8 Pl/8
解,0
P1 111 ＝＋ ?? X
11
144 EI ＝ ?
1
1800 EI
P ＝ ?
1 5, 12 X ＝－ P 1 1 M X M M ＋ ＝
例,求图示结构的弯矩图。 EI=常数。
3.取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P 半结构
3.取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P
P EI
EI
EI P
反对称荷载,
P 半结构
3.取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P P EI
EI
EI P
反对称荷载,
P
B.有中柱对称结构（偶数跨结构）
P EI
EI
EI P
EI
对称荷载,
P
反对称荷载,
P EI
EI
EI P
EI
EI
P EI/2 P EI/2
P EI/2
P EI/2
P EI
EI
EI P P P EI
EI
EI P P
P EI
EI
EI P
EI
P P EI
EI
EI P
EI
EI P EI/2
练习,
EI
EI
EI
P
P EI
EI
EI P
EI
P
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
P/2
P EI
EI
EI
EI
EI/2
P/2
练习,
EI=
C
P q
q
P P
q
q
P/2
P/2
P/2 q
q
q
例 1:作图示对称结构的弯矩图
P P
EI=C
l l
l
l
P P
X1 X1=1
l
M1
MP
P
Pl
M
P
Pl Pl/2
Pl
Pl/2
解, 0P1 111 ＝＋ ?? X
EI
pl
EI
l
P 23
3
1
3
11 ???,?
2
3
1
PX ??
PMXMM ?? 11
例 2:作图示对称结构的弯矩图
解, 0P1 111 ＝＋ ?? X
EI
pl
EI
l
P 1624
7 3
1
3
11 ????,?
PX 1431 ?
PMXMM ?? 11
P
2EI
l l
l EI
EI EI
EI
P/2 P/2
P/2 P/2
+ =
P/2
EI EI
EI
+ = P/4 P/4 P/4 P/4 P/4
X1 P/4
l/2
X1=1
M1
MP
Pl/4
P/4
M
3Pl/28 P/4
Pl/7
Pl/7
3Pl/28
Pl/7
3Pl/28
Pl/7
3Pl/28
2Pl/7
3Pl/14
例 3:作图示对称结构的弯矩图
解, 0P1 111 ＝＋ ?? X
EI
pl
EI
l
P 4
32 2
111 ???,?
PlX 831 ??
PMXMM ?? 11
P
P
EI=C
l l
l
l
P P/2
X1
P/2
M1
1
X1=1
MP
Pl/2
P/2
M
3Pl/8
P/2
Pl/8
Pl/8
Pl/8 Pl/8
Pl/8
3Pl/8
例 4：求作图示圆环的弯矩图,
EI=常数。
解,取结构的 1/4分析
11 ?M
?s i nP 2PRM ??
? ??,d EIREI sM 22111 ??
? ????,dM P EIPREI sMP 2 211
?
PRX ?
1
)s i n(P 2111 ?? ???? PRMXMM
若只考虑弯矩对位移的影响，有,
例 5,试用对称性对结构进行
简化。 EI为常数。
P /2
P/2
P/2
P /2
I/2 I/2
P /2
P /2
I/2
方法 1
P
P /2 P /2
P
P /4 P /4
P /4
I/2
P /4
P /4 P /4
P /4
I/2
P /4
P/4 P/4
I/2
P/4
I/2
P /4
例 5,试用对称性对结构进行
简化。 EI为常数。
方法 2
P
P /2 P /2
P
P /4
P/2
P /4 P /4 P /2
P /4 P /4 P/2
P /4 P /4 P /2
P /4 P /4
P /4 P /4
P /4
I/2
P /4
P/4 P/4
I/2
P/4
I/2
t1?
t2?
§ 7-9 温度变化时超静定
结构的计算
t1
t1 t2 t1
t1
t1 t2 t1
X1
X2
t1
t1 t2 t1
?
?
?
????
????
0
0
2222121
1212111
t
t
XX
XX
??
??
?
?
?
??
??
0
0
2
1 ??
?????
h
tltN i
iit
??? )(
0
)(.)(
d
i
???
?
??
???
?
? ? ?
l
h
t
ltN
EI
sMM
i
i
Ky
?
??
?
7534
0
解,01111 ?? tX ??
例, 求图示刚架由于温度变化引起
的内力与 K点的位移。 t1=+250C
t2=+350C,EI=常数,矩形截面,h=l/10,
10300 ??? tt,
EI
l
3
5 3
11 ??
?
??
230
2
21030 2
2
1
??
?????????? )( ll
h
lt
M1
21 138 l
EIX ??
11 XMM ?
M
温度改变引起的内力与各杆
的绝对刚度 EI 有关。
d? ??? EI sMM iKy
Mi
温度低的一侧受拉 。
01 ??
01 ??
CX ??111?
C
X1
C???1
C
X1
01111 ??? CX? CR iiC ????
§ 7-9 支座移动时的超静
定结构计算
解,
例, 求图示梁由于支座移动引起的
内力,
EI
l
12
3
11 ??
21
?l
C ??
?21 6 lEIX ??
2211 XMXMM ??
?
l
EI
? 1X
2X
11?X2/l
M1
12 ?X
M2
1
?
??
?
????
????
0
0
2222121
1212111
C
C
XX
XX
??
??
??
?
??
??
0
0
2
1
02112 ?? ??
EI
l?
22?
??? C2
?lEIX ??2
?lEI4
?lEI2
M 支座移动引起的内力与各杆
的绝对刚度 EI 有关。
练习,写出典型方程,并求
出自由项。
?
?
?
?
?
??????
??????
?????
aXXX
XXX
XXX
C
C
C
3333232131
2323222121
1313212111 0
???
????
???
?1C=b/l 几何法, ?2C=-b/l
?3C=0
公式法,
1/l 1/l
CR iiC ????
0
lbblC /)/( ????? 11 lbblC /)/( ????? 12 001 ????? bC
练习,写出典型方程,并求
出自由项。
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
????
???
???
C
C
C
XXX
aXXX
bXXX
3333232131
2323222121
1313212111
?1C=0 ?2C=0 ?3C=0
1X
3X
2X
1X
3X
2X
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
C
C
C
XXX
XXX
XXX
???
???
???
12 ?X
0
0
1
11?X 1
0
l
0
01
13 ?X
1 ?
?
?
???
???
??
???????
C
C
C
a
bl
lb
3
2
1 1 ])([
支座移动时,结构中的位移以及
位移条件的校核公式如下,
?? ?? ? ?????? iiiiCii cREI sMMEI sMM dd
制造误差引起的内力计算,
1X
3X
2X
AB杆造长了 1cm,如何作弯矩图?
A
10m
10m
§ 7-1概述
一,超静定结构的静力特征和几何特征
静力特征,仅由静力平衡方程不能求出
所有内力和反力,
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变
形、本构、平衡”,
几何特征,有多余约束的几何不变体系。
一,超静定结构的静力特征和几何特征
与静定结构相比,超静定结构的优点为,
1.内力分布均匀
2.抵抗破坏的能力强
1.内力与材料的物理性质, 截面的几何形状和尺寸有关 。
二,超静定结构的性质
2.温度变化、支座移动一般会产生内力 。
§ 7-1概述
一,超静定结构的静力特征和几何特征
1.力法 ----以多余约束力作为基本未知量 。
二,超静定结构的性质
2.位移法 ----以结点位移作为基本未知量,
三,超静定结构的计算方法
3.混合法 ----以结点位移和多余约束力作为
基本未知量,
4.力矩分配法 ----近似计算方法,
5.矩阵位移法 ----结构矩阵分析法之一,
§ 7-1概述
一,超静定结构的静力特征和几何特征
力法等方法的基本思想,
1.找出未知问题不能求解的原因,
2.将其化成会求解的问题,
3.找出改造后的问题与原问题的差别,
4.消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解
二,超静定结构的性质
三,超静定结构的计算方法
§ 7-1概述
超静定结构,具有多余约束的的几何不变体系。
超静定次数,多余约束的数目。
多余力,多余约束所发生的力。
§ 7-1超静定次数的确定
1,去掉一个支链杆相当于去掉一个联系。
绝对需要的约束不能去掉。
多余约束的位置不是任意的
多余约束的位置不唯一
X1
X1
X1
§ 7-2 超静定次数的确定
2.去掉一个铰相当于去掉两个约束
2X
1X
X1
X2
3.去掉一个固定端相当于去掉两个约束
4.切断一个梁式杆相当于去掉三个约束
5.刚节变铰接相当于去掉一个约束
X1 X2
X3
1?
01 ??
基本体系
待解的未知问题
变形条件
在变形条件成立条件下,基本体
系的内力和位移与原结构相同,
1X
力法基本
未知量
§ 7-3 力法的基本概念
1?
01 ??
01111 ?????? P
11111 ???? X
01111 ???? PX?
力法
方程
22 /ql MP
l M
1
EIl 3311 /?? EIqlP 841 /???
)(/ ?? 831 qlX PMXMM ??? 11
82 /ql
M 力法步骤,
1.确定基本体系
2.写出位移条件,力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ;
4.求出系数和自由项
5.解力法方程
6.叠加法作弯矩图
§ 7-3 力法的基本概念
1?
01 ??
01111 ?????? P
11111 ???? X
01111 ???? PX?
力法
方程
22 /ql MP l M1
EIl 3311 /?? EIqlP 841 /???
)(/ ?? 831 qlX PMXMM ??? 11
82 /ql
M
力法步骤,
1.确定基本体系 4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ; 6.叠加法作弯矩图
l
l
EI
EI P 作弯矩图, 练习
力法步骤,
1.确定基本体系 4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ; 6.叠加法作弯矩图
l
l
EI
EI P
X1
P
X1=1
P l
M1 Pl MP
01 ??
01111 ???? PX?
EIl 34 311 /??
EIPlP 231 /???
)(/ ?? 831 PX
PMXMM ??? 11
解,
M
Pl83
Pl85
l
l
EI
EI
P
力法步骤,
1.确定基本体系 4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图 ; 6.叠加法作弯矩图
X1
P
X1=1
l M1
01 ??
01111 ???? PX?
EIl 3311 /??
EIPlP 231 /???
)(/ ?? 231 PX
PMXMM ??? 11
解,
l
l
EI
EI
P
P Pl
MP
M
Pl
Pl23
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约
束代以多余未知力 —— 基本未知力 。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因
素作用下的位移，建立 位移协调条件 —— 力
法方程 。
从力法方程解得基本未知力，由 叠加原理
获得结构内力。 超静定结构分析通过转化为
静定结构获得了解决。
二,力法的基本体系与基本未知量
超静定次数, 多余约束个数,
几次超静定结构?
比较法,与相近的静定结构
相比,比静定结构
多几个约束即为几
次超静定结构,
X1 X2
X1
X2
力法基本体系不惟一,
若一个结构有 N个多余约束,则称其为 N次 超静定结构,
去掉几个约束后成为静
定结构,则为几次超静定
X1
X1
X2
X2
X3
X3
X1 X2 X3
去掉一个链杆或切断
一个链杆相当于去掉
一个约束
去掉一个固定端支
座或切断一根弯曲
杆相当于去掉三个
约束,
1X
2X
3X
1X
2X
3X
1X
2X
3X
将刚结点变成铰结
点或将固定端支座
变成固定铰支座相
当于去掉一个约束,
2X
3X
1X
2X
3X
1X
几何可变体系不能
作为基本体系
一个无铰封闭框有
三个多余约束,
1X
2X
3X
4X
5X
6X1
X
2X
3X
根据计算自由度
确定超静定次数
31928 ?????W
(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构,
不同基本结构带来不同的计算工作量。
确定超静定次数小结,
(c) 可变体系不能作为基本结构
(a) 方法,比较法,减约束,计算自由度,封闭框计算。
基本结构指去掉多
余约束后的结构
（ 14 次）
14436 ???
(1 次）
11728 ???
(6 次 )
6333 ???
(4 次 )
4533 ???
(6 次 ) 61838 ???
1X
2X
3X
4X
5X
6X
7X 8
X
9X 10X
10836 ???
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
l
l
EI
2EI
X1
X2
1?
2?
变形条件,
?
?
?
??
??
0
0
2
1
§ 7-4 力法的典型方程
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
变形条件,
?
?
?
??
??
0
0
2
1
q
X1=1
1X?
11?
21?
X2=1
2X?
22?
12?
P1?
P2?
012121111 ???????? PXX ??
022221212 ???????? PXX ??
----力法的典型方程
)( jiij ?? 主系数 >0
)( jiij ?? 付系数
iP?
荷载系数
jiij ?? ?
位移互等
柔度系数
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
q
X1=1
1X?
X2=1
2X?
11?
21? 22?
12?
P1?
P2?
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
EI
ll
EI
ll
EI
3
3
2
11 6
71
3
2
22
1 ????????
M1
l
M2
l
MP 22 /ql
EI
lll
EI
32
12 2
1
2
1 ??????
EI
lll
EI
32
21 2
1
2
1 ??????
EI
lll
EI
32
22 3
1
3
2
2
1 ??????
EI
ql
P
4
1 16
9 ????
EI
ql
P
4
2 4
1 ????
403209 21 /,/ qlXqlX ??
PMXMXMM ??? 2211
20
2ql
402 /ql M
内力分布与
刚度无关吗?
荷载作用下超静定
结构内力分布与刚度的
绝对值无关只与各杆刚
度的比值有关,
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
20
2ql
402 /ql M
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
403209 21 /,/ qlXqlX ??
?
?
?
??
??
0
0
2
1
q
1X
2X
4020 2221 /,/ qlXqlX ???
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
?
?
?
??
??
0
0
2
1
1X
2X
40203 221 /,/ qlXqlX ????
01212111 ?????? PXX ??
02222121 ?????? PXX ??
?
?
?
??
??
0
0
2
1
小结,
1.力法的典型方程是体系的变形协调方程
2.主系数恒大于零,付系数满足位移互等定理
3.柔度系数是体系常数
4.荷载作用时,内力分布与刚度大小无关,与
各杆刚度比值有关,荷载不变,调整各杆刚
度比可使内力重分布,
求 A截面转角
??
?
??
??
0
0
2
1
1.位移计算
q
l
l
EI
2EI A
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211 ??????????
§ 7-5 力法的计算步骤和示例
求 A截面转角
1.位移计算
q
l
l
EI
2EI A
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211 ??????????
1X
2X
20
2ql
402 /ql
M
1
Mi )()
(
EI
qlql
l
ql
l
EIA
32
2
80
1
2
1
83
2
3
2
202
1
2
1
?????
??????
单位荷载法 求
超静定结构位
移时,单位力可
加在任意力法
基本结构上,
正确的解答应
满足什么条件?
错误的解答能否
满足平衡条件?
2.力法计算校核
q
l
l
EI
2EI A
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
? ? ??? 011 dsEIMM
? ? ??? 022 dsEIMM
X1=1
M1
l
X2=1
M2
l
例 1,力法解图示结构,作 M图,
01 ??
3.算例
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 ??? PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /??
EI
PllPl
l
lPl
l
EI
P
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
??????
?????
?
??
)
(
4/Pl 16111 /PX ?
PMXMM ?? 11
01 ??
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 ??? PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /??
EI
PllPll
lPll
EIP
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
??????
????????
)
(
4/Pl 16111 /PX ?
PMXMM ?? 11
01 ??解,
01111 ??? PX?
EIl 3211 /??
EI
PlPll
EIP 162
1
42
11 2
1 ?????????
3231 /PlX ?
PMXMM ?? 11
P X1
4/Pl
MP
P
1
M1
X1=1
另一解法
03113 ?? ??
?
?
?
?
?
??
??
??
0
0
0
3
2
1
P
X1=1
M1
X2=1
M2
M3
X3=1 P
MP
X1
P
X2 X3
X1=1
X2=1 X3=1
P
M1
M2
M3
MP
P
X1 X2 X3
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
???
???
???
032 ???? PP
例 2,力法解图示结构,作 M图,
解,
P
l l
X1
P X2
X3
??
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
????
????
????
0332233113 ????? P?????
?? ? ????? 023232333 EA lGA skQEA sNEI sM d dd?
03 ?X
??
?
???
???
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
???
???
EIl 32211 /?? ??
EIl 62112 /?? ??
EIPlPP 16221 /?????
??
???
?
?
8
8
2
2
2
1
/
/
PlX
plX
PMXMXMM ??? 2211
82 /Pl
两端固支梁在竖向
荷载作用下没有水
平反力,
例 3,力法解图示桁架,
EA=常数,
解, P
a
a
1X
P 0
1 ??
01111 ??? PX?
EA
a
EA
lNN )( 21411
11 ??? ??
EA
Pa
EA
lNN P
P )( 21211 ???? ?
21 /PX ??
PNXNN ?? 11
P P2?
P 0 0
P
0 0
NP
11 ?X
N1
1
1
1
1 1
2?
2?
1X
P
-P/2
-P/2 P/2
P/2
22/?
22/
1X1X EA
aX 1
1 ???
变形条件仍为,
对吗? 01 ??
解,
kXX P /11111 ??? ??
)(32251 ?? qlX
例 4,求作图示梁的弯矩图。
PMXMM ?? 11
)1( 11
1
1
k
X P
?
??
?
?
,310 l EIk ?当
??k
当
)( ?? qlX 451
EI
kX /11 ???
EI
l
6
3
11 ?? EI
Pl
P 24
5 3
1 ???
0?k当 01 ?X
解,01111 ?? PX ??
例 5,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101 ???I
EI
EAEI
P
3.533
,
2.1267.10
1
11
?
??
?
?
当
kN,
,m
944
101
1
23
??
?? ?
X
A
PP,NXNNMXMM ???? 1111
有无下部链杆时梁内最大弯矩
之比,
%../,3191925080415 ??
通过改变连杆的刚度
来调整梁内弯矩分布,
当
kN,
,m
944
101
1
23
??
?? ?
X
A
令梁内正、负弯矩值
相等可得,
23 m107.1 ???A
qlX 4598.4967.10 3.5331 ??????
当,??A
梁的受力与两跨
连续梁相同。
（同例 4中 ） ??k
下侧正弯矩为
设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX ????
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 ??? X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
862915.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1 ???A
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别
在 不计轴向变形 前提下,
下述情况无弯矩,只有轴力,
(1).集中荷载沿柱轴作用
P
(2).等值反向共线集中荷
载沿杆轴作用,
P P
(3).集中荷载作用在不动结点 P
可利用下面方法判断,
化成铰接体系后,若能
平衡外力,则原体系无弯矩,
4.无弯矩情况判别
??
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
????
????
????
0321 ?????? PPP
奇次线性方程的
系数组成的矩阵
可逆,只有零解,
0321 ??? XXX
PMXMXMXMM ???? 332211
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别
5.超静定拱的计算
P
P
X1
X1=1
11?P
P1?
dsGAQdsEANdsEIM ??? ???
2
1
2
1
2
1
11
??
01111 ??? PX?
01 ??
??? dsEIMM PP 11
通常用数值积分方法或计算机计算
§ 7-6对称性的利用
1,对称性的概念
对称结构,几何形状、支承情况,刚度分布 对称的结构,
对称结构 非对称结构
支承不对称
刚度不对称
几何对称
支承对称
刚度对称
1,对称性的概念
对称结构,几何形状、支承情况,刚度分布 对称的结构,
对称荷载,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向
和作用点对称的荷载
反对称荷载,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作
用点对称,方向反对称的荷载
PP
对称荷载
PP
反对称荷载
P
l l
M
l l
P
l l
EI=C
l l
EI=C
M
下面这些荷载是
对称,反对称荷载,还是
一般性荷载?
2.选取对称基本结构,对称基本未
知量和反对称基本未知量
P EI
EI
EI P
1X
2X
3X
11?X
M1
12 ?X
M2
13 ?X
M3
P
MP
??
?
?
?
????
????
????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
????
????
????
032233113 ???? ????
??
?
?
?
??
???
???
0
0
0
3333
P2222121
P1212111
PX
XX
XX
??
???
???
典型方程分为两组,
一组只含对称未知量
另一组只含反对称未知量
对称荷载,反对称未知量为零
反对称荷载,对称未知量为零
P
P
P
1X
2X
3X
11?X
M1
12 ?X
M2
13 ?X
M3
PMXMXMM ??? 2211
对称荷载,反对称未知量为零
反对称荷载,对称未知量为零
P
MP
P
P EI
EI
EI P
X3=0
对称结构在正对称荷载作用下,
其弯矩图和轴力图是正对称的,
剪力图反对称；变形与位移对称,
P
对称荷载,
P
1X
2X
3X
11?X
M1
12 ?X
M2
13 ?X
M3
PMXMM ?? 33
对称荷载,反对称未知量为零
反对称荷载,对称未知量为零
P
MP
P
X1= X2 =0
对称结构在反正对称荷载作用下,
其弯矩图和轴力图是反正对称的,
剪力图对称；变形与位移反对称,
EI
P EI EI P P
反正对称荷载,
例,作图示梁弯矩图 P
l/2 l/2
EI
1X
2X
3X
P/2 P/2
解, X3=0 X2=0
01111 ??? PX?
11?X
M1
1
MP
P/2 P/2 Pl/4 Pl/4
EI
l?
11?
EI
Pl
P 8
3
1 ??
81
PlX ??
PMXMM ?? 11
M
P Pl/8 Pl/8
解,0
P1 111 ＝＋ ?? X
11
144 EI ＝ ?
1
1800 EI
P ＝ ?
1 5, 12 X ＝－ P 1 1 M X M M ＋ ＝
例,求图示结构的弯矩图。 EI=常数。
3.取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P 半结构
3.取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P
P EI
EI
EI P
反对称荷载,
P 半结构
3.取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P P EI
EI
EI P
反对称荷载,
P
B.有中柱对称结构（偶数跨结构）
P EI
EI
EI P
EI
对称荷载,
P
反对称荷载,
P EI
EI
EI P
EI
EI
P EI/2 P EI/2
P EI/2
P EI/2
P EI
EI
EI P P P EI
EI
EI P P
P EI
EI
EI P
EI
P P EI
EI
EI P
EI
EI P EI/2
练习,
EI
EI
EI
P
P EI
EI
EI P
EI
P
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
P/2
P EI
EI
EI
EI
EI/2
P/2
练习,
EI=
C
P q
q
P P
q
q
P/2
P/2
P/2 q
q
q
例 1:作图示对称结构的弯矩图
P P
EI=C
l l
l
l
P P
X1 X1=1
l
M1
MP
P
Pl
M
P
Pl Pl/2
Pl
Pl/2
解, 0P1 111 ＝＋ ?? X
EI
pl
EI
l
P 23
3
1
3
11 ???,?
2
3
1
PX ??
PMXMM ?? 11
例 2:作图示对称结构的弯矩图
解, 0P1 111 ＝＋ ?? X
EI
pl
EI
l
P 1624
7 3
1
3
11 ????,?
PX 1431 ?
PMXMM ?? 11
P
2EI
l l
l EI
EI EI
EI
P/2 P/2
P/2 P/2
+ =
P/2
EI EI
EI
+ = P/4 P/4 P/4 P/4 P/4
X1 P/4
l/2
X1=1
M1
MP
Pl/4
P/4
M
3Pl/28 P/4
Pl/7
Pl/7
3Pl/28
Pl/7
3Pl/28
Pl/7
3Pl/28
2Pl/7
3Pl/14
例 3:作图示对称结构的弯矩图
解, 0P1 111 ＝＋ ?? X
EI
pl
EI
l
P 4
32 2
111 ???,?
PlX 831 ??
PMXMM ?? 11
P
P
EI=C
l l
l
l
P P/2
X1
P/2
M1
1
X1=1
MP
Pl/2
P/2
M
3Pl/8
P/2
Pl/8
Pl/8
Pl/8 Pl/8
Pl/8
3Pl/8
例 4：求作图示圆环的弯矩图,
EI=常数。
解,取结构的 1/4分析
11 ?M
?s i nP 2PRM ??
? ??,d EIREI sM 22111 ??
? ????,dM P EIPREI sMP 2 211
?
PRX ?
1
)s i n(P 2111 ?? ???? PRMXMM
若只考虑弯矩对位移的影响，有,
例 5,试用对称性对结构进行
简化。 EI为常数。
P /2
P/2
P/2
P /2
I/2 I/2
P /2
P /2
I/2
方法 1
P
P /2 P /2
P
P /4 P /4
P /4
I/2
P /4
P /4 P /4
P /4
I/2
P /4
P/4 P/4
I/2
P/4
I/2
P /4
例 5,试用对称性对结构进行
简化。 EI为常数。
方法 2
P
P /2 P /2
P
P /4
P/2
P /4 P /4 P /2
P /4 P /4 P/2
P /4 P /4 P /2
P /4 P /4
P /4 P /4
P /4
I/2
P /4
P/4 P/4
I/2
P/4
I/2
t1?
t2?
§ 7-9 温度变化时超静定
结构的计算
t1
t1 t2 t1
t1
t1 t2 t1
X1
X2
t1
t1 t2 t1
?
?
?
????
????
0
0
2222121
1212111
t
t
XX
XX
??
??
?
?
?
??
??
0
0
2
1 ??
?????
h
tltN i
iit
??? )(
0
)(.)(
d
i
???
?
??
???
?
? ? ?
l
h
t
ltN
EI
sMM
i
i
Ky
?
??
?
7534
0
解,01111 ?? tX ??
例, 求图示刚架由于温度变化引起
的内力与 K点的位移。 t1=+250C
t2=+350C,EI=常数,矩形截面,h=l/10,
10300 ??? tt,
EI
l
3
5 3
11 ??
?
??
230
2
21030 2
2
1
??
?????????? )( ll
h
lt
M1
21 138 l
EIX ??
11 XMM ?
M
温度改变引起的内力与各杆
的绝对刚度 EI 有关。
d? ??? EI sMM iKy
Mi
温度低的一侧受拉 。
01 ??
01 ??
CX ??111?
C
X1
C???1
C
X1
01111 ??? CX? CR iiC ????
§ 7-9 支座移动时的超静
定结构计算
解,
例, 求图示梁由于支座移动引起的
内力,
EI
l
12
3
11 ??
21
?l
C ??
?21 6 lEIX ??
2211 XMXMM ??
?
l
EI
? 1X
2X
11?X2/l
M1
12 ?X
M2
1
?
??
?
????
????
0
0
2222121
1212111
C
C
XX
XX
??
??
??
?
??
??
0
0
2
1
02112 ?? ??
EI
l?
22?
??? C2
?lEIX ??2
?lEI4
?lEI2
M 支座移动引起的内力与各杆
的绝对刚度 EI 有关。
练习,写出典型方程,并求
出自由项。
?
?
?
?
?
??????
??????
?????
aXXX
XXX
XXX
C
C
C
3333232131
2323222121
1313212111 0
???
????
???
?1C=b/l 几何法, ?2C=-b/l
?3C=0
公式法,
1/l 1/l
CR iiC ????
0
lbblC /)/( ????? 11 lbblC /)/( ????? 12 001 ????? bC
练习,写出典型方程,并求
出自由项。
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
????
???
???
C
C
C
XXX
aXXX
bXXX
3333232131
2323222121
1313212111
?1C=0 ?2C=0 ?3C=0
1X
3X
2X
1X
3X
2X
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
C
C
C
XXX
XXX
XXX
???
???
???
12 ?X
0
0
1
11?X 1
0
l
0
01
13 ?X
1 ?
?
?
???
???
??
???????
C
C
C
a
bl
lb
3
2
1 1 ])([
支座移动时,结构中的位移以及
位移条件的校核公式如下,
?? ?? ? ?????? iiiiCii cREI sMMEI sMM dd
制造误差引起的内力计算,
1X
3X
2X
AB杆造长了 1cm,如何作弯矩图?
A
10m
10m
