第六章 结构位移计算
§ 6-1 概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
A?A? 位移 转角位移
线位移
?? A
?? Ax
?? Ay
??
A点线位移
A点水平位移
A点竖向位移
A截面转角
P
Ax?
Ay?
?
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
A?A?
P
Ax?
Ay?
? 引起结构位移的原因
?t?
制造误差 等
荷载
温度 改变
支座移动
还有什么原
因会使结构产
生位移?
为什么要计算
位移?
§ 6-1 概述
铁路工程技术规范规定,
二,计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度 < 1/600 跨度；
桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁
最大挠度 < 1/700 和 1/900跨度
高层建筑的最大位移 < 1/1000 高度。
最大层间位移 < 1/800 层高。
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
（ 3）理想联结 (Ideal Constraint)。
三,本章位移计算的假定
叠加原理适用 （ principle of superposition)
(1) 线弹性 (Linear Elastic),
(2) 小变形 (Small Deformation),
四,计算方法
单位荷载法
(Dummy-Unit Load Method)
§ 6-2 变形体虚功原理
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量
功 =力 × 力作用点沿力方向上的位移
实功,力在自身所产生的位移上所作的功
P
? ?? PW
2
1
虚功,力在非自身所产生的位移上所作的功
tPW ??
P
?
Ct??
t?
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
1P
11?
12?
2P21?
22?
1P
2P
12?
力状态
位移状态
（虚力状态）
（虚位移状态）
注意,
（ 1）属 同一 体系；
（ 2）均为可能状态。即位移
应满足 变形协调条件 ；
力状态应满足 平衡条件 。
（ 3）位移状态与力状态 完全无关 ；
§ 6-2 变形体虚功原理
二、广义力 (Generalized force)、广义位移
(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× ?
P---广义力 ; ? ---广义位移
P
? ?? PW
例, 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶
?MW ?
?
M
A? B
?
M M
3)作虚功的力系为两个等值
反向的集中力偶
????? MMMMW BABA ????? )(
4)作虚功的力系为两个等值
反向的集中力
P PA? B?
??
????
????
P
P
PPW
BA
BA
)(
P
1?
P
2?
§ 6-2 变形体虚功原理
（ 1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在
某一位置处于平衡的必要和
充分条件是,
1PF
2NF
1NF
2PF
1m
2m
三、变形体的虚功原理
Σfi δri=0 → →,
对于任何 可能 的虚位移，
作用于质点系的主动力所
做虚功之和为零。也即
（ 2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外
力。则有：刚体系处于平
衡的必要和充分条件是,
对于任何 可能 的
虚位移，作用于刚
体系的所有外力所
做虚功之和为零。
P
0?AX
2/PY B ?2/PY A ?
Δ 2Δ
3Δ/2
023222 ????????? PPP
原理的表述,
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功 δ We，恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和 δ Wi。也即恒有如下虚功方程成立
δ We =δ Wi
（ 3）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 δ We,恒
等于变形体各 微段外力 在微段 变形位移 上作的虚功之和 δ Wi。
变形体虚功原理的证明,
??xq
1.利用变形连续性条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分
为两部分
体系外力
相互作用力
微段外力功
分为两部分
体系外力功 dWe
相互作用力功 dWn
微段外力功 dW= dWe+dWn
所有微段的外力功之和,
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δ We
2.利用平衡条件条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力功
分为两部分
在刚体位移上的功 dWg
在变形位移上的功 dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和,
W=∫dWi =δ Wi
a b
a? b?
微段位移分
为两部分
刚体位移
变形位移
baab ????
baba ??????
故有 δ We=δ Wi成立。
a b
a? b?
b?
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 δ We,恒
等于变形体各 微段外力 在微段 变形位移 上作的虚功之和 δ Wi。
变形体虚功原理的证明,
??xq
1.利用变形连续性条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分
为两部分
体系外力
相互作用力
微段外力功
分为两部分
体系外力功 dWe
相互作用力功 dWn
微段外力功 dW= dWe+dWn
所有微段的外力功之和,
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δ We
2.利用平衡条件条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力功
分为两部分
在刚体位移上的功 dWg
在变形位移上的功 dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和,
W=∫dWi =δ Wi
a b
a? b?
微段位移分
为两部分
刚体位移
变形位移
baab ????
baba ??????
故有 δ We=δ Wi成立。
a b
a? b?
b?
几个问题,
1,虚功原理里存在两个状态,
力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。因此原理仅是 必要性命题 。
2,原理的证明表明,原理适用于 任何 (线性和非线性 )的
变形体,适用于 任何结构 。
3,原理可有两种应用,
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态,
将 平衡问题化为几何问题来求解 。
实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态,
将 位移分析化为平衡问题来求解 。
δWi 的计算,
δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
微段外力,
微段变形可看成由如下几部分组成,
（ 4）变形体虚功方程的展开式
M dMM ?
N dNN ?
Q dQQ?
q
ds
微段剪切
ds???
微段拉伸
ds???
ds???
微段弯曲
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有,
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于 虚设的 协调位移状态 与 实际的
平衡力状态 之间。
例, 求 A 端的支座反力 (Reaction at Support)。
解：去掉 A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态,
A B
a
C
(a)
b
P
X (b)
P
X?
C?
(c)
直线
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
0?????? CX PX由外力虚功总和为零，即,
baCX // ???将 代入得, abPX /??
通常取 xX ?? ?? 1
单位位移法 (Unit-Displacement Method)
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实际受力状态的平衡方程
(2)虚位移与实际力状态无关,故可设
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
(4)用几何法来解静力平衡问题
0?? BM
1?? x
例, 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 C点的竖向位移 ?,
2）虚功原理用于 虚设的 平衡力状态 与 实际的 协
调位移状态 之间。
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之
点（ C点）沿拟求位移方向（竖向）设置 单位荷载 。
A
B
a
C
b
A?
C?
?
c 1 A B
C
AY
由 求得,? ? 0BM abY
A /??
01 ????? cY A
acb /???解得,
这是 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
它是 Maxwell,1864和 Mohr,1874提出，故也称为
Maxwell-Mohr Method
(1)所建立的 虚功方程,
实质上是 几何方程 。
(2)虚设的力状态与实
际位移状态无关，故
可设单位广义力 P=1
(3)求解时关键一步是
找出虚力状态的静力
平衡关系。
(4)是用静力平衡法来
解几何问题。
虚功方程为,
单位位移法 的虚功方程 平衡方程
单位荷载法 的虚功方程 几何方程
第一种应用一些文献称为,虚位移原理”,
而将第二种应用称为,虚力原理” 。更确切的
说法为,两种应用的依据是上述两原理的必要
性命题 。上述两原理都是充分、必要性命题,
它们和虚功原理是有区别的 。
虚位移原理,一个力系平衡的充分必要条件是,对
任意协调位移,虚功方程成立,
虚力原理,一个位移是协调的充分必要条件是,对
任意平衡力系,虚功方程成立”。
§ 6-3 位移计算的一般公式
一,单位荷载法
k
iP?
1?P
求 k点竖向位移,
由变形体虚功方程,
变形协调的
位移状态 (P)
平衡的力
状态 (i) δWe =δWi
δWe =P ΔiP
δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
适用于各种杆件体系 (线性,非线性 ),
一,单位荷载法
k
iP?
1?P
求 k点竖向位移,
变形协调的
位移状态 (P)
平衡的力
状态 (i)
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
----适用于各种杆件体系 (线性,非线性 ),
对于由 线弹性 直杆 组成的结构，有,
EI
M
GA
Qk
EA
N P
PP ??? P
PP,,??????
dsEI MMGA QkQEA NN iPPPip ][ ii ???? ? ?
适用于线弹性
直杆体系,
§ 6-3 位移计算的一般公式
q
PQ
PM
1?P
iQ
iM
xl?
dsEI MMGA QkQEA NN iPPPip ][ ii ???? ? ?
例 1：已知图示粱的 E, G,
求 A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态,
0)(,0)( ?? xNxN Pi
)()(,1)( xlqxQxQ Pi ??? 1?P
x
2/)()(,)( 2xlqxMlxxM Pi ?????
l
h
b
q
A
dxEI xlqGA kxlql ]2 )()([0
3
? ????
)(82
42
??? EIqlGAq k l
)(5.2/,10/1/
,5/6,12/,3
钢砼??
???
GElh
kbhIbhA
GA
q k l
EI
ql
QM 2,8:
24
????设
2
4
G A l
E I k
M
Q ?
?
?
1 0 0
1?
?
?
M
Q
对于细长杆,剪切变形
对位移的贡献与弯曲变
形相比可略去不计,
位移方向是如
何确定的?
例 2：求曲梁 B点的竖向位移 (EI,EA,GA已知 )
R
O
B
A
P
解：构造虚设的力状态如图示
?
??
??
??
Rdds
NPN
QPQ
RMPRM
iP
iP
iP
?
????
??
????
s in,s in
c o s,c o s
s in,s in
P=1
R
θ
P
R
θ
PM
PN
PQ
dsEI MMGA QkQEA NN iPPPip ][ ii ???? ? ?
)(444
3
???? EIPRGAk P REAPR ???
)(5.2/,10/1/
,5/6,12/,3
钢砼??
???
GERh
kbhIbhA
EA
PR
GA
k P R
EI
PR
NQM 4,4,4:
3 ???
??????设
1200
1?
?
?
M
N
400
1?
?
?
M
Q
小曲率杆可利用直杆公式近
似计算 ;轴向变形,剪切变形对位
移的影响可略去不计
一,单位荷载法
1.梁与刚架
二,位移计算公式
dsEI MM iPip ? ???
2.桁架
dsEA NN iPip ? ???
EA
lNN iP??
3.组合结构
?? ? ??? EI lNNdsEI MM iPiPip
4.拱
dsEA NNEI MM iPiPip ][ ??? ?
这些公式的适
用条件是什么?
§ 6-3 位移计算的一般公式
解,
例,求图示桁架 (各杆 EA相同 )k点水平位移,
P
a
a
k
1?
0
0
P?
P?
P2
NP 1?
1?
1?
2
2
Ni
??? EA lNN iPkx
)()21(2]222
)1)(()1)([(
1
??????
??????
EA
Pa
aP
aPaP
EA
练习,求图示桁架 (各杆 EA相同 )k点竖向位移,
a
a
P
k
1?
1
1
0
2?
0
0
P2?
P
NP Ni
??? EA lNN iPkx
)()221(
]2)2)(2(1[
1
???
??????
EA
Pa
aPaP
EA
例, 1)求 A点水平位移
一,单位荷载法
二,位移计算公式
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位
广义力在所求广义位移上做功,
三,单位力状态的确定
P
A
B
2)求 A截面转角
3)求 AB两点相对水平位移
4)求 AB两截面相对转角
1?P 1?P 1?P
1?P
§ 6-3 位移计算的一般公式
B
A
?? AB
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
?A?
(a) P=1
P=1
P=1
A B
C
d
?BC?
(c)
dP
1?
dP
1?
A B
C
2d
1d
(d)
?? ACAB?1
1
d
1
1
d
2
1
d2
1
d
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
B??? AB
(e)
P=1
P=1
C
(f)
C? 左右 =？
P=1 P=1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
?A?
(g) A
?AB?
(h)
A
B P=1
P=1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
在杆件数量多的情况下,不方便, 下面介绍
计算位移的图乘法,
? ?? EI sMM PiP d?
§ 6-5 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为,
一、图乘法
? sEIMM P d
?? sMMEI P d1
? ?? xMxEI P dt a n1 ?
?? xxMEI P dt a n ?
cc yEIxEI ??
? 1t a n ????
(对于等
截面杆 )
(对于直杆 )
?? xMMEI P d1
)t a n( ?xM ?
图乘法求位移公式为,
?? EI y cip ??
图乘法的
适用条件是
什么?
图乘法是 Vereshagin于
1925年提出的，他当时
为莫斯科铁路运输学院
的 学生 。
例, 试求图示梁 B端转角,
解, ??? s
EI
MM P
B d?
EI
y c???
A BP
2/l 2/l
EI
B?
A B1?M
4/Pl
1
MP Mi
)(
16
1
2
1
42
11
2
EI
Pl
Pl
l
EI
??
?????
为什么弯矩图在
杆件同侧图乘结
果为正?
例, 试求图示结构 B点竖向位移,
解,
???? sEIMM PBy d
EI
y c???
Pl
MP Mi
)(
3
4
)
3
2
2
1
(
1
3
???
???????
EI
Pl
llPlllPl
EI
1?
l
P
EI
B
EIl
l
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
C
2?nl
2
)1(
?
?
n
ln
1?? n
hl?
h
二次抛物线
M 图
2
1
EI
ql
qll
EI
B
3
2
24
1
]
2
1
)
8
1
3
2
[(
1
??
??????
（ ）
PM 图 281ql
B A
q
1?
例,求图示梁 (EI=常数,跨长为 l)B截面转角 B?
解,
三、图形分解
B?求
1?
A B
mkN ?20
mkN ?40
m10
EI
40
20
MP
Mi
A B
mkN ?20
A B
mkN ?40
40
20
3/23/1
)(
3
5 0 0
)
3
1
2010
2
1
3
2
4010
2
1
(
1
EI
EI
B
????
??????
三、图形分解
B?求
1?
A B
mkN ?20
mkN ?40
m10
EI
40
20
MP
Mi
3/22/1
)(
3
500
)
2
1
2010
3
2
2010
2
1
(
1
EI
EI
B
???
??????
)(
3
5 0 0
)
3
2
20
20(110
2
11
EI
EI
B
??
???????
当两个图形均
为直线图形时,取那
个图形的面积均可,
)(
16
)
43
1
2
1
22
1
42
1
22
43
2
2
1
22
1
(
1
2
EI
Pl
PllPlll
Pll
EI
B
??
????????
????????
4/PlM
P
三、图形分解
B?求
1?
Mi
)(16)21421(1
2
EI
PlPll
EIB ????????
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
线或折线,
A B
2/l
EI
2/l
P
2/1
能用 Mi图面积乘
MP图竖标吗?
三、图形分解
B?求
1?
A B
mkN ?20 mkN ?40
m10
EIMP
Mi
)(
100
)20
3
2
60(110
2
11
EI
EI
B
?
????????
)(
1 0 0
)
2
1
1020
3
2
6010
2
1
(
1
EI
EI
B
???
???????
40
20
60
20
40
20
)(
1 0 0
)
2
1
1020
3
2
6010
2
1
(
1
EI
EI
B
???
???????
三、图形分解
B?求
1?
MP
Mi
)(
24
)1
3
2
42
1
2
1
83
2
(
1
3
22
EI
ql
ql
l
ql
l
EI
B
?
???????????
A B
4/2ql
l
EI
q
4
2ql
8/2ql
q
8/2ql
三、图形分解
C?
求 C截面竖向位移
MP
Mi
)(
4048
19
)
16
3
3
2
32
3
42
1
16
3
2
1
8
)4/(
43
2
16
3
3
2
32
3
4
3
2
1
16
3
2
1
8
)4/3(
4
3
3
2
(
1
422
22
????????????
??????????
EI
qllqllllql
lqllllql
EI
B?
16/3l
8/2ql
4/3l 4/l
A B
EI
q
C
1?P
32/3 2ql
q 32/3 2ql
4/3l
q
32/3 2ql
q32/3 2ql
4/l q
32/3 2ql
8/)4/3( 2lq
8/)4/( 2lq
三、图乘法小结
1,图乘法的应用条件,
（ 1）等截面直杆,EI为常数；
（ 2）两个 M图中应有一个是直线；
（ 3） 应取自直线图中。 cy
2,若 与 在杆件的同侧,取正值；
反之，取负值。
cy?? cy
3,如图形较复杂，可分解为简单图形,
例 1,已知 EI 为常数，求 C,D两点相对水平位移 。 CD?
三、应用举例
A
l
q
B
h q
8/2ql
h
1? 1?
h
MP
iM
)(
12
83
21
3
2
???
? ??????
EI
q h l
hl
ql
EIEI
y c
CD
?
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
例 2,已知 EI 为常数，求铰 C两侧截面相对转角 。 C?
三、应用举例
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
l
q
B
l C
l
q
4/ql
4/ql
MP
1? 1?
0
l/1
1
iM
)(
24
2
1
83
21
3
2
EI
ql
ql
EIEI
y c
CD
??
??????? ?
?
4/2ql4/2ql
例 3,已知 EI 为常数，求 A点竖向位移 。 A?
三、应用举例
)(
48
22
)
22
1
8
2
3
2
23
2
4
2
2
1
23
2
42
1
(
1
4
222
??
?
?
????????????????? ?
EI
ql
EI
lql
l
lql
l
lql
l
EIEI
y c
CD
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
q
l
l
l
q
4/ql
MP
4/2ql
2/1
1
iM
2/l
例 4,图示梁 EI 为常数，求 C点竖向位移。
三、应用举例
iM
2/l
A l/2
q
BC l/2
MP
2/2ql
1
C
)(
1 2 8
5
)
48224
3
28
3
3
1
(
1
3
22
??
?????????? ?
EI
ql
lqllllql
EIEI
y c
C
?
8/2ql
)(
24
1
22
1
23
11
3
2
???
??????? ?
EI
ql
lql
l
EIEI
y c
c
?
32/2ql
例 4,图示梁 EI 为常数，求 C点竖向位移 。
三、应用举例
iM
2/l
A l/2
q
BC l/2
MP
2/2ql
1
C
)(
384
17
)
23
1
822
1
23
2
222
1
22
1
3223
2
(
1
4
2
22
???
????
????????????
?? ?
EI
ql
lqll
lqlllqll
EI
EI
y
c
c
?
8/2ql
q
8/2ql2/2ql
2/2ql
8/2ql
例 4,图示梁 EI 为常数，求 C点竖向位移 。
iM
2/l
A l/2
q
BC l/2
MP
2/2ql
1
C
)(
384
17
)
22
1
82
23
2
422
1
24
3
823
1
(
1
4
2
22
???
???
???????????
?? ?
EI
ql
lqll
lqlllqll
EI
EI
y
c
c
?
8/2ql
q
8/2ql
2/ql
q8/
2ql
4/2ql 2/ql
8/2ql
8/2ql
A
l
P
B
l
P
l
)(
3
10
)24
3
2
2
1
(
1
3
????
??????????
?? ?
EI
Pl
lPlllPll
EI
EI
y
c
ABY
? 图示结构 EI 为常数，求 AB两点 (1)相对竖向位
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
iM
MP
练习
1 1
Pl
l
1 1
ll
iM
0??? ? EIy cA B X ? 0?? ? EIy cAB ??
对称弯矩图
反对称弯矩图
对称结构的对称弯矩图与
其反对称弯矩图图乘,结果
为零,
1 1
1
1
iM
作变形草图
P P Pl
1 1
1
1
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意
反弯点的利用。如,
求 B点水平位移。
练习
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
MP
)(
8
5
4
1
2
3
2
2
11
3
??
????????????? ?
EI
Pl
llPl
EI
llPl
EIEI
y c
B
?
Pl
A B
l
l
EI4
P
EI EI
1
注意,各杆刚度
可能不同
iM
l
已知 EI 为常数，求 C,D两点相对水平位移,并画出变形图。 CD?
MP
l
1? 1?
l
iM
)(
12
11
)
83
2
2
1
3
2
2
1
(
1
4
2
22
???
??????????????? ?
EI
ql
l
ql
llqlllqll
EIEI
y c
CD
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
l
q
B
l
C Dql
q
2ql
ql
已知 EI 为常数，求 B截面转角。
MP
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
B
kN/m2
m4
kN6
m2
m3
1?
124
Mi
)(
3
8
)
2
1
44
3
2
1
3
1
124
2
1
(
1
EI
EIEI
y c
B
?
?????????? ?
?
?
)(
3
11
]
2
3
)
3
2
(
2
1
3
2
2
1
[
1
3
??
?????????????????? ?
EI
Pl
l
lPl
l
llPlllPllPll
EIEI
y c
B
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
求 B点水平位移,EI=常数。
A
l
P
Bl
l
MP
Pl
Pl2
A
1
B
l2
MP
l
练习
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
)(
4
3
4
)2)(2(
1
4
3
2
2
11
3
????
??????????????? ? ?
EA
Pl
EI
Pl
lP
EA
llPl
EIEA
lNN
EI
y Pic
B
?
求 C,D两点相对水平位移 。 CD?
A B
l
l EA
EI
C D PP
EI
l
MP
Pl
Pl
1
1
iM
l
l
已知,E,I,A为常数，求 。 Cy?
A B
C
P
2l 2l
a
D
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
)(4482211]432)4221[(2
3
????????????? EAPaEIPlaPEAlPllEICy
A B
C
P
2l
a
D
4
PlPM
2/PN P ?
2l
A B
C
1
2l
a
D
4lM
2/1?iN
2l
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
B支座处为刚度 k的弹簧，该如何计算 C点竖向位移？
4
PlPM
2/P PS ?
4lM
2
1?
iS
A B
C
2l
k
2l
=1 P A
B C
2l
k
2l
有弹簧支座的结构位移计算公式为,
? ? ???? kSSsEIMM i PP d
练习
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
)(
42
1
2
1
2
)
23
2
22
1
2223
1
22
1
42
(
1
3
???
???????????????????
?? ?
k
P
EI
Pl
k
PlPl
l
lPl
l
lPl
l
lPl
l
EI
EI
y
c
B
?
求 A点竖向位移,EI=常数 。
1/2
iM
MP
Pl
2/Pl
2/P
l l
P
l
A
k
1
k
§ 6-6 静定结构温度变化时的位移计算
变形体虚功方程为,
δWe =δWi
δWe =1ΔkP
δWi =Σ∫MiδkPds
ΔkP =Σ∫MiδkPds
其中,
荷载作用 求 K点竖向位移,
/ E Ik PP M??
δWe =1ΔkP
温度作用 求 K点竖向位移,
δWi =Σ∫[Niδεt +
Qiδγt +Miδkt ]ds 关键是计算微
段的温度变形
设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温
度,上、下边缘的温差,线膨胀系数
为,
0t
t? α
12 ttt ???
stu t dd 0??
h
ththtt
h
htt 2112
12
1
10
????? )(
微段的温度变形分析
h
st
t
dd ??? ?
无剪应变 ? ?
? ?? ?
? ? ??
? ?
???
?
??
????
h
sM
tsNt
h
st
MstN
dskMQN
i
i
itttKy
d
d
d
d
)(
i
i
tii
??
?
?
?????
0
0
若,/ 2
21 hhh ?? 2120 /)( ttt ??
? ? ????? Miit h tlNt ??? )(0
温度引起的位移计算公式,
? ?? ? ???? h sMtsNt iit ddi ?? 0
对等 截 面 直 杆,
上式中的正、负号,
若 和 使杆件的同一边
产生拉伸变形，其乘积为正。
M t?
例,刚架施工时温度为 20,试求冬季外侧温度为
-10,内侧温度为 0 时 A点的竖向位移 。已知
l=4 m,,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
C0
C0
C0 Ay?
510 ???
解：构造虚拟状态
Ct
Ct
0
0
0
103020
25
2
2002010
??????
??
????
?
)(
,
)()(
? ? ???? iiAy h tlNt ??? 0
l
Mi
1
Ni
l))(( 125 ???? ?
ll
h
ll
h
?????
?????
10
1
2
1
10
1
?
?
)(,??? m0050
例,求图示桁架温度改变引起的 AB杆转角,
解：构造虚拟状态
?? lNt iAB 0??
Ni
41 ????? aat )/(?
a?4
?t? ?t? ?t? ?t?
a
A
B
a2
1
a2
1
0
a/1
a/1? a/1? a/1? a/1?
)(t??? ?4
1c
2c
3c
K
K? KC?
1
K
1R
2R
3R
变形体虚功方程为, δWe =δWi
δWe =1ΔkC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3
δWi =0
其中,
计算公式为, ? ????
iiic CR
§ 6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例 1：求??
Cx?
C B
A
P=1
1?AX
1?CY
1?AY
解：构造虚设力状态
1c
2c
3c
C B
A
l
l
)()111( 321321 CCCCCCCx ????????????
解：构造虚设力状态
( ) ?
????????? r a d,)( 0 0 7 502 11 BxByiiA hlcR?
例 2：已知 l=12 m,h=8 m,m 04.0?Bx?
m 06.0?By???A?,求
制造误差引起的位移计算
)(.
)(
???
?????
mm
A
2723
48
11
8
每个上弦杆加长 8mm,求
由此引起的 A点竖向位移,
118/?
mm 4886 ??
m11
A
1
118/?118/?118/?
1,功的互等定理,
方法一
2221211111 2
1
2
1 ??? PPPW ???
11?
11? 2P
12? 22?
2
第 I 状态
12? 2P
11? 21?
2
22?
12?
2P
22?
2 第 Ⅱ 状态
1112122222 2
1
2
1 ??? PPPW ???
由 W1=W 2
212121 ?? PP ?
先加广义力 P1后再加广义力 P2
先加广义力 P2后再加广义力 P1
§ 6-8 线弹性结构的互等定理
线弹性结构的互等定理
1,功的互等定理,
方法一
2221211111 2
1
2
1 ??? PPPW ???
先加广义力 P1,后加广义力 P2。
11?
11? 2P
12? 22?
2
第 I 状态
12? 2P
11? 21?
2
22?
12?
2P
22?
2 第 Ⅱ 状态 先加广义力 P
2,后加广义力 P1。
1112122222 2
1
2
1 ??? PPPW ???
由 W1=W 2
212121 ?? PP ?
在线性变形体系中,I 状态的外力在 II 状态位移
上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上
所做虚功。
功的互等定理
方法二
由虚功原理
12?
2P 2
第 II 状态 第 I 状态 21?
12112 ?PW ?
sEI MMEA NNGA QQk d)( 212121 ??? ? ?
21221 ?PW ?
sEI MMEA NNGA QQk d)( 121212 ??? ? ?
212121 ?? PP ?
212121 ?? PP ?
2,位移互等定理,
12212 ??? P/
122 ?PP /
2
第 II 状态 第 I 状态 21121 ??? P/
12?
2P 2
第 II 状态 第 I 状态 21?
121212 PP // ??? 2112
?? ?
单位广义力 1引起，单位广义力 2作用处沿广义力 2方
向的位移，恒等于单位广义力 2引起，单位广义力 1作
用处沿广义力 1方向的位移 。 -----位移互等定理
12?
12 ?P
2
第 II 状态 第 I 状态 21? 2112 ?? ?
单位广义力是量纲为一的量 ；
互等不仅是指 数值相等,且 量纲也相同 。
如图示长 l, EI 为常数的简支梁
EI
l
B 16
2
21 ?? ?? EI
lf
c 16
2
12 ???
第 II 状态
12 ?PA C B
Cf第 I 状态 B?
A C 11 ?P B 跨中
数值、量纲都相等
3,反力互等定理,
由功的互等定理有,
11 1221 ??? rr 1221 rr ?
支座 1 发生单位广义位移所引起的支座 2中的
反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的
支座 1中的反力。 -----反力互等定理
4,反力位移互等定理,
2112 ???r
单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发
生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向
的位移，但符号相反。 -----反力位移互等定理
§ 6-1 概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
A?A? 位移 转角位移
线位移
?? A
?? Ax
?? Ay
??
A点线位移
A点水平位移
A点竖向位移
A截面转角
P
Ax?
Ay?
?
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
A?A?
P
Ax?
Ay?
? 引起结构位移的原因
?t?
制造误差 等
荷载
温度 改变
支座移动
还有什么原
因会使结构产
生位移?
为什么要计算
位移?
§ 6-1 概述
铁路工程技术规范规定,
二,计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度 < 1/600 跨度；
桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁
最大挠度 < 1/700 和 1/900跨度
高层建筑的最大位移 < 1/1000 高度。
最大层间位移 < 1/800 层高。
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
（ 3）理想联结 (Ideal Constraint)。
三,本章位移计算的假定
叠加原理适用 （ principle of superposition)
(1) 线弹性 (Linear Elastic),
(2) 小变形 (Small Deformation),
四,计算方法
单位荷载法
(Dummy-Unit Load Method)
§ 6-2 变形体虚功原理
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量
功 =力 × 力作用点沿力方向上的位移
实功,力在自身所产生的位移上所作的功
P
? ?? PW
2
1
虚功,力在非自身所产生的位移上所作的功
tPW ??
P
?
Ct??
t?
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
1P
11?
12?
2P21?
22?
1P
2P
12?
力状态
位移状态
（虚力状态）
（虚位移状态）
注意,
（ 1）属 同一 体系；
（ 2）均为可能状态。即位移
应满足 变形协调条件 ；
力状态应满足 平衡条件 。
（ 3）位移状态与力状态 完全无关 ；
§ 6-2 变形体虚功原理
二、广义力 (Generalized force)、广义位移
(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× ?
P---广义力 ; ? ---广义位移
P
? ?? PW
例, 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶
?MW ?
?
M
A? B
?
M M
3)作虚功的力系为两个等值
反向的集中力偶
????? MMMMW BABA ????? )(
4)作虚功的力系为两个等值
反向的集中力
P PA? B?
??
????
????
P
P
PPW
BA
BA
)(
P
1?
P
2?
§ 6-2 变形体虚功原理
（ 1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在
某一位置处于平衡的必要和
充分条件是,
1PF
2NF
1NF
2PF
1m
2m
三、变形体的虚功原理
Σfi δri=0 → →,
对于任何 可能 的虚位移，
作用于质点系的主动力所
做虚功之和为零。也即
（ 2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外
力。则有：刚体系处于平
衡的必要和充分条件是,
对于任何 可能 的
虚位移，作用于刚
体系的所有外力所
做虚功之和为零。
P
0?AX
2/PY B ?2/PY A ?
Δ 2Δ
3Δ/2
023222 ????????? PPP
原理的表述,
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功 δ We，恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和 δ Wi。也即恒有如下虚功方程成立
δ We =δ Wi
（ 3）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 δ We,恒
等于变形体各 微段外力 在微段 变形位移 上作的虚功之和 δ Wi。
变形体虚功原理的证明,
??xq
1.利用变形连续性条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分
为两部分
体系外力
相互作用力
微段外力功
分为两部分
体系外力功 dWe
相互作用力功 dWn
微段外力功 dW= dWe+dWn
所有微段的外力功之和,
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δ We
2.利用平衡条件条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力功
分为两部分
在刚体位移上的功 dWg
在变形位移上的功 dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和,
W=∫dWi =δ Wi
a b
a? b?
微段位移分
为两部分
刚体位移
变形位移
baab ????
baba ??????
故有 δ We=δ Wi成立。
a b
a? b?
b?
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 δ We,恒
等于变形体各 微段外力 在微段 变形位移 上作的虚功之和 δ Wi。
变形体虚功原理的证明,
??xq
1.利用变形连续性条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分
为两部分
体系外力
相互作用力
微段外力功
分为两部分
体系外力功 dWe
相互作用力功 dWn
微段外力功 dW= dWe+dWn
所有微段的外力功之和,
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δ We
2.利用平衡条件条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
微段外力功
分为两部分
在刚体位移上的功 dWg
在变形位移上的功 dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和,
W=∫dWi =δ Wi
a b
a? b?
微段位移分
为两部分
刚体位移
变形位移
baab ????
baba ??????
故有 δ We=δ Wi成立。
a b
a? b?
b?
几个问题,
1,虚功原理里存在两个状态,
力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。因此原理仅是 必要性命题 。
2,原理的证明表明,原理适用于 任何 (线性和非线性 )的
变形体,适用于 任何结构 。
3,原理可有两种应用,
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态,
将 平衡问题化为几何问题来求解 。
实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态,
将 位移分析化为平衡问题来求解 。
δWi 的计算,
δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
微段外力,
微段变形可看成由如下几部分组成,
（ 4）变形体虚功方程的展开式
M dMM ?
N dNN ?
Q dQQ?
q
ds
微段剪切
ds???
微段拉伸
ds???
ds???
微段弯曲
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有,
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于 虚设的 协调位移状态 与 实际的
平衡力状态 之间。
例, 求 A 端的支座反力 (Reaction at Support)。
解：去掉 A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态,
A B
a
C
(a)
b
P
X (b)
P
X?
C?
(c)
直线
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
0?????? CX PX由外力虚功总和为零，即,
baCX // ???将 代入得, abPX /??
通常取 xX ?? ?? 1
单位位移法 (Unit-Displacement Method)
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实际受力状态的平衡方程
(2)虚位移与实际力状态无关,故可设
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
(4)用几何法来解静力平衡问题
0?? BM
1?? x
例, 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 C点的竖向位移 ?,
2）虚功原理用于 虚设的 平衡力状态 与 实际的 协
调位移状态 之间。
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之
点（ C点）沿拟求位移方向（竖向）设置 单位荷载 。
A
B
a
C
b
A?
C?
?
c 1 A B
C
AY
由 求得,? ? 0BM abY
A /??
01 ????? cY A
acb /???解得,
这是 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
它是 Maxwell,1864和 Mohr,1874提出，故也称为
Maxwell-Mohr Method
(1)所建立的 虚功方程,
实质上是 几何方程 。
(2)虚设的力状态与实
际位移状态无关，故
可设单位广义力 P=1
(3)求解时关键一步是
找出虚力状态的静力
平衡关系。
(4)是用静力平衡法来
解几何问题。
虚功方程为,
单位位移法 的虚功方程 平衡方程
单位荷载法 的虚功方程 几何方程
第一种应用一些文献称为,虚位移原理”,
而将第二种应用称为,虚力原理” 。更确切的
说法为,两种应用的依据是上述两原理的必要
性命题 。上述两原理都是充分、必要性命题,
它们和虚功原理是有区别的 。
虚位移原理,一个力系平衡的充分必要条件是,对
任意协调位移,虚功方程成立,
虚力原理,一个位移是协调的充分必要条件是,对
任意平衡力系,虚功方程成立”。
§ 6-3 位移计算的一般公式
一,单位荷载法
k
iP?
1?P
求 k点竖向位移,
由变形体虚功方程,
变形协调的
位移状态 (P)
平衡的力
状态 (i) δWe =δWi
δWe =P ΔiP
δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
适用于各种杆件体系 (线性,非线性 ),
一,单位荷载法
k
iP?
1?P
求 k点竖向位移,
变形协调的
位移状态 (P)
平衡的力
状态 (i)
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
----适用于各种杆件体系 (线性,非线性 ),
对于由 线弹性 直杆 组成的结构，有,
EI
M
GA
Qk
EA
N P
PP ??? P
PP,,??????
dsEI MMGA QkQEA NN iPPPip ][ ii ???? ? ?
适用于线弹性
直杆体系,
§ 6-3 位移计算的一般公式
q
PQ
PM
1?P
iQ
iM
xl?
dsEI MMGA QkQEA NN iPPPip ][ ii ???? ? ?
例 1：已知图示粱的 E, G,
求 A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态,
0)(,0)( ?? xNxN Pi
)()(,1)( xlqxQxQ Pi ??? 1?P
x
2/)()(,)( 2xlqxMlxxM Pi ?????
l
h
b
q
A
dxEI xlqGA kxlql ]2 )()([0
3
? ????
)(82
42
??? EIqlGAq k l
)(5.2/,10/1/
,5/6,12/,3
钢砼??
???
GElh
kbhIbhA
GA
q k l
EI
ql
QM 2,8:
24
????设
2
4
G A l
E I k
M
Q ?
?
?
1 0 0
1?
?
?
M
Q
对于细长杆,剪切变形
对位移的贡献与弯曲变
形相比可略去不计,
位移方向是如
何确定的?
例 2：求曲梁 B点的竖向位移 (EI,EA,GA已知 )
R
O
B
A
P
解：构造虚设的力状态如图示
?
??
??
??
Rdds
NPN
QPQ
RMPRM
iP
iP
iP
?
????
??
????
s in,s in
c o s,c o s
s in,s in
P=1
R
θ
P
R
θ
PM
PN
PQ
dsEI MMGA QkQEA NN iPPPip ][ ii ???? ? ?
)(444
3
???? EIPRGAk P REAPR ???
)(5.2/,10/1/
,5/6,12/,3
钢砼??
???
GERh
kbhIbhA
EA
PR
GA
k P R
EI
PR
NQM 4,4,4:
3 ???
??????设
1200
1?
?
?
M
N
400
1?
?
?
M
Q
小曲率杆可利用直杆公式近
似计算 ;轴向变形,剪切变形对位
移的影响可略去不计
一,单位荷载法
1.梁与刚架
二,位移计算公式
dsEI MM iPip ? ???
2.桁架
dsEA NN iPip ? ???
EA
lNN iP??
3.组合结构
?? ? ??? EI lNNdsEI MM iPiPip
4.拱
dsEA NNEI MM iPiPip ][ ??? ?
这些公式的适
用条件是什么?
§ 6-3 位移计算的一般公式
解,
例,求图示桁架 (各杆 EA相同 )k点水平位移,
P
a
a
k
1?
0
0
P?
P?
P2
NP 1?
1?
1?
2
2
Ni
??? EA lNN iPkx
)()21(2]222
)1)(()1)([(
1
??????
??????
EA
Pa
aP
aPaP
EA
练习,求图示桁架 (各杆 EA相同 )k点竖向位移,
a
a
P
k
1?
1
1
0
2?
0
0
P2?
P
NP Ni
??? EA lNN iPkx
)()221(
]2)2)(2(1[
1
???
??????
EA
Pa
aPaP
EA
例, 1)求 A点水平位移
一,单位荷载法
二,位移计算公式
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位
广义力在所求广义位移上做功,
三,单位力状态的确定
P
A
B
2)求 A截面转角
3)求 AB两点相对水平位移
4)求 AB两截面相对转角
1?P 1?P 1?P
1?P
§ 6-3 位移计算的一般公式
B
A
?? AB
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
?A?
(a) P=1
P=1
P=1
A B
C
d
?BC?
(c)
dP
1?
dP
1?
A B
C
2d
1d
(d)
?? ACAB?1
1
d
1
1
d
2
1
d2
1
d
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
B??? AB
(e)
P=1
P=1
C
(f)
C? 左右 =？
P=1 P=1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
?A?
(g) A
?AB?
(h)
A
B P=1
P=1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
在杆件数量多的情况下,不方便, 下面介绍
计算位移的图乘法,
? ?? EI sMM PiP d?
§ 6-5 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为,
一、图乘法
? sEIMM P d
?? sMMEI P d1
? ?? xMxEI P dt a n1 ?
?? xxMEI P dt a n ?
cc yEIxEI ??
? 1t a n ????
(对于等
截面杆 )
(对于直杆 )
?? xMMEI P d1
)t a n( ?xM ?
图乘法求位移公式为,
?? EI y cip ??
图乘法的
适用条件是
什么?
图乘法是 Vereshagin于
1925年提出的，他当时
为莫斯科铁路运输学院
的 学生 。
例, 试求图示梁 B端转角,
解, ??? s
EI
MM P
B d?
EI
y c???
A BP
2/l 2/l
EI
B?
A B1?M
4/Pl
1
MP Mi
)(
16
1
2
1
42
11
2
EI
Pl
Pl
l
EI
??
?????
为什么弯矩图在
杆件同侧图乘结
果为正?
例, 试求图示结构 B点竖向位移,
解,
???? sEIMM PBy d
EI
y c???
Pl
MP Mi
)(
3
4
)
3
2
2
1
(
1
3
???
???????
EI
Pl
llPlllPl
EI
1?
l
P
EI
B
EIl
l
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
C
2?nl
2
)1(
?
?
n
ln
1?? n
hl?
h
二次抛物线
M 图
2
1
EI
ql
qll
EI
B
3
2
24
1
]
2
1
)
8
1
3
2
[(
1
??
??????
（ ）
PM 图 281ql
B A
q
1?
例,求图示梁 (EI=常数,跨长为 l)B截面转角 B?
解,
三、图形分解
B?求
1?
A B
mkN ?20
mkN ?40
m10
EI
40
20
MP
Mi
A B
mkN ?20
A B
mkN ?40
40
20
3/23/1
)(
3
5 0 0
)
3
1
2010
2
1
3
2
4010
2
1
(
1
EI
EI
B
????
??????
三、图形分解
B?求
1?
A B
mkN ?20
mkN ?40
m10
EI
40
20
MP
Mi
3/22/1
)(
3
500
)
2
1
2010
3
2
2010
2
1
(
1
EI
EI
B
???
??????
)(
3
5 0 0
)
3
2
20
20(110
2
11
EI
EI
B
??
???????
当两个图形均
为直线图形时,取那
个图形的面积均可,
)(
16
)
43
1
2
1
22
1
42
1
22
43
2
2
1
22
1
(
1
2
EI
Pl
PllPlll
Pll
EI
B
??
????????
????????
4/PlM
P
三、图形分解
B?求
1?
Mi
)(16)21421(1
2
EI
PlPll
EIB ????????
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
线或折线,
A B
2/l
EI
2/l
P
2/1
能用 Mi图面积乘
MP图竖标吗?
三、图形分解
B?求
1?
A B
mkN ?20 mkN ?40
m10
EIMP
Mi
)(
100
)20
3
2
60(110
2
11
EI
EI
B
?
????????
)(
1 0 0
)
2
1
1020
3
2
6010
2
1
(
1
EI
EI
B
???
???????
40
20
60
20
40
20
)(
1 0 0
)
2
1
1020
3
2
6010
2
1
(
1
EI
EI
B
???
???????
三、图形分解
B?求
1?
MP
Mi
)(
24
)1
3
2
42
1
2
1
83
2
(
1
3
22
EI
ql
ql
l
ql
l
EI
B
?
???????????
A B
4/2ql
l
EI
q
4
2ql
8/2ql
q
8/2ql
三、图形分解
C?
求 C截面竖向位移
MP
Mi
)(
4048
19
)
16
3
3
2
32
3
42
1
16
3
2
1
8
)4/(
43
2
16
3
3
2
32
3
4
3
2
1
16
3
2
1
8
)4/3(
4
3
3
2
(
1
422
22
????????????
??????????
EI
qllqllllql
lqllllql
EI
B?
16/3l
8/2ql
4/3l 4/l
A B
EI
q
C
1?P
32/3 2ql
q 32/3 2ql
4/3l
q
32/3 2ql
q32/3 2ql
4/l q
32/3 2ql
8/)4/3( 2lq
8/)4/( 2lq
三、图乘法小结
1,图乘法的应用条件,
（ 1）等截面直杆,EI为常数；
（ 2）两个 M图中应有一个是直线；
（ 3） 应取自直线图中。 cy
2,若 与 在杆件的同侧,取正值；
反之，取负值。
cy?? cy
3,如图形较复杂，可分解为简单图形,
例 1,已知 EI 为常数，求 C,D两点相对水平位移 。 CD?
三、应用举例
A
l
q
B
h q
8/2ql
h
1? 1?
h
MP
iM
)(
12
83
21
3
2
???
? ??????
EI
q h l
hl
ql
EIEI
y c
CD
?
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
例 2,已知 EI 为常数，求铰 C两侧截面相对转角 。 C?
三、应用举例
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
l
q
B
l C
l
q
4/ql
4/ql
MP
1? 1?
0
l/1
1
iM
)(
24
2
1
83
21
3
2
EI
ql
ql
EIEI
y c
CD
??
??????? ?
?
4/2ql4/2ql
例 3,已知 EI 为常数，求 A点竖向位移 。 A?
三、应用举例
)(
48
22
)
22
1
8
2
3
2
23
2
4
2
2
1
23
2
42
1
(
1
4
222
??
?
?
????????????????? ?
EI
ql
EI
lql
l
lql
l
lql
l
EIEI
y c
CD
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
q
l
l
l
q
4/ql
MP
4/2ql
2/1
1
iM
2/l
例 4,图示梁 EI 为常数，求 C点竖向位移。
三、应用举例
iM
2/l
A l/2
q
BC l/2
MP
2/2ql
1
C
)(
1 2 8
5
)
48224
3
28
3
3
1
(
1
3
22
??
?????????? ?
EI
ql
lqllllql
EIEI
y c
C
?
8/2ql
)(
24
1
22
1
23
11
3
2
???
??????? ?
EI
ql
lql
l
EIEI
y c
c
?
32/2ql
例 4,图示梁 EI 为常数，求 C点竖向位移 。
三、应用举例
iM
2/l
A l/2
q
BC l/2
MP
2/2ql
1
C
)(
384
17
)
23
1
822
1
23
2
222
1
22
1
3223
2
(
1
4
2
22
???
????
????????????
?? ?
EI
ql
lqll
lqlllqll
EI
EI
y
c
c
?
8/2ql
q
8/2ql2/2ql
2/2ql
8/2ql
例 4,图示梁 EI 为常数，求 C点竖向位移 。
iM
2/l
A l/2
q
BC l/2
MP
2/2ql
1
C
)(
384
17
)
22
1
82
23
2
422
1
24
3
823
1
(
1
4
2
22
???
???
???????????
?? ?
EI
ql
lqll
lqlllqll
EI
EI
y
c
c
?
8/2ql
q
8/2ql
2/ql
q8/
2ql
4/2ql 2/ql
8/2ql
8/2ql
A
l
P
B
l
P
l
)(
3
10
)24
3
2
2
1
(
1
3
????
??????????
?? ?
EI
Pl
lPlllPll
EI
EI
y
c
ABY
? 图示结构 EI 为常数，求 AB两点 (1)相对竖向位
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
iM
MP
练习
1 1
Pl
l
1 1
ll
iM
0??? ? EIy cA B X ? 0?? ? EIy cAB ??
对称弯矩图
反对称弯矩图
对称结构的对称弯矩图与
其反对称弯矩图图乘,结果
为零,
1 1
1
1
iM
作变形草图
P P Pl
1 1
1
1
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意
反弯点的利用。如,
求 B点水平位移。
练习
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
MP
)(
8
5
4
1
2
3
2
2
11
3
??
????????????? ?
EI
Pl
llPl
EI
llPl
EIEI
y c
B
?
Pl
A B
l
l
EI4
P
EI EI
1
注意,各杆刚度
可能不同
iM
l
已知 EI 为常数，求 C,D两点相对水平位移,并画出变形图。 CD?
MP
l
1? 1?
l
iM
)(
12
11
)
83
2
2
1
3
2
2
1
(
1
4
2
22
???
??????????????? ?
EI
ql
l
ql
llqlllqll
EIEI
y c
CD
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
l
q
B
l
C Dql
q
2ql
ql
已知 EI 为常数，求 B截面转角。
MP
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
A
B
kN/m2
m4
kN6
m2
m3
1?
124
Mi
)(
3
8
)
2
1
44
3
2
1
3
1
124
2
1
(
1
EI
EIEI
y c
B
?
?????????? ?
?
?
)(
3
11
]
2
3
)
3
2
(
2
1
3
2
2
1
[
1
3
??
?????????????????? ?
EI
Pl
l
lPl
l
llPlllPllPll
EIEI
y c
B
?
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
求 B点水平位移,EI=常数。
A
l
P
Bl
l
MP
Pl
Pl2
A
1
B
l2
MP
l
练习
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
)(
4
3
4
)2)(2(
1
4
3
2
2
11
3
????
??????????????? ? ?
EA
Pl
EI
Pl
lP
EA
llPl
EIEA
lNN
EI
y Pic
B
?
求 C,D两点相对水平位移 。 CD?
A B
l
l EA
EI
C D PP
EI
l
MP
Pl
Pl
1
1
iM
l
l
已知,E,I,A为常数，求 。 Cy?
A B
C
P
2l 2l
a
D
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
)(4482211]432)4221[(2
3
????????????? EAPaEIPlaPEAlPllEICy
A B
C
P
2l
a
D
4
PlPM
2/PN P ?
2l
A B
C
1
2l
a
D
4lM
2/1?iN
2l
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
B支座处为刚度 k的弹簧，该如何计算 C点竖向位移？
4
PlPM
2/P PS ?
4lM
2
1?
iS
A B
C
2l
k
2l
=1 P A
B C
2l
k
2l
有弹簧支座的结构位移计算公式为,
? ? ???? kSSsEIMM i PP d
练习
解,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
)(
42
1
2
1
2
)
23
2
22
1
2223
1
22
1
42
(
1
3
???
???????????????????
?? ?
k
P
EI
Pl
k
PlPl
l
lPl
l
lPl
l
lPl
l
EI
EI
y
c
B
?
求 A点竖向位移,EI=常数 。
1/2
iM
MP
Pl
2/Pl
2/P
l l
P
l
A
k
1
k
§ 6-6 静定结构温度变化时的位移计算
变形体虚功方程为,
δWe =δWi
δWe =1ΔkP
δWi =Σ∫MiδkPds
ΔkP =Σ∫MiδkPds
其中,
荷载作用 求 K点竖向位移,
/ E Ik PP M??
δWe =1ΔkP
温度作用 求 K点竖向位移,
δWi =Σ∫[Niδεt +
Qiδγt +Miδkt ]ds 关键是计算微
段的温度变形
设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温
度,上、下边缘的温差,线膨胀系数
为,
0t
t? α
12 ttt ???
stu t dd 0??
h
ththtt
h
htt 2112
12
1
10
????? )(
微段的温度变形分析
h
st
t
dd ??? ?
无剪应变 ? ?
? ?? ?
? ? ??
? ?
???
?
??
????
h
sM
tsNt
h
st
MstN
dskMQN
i
i
itttKy
d
d
d
d
)(
i
i
tii
??
?
?
?????
0
0
若,/ 2
21 hhh ?? 2120 /)( ttt ??
? ? ????? Miit h tlNt ??? )(0
温度引起的位移计算公式,
? ?? ? ???? h sMtsNt iit ddi ?? 0
对等 截 面 直 杆,
上式中的正、负号,
若 和 使杆件的同一边
产生拉伸变形，其乘积为正。
M t?
例,刚架施工时温度为 20,试求冬季外侧温度为
-10,内侧温度为 0 时 A点的竖向位移 。已知
l=4 m,,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
C0
C0
C0 Ay?
510 ???
解：构造虚拟状态
Ct
Ct
0
0
0
103020
25
2
2002010
??????
??
????
?
)(
,
)()(
? ? ???? iiAy h tlNt ??? 0
l
Mi
1
Ni
l))(( 125 ???? ?
ll
h
ll
h
?????
?????
10
1
2
1
10
1
?
?
)(,??? m0050
例,求图示桁架温度改变引起的 AB杆转角,
解：构造虚拟状态
?? lNt iAB 0??
Ni
41 ????? aat )/(?
a?4
?t? ?t? ?t? ?t?
a
A
B
a2
1
a2
1
0
a/1
a/1? a/1? a/1? a/1?
)(t??? ?4
1c
2c
3c
K
K? KC?
1
K
1R
2R
3R
变形体虚功方程为, δWe =δWi
δWe =1ΔkC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3
δWi =0
其中,
计算公式为, ? ????
iiic CR
§ 6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例 1：求??
Cx?
C B
A
P=1
1?AX
1?CY
1?AY
解：构造虚设力状态
1c
2c
3c
C B
A
l
l
)()111( 321321 CCCCCCCx ????????????
解：构造虚设力状态
( ) ?
????????? r a d,)( 0 0 7 502 11 BxByiiA hlcR?
例 2：已知 l=12 m,h=8 m,m 04.0?Bx?
m 06.0?By???A?,求
制造误差引起的位移计算
)(.
)(
???
?????
mm
A
2723
48
11
8
每个上弦杆加长 8mm,求
由此引起的 A点竖向位移,
118/?
mm 4886 ??
m11
A
1
118/?118/?118/?
1,功的互等定理,
方法一
2221211111 2
1
2
1 ??? PPPW ???
11?
11? 2P
12? 22?
2
第 I 状态
12? 2P
11? 21?
2
22?
12?
2P
22?
2 第 Ⅱ 状态
1112122222 2
1
2
1 ??? PPPW ???
由 W1=W 2
212121 ?? PP ?
先加广义力 P1后再加广义力 P2
先加广义力 P2后再加广义力 P1
§ 6-8 线弹性结构的互等定理
线弹性结构的互等定理
1,功的互等定理,
方法一
2221211111 2
1
2
1 ??? PPPW ???
先加广义力 P1,后加广义力 P2。
11?
11? 2P
12? 22?
2
第 I 状态
12? 2P
11? 21?
2
22?
12?
2P
22?
2 第 Ⅱ 状态 先加广义力 P
2,后加广义力 P1。
1112122222 2
1
2
1 ??? PPPW ???
由 W1=W 2
212121 ?? PP ?
在线性变形体系中,I 状态的外力在 II 状态位移
上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上
所做虚功。
功的互等定理
方法二
由虚功原理
12?
2P 2
第 II 状态 第 I 状态 21?
12112 ?PW ?
sEI MMEA NNGA QQk d)( 212121 ??? ? ?
21221 ?PW ?
sEI MMEA NNGA QQk d)( 121212 ??? ? ?
212121 ?? PP ?
212121 ?? PP ?
2,位移互等定理,
12212 ??? P/
122 ?PP /
2
第 II 状态 第 I 状态 21121 ??? P/
12?
2P 2
第 II 状态 第 I 状态 21?
121212 PP // ??? 2112
?? ?
单位广义力 1引起，单位广义力 2作用处沿广义力 2方
向的位移，恒等于单位广义力 2引起，单位广义力 1作
用处沿广义力 1方向的位移 。 -----位移互等定理
12?
12 ?P
2
第 II 状态 第 I 状态 21? 2112 ?? ?
单位广义力是量纲为一的量 ；
互等不仅是指 数值相等,且 量纲也相同 。
如图示长 l, EI 为常数的简支梁
EI
l
B 16
2
21 ?? ?? EI
lf
c 16
2
12 ???
第 II 状态
12 ?PA C B
Cf第 I 状态 B?
A C 11 ?P B 跨中
数值、量纲都相等
3,反力互等定理,
由功的互等定理有,
11 1221 ??? rr 1221 rr ?
支座 1 发生单位广义位移所引起的支座 2中的
反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的
支座 1中的反力。 -----反力互等定理
4,反力位移互等定理,
2112 ???r
单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发
生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向
的位移，但符号相反。 -----反力位移互等定理
