第九章 渐近法
力矩分配法的基本原理
弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解
的近似方法。
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结
构。
M 以图示具体例子加以说明
A B
1l 2l
1EI 2EIC 按位移法求解时，可
得下页所示结果
P1R
C
M
2111 34 iir ??
MR ??P1
)34/( 211 iiMZ ??
)34/(4 211 iiiMM CA ???
)34/(3 212 iiiMM CB ???
由此可得到什么结论呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?
C
11 ?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
11 4/2 iiMM CAAC ??
23/0 iMM CBBC ??
结点力偶可按如下系
数分配、传递到杆端
)34/(4 211 iiiCA ???
CACA MM ???
CBCB MM ???
即
)34/(3 212 iiiCB ???
那么如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?
C
11 ?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
0 ;2/1 ?? CBCA CC
CBCBBCCACAAC CMMCMM ???? ;
FCACACA MMM ??? ?
FCBCBCB MMM ??? ?
叠加得最终杆端弯矩为
为进一步推广，先引进
一些基本名词的定义。
P1R
C FCBMFCAM
位移法求解如图所示，
相当的 C点集中力偶 M为
)( FF CBCA MMM ???
11 ?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
A B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?C
1PF 2PF
FACCACAAC MCMM ???? ?
FBCCBCBBC MCMM ???? ?
基本名词定义
? 转动刚度,AB杆 仅当 A端产生单位转动 时，
A端所施加的杆端弯矩，称为 AB杆 A端的转动
刚度，记作 SAB。
A B
iS AB 4?
i A B
iS AB 3?
i A B
iS AB ?
i
A端一般称为近端（本端）,B端一般称为
远端（它端）。
对等直杆，由形常数可知 SAB
只与 B端的支撑条件有关。 三种基本单跨梁的
转动刚度分别为
? 不平衡力矩,结构无结点转角位移时，交汇
于 A结点各杆固端弯矩的代数和，称为 A结点的
不平衡力矩。
显然,A结点各杆的分配系数总和恒等于 1。
? 分配系数,结构交汇于 A结点各杆的转动刚
度总和分子某杆该端的转动刚度，称为该杆 A
结点的分配系数。
?
?
? n
j
Aj
Ai
Ai
S
S
1
?
它可由位移法三类杆件的载常数
求得。
例如交汇于 A结点的 n杆中第 i
杆 A结点的分配系数为
A B
2/1?ABC
i A B
0?ABC
i A B
1??ABC
i
? 分配力矩,将 A结点的不平衡力矩改变符号，
乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端
弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。
显然，传递系数也仅与远端约束有关。
? 传递系数,三类位移法基本杆件 AB，当仅
其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近
端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，
记作 CAB 。 例如对位移法三类等直杆
? 传递力矩,将 A结点的分配力矩乘以传递系
数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力
矩（传递弯矩）。
对于仅一个转动位移的结构，应用上述名词，
本质是位移法的求解也可看成是 先固定结点，由
固端弯矩获得结点不平衡力矩；
? 最终杆端弯矩,杆端固端弯矩、全部分配弯
矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端
弯矩。
这种直接
求杆端弯矩，区段叠加作 M图的方法即为弯矩
分配法 。
然后用分配系
数求杆端分配弯矩； 接着用传递系数求传递弯
矩； 最后计算杆端最终杆端弯矩。
弯矩分配法的物理概念
A B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?C
1PF 2PF 单结点分配 设有如图所示单结点 (位
移 )结构。
首先锁定结点使无位移。
由载常数可获得 AC,CB杆的固端弯矩，此时附
加刚臂上产生不平衡力矩 。 FF CBCA MM ?
放松结点 (反向加不平衡
力矩 )使产生实际结点位
移，此时可分配和传递
计算分配和传递弯矩。
A B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?C
FF CBCA MM ?
因此
杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递
弯矩）相加得到，这时结果是精确解。
最后累加固端、分配和传递得结果。
多结点 (位移 )分配
对多结点 (位移 )结构，弯矩分配法的思路是：
首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大
的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该
结点使其达到, 平衡, (包括分配和传递 )。 接着
重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，
如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到
可忽略。
锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产
生实际结点位移，这就是位移法的结果。
分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡
力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。
由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一
种逐渐逼近精确解的近似方法。
实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传
递 (考试只进行二轮即可 )。
因为分配系数小于 1，传递系数也小于 1(因为定
向支座处不分配 )，因此一轮分配、传递后，新
的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无
限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以
获得问题的精确解。
弯矩分配法举例
例子：试求作图示连续梁的 M图。 EI等于常数，
l1=6 m,l2=5 m。（只计算二轮）
A B
1l 2l
3/1 EIi ? 5/2 EIi ?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
P5.1 F P5.2 F
P5.2 F
P5.1 F
解：锁定 B,C,D三结点，由载常数可得图示
固端弯矩。 对此锁定结构，由形常数可求得分
配系数为,
。3 7 5.0,6 2 5.0 ?? BCBA ??
。5.0,5.0 ?? CDCB ?? 。2 9 4.0,7 0 6.0 ?? DEDC ??
结
束
A B5.0 C D E5.0 5.0 1?706.0 294.05.0 5.0625.0 375.0
883.0 735.0?469.0? 281.0?938.0? 562.0? 765.1 735.0
301.0? 301.0?
151.0? 151.0?
044.0?054.0 107.0 044.0094.0 057.0029.0 028.0
041.0? 041.0?656.0 656.0?94.1? 279.3?721.1?721.1
595.0? 595.0
将分配、传递系数如图标于结点和杆上,
A B
1l 2l
3/1 EIi ? 5/2 EIi ?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
279.3
721.1
595.0
656.094.1 )( PFM ?
5.1? 5.1 5.2? 5.2? )( PF?
将固
端弯矩也标于图上。即可如图所示做弯矩分配
力矩分配法的基本原理
弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解
的近似方法。
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结
构。
M 以图示具体例子加以说明
A B
1l 2l
1EI 2EIC 按位移法求解时，可
得下页所示结果
P1R
C
M
2111 34 iir ??
MR ??P1
)34/( 211 iiMZ ??
)34/(4 211 iiiMM CA ???
)34/(3 212 iiiMM CB ???
由此可得到什么结论呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?
C
11 ?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
11 4/2 iiMM CAAC ??
23/0 iMM CBBC ??
结点力偶可按如下系
数分配、传递到杆端
)34/(4 211 iiiCA ???
CACA MM ???
CBCB MM ???
即
)34/(3 212 iiiCB ???
那么如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?
C
11 ?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
0 ;2/1 ?? CBCA CC
CBCBBCCACAAC CMMCMM ???? ;
FCACACA MMM ??? ?
FCBCBCB MMM ??? ?
叠加得最终杆端弯矩为
为进一步推广，先引进
一些基本名词的定义。
P1R
C FCBMFCAM
位移法求解如图所示，
相当的 C点集中力偶 M为
)( FF CBCA MMM ???
11 ?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
A B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?C
1PF 2PF
FACCACAAC MCMM ???? ?
FBCCBCBBC MCMM ???? ?
基本名词定义
? 转动刚度,AB杆 仅当 A端产生单位转动 时，
A端所施加的杆端弯矩，称为 AB杆 A端的转动
刚度，记作 SAB。
A B
iS AB 4?
i A B
iS AB 3?
i A B
iS AB ?
i
A端一般称为近端（本端）,B端一般称为
远端（它端）。
对等直杆，由形常数可知 SAB
只与 B端的支撑条件有关。 三种基本单跨梁的
转动刚度分别为
? 不平衡力矩,结构无结点转角位移时，交汇
于 A结点各杆固端弯矩的代数和，称为 A结点的
不平衡力矩。
显然,A结点各杆的分配系数总和恒等于 1。
? 分配系数,结构交汇于 A结点各杆的转动刚
度总和分子某杆该端的转动刚度，称为该杆 A
结点的分配系数。
?
?
? n
j
Aj
Ai
Ai
S
S
1
?
它可由位移法三类杆件的载常数
求得。
例如交汇于 A结点的 n杆中第 i
杆 A结点的分配系数为
A B
2/1?ABC
i A B
0?ABC
i A B
1??ABC
i
? 分配力矩,将 A结点的不平衡力矩改变符号，
乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端
弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。
显然，传递系数也仅与远端约束有关。
? 传递系数,三类位移法基本杆件 AB，当仅
其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近
端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，
记作 CAB 。 例如对位移法三类等直杆
? 传递力矩,将 A结点的分配力矩乘以传递系
数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力
矩（传递弯矩）。
对于仅一个转动位移的结构，应用上述名词，
本质是位移法的求解也可看成是 先固定结点，由
固端弯矩获得结点不平衡力矩；
? 最终杆端弯矩,杆端固端弯矩、全部分配弯
矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端
弯矩。
这种直接
求杆端弯矩，区段叠加作 M图的方法即为弯矩
分配法 。
然后用分配系
数求杆端分配弯矩； 接着用传递系数求传递弯
矩； 最后计算杆端最终杆端弯矩。
弯矩分配法的物理概念
A B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?C
1PF 2PF 单结点分配 设有如图所示单结点 (位
移 )结构。
首先锁定结点使无位移。
由载常数可获得 AC,CB杆的固端弯矩，此时附
加刚臂上产生不平衡力矩 。 FF CBCA MM ?
放松结点 (反向加不平衡
力矩 )使产生实际结点位
移，此时可分配和传递
计算分配和传递弯矩。
A B
1l 2l
111 / lEIi ? 222 / lEIi ?C
FF CBCA MM ?
因此
杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递
弯矩）相加得到，这时结果是精确解。
最后累加固端、分配和传递得结果。
多结点 (位移 )分配
对多结点 (位移 )结构，弯矩分配法的思路是：
首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大
的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该
结点使其达到, 平衡, (包括分配和传递 )。 接着
重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，
如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到
可忽略。
锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产
生实际结点位移，这就是位移法的结果。
分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡
力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。
由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一
种逐渐逼近精确解的近似方法。
实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传
递 (考试只进行二轮即可 )。
因为分配系数小于 1，传递系数也小于 1(因为定
向支座处不分配 )，因此一轮分配、传递后，新
的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无
限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以
获得问题的精确解。
弯矩分配法举例
例子：试求作图示连续梁的 M图。 EI等于常数，
l1=6 m,l2=5 m。（只计算二轮）
A B
1l 2l
3/1 EIi ? 5/2 EIi ?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
P5.1 F P5.2 F
P5.2 F
P5.1 F
解：锁定 B,C,D三结点，由载常数可得图示
固端弯矩。 对此锁定结构，由形常数可求得分
配系数为,
。3 7 5.0,6 2 5.0 ?? BCBA ??
。5.0,5.0 ?? CDCB ?? 。2 9 4.0,7 0 6.0 ?? DEDC ??
结
束
A B5.0 C D E5.0 5.0 1?706.0 294.05.0 5.0625.0 375.0
883.0 735.0?469.0? 281.0?938.0? 562.0? 765.1 735.0
301.0? 301.0?
151.0? 151.0?
044.0?054.0 107.0 044.0094.0 057.0029.0 028.0
041.0? 041.0?656.0 656.0?94.1? 279.3?721.1?721.1
595.0? 595.0
将分配、传递系数如图标于结点和杆上,
A B
1l 2l
3/1 EIi ? 5/2 EIi ?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
279.3
721.1
595.0
656.094.1 )( PFM ?
5.1? 5.1 5.2? 5.2? )( PF?
将固
端弯矩也标于图上。即可如图所示做弯矩分配
