第十二章 结构的极限荷载
§ 12-1 概述
结构的弹性分析,
假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。
荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。
结构的塑性分析,
基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑
性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载 ---极限荷载。
极限荷载,
结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界值时,
不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能
力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的
荷载极限，称为极限荷载，记作 Pu 。
弹性设计时的强度条件,
塑性设计时的强度条件,
k
s??? ?? ][
m a x
k
PPP u
W ?? ][
计算假定,材料为理想弹塑性材料。 ?
?
s?
s?
§ 12-2 极限弯矩和塑性铰 · 破坏
机构 · 静定梁的计算
MM
h
b
MM
h
b
1.弹性阶段
s?? ?m a x ?? E?
---应力应变关系
yk?? ---应变与曲率关系
Eyk?? ---应力与曲率关系
E Ikyd AM A ?? ? ? ---弯矩与曲率关系
s?
s?
s?? ?m a x
ss
bhM ?
6
2
?
---弹性极限弯矩 (屈服弯矩 )
线性关系
ss
bhM ?
6
2
?
MM
h
b
2.弹塑性阶段
中性轴附近处于弹性状态,处于弹性的部分称为弹性核,
])(3[2 2kkMM ss ??
---弯矩与曲率关系
s?
s?
非线性关系
s?
s?
0y
0y
s
s
M
M
k
k 23 ??或
3.塑性流动阶段
s?
s?
su
bhM ?
4
2
?
---塑性极限弯矩 (简称为极限弯矩 )
ss
bhM ?
6
2
?
5.1?
s
u
M
M
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。
设截面上受压和受拉的面积分别为 和,当截面上无轴力作用时 1A 2A
021 ?? AA ss ?? 2/21 AAA ??
中性轴亦为等分截面轴。
)( 212211 SSaAaAM sssu ???? ???
由此可得极限弯矩的计算方法
式中 距离，的形心到等分截面轴的、为,2121 AAaa 对该轴的静矩。、为,2121 AASS
MM
h
b
s?
s?
s?
s?
0y
0y
3.塑性流动阶段
s?
s?
su
bhM ?
4
2
?
---塑性极限弯矩 (简称为极限弯矩 )
5.1?
s
u
M
M
ss
bhM ?
6
2
?
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。
设截面上受压和受拉的面积分别为 和,当截面上无轴力作用时 1A 2A
021 ?? AA ss ?? 2/21 AAA ??
中性轴亦为等分截面轴。
)( 212211 SSaAaAM sssu ???? ???
由此可得极限弯矩的计算方法
式中 距离，的形心到等分截面轴的、为,2121 AAaa 对该轴的静矩。、为,2121 AASS
例：已知材料的屈服极限,求图示截面的极限弯矩。 M P a240?
s?
mm80
mm20
解, 2m0 0 3 6.0?A
221 m0 0 1 8.02/ ??? AAA
A1形心距下端 0.045m,A2形心距上端 0.01167m,
A1与 A2的形心距为 0.0633m,
)( 21 SSM su ?? ?
k N, m36.270 6 3 3.02 ???? As?
塑性铰
uk
若截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 。
s
s
M
M
k
k 23 ?? 5.1?
s
u
M
M
023 ???
s
u
u
s
M
M
k
k
??uk 意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。 称为塑性铰。
塑性铰与铰的差别,
1.塑性铰可承受极限弯矩 ;
2.塑性铰是单向的 ;
3.卸载时消失 ;
4.随荷载分布而出现于不同截面。
破坏机构
结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。
破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
§ 12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
P
A
l/2 l/2
B
C
P
A B
C
16/3Pl
32/5Pl
uA MPlM ?? 16/3
A截面先出现塑性铰，这时
lMP u 3/16?
A B
P?
C
4/lP??
4/32/5 PlPlM C ???
再增加荷载
令
uC MM ?
4/32/5 PlPlM u ???
将 P代入，得
4/316325 PllMlM uu ????
lMP u 3/2?? lMPPP uu /6????
逐渐加载法（增量法）
lMP u 3/2?? lMPPP uu /6????
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为 A,C。利用极限状态的
平衡可直接求出极限荷载。
??
??
??2 RB
A B
uM
Pu
C
uM
逐渐加载法（增量法）
P
A
l/2 l/2
B
C
P
A B
C
16/3Pl
32/5Pl
A B
P?
C
4/lP??
? ? 0AM )2(1 uuB MlPlR ???
? ? 0CM 242 uuBu MlPlRM ????
uuuu MlMMlP
6)
2
1(4 ???
或列虚功方程
022 ?????? ?????? uuu MMlP
uu MlP
6?
极限平衡法
例,求图示等截面梁的极限荷载,已知梁的极限弯矩为 Mu。
? ? 0AM
2
2
1 xqxRM
uBC ??? ? 0CM
)2(1 uuB MllqlR ???
2
2
1)
2( xqxl
Mlq
uuu ???
因为 是最大弯矩,
CM
A
l
B
q 解, 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性
分析，一个在 A截面，设另一个在 C截面。
RB
A B
uM
C
uM
x
uq
0?dxdM C
02 ??? xqlMlq uuu
)2(
2
xll
Mq u
u ??
02 22 ??? llxx
lx )21( ???
llx 4 1 4 2.0)12( ???
uu Mlq 2
66.11?
例,求图示变截面梁的极限荷载,已知 AB段的极限弯矩为 2Mu,BC段为 Mu 。
这种情况不会出现。
uA MM 3?
解, 确定塑性铰的位置,
ylA ??? ?32
A
l/3
B C
P
l/3 l/3 D若 B,D出现塑性铰，则 B,D两截面的弯矩 为 Mu,
若 A出现塑性铰，再加荷载时,B截面弯矩
减少 D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于
D截面。
uM
uM3 u
M
A
B
P?
uM2
uM
uP
A
C
uM2
y?
D??
A?? C
??
ylC ??? ?3
lyCAD 2/9 ??????? ???
02 ??? DuAuu MMyP ?????
029232 ??? ylMylMyP uuu ???
uu MlP 2
15?
列虚功方程
由前面例题可见,若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即
可求出极限荷载 。
同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等
因素无关 。
§ 12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理
比例加载 ---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现
卸载的加载方式。
1P 2P1q 2
q
PP 11 ?? PP 22 ??
Pq 22 ??Pq 11 ??
求极限荷载相当于求 P的极限值。
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件,
1.单向机构条件； 2.内力局限条件； 3.平衡条件。
可破坏荷载 --- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。
可接受荷载 --- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
?P
?P
极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
比例加载时关于极限荷载的定理,
?? ? PP
证明,取任一可破坏荷载 ?P,给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程
?
?
? ??? n
i
iuiMP
1
?
取任一可接受荷载 ?P,在与上面相同虚位移上列虚功方程
?
?
?? ??? n
i
iiMP
1
? uii MM ??
?? ? PP
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
?? ? PP
证明,取任一可破坏荷载 ?P,给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程
?
?
? ??? n
i
iuiMP
1
?
取任一可接受荷载 ?P,在与上面相同虚位移上列虚功方程
?
?
?? ??? n
i
iiMP
1
? uii MM ??
?? ? PP
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。
证明,设同一结构有两个极限荷载 和 。
1uP 2uP
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP 2uP
21 uu PP ?
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP2uP
21 uu PP ?
故有
21 uu PP ?
3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
证明,由于极限荷载 是可接受荷载，由基本定理 uP
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。
证明,设同一结构有两个极限荷载 和 。
1uP 2uP
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP 2uP
21 uu PP ?
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP2uP
21 uu PP ?
故有
21 uu PP ?
??PPu
4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明,由于极限荷载 是可破坏荷载，由基本定理 uP
??PPu
列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机
构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
定理的应用,
穷举法,
每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏
荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可
破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构
继续运算。
试算法,
极小定理的应用
唯一性定理的应用
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为 Mu 。
P
A
l/3 l/3
B C
P
l/3
D解,1.用穷举法求解
共有三种可能的破坏机构
P
A
l/3 l/3
B C
P
l/3
D
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为 Mu 。
解,1.用穷举法求解
共有三种可能的破坏机构,
（ 1） A,B出现塑性铰
??3
????2
3/2 ??l 3/??l
032332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
uMlP
5??
（ 2） A,C出现塑性铰
03332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
uMlP
4??
??3
?? ??2
3/2 ??l
3/??l
??
??2
3/??l
??（ 3） B,C出现塑性铰
023 ??????? ?????? uu MMlP
uMlP
9?? uu MlP
4?
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为 Mu 。
P
A
B C
P
D
解,
（ 1）选 A,B出现塑性铰形成的破坏机构
??3
????2
3/2 ??l 3/??l
032332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
uMlP
5??
2.用试算法求解
lMu /5
uM
uM
lMu /5
3/4 uM
由作出的弯矩图可见,C截面不满足内力
局限性条件。
（ 2）选 A,C出现塑性铰形成的破坏机构
由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。
03332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
??3
?? ??2
3/2 ??l
3/??l
uM
uM
lMu /4 lMu /4
3/uM
uMlP
4??
uu MlP
4?
例,求图示等截面梁的极限荷载,已知梁的极限弯矩为 Mu。
A
l
B
q 解, 用上限定理（极小定理）计算。
l
M
xlx
xlq u2
)(
2 ?
?
???
024 22 ??? llxx
0?
?
dx
dq
A B
uM
C
uM
x
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021 ?????? CuAu MMlq ??
A? B
??
C?
xxl AB
??
?
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?????? )11( xxlBAC ???
0)11(2 ?????????? xxlMxMlq uu
0)11(12 ??????? xxlMxMlq uu
lx
lx
)22(
)22(
2
1
??
??
2m i n 66.11 l
Mqq u
u ??
?
§ 12-6 连续梁的极限荷载
连续梁的破坏机构
一跨单独破坏
相邻跨联合破坏
不会出现
在各跨等截面、荷
载方向相同条件下,
破坏机构只能在各
跨内独立形成。
例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB,BC跨的极限
弯矩为 Mu, CD跨的极限弯矩为 3Mu 。
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载,
（ 1） AB跨破坏时
0.8P
A
B C
D
P P q=P/a
E F
a a a a a 2a
0.8P
D
P P q=P/a
??
??2
??
?????? ?????? uu MMaP 28.0
aMP u /75.3??
（ 2） BC跨破坏时
???????? uuu MMMaaaP ????????
?
2221
aMP u /4??
0.8P P P q=P/a
??
??2
?? （ 3） CD跨破坏时
有三种情况,
例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB,BC跨的极限
弯矩为 Mu, CD跨的极限弯矩为 3Mu 。
0.8P
A
B C
D
P P q=P/a
E F
a a a a a 2a
0.8P
D
P P q=P/a
??3
??2??
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载,
（ 1） AB跨破坏时
?????? ?????? uu MMaP 28.0
aMP u /75.3??
（ 2） BC跨破坏时
???????? uuu MMMaaaP ????????
?
2221
aMP u /4??
（ 3） CD跨破坏时 有三种情况
0.8P P P q=P/a
0.8P P P q=P/a ???????? 332 ??????? ??
uu MMaPaP
aMP u /33.3??
aMP uu /33.3?
§ 12-1 概述
结构的弹性分析,
假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。
荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。
结构的塑性分析,
基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑
性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载 ---极限荷载。
极限荷载,
结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界值时,
不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能
力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的
荷载极限，称为极限荷载，记作 Pu 。
弹性设计时的强度条件,
塑性设计时的强度条件,
k
s??? ?? ][
m a x
k
PPP u
W ?? ][
计算假定,材料为理想弹塑性材料。 ?
?
s?
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§ 12-2 极限弯矩和塑性铰 · 破坏
机构 · 静定梁的计算
MM
h
b
MM
h
b
1.弹性阶段
s?? ?m a x ?? E?
---应力应变关系
yk?? ---应变与曲率关系
Eyk?? ---应力与曲率关系
E Ikyd AM A ?? ? ? ---弯矩与曲率关系
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6
2
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---弹性极限弯矩 (屈服弯矩 )
线性关系
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6
2
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MM
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2.弹塑性阶段
中性轴附近处于弹性状态,处于弹性的部分称为弹性核,
])(3[2 2kkMM ss ??
---弯矩与曲率关系
s?
s?
非线性关系
s?
s?
0y
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s
s
M
M
k
k 23 ??或
3.塑性流动阶段
s?
s?
su
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4
2
?
---塑性极限弯矩 (简称为极限弯矩 )
ss
bhM ?
6
2
?
5.1?
s
u
M
M
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。
设截面上受压和受拉的面积分别为 和,当截面上无轴力作用时 1A 2A
021 ?? AA ss ?? 2/21 AAA ??
中性轴亦为等分截面轴。
)( 212211 SSaAaAM sssu ???? ???
由此可得极限弯矩的计算方法
式中 距离，的形心到等分截面轴的、为,2121 AAaa 对该轴的静矩。、为,2121 AASS
MM
h
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s?
s?
s?
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3.塑性流动阶段
s?
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4
2
?
---塑性极限弯矩 (简称为极限弯矩 )
5.1?
s
u
M
M
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6
2
?
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。
设截面上受压和受拉的面积分别为 和,当截面上无轴力作用时 1A 2A
021 ?? AA ss ?? 2/21 AAA ??
中性轴亦为等分截面轴。
)( 212211 SSaAaAM sssu ???? ???
由此可得极限弯矩的计算方法
式中 距离，的形心到等分截面轴的、为,2121 AAaa 对该轴的静矩。、为,2121 AASS
例：已知材料的屈服极限,求图示截面的极限弯矩。 M P a240?
s?
mm80
mm20
解, 2m0 0 3 6.0?A
221 m0 0 1 8.02/ ??? AAA
A1形心距下端 0.045m,A2形心距上端 0.01167m,
A1与 A2的形心距为 0.0633m,
)( 21 SSM su ?? ?
k N, m36.270 6 3 3.02 ???? As?
塑性铰
uk
若截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 。
s
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M
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M
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塑性铰与铰的差别,
1.塑性铰可承受极限弯矩 ;
2.塑性铰是单向的 ;
3.卸载时消失 ;
4.随荷载分布而出现于不同截面。
破坏机构
结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。
破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
§ 12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
P
A
l/2 l/2
B
C
P
A B
C
16/3Pl
32/5Pl
uA MPlM ?? 16/3
A截面先出现塑性铰，这时
lMP u 3/16?
A B
P?
C
4/lP??
4/32/5 PlPlM C ???
再增加荷载
令
uC MM ?
4/32/5 PlPlM u ???
将 P代入，得
4/316325 PllMlM uu ????
lMP u 3/2?? lMPPP uu /6????
逐渐加载法（增量法）
lMP u 3/2?? lMPPP uu /6????
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为 A,C。利用极限状态的
平衡可直接求出极限荷载。
??
??
??2 RB
A B
uM
Pu
C
uM
逐渐加载法（增量法）
P
A
l/2 l/2
B
C
P
A B
C
16/3Pl
32/5Pl
A B
P?
C
4/lP??
? ? 0AM )2(1 uuB MlPlR ???
? ? 0CM 242 uuBu MlPlRM ????
uuuu MlMMlP
6)
2
1(4 ???
或列虚功方程
022 ?????? ?????? uuu MMlP
uu MlP
6?
极限平衡法
例,求图示等截面梁的极限荷载,已知梁的极限弯矩为 Mu。
? ? 0AM
2
2
1 xqxRM
uBC ??? ? 0CM
)2(1 uuB MllqlR ???
2
2
1)
2( xqxl
Mlq
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因为 是最大弯矩,
CM
A
l
B
q 解, 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性
分析，一个在 A截面，设另一个在 C截面。
RB
A B
uM
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0?dxdM C
02 ??? xqlMlq uuu
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2
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uu Mlq 2
66.11?
例,求图示变截面梁的极限荷载,已知 AB段的极限弯矩为 2Mu,BC段为 Mu 。
这种情况不会出现。
uA MM 3?
解, 确定塑性铰的位置,
ylA ??? ?32
A
l/3
B C
P
l/3 l/3 D若 B,D出现塑性铰，则 B,D两截面的弯矩 为 Mu,
若 A出现塑性铰，再加荷载时,B截面弯矩
减少 D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于
D截面。
uM
uM3 u
M
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B
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02 ??? DuAuu MMyP ?????
029232 ??? ylMylMyP uuu ???
uu MlP 2
15?
列虚功方程
由前面例题可见,若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即
可求出极限荷载 。
同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等
因素无关 。
§ 12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理
比例加载 ---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现
卸载的加载方式。
1P 2P1q 2
q
PP 11 ?? PP 22 ??
Pq 22 ??Pq 11 ??
求极限荷载相当于求 P的极限值。
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件,
1.单向机构条件； 2.内力局限条件； 3.平衡条件。
可破坏荷载 --- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。
可接受荷载 --- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
?P
?P
极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
比例加载时关于极限荷载的定理,
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证明,取任一可破坏荷载 ?P,给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程
?
?
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i
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1
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取任一可接受荷载 ?P,在与上面相同虚位移上列虚功方程
?
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1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
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证明,取任一可破坏荷载 ?P,给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程
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?
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i
iuiMP
1
?
取任一可接受荷载 ?P,在与上面相同虚位移上列虚功方程
?
?
?? ??? n
i
iiMP
1
? uii MM ??
?? ? PP
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。
证明,设同一结构有两个极限荷载 和 。
1uP 2uP
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP 2uP
21 uu PP ?
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP2uP
21 uu PP ?
故有
21 uu PP ?
3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
证明,由于极限荷载 是可接受荷载，由基本定理 uP
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。
证明,设同一结构有两个极限荷载 和 。
1uP 2uP
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP 2uP
21 uu PP ?
若把 看成可破坏荷载,看成可接受荷载。 1uP2uP
21 uu PP ?
故有
21 uu PP ?
??PPu
4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明,由于极限荷载 是可破坏荷载，由基本定理 uP
??PPu
列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机
构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
定理的应用,
穷举法,
每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏
荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可
破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构
继续运算。
试算法,
极小定理的应用
唯一性定理的应用
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为 Mu 。
P
A
l/3 l/3
B C
P
l/3
D解,1.用穷举法求解
共有三种可能的破坏机构
P
A
l/3 l/3
B C
P
l/3
D
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为 Mu 。
解,1.用穷举法求解
共有三种可能的破坏机构,
（ 1） A,B出现塑性铰
??3
????2
3/2 ??l 3/??l
032332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
uMlP
5??
（ 2） A,C出现塑性铰
03332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
uMlP
4??
??3
?? ??2
3/2 ??l
3/??l
??
??2
3/??l
??（ 3） B,C出现塑性铰
023 ??????? ?????? uu MMlP
uMlP
9?? uu MlP
4?
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为 Mu 。
P
A
B C
P
D
解,
（ 1）选 A,B出现塑性铰形成的破坏机构
??3
????2
3/2 ??l 3/??l
032332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
uMlP
5??
2.用试算法求解
lMu /5
uM
uM
lMu /5
3/4 uM
由作出的弯矩图可见,C截面不满足内力
局限性条件。
（ 2）选 A,C出现塑性铰形成的破坏机构
由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。
03332 ????????? ?? ???????? uu MMlPlP
??3
?? ??2
3/2 ??l
3/??l
uM
uM
lMu /4 lMu /4
3/uM
uMlP
4??
uu MlP
4?
例,求图示等截面梁的极限荷载,已知梁的极限弯矩为 Mu。
A
l
B
q 解, 用上限定理（极小定理）计算。
l
M
xlx
xlq u2
)(
2 ?
?
???
024 22 ??? llxx
0?
?
dx
dq
A B
uM
C
uM
x
?q
021 ?????? CuAu MMlq ??
A? B
??
C?
xxl AB
??
?
?? ?? ;
?????? )11( xxlBAC ???
0)11(2 ?????????? xxlMxMlq uu
0)11(12 ??????? xxlMxMlq uu
lx
lx
)22(
)22(
2
1
??
??
2m i n 66.11 l
Mqq u
u ??
?
§ 12-6 连续梁的极限荷载
连续梁的破坏机构
一跨单独破坏
相邻跨联合破坏
不会出现
在各跨等截面、荷
载方向相同条件下,
破坏机构只能在各
跨内独立形成。
例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB,BC跨的极限
弯矩为 Mu, CD跨的极限弯矩为 3Mu 。
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载,
（ 1） AB跨破坏时
0.8P
A
B C
D
P P q=P/a
E F
a a a a a 2a
0.8P
D
P P q=P/a
??
??2
??
?????? ?????? uu MMaP 28.0
aMP u /75.3??
（ 2） BC跨破坏时
???????? uuu MMMaaaP ????????
?
2221
aMP u /4??
0.8P P P q=P/a
??
??2
?? （ 3） CD跨破坏时
有三种情况,
例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB,BC跨的极限
弯矩为 Mu, CD跨的极限弯矩为 3Mu 。
0.8P
A
B C
D
P P q=P/a
E F
a a a a a 2a
0.8P
D
P P q=P/a
??3
??2??
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载,
（ 1） AB跨破坏时
?????? ?????? uu MMaP 28.0
aMP u /75.3??
（ 2） BC跨破坏时
???????? uuu MMMaaaP ????????
?
2221
aMP u /4??
（ 3） CD跨破坏时 有三种情况
0.8P P P q=P/a
0.8P P P q=P/a ???????? 332 ??????? ??
uu MMaPaP
aMP u /33.3??
aMP uu /33.3?
