第十一章 影响线及其应用
§ 11-2 静力法做单跨梁的影响线
影响线,当方向不变的集中单位荷载沿某一方向移动时,
表示结构某处量值变化规律的图形
P=1
A B
1 RA
横轴：荷载的作用位置；
纵轴：影响量的大小；
1 支反力：以向上为正，
正的画在上面。
? ?
lxRM
lxlRM
BA
AB
/0
/0
??
???
?
?
P=1
A B
a b
C
一 剪支梁
2 弯矩：以下侧受拉为
正，正的画在上面。
? ?? ?
段作用在
段作用在
ACPbRM
CBPaRM
BC
AC
?
?
解
1 RA
RB
1
MC
a b ab/l
3 剪力：绕隔离体顺时针
转动为正，正的画在上面。
? ?
? ?段作用在
段作用在
ACPRQ
CBPRQ
BC
AC
?
?
QC
b/l
a/l
二 悬臂梁
a b
C A B
P=1
RA 1
b
MC
1 QC
11 ?AR
? ?
? ?段作用在
段作用在
ACPM
CBPxM
C
C
0
2
?
??
? ?
? ?段作用在
段作用在
ACPQ
CBPQ
C
C
0
13
?
?
解
三 伸臂梁 P=1
A B C
a a a a
D
RA 1
1
RD
QC
1/2
1/2 1/2
1/2
MC
a/2
a/2
P=1
A B C
a a a a
D
QD 1
MD
a
QB左 1/2
1 1/2
QB
1
1 截面在简支梁部分，其影响线是将简支梁影响线延长；
2 截面在悬臂梁部分，其影响线是将悬臂梁画上即可，其
余部分无影响；
四 其它类型
RA 1
P=1
A B C
a a
1 R
C
a
MC
左CQ 1
1
右AQ
BQ 1
解,
? ?
? ???
???
?
????
段在 BCPR
axa xaR
A
A
0
0
? ?
? ???
?
?
?
???
?????
段在 BCPRR
ax
a
xRR
AC
AC
11
01
? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
??????
axaax
xaM
axxaRM
C
CC
22
21
0
CC RQ ??左 AA
RQ ?右
? ?
? ???
?
?
??
段在
段在
BCPQ
ABPRQ
B
CB
0
M=1
A B C
a a a
1/2 RB
1/2
QC 1/l
1 左BM
lR A /1??
? ?
? ???
?
??
?
?
???
???
段在
段在
CEM
l
RM
ACMM
l
RM
AC
AC
2
1
2
2
1
2
AC RQ ?
? ?
? ???
???
?
??
段在
段在
左
左
BEMlRM
ABMlRM
AB
AB 1
解
RA 1/l
A
B
l l l l l
l
l
1
2
3
C
? ?
? ???
?
?
??
点在
点在
CPlM
BPlM
A
A 4
? ?
? ???
?
?
??
段在
点在
CPM
BPlM
101
1
? ?
? ???
?
?
??
段在
段在
CPQ
BPQ
10
11
1
1 ??
?
????
??
)32(
1
2
2
lxlxM
N
解,1?Px
??
?
?????
??
)32()(
1
3
3
lxllxM
Q
1 RA
l
MA 4l
Q1 1
M1 l
Q3 1
2l
M3 3l
1 N2
3l
M2 2l
例 8-4,P=1
A
B C D
a a 2a
2a
QB
1
MB
1
§ 11-2 机动法做影响线 理论基础,刚体虚功原理
δP1 δ
P2
RA
P
A
P P
1 2
C
B 根据虚功原理,R
A.1 - 1.δP=0
RA=Δp
RA影响线的竖坐标就是虚位移
机动法做影响线的步骤,
1,撤去与 Z相应的约束，代
之以未知力。
2,体系沿 Z的正向发生单位
位移，则荷载作用点的位移
图即为该量值的影响线。
关键问题,
? 确定去掉所求量值的约束后，结构的几何组成。
? 确定与该量值相应的约束的正方向。
? 确定合理的虚位移。
例 1,
C B P=1
a b
A
a+
b
MA
RA
RA 1
a+
b
MA
QC
MC
b
C B P=1
a b
A
QC 1
b MC
例 2,
a a a a
A B
C
R
A
1
QC
1
RA
1
Q
C
§ 11-3 多跨静定梁影响线 例 8-7,
A B
C D
E F a a a a a a a
重点,
画虚位移图。
难点,
在铰处画剪
力影响线。
强调,
静力法和机动法
可以相互校核。
RA 1/
2
1 1
1/
2
RB
3/
2 1
1/
2
MC
a/2
a/2
a/2
QC
1/
2
1/
2
1/
2
例 8-7,
A B
C D
E F a a a a a a a
QE 1
M
E a
QF 1/
2
1/
2 1
MF
a/2
a
例 8-8,A C B D
E
F G H
a a a a
QF 1
MA 2a
M
F
a
QC 1
1 Q
G
MG
a
a
QH 1/2
1
例 8-8,A C B D
E
F G H
a a a a a a 2a
a
a/2
MH
例 8-9,
a a a a a a
A F B C G D E
1
QG
MC 2a
M
F
a/2
a/2
a
a/2
C点的画法, 平行支链杆
要求左右两边必须平行。
先用静力法做，然后再讲
机动法。
例 8-10,
B C D E F
G
l/2
A
l/2 l l l l
MG
l/2
l
QG 1/2 1/2
1
QA右
1
1
例 8-10,
B C D E F
G
l/2
A
l/2 l l l l
QB右 1
QC 1
§ 11-4 间接荷载作用下 的影响线
要求,一、理解相关概念。
二、熟练掌握画法。
三、理解公式的物理意义。
A
E D C
B
F
P=1
横梁
主梁
纵梁
x P=1
(d-x)/d x/d
yC yD
MF（直接荷载）
MF（间接荷载）
yC yD
相同点,
P=1作用在结点上时，间接荷载
的影响线与直接荷载相等。
不同点,
P=1在任意纵梁上移动时
DCF YdxYd xdM,,???
x=0,MF=yC
x=d,MF=yD
线性变化 得
1,先假定没有纵横梁，将 P=1当做直接荷载，做
出相应的影响线；
2,从各结点引出竖线与直接荷载作用下的影响
线相交，将所得的交点在每一纵梁范围内用
直线相连。
间接荷载影响线绘制的步骤,
R
A
1 1/2
1/2
ME
例 8-11,
A B C D
a a a a a a a a 2a
E
a/2
a/2
QB右 1
R
A
1/2
1
1/2
例 8-11,
A B C D
a a a a a a a a 2a
E
QB左
1 1/2
M
B a
3/4
例 8-12,
A
G C D E F
P=1
a a a a a a a a a a
MG
a/2
a/2
Q
G
1/2
1/2
1/2
R
B
3/2 1
1
1
例 8-12,
A
G C D E F
P=1
a a a a a a a a a a
QD
QE左
QE
右
1
1/2 1 1
例 8-13,
A B C
P=1
D
a a a a a a a a
a
1
RA
a
MA（左为正）
RB 1
例 8-13,
A B C
P=1
D
a a a a a a a a
a
a
MB
MD左
a
8-5 桁架的影响线（静力法和机动法联
合）
R
A
RB
s1
解,
??
?
??
??
A
B
RS
RS
2
2
1
1
（ P在 AD段）
（ P在 DB段） 1
1
2 2
1
P=1
d d d d
d
A C D E B
s1
s3 s2
P=1
d d d d
d
A C D E B
s1
s3 s2
?
?
?
?
??
A
B
RS
RS
2
22
2
（ P在 AC段）
（ P在 DB段） 2/2
4/2 2
2
s2
1
s3
P在 A~2段, P在 4~B段,
BRad adY ???? 2613 ARad aY ?? 214
?s in/1414 YN ?
R
A
R
B
1
1
)2sin ( ad
a
?
)2sin (
6
ad
ad
?
?
14N
c.求 N45的影响线
P在 A~4段, P在 6~B段, BRY ?45 ARY ??45
?s i n/4545 YN ?
R
A
R
B
1
1
45N 1
1
N15上
解,
a.荷载在 下弦
P在 A~1段,
P在 2~B段,
BRN ?15
ARN ??15
b.荷载在 上弦
P在 4点,
P在 5~8段,
015 ?N
ARN ??15
?注：强调荷载在上、下弦
移动时影响不完全相同。
1
R
A
1
RB
1
例 8-15,
P
A B 1
6 5 4
3 2
8 7
N15下 1
1
§ 11-6 影响线的应用
一、利用影响线求某一量值
1.集中荷载作用
2211 yPyPM C ??
2211 yPyPQ C ?????
MC
y1 y2
QC
1y?
2y?
P1 P2
C
A B
D
QD
下y
上y
下左 yPQ D 2??
上右 yPQ D 2??
2.均布荷载作用
)(
)(
)(.).(
21
??
?
???
?
?
?
?
?
q
q
dxxyq
xydxxqQ
E
D
E
D
C
C D E
q
)(1 x?
)(2 x?
)(xy
x
例 816,
P1 P2
C
A B
a b/2 b/2
l
b/l
a/l
lbPlbPQ C 2// 21 ??左
lbPlaPQ C 2// 21 ???左
例 8-17,
B
D
A
q=10kN/m
P=20kN
C
1.2 1.2 1.2 1.2 1.2
解,
kN
yPqQ C
14
4.020)4.2
2
2.06.0
2.1
2
4.02.0
(10
.)( 21
?
???
?
??
?
???
???? ??
0.4 0.2
0.6
0.4 0.2
二、判断最不利荷载的位置
1.可动均布荷载作用：可以任意断续地布置
C
q
q q
q
1m a x ?qM ?
)( 32m i n ?? ??? qM
1?
2?3?
MC
2.移动集中荷载：一组互相平行而且间距保持不变的荷载
P2 Pi Pn Pi+1 P1
y1
y2
yi yi+1 yn S
h
a b
nn
iiii
yP
yPyPyPyPS
??
????? ??
?
? 1122111
)(
)()(
))(
111
22(21112
nnn
iiiiii
yyP
yyPyyP
yyPyyPS
???
?????
???????
?
????
?
?
只有当一个荷载通过影响线 顶点时,S`才有可能变号
令 PK通过影响线顶点时，使 S`变号，且使 S取得极大值。
即,PK位于影响线顶点时； S`=0
左移荷载时,S`>0
右移荷载时,S`<0
用式子表示,
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ???
?
???
??
?
?
?
?
? ??
?
???
??
?
0
0
1121
121
h
b
PPP
a
PPP
h
b
PP
a
PPP
NKKK
NKK
??
??
? ? ??????? ?? NKK PPPPPPP ?? 1121 右左,令
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
??
0
0
b
PP
a
P
b
P
a
PP
K
K
右左
右左
上式变为：
当 PK满足上式时，将 PK置于影响线顶点时,S取得极大值。
S
Δ Δ
S
考虑到,
例 8-18,
P1 P2 P3 P4
3.5m 1.5m 3.5m
2 1 5/6
P2
P3 P
4
1.5 2
1/3
P3 P2
P4
已知,P1=P2=P3=P4=P
求,QKMax,QKMin,MKMax
解：令 P2=PK
?
?
?
?
?
?
??
6
3
3
0
6
2
3
0
P
PP
P
PPPM
83.3
3
15.12
432
?
??????
令 P3=PK
?
?
?
?
?
?
?
6
2
3
63
2
PP
PP
P
PPPM
83.3
6
521
432
?
??????
3m 6m
K
PM K 83.3m a x ??
P4 P
3 P2 6/9
3/9
2.5/9
1.5/9
P2
P3
P4 6/9
1/9
4.5/9
3/9
P4 6/9
3/9
P
PQ K M a x
2 7 8.1
9
1
9
5.4
9
6
?
?
?
??
?
? ???
PPQ K 9
2
9
1
9
3
9
5.1 ???
?
??
?
? ????
PPQ K 9
3
9
3
4 ???????? ??
P2作用在 K截面右侧
PQ K M i n 93???
P4作用在 K截面左侧
KN
R B
3.784
758.05.3245.478125.05.478
?
?????
B A
C
6m 6m
P1 P2 P3 P4
1.45m 5.25m 4.8m
P3
1 0.758
0.125
P2 P1
0.20
P3
1 0.758
P2 P
4
例 8-19,已知,P
1=P2=478.5kN,P3=P4=324.5kN 求,RBmax
解：令 P2=PK
?
?
?
?
?
??
??
6
5.3 2 45.4 7 8
6
5.4 7 8
6
5.3 2 4
6
5.4 7 85.4 7 8
令 P3=PK
?
?
?
?
?
??
??
6
5.3 2 42
6
5.4 7 8
6
5.3 2 4
6
5.3 2 45.4 7 8
KN
R B
1.7 5 2
2.05.3 2 45.3 2 47 5 8.05.4 7 8
?
?????
kNR B M i n 3.784??
例 8-20,
10m 30m
P2
P1
P3 P4 P5 P6
单位,m
5 4 4 15 4
7.5 6.25
5.25 4.5
P1=50
P2=100 P3=30
P4=70
P5=30 P
6=70 单位,kN
已知,P1=50kN,P2=100kN,P3=P5=30kN,P4=P6=70kN
求截面 K在图示移动荷载作用下的最大弯矩。
解：根据荷载大小和影响线的具体情况 P1,P5,P6
不可能是 PK
令 P2=PK,
满足
?
?
?
?
?
?
?????
30
300
10
50
6
70703030
10
10050
KN
M k
1 6 1 06.0705.130
25.57025.6305.71 0 05.450
?????
????????
此时,
同理可以判定 P4不是 PK
mkNM K,1610m a x ??
令 P2=PK,
不满足
?
?
?
?
?
??
?????
30
2 0 0
10
1 0 050
30
707030
10
301 0 050
8-7 简支梁的绝对最大弯
矩
定义：在移动荷载作用下，简支梁各截面最大弯矩
值中的最大值。
间接荷载作用,将各截面最大弯矩值按前
述方法求出然后进行比较 。
直接荷载作用,根据绝对最大弯矩的定义,
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
m a x
m a x22
m a x11
2
1
nKn
K
K
MPn
MP
MP
截面
截面
截面
??
可知,
取最大值得 Mmax
即绝对最大弯矩。
设 Pi作用在截面 i 时产生 Mmax。
Pi的特点,
当移动到其他位置时，在其作用处产生的弯矩总是
小于其移动到 i截面时,在 i截面产生的弯矩 Mi。
若已知 Pi，则可通过求极值的方法确定 i截面进而求得
其对应的 Mi，则 Mi=Mmax。
推导,
P1 P2 Pi R Pn-1 Pn
l/2 l/2
a/2 a/2
x a l-a-x
R—— 梁上 所有荷载的合力；
a—— R与 Pi之间的距离；
)( axllRR A ???
MxaxllRMxRM Ai ?????? ).(.
M：表示 Pi以左所有荷载对 Pi 作用点的力矩代数和,
对一组荷载 M是常数。
2,0)2(
alxaxl
l
R
dx
d M i ??????
则 Pi距右端的距离 l-x-a=(l-a)/2
即 Pi与 R对称位于梁中点的两侧。
若 Pi在 R的右侧，则
R Pi
对于每个荷载都重复上述计算过程，取其中最大的 Mi，
即为绝对最大弯矩 Mmax。
但是，由于①重复计算比较麻烦；
②绝对最大弯矩通常发生在梁中点附近。
故,设想,使梁中点发生最大弯矩的荷载就是使梁产生绝对
最大弯矩的荷载 。 （一般情况下，与实际情况一致）
所以，实际步骤如下,
1,判断使梁中点发生最大弯矩的临界荷载 PK；
2,移动荷载组，使 PK与梁上全部荷载的合力 R对
称于梁的中点，再算出此时 PK所在截面的弯矩，
即为绝对最大弯矩。
例 8-21,试求图示简支梁所给移动荷载作用下的
绝对最大弯矩。
10m 10m
1 2 3 4 5
30 20 10 10 30 单位,KN
（间距 2m）
5
解, (1)令 P2=PK
满足
?
?
?
?
?
?
?
10
70
10
30
10
40
10
60
(2)求合力 R
令 R距 P5为 x,则 x=5.2m
kN
l
RxR
mx
ma
A 48
20
6.91 0 0
6.94.010
8.02.56
????
???
???
x=9.6m
RA=48KN
R
P1 P2 P3 P4 P5
0.4m 0.4m
（绝对最大弯矩）
mkN
MxRM A
.8.4 0 0
2306.948.m a x
?
??????
RA=46KN
4
P1 P2 P3 P4 P5 R
（跨中最大弯矩）
若将 P2放在跨中，则,
mkNRMc
KN
R
A
A
.4 0 023010.
46
20
12301030820610410
m a x ????
?
??????????
例 8-22,试求图示吊车梁的绝对最大弯矩，已知，吊车轮压为 P
1=P2=P3=P4=280kN
P1 P2 P3 P4 4.8 1.44 4.8
3
0.6
2.28
MC
P1 P2 P3 P4 R
RA
5.64
0.36
解,很明显 P2或 P3为临界
荷载 PK 故只考虑 P2
kNM 4.1 6 4 6 )6.028.23(2 8 0ma x ? ????
（ 1）四种荷载全都在梁上
kN
R
R
kNR
x
a
A 4.526
12
64.5
11202804
64.5
72.0
?
?
?
???
?
?
mkNMxRM A,896.1 6 2 4 8.428064.54.526m a x ? ???????
6.56
P1 R P3 P2
（ 2）三种荷载在梁上
KN
R
R
kNR
mx
ma
A 2.459
12
56.6
8402803
56.6
2
12.1
6
12.1
840
44.12808.4280
?
?
?
???
???
?
???
?
mKN
PxRM A
.4.1 6 6 8
8.42 8 056.62.4 5 98.41m a x
?
????????
例 8-23,解,很明显 P1为临界荷载, 若考
虑三个力,则合力为,
6m 6m
P1 P2 P3
4m 4m
KNR 2 0 020601 2 0 ????
合力 R距 P1的距离为 a
ma 2200 460820 ?????
P1 P3
R=180
0.667
0.667
2.667
将合力 R与 P1对称布置
于跨中截面 C，则 P3在梁外，
故需重算 R和 a，此时只考
虑 P1,P2作用在梁上
KNR 1 8 0601 2 0 ???
ma 3 3 3.11 8 0 460 ???,将 R与 P1对称布置在梁上。得,
KN
M
l
al
kM K
61.426
0
12
1
)
2
333.1
10
2
1
(180
1
.)
22
(
2
2
m a x
?
??????
???
§ 11-2 静力法做单跨梁的影响线
影响线,当方向不变的集中单位荷载沿某一方向移动时,
表示结构某处量值变化规律的图形
P=1
A B
1 RA
横轴：荷载的作用位置；
纵轴：影响量的大小；
1 支反力：以向上为正，
正的画在上面。
? ?
lxRM
lxlRM
BA
AB
/0
/0
??
???
?
?
P=1
A B
a b
C
一 剪支梁
2 弯矩：以下侧受拉为
正，正的画在上面。
? ?? ?
段作用在
段作用在
ACPbRM
CBPaRM
BC
AC
?
?
解
1 RA
RB
1
MC
a b ab/l
3 剪力：绕隔离体顺时针
转动为正，正的画在上面。
? ?
? ?段作用在
段作用在
ACPRQ
CBPRQ
BC
AC
?
?
QC
b/l
a/l
二 悬臂梁
a b
C A B
P=1
RA 1
b
MC
1 QC
11 ?AR
? ?
? ?段作用在
段作用在
ACPM
CBPxM
C
C
0
2
?
??
? ?
? ?段作用在
段作用在
ACPQ
CBPQ
C
C
0
13
?
?
解
三 伸臂梁 P=1
A B C
a a a a
D
RA 1
1
RD
QC
1/2
1/2 1/2
1/2
MC
a/2
a/2
P=1
A B C
a a a a
D
QD 1
MD
a
QB左 1/2
1 1/2
QB
1
1 截面在简支梁部分，其影响线是将简支梁影响线延长；
2 截面在悬臂梁部分，其影响线是将悬臂梁画上即可，其
余部分无影响；
四 其它类型
RA 1
P=1
A B C
a a
1 R
C
a
MC
左CQ 1
1
右AQ
BQ 1
解,
? ?
? ???
???
?
????
段在 BCPR
axa xaR
A
A
0
0
? ?
? ???
?
?
?
???
?????
段在 BCPRR
ax
a
xRR
AC
AC
11
01
? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
??????
axaax
xaM
axxaRM
C
CC
22
21
0
CC RQ ??左 AA
RQ ?右
? ?
? ???
?
?
??
段在
段在
BCPQ
ABPRQ
B
CB
0
M=1
A B C
a a a
1/2 RB
1/2
QC 1/l
1 左BM
lR A /1??
? ?
? ???
?
??
?
?
???
???
段在
段在
CEM
l
RM
ACMM
l
RM
AC
AC
2
1
2
2
1
2
AC RQ ?
? ?
? ???
???
?
??
段在
段在
左
左
BEMlRM
ABMlRM
AB
AB 1
解
RA 1/l
A
B
l l l l l
l
l
1
2
3
C
? ?
? ???
?
?
??
点在
点在
CPlM
BPlM
A
A 4
? ?
? ???
?
?
??
段在
点在
CPM
BPlM
101
1
? ?
? ???
?
?
??
段在
段在
CPQ
BPQ
10
11
1
1 ??
?
????
??
)32(
1
2
2
lxlxM
N
解,1?Px
??
?
?????
??
)32()(
1
3
3
lxllxM
Q
1 RA
l
MA 4l
Q1 1
M1 l
Q3 1
2l
M3 3l
1 N2
3l
M2 2l
例 8-4,P=1
A
B C D
a a 2a
2a
QB
1
MB
1
§ 11-2 机动法做影响线 理论基础,刚体虚功原理
δP1 δ
P2
RA
P
A
P P
1 2
C
B 根据虚功原理,R
A.1 - 1.δP=0
RA=Δp
RA影响线的竖坐标就是虚位移
机动法做影响线的步骤,
1,撤去与 Z相应的约束，代
之以未知力。
2,体系沿 Z的正向发生单位
位移，则荷载作用点的位移
图即为该量值的影响线。
关键问题,
? 确定去掉所求量值的约束后，结构的几何组成。
? 确定与该量值相应的约束的正方向。
? 确定合理的虚位移。
例 1,
C B P=1
a b
A
a+
b
MA
RA
RA 1
a+
b
MA
QC
MC
b
C B P=1
a b
A
QC 1
b MC
例 2,
a a a a
A B
C
R
A
1
QC
1
RA
1
Q
C
§ 11-3 多跨静定梁影响线 例 8-7,
A B
C D
E F a a a a a a a
重点,
画虚位移图。
难点,
在铰处画剪
力影响线。
强调,
静力法和机动法
可以相互校核。
RA 1/
2
1 1
1/
2
RB
3/
2 1
1/
2
MC
a/2
a/2
a/2
QC
1/
2
1/
2
1/
2
例 8-7,
A B
C D
E F a a a a a a a
QE 1
M
E a
QF 1/
2
1/
2 1
MF
a/2
a
例 8-8,A C B D
E
F G H
a a a a
QF 1
MA 2a
M
F
a
QC 1
1 Q
G
MG
a
a
QH 1/2
1
例 8-8,A C B D
E
F G H
a a a a a a 2a
a
a/2
MH
例 8-9,
a a a a a a
A F B C G D E
1
QG
MC 2a
M
F
a/2
a/2
a
a/2
C点的画法, 平行支链杆
要求左右两边必须平行。
先用静力法做，然后再讲
机动法。
例 8-10,
B C D E F
G
l/2
A
l/2 l l l l
MG
l/2
l
QG 1/2 1/2
1
QA右
1
1
例 8-10,
B C D E F
G
l/2
A
l/2 l l l l
QB右 1
QC 1
§ 11-4 间接荷载作用下 的影响线
要求,一、理解相关概念。
二、熟练掌握画法。
三、理解公式的物理意义。
A
E D C
B
F
P=1
横梁
主梁
纵梁
x P=1
(d-x)/d x/d
yC yD
MF（直接荷载）
MF（间接荷载）
yC yD
相同点,
P=1作用在结点上时，间接荷载
的影响线与直接荷载相等。
不同点,
P=1在任意纵梁上移动时
DCF YdxYd xdM,,???
x=0,MF=yC
x=d,MF=yD
线性变化 得
1,先假定没有纵横梁，将 P=1当做直接荷载，做
出相应的影响线；
2,从各结点引出竖线与直接荷载作用下的影响
线相交，将所得的交点在每一纵梁范围内用
直线相连。
间接荷载影响线绘制的步骤,
R
A
1 1/2
1/2
ME
例 8-11,
A B C D
a a a a a a a a 2a
E
a/2
a/2
QB右 1
R
A
1/2
1
1/2
例 8-11,
A B C D
a a a a a a a a 2a
E
QB左
1 1/2
M
B a
3/4
例 8-12,
A
G C D E F
P=1
a a a a a a a a a a
MG
a/2
a/2
Q
G
1/2
1/2
1/2
R
B
3/2 1
1
1
例 8-12,
A
G C D E F
P=1
a a a a a a a a a a
QD
QE左
QE
右
1
1/2 1 1
例 8-13,
A B C
P=1
D
a a a a a a a a
a
1
RA
a
MA（左为正）
RB 1
例 8-13,
A B C
P=1
D
a a a a a a a a
a
a
MB
MD左
a
8-5 桁架的影响线（静力法和机动法联
合）
R
A
RB
s1
解,
??
?
??
??
A
B
RS
RS
2
2
1
1
（ P在 AD段）
（ P在 DB段） 1
1
2 2
1
P=1
d d d d
d
A C D E B
s1
s3 s2
P=1
d d d d
d
A C D E B
s1
s3 s2
?
?
?
?
??
A
B
RS
RS
2
22
2
（ P在 AC段）
（ P在 DB段） 2/2
4/2 2
2
s2
1
s3
P在 A~2段, P在 4~B段,
BRad adY ???? 2613 ARad aY ?? 214
?s in/1414 YN ?
R
A
R
B
1
1
)2sin ( ad
a
?
)2sin (
6
ad
ad
?
?
14N
c.求 N45的影响线
P在 A~4段, P在 6~B段, BRY ?45 ARY ??45
?s i n/4545 YN ?
R
A
R
B
1
1
45N 1
1
N15上
解,
a.荷载在 下弦
P在 A~1段,
P在 2~B段,
BRN ?15
ARN ??15
b.荷载在 上弦
P在 4点,
P在 5~8段,
015 ?N
ARN ??15
?注：强调荷载在上、下弦
移动时影响不完全相同。
1
R
A
1
RB
1
例 8-15,
P
A B 1
6 5 4
3 2
8 7
N15下 1
1
§ 11-6 影响线的应用
一、利用影响线求某一量值
1.集中荷载作用
2211 yPyPM C ??
2211 yPyPQ C ?????
MC
y1 y2
QC
1y?
2y?
P1 P2
C
A B
D
QD
下y
上y
下左 yPQ D 2??
上右 yPQ D 2??
2.均布荷载作用
)(
)(
)(.).(
21
??
?
???
?
?
?
?
?
q
q
dxxyq
xydxxqQ
E
D
E
D
C
C D E
q
)(1 x?
)(2 x?
)(xy
x
例 816,
P1 P2
C
A B
a b/2 b/2
l
b/l
a/l
lbPlbPQ C 2// 21 ??左
lbPlaPQ C 2// 21 ???左
例 8-17,
B
D
A
q=10kN/m
P=20kN
C
1.2 1.2 1.2 1.2 1.2
解,
kN
yPqQ C
14
4.020)4.2
2
2.06.0
2.1
2
4.02.0
(10
.)( 21
?
???
?
??
?
???
???? ??
0.4 0.2
0.6
0.4 0.2
二、判断最不利荷载的位置
1.可动均布荷载作用：可以任意断续地布置
C
q
q q
q
1m a x ?qM ?
)( 32m i n ?? ??? qM
1?
2?3?
MC
2.移动集中荷载：一组互相平行而且间距保持不变的荷载
P2 Pi Pn Pi+1 P1
y1
y2
yi yi+1 yn S
h
a b
nn
iiii
yP
yPyPyPyPS
??
????? ??
?
? 1122111
)(
)()(
))(
111
22(21112
nnn
iiiiii
yyP
yyPyyP
yyPyyPS
???
?????
???????
?
????
?
?
只有当一个荷载通过影响线 顶点时,S`才有可能变号
令 PK通过影响线顶点时，使 S`变号，且使 S取得极大值。
即,PK位于影响线顶点时； S`=0
左移荷载时,S`>0
右移荷载时,S`<0
用式子表示,
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ???
?
???
??
?
?
?
?
? ??
?
???
??
?
0
0
1121
121
h
b
PPP
a
PPP
h
b
PP
a
PPP
NKKK
NKK
??
??
? ? ??????? ?? NKK PPPPPPP ?? 1121 右左,令
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
??
0
0
b
PP
a
P
b
P
a
PP
K
K
右左
右左
上式变为：
当 PK满足上式时，将 PK置于影响线顶点时,S取得极大值。
S
Δ Δ
S
考虑到,
例 8-18,
P1 P2 P3 P4
3.5m 1.5m 3.5m
2 1 5/6
P2
P3 P
4
1.5 2
1/3
P3 P2
P4
已知,P1=P2=P3=P4=P
求,QKMax,QKMin,MKMax
解：令 P2=PK
?
?
?
?
?
?
??
6
3
3
0
6
2
3
0
P
PP
P
PPPM
83.3
3
15.12
432
?
??????
令 P3=PK
?
?
?
?
?
?
?
6
2
3
63
2
PP
PP
P
PPPM
83.3
6
521
432
?
??????
3m 6m
K
PM K 83.3m a x ??
P4 P
3 P2 6/9
3/9
2.5/9
1.5/9
P2
P3
P4 6/9
1/9
4.5/9
3/9
P4 6/9
3/9
P
PQ K M a x
2 7 8.1
9
1
9
5.4
9
6
?
?
?
??
?
? ???
PPQ K 9
2
9
1
9
3
9
5.1 ???
?
??
?
? ????
PPQ K 9
3
9
3
4 ???????? ??
P2作用在 K截面右侧
PQ K M i n 93???
P4作用在 K截面左侧
KN
R B
3.784
758.05.3245.478125.05.478
?
?????
B A
C
6m 6m
P1 P2 P3 P4
1.45m 5.25m 4.8m
P3
1 0.758
0.125
P2 P1
0.20
P3
1 0.758
P2 P
4
例 8-19,已知,P
1=P2=478.5kN,P3=P4=324.5kN 求,RBmax
解：令 P2=PK
?
?
?
?
?
??
??
6
5.3 2 45.4 7 8
6
5.4 7 8
6
5.3 2 4
6
5.4 7 85.4 7 8
令 P3=PK
?
?
?
?
?
??
??
6
5.3 2 42
6
5.4 7 8
6
5.3 2 4
6
5.3 2 45.4 7 8
KN
R B
1.7 5 2
2.05.3 2 45.3 2 47 5 8.05.4 7 8
?
?????
kNR B M i n 3.784??
例 8-20,
10m 30m
P2
P1
P3 P4 P5 P6
单位,m
5 4 4 15 4
7.5 6.25
5.25 4.5
P1=50
P2=100 P3=30
P4=70
P5=30 P
6=70 单位,kN
已知,P1=50kN,P2=100kN,P3=P5=30kN,P4=P6=70kN
求截面 K在图示移动荷载作用下的最大弯矩。
解：根据荷载大小和影响线的具体情况 P1,P5,P6
不可能是 PK
令 P2=PK,
满足
?
?
?
?
?
?
?????
30
300
10
50
6
70703030
10
10050
KN
M k
1 6 1 06.0705.130
25.57025.6305.71 0 05.450
?????
????????
此时,
同理可以判定 P4不是 PK
mkNM K,1610m a x ??
令 P2=PK,
不满足
?
?
?
?
?
??
?????
30
2 0 0
10
1 0 050
30
707030
10
301 0 050
8-7 简支梁的绝对最大弯
矩
定义：在移动荷载作用下，简支梁各截面最大弯矩
值中的最大值。
间接荷载作用,将各截面最大弯矩值按前
述方法求出然后进行比较 。
直接荷载作用,根据绝对最大弯矩的定义,
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
m a x
m a x22
m a x11
2
1
nKn
K
K
MPn
MP
MP
截面
截面
截面
??
可知,
取最大值得 Mmax
即绝对最大弯矩。
设 Pi作用在截面 i 时产生 Mmax。
Pi的特点,
当移动到其他位置时，在其作用处产生的弯矩总是
小于其移动到 i截面时,在 i截面产生的弯矩 Mi。
若已知 Pi，则可通过求极值的方法确定 i截面进而求得
其对应的 Mi，则 Mi=Mmax。
推导,
P1 P2 Pi R Pn-1 Pn
l/2 l/2
a/2 a/2
x a l-a-x
R—— 梁上 所有荷载的合力；
a—— R与 Pi之间的距离；
)( axllRR A ???
MxaxllRMxRM Ai ?????? ).(.
M：表示 Pi以左所有荷载对 Pi 作用点的力矩代数和,
对一组荷载 M是常数。
2,0)2(
alxaxl
l
R
dx
d M i ??????
则 Pi距右端的距离 l-x-a=(l-a)/2
即 Pi与 R对称位于梁中点的两侧。
若 Pi在 R的右侧，则
R Pi
对于每个荷载都重复上述计算过程，取其中最大的 Mi，
即为绝对最大弯矩 Mmax。
但是，由于①重复计算比较麻烦；
②绝对最大弯矩通常发生在梁中点附近。
故,设想,使梁中点发生最大弯矩的荷载就是使梁产生绝对
最大弯矩的荷载 。 （一般情况下，与实际情况一致）
所以，实际步骤如下,
1,判断使梁中点发生最大弯矩的临界荷载 PK；
2,移动荷载组，使 PK与梁上全部荷载的合力 R对
称于梁的中点，再算出此时 PK所在截面的弯矩，
即为绝对最大弯矩。
例 8-21,试求图示简支梁所给移动荷载作用下的
绝对最大弯矩。
10m 10m
1 2 3 4 5
30 20 10 10 30 单位,KN
（间距 2m）
5
解, (1)令 P2=PK
满足
?
?
?
?
?
?
?
10
70
10
30
10
40
10
60
(2)求合力 R
令 R距 P5为 x,则 x=5.2m
kN
l
RxR
mx
ma
A 48
20
6.91 0 0
6.94.010
8.02.56
????
???
???
x=9.6m
RA=48KN
R
P1 P2 P3 P4 P5
0.4m 0.4m
（绝对最大弯矩）
mkN
MxRM A
.8.4 0 0
2306.948.m a x
?
??????
RA=46KN
4
P1 P2 P3 P4 P5 R
（跨中最大弯矩）
若将 P2放在跨中，则,
mkNRMc
KN
R
A
A
.4 0 023010.
46
20
12301030820610410
m a x ????
?
??????????
例 8-22,试求图示吊车梁的绝对最大弯矩，已知，吊车轮压为 P
1=P2=P3=P4=280kN
P1 P2 P3 P4 4.8 1.44 4.8
3
0.6
2.28
MC
P1 P2 P3 P4 R
RA
5.64
0.36
解,很明显 P2或 P3为临界
荷载 PK 故只考虑 P2
kNM 4.1 6 4 6 )6.028.23(2 8 0ma x ? ????
（ 1）四种荷载全都在梁上
kN
R
R
kNR
x
a
A 4.526
12
64.5
11202804
64.5
72.0
?
?
?
???
?
?
mkNMxRM A,896.1 6 2 4 8.428064.54.526m a x ? ???????
6.56
P1 R P3 P2
（ 2）三种荷载在梁上
KN
R
R
kNR
mx
ma
A 2.459
12
56.6
8402803
56.6
2
12.1
6
12.1
840
44.12808.4280
?
?
?
???
???
?
???
?
mKN
PxRM A
.4.1 6 6 8
8.42 8 056.62.4 5 98.41m a x
?
????????
例 8-23,解,很明显 P1为临界荷载, 若考
虑三个力,则合力为,
6m 6m
P1 P2 P3
4m 4m
KNR 2 0 020601 2 0 ????
合力 R距 P1的距离为 a
ma 2200 460820 ?????
P1 P3
R=180
0.667
0.667
2.667
将合力 R与 P1对称布置
于跨中截面 C，则 P3在梁外，
故需重算 R和 a，此时只考
虑 P1,P2作用在梁上
KNR 1 8 0601 2 0 ???
ma 3 3 3.11 8 0 460 ???,将 R与 P1对称布置在梁上。得,
KN
M
l
al
kM K
61.426
0
12
1
)
2
333.1
10
2
1
(180
1
.)
22
(
2
2
m a x
?
??????
???
