第十三章 结构弹性稳定
§ 13-1 概述
一,第一类稳定问题 (分支点失稳 )
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
?? ---临界荷载
crPP ?
稳定平衡
crPP ?
随遇平衡
crPP ?
不稳定平衡
q
P P
不稳定平衡状态在任意
微小外界扰动下失去稳
定性称为失稳 (屈曲 ),
两种平衡状态,轴心受压和弯曲、压缩。 --- 第一类稳定问题
完善体系
二,第二类稳定问题 (极值点失稳 )
偏心受压
三,分析方法
大挠度理论。
第二类稳定问题
P P
有初曲率
小挠度理论。
静力法
能量法
四,稳定自由度
在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的
独立几何参数的数目,称为稳定自由度。
非完善体系
P
??EI
? 1个自由度
P P
??EI
2个自由度 无限自由度
§ 13-2,用静力法确定临界荷载
一,一个自由度体系
? ? 0AM
0s i n ??? ??? Plk
小挠度、小位移情况下,
?k
P
??EIl
?k1
抗转弹簧
A ? ?? ??sin
??k
0)( ?? ?? Plk
0?? 0?? Plk?
----稳定方程（特征方程）
lkPcr /?? ---临界荷载
二,N自由度体系
? ? 0BM 0)( 121 ???? yyPlky
（以 2自由度体系为例）
0)2()( ???? plkPPklkl
----稳定方程
02 ??? klPkl PPkl
---临界荷载
k
l
A
P
??EI
l
k
1y
2y
1ky
2ky
B
? ? 0AM 02 112 ????? Pylkylky
0)( 21 ??? PyyPkl
0)2( 21 ??? k l yyPlk
03 222 ??? lkk l PP
??
????
kl
klklP
382.0
618.2
2
53
klP cr 3 8 2.0?
618.1
1
2 ??
y
y ---失稳形式
P 1
1.618
三,无限自由度体系
)()( xMxyEI ???
0
0s i nc o s
10
01
??
nlnl
n
l
)( xlQpyM ????
EI
Pn ?2
P
EIl
x
y
x
y
挠曲线近似微分方程为 Q
P
M
Q
)()( xlQPyxyEI ??????
或
)()( xlEIQyEIPxy ?????
令
)()( 22 xlPQnynxy ?????
通解为
)(s i nc o s)( xlPQnxBnxAxy ????
由边界条件
0)(,0)0(,0)0( ???? lyyy
得 0?? l
P
QA
0?? PQBn
0s inc o s ?? nlBnlA
稳定方程
0s inc o s ??? nlnlnl
nlnl ?tan
0
0s i nc o s
10
01
??
nlnl
n
l
P
EIl
x
y
x
y
Q
P
M
Q
得 0?? l
P
QA
0?? PQBn
0s inc o s ?? nlBnlA
稳定方程
0s inc o s ??? nlnlnl
nlnl ?tan
nl
y
2
?
2
3?
2
5?
nlnly ?)( nlnly t a n)( ?
经试算 493.4?nl 4 8 5.4ta n ?nl
EInPcr 2?
22 /19.20)4 9 3.4( lEIEI
l ??
§ 13-3,具有弹性支座压杆的稳定
l
EIk 3?
?
P
EI
l
EI
?k
P
?k
1
练习,简化成具有弹簧支座的压杆
P
EI
l
EI
l
EI
P
EI l EI
??EA
?k
P
l
EIk 6?
?
P
EI
k
3
3
l
EIk ?
EI
?k
P
l
A
y
y
x
?
???k
Q
P
M
Q )()( xMxyEI ???
)( xlQpyM ????
挠曲线近似微分方程为
)()( xlQPyxyEI ??????
? ? 0AM ??kQl ?
EI
Pn ?2令
)()( 2 xllEIkynxy ?????? ??
通解为
)(s inc o s)( xlPlknxBnxAxy ???? ??
边界条件 0)(,)0(,0)0( ???? lyyy ?
0?? ??PkA
0)1( ??? ??PlkBn
0s inc o s ?? nlBnlA
0
0s i nc o s
)1/(0
/01
???
nlnl
Plkn
Pk
?
?
稳定方程
2)(1
t a n
nl
lk
EI
nlnl
?
?
?
解方程可得 nl的最小正根 EInPcr 2?
EI
?k
P
l
A
y
y
x
?
???k
Q
P
M
Q
0
0s i nc o s
)1/(0
/01
???
nlnl
Plkn
Pk
?
?
稳定方程
2)(1
t a n
nl
lk
EI
nlnl
?
?
?
解方程可得 nl的最小正根 EInPcr 2?
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
??
??nl
0??k若
0ta n ?nl
0sin ?nl
???k若
nlnl ?tan
2/19.20 lEIP cr ?
P
EIl
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
??
??nl
0??k若
0ta n ?nl
0sin ?nl
???k若
nlnl ?tan
2/19.20 lEIP cr ?
P
EIl
EI
?k
P
l
EI
lknlnl ??t a n
P
EI
3
3)(
t a n kl nlEInlnl ??
例,求图示刚的临界荷载,
P
l
P
II 21 ?
I I
l
P P P P
正对称失稳 反对称失稳
正对称失稳时
P
P
?k ?k
1
lEIl EIk /42/2 ???
2)(1
t a n
nl
lk
EI
nlnl
?
?
?
4/)(1 2nl
nl
??
83.3?nl 22 /67.14 lEIEInP cr ??
例,求图示刚的临界荷载,
P
l
P
II 21 ?
I I
l
P P P P
正对称失稳 反对称失稳
反对称失稳时
P
?k
lEIl EIk /122/23 ????
12t a n ?? EI lknlnl ?
45.1?nl
22 /67.14 lEIEInP cr ??
P
0
?k
1
22 /10.2 lEIEInP cr ??
原结构的临界荷载为, 2/10.2 lEIP
cr ?
§ 13-4 用能量法确定临界荷载
一, 势能原理
2.外力势能
1.应变能
弯曲应变能
P
?2/?? PV e ??
l dxM
02
1 ?
拉压应变能 2/?? PV
e ??
l dxN
02
1 ? P
?
P
?
剪切应变能 2/?? PV
e ??
l dxQ
02
1 ?
1? 2? 3?
1P 2P
3P
外力从变形状态退回到无位移的
原始状态中所作的功,
? ??? iie PV *
y(x)
q(x) ???
l
e dxxyxqV 0* )()(
3.结构势能
*PeP VVE ??
EA
lPPPV
iie
2
1
11
* ???????? ?
结构势能
例,求图示桁架在平衡状态下的结构势能,EA=常数,
?45
P1
l l A
?45
解, 杆件轴力 2/2
11 PN ?
杆件伸长量
EA
lP 1
1 2 ??? ?
EA
lP
EA
lN 11
2
2???
A点竖向位移
外力势能
应变能
EA
lPNV
e 222
1 21
1 ???? ?
*PeP VVE ??
EA
lP
EA
lP
EA
lP
22
2
1
2
1
2
1 ????
EA
lPPPV
iie
21
11* ???????? ?
结构势能
?45
P1
l l A
?45杆件轴力 2/2 11 PN ?
杆件伸长量
EA
lP 1
1 2 ??? ?
EA
lP
EA
lN 11
2
2???
A点竖向位移
外力势能
应变能
EA
lPNV
e 222
1 21
1 ???? ?
*PeP VVE ?? EA lPEA lPEA lP 22 212121 ????
4.势能驻值原理
设 A点发生任意竖向位移 是 的函数, PE,? ?
杆件伸长量 2/2???
lEAN /??杆件轴力 lEA 2/2 ??
应变能
l
EANV
e 222
1 2????? ?
外力势能 ???
1* PV e
结构势能
???? 1
2
2 Pl
EAE
P ])[(2
2
1
2
1 ?????? l
EA
PE
?1?
0)( 1 ?????? lEAddE P
1???
EA
lPP
l
EAE
P 22)(
2
1
11
2
1
1 ???????
EA
lP
2
2
1
4.势能驻值原理
设 A点发生任意竖向位移 是 的函数, PE,? ?
杆件伸长量 2/2???
lEAN /??杆件轴力 lEA 2/2 ??
应变能
l
EANV
e 222
1 2????? ?
外力势能 ???
1* PV e
结构势能
???? 1
2
2 Pl
EAE
P ])[(2
2
1
2
1 ?????? l
EA
0)( 1 ?????? lEAddE P
1???
EA
lPP
l
EAE
P 22)(
2
1
11
2
1
1 ???????
PE
?1?
EA
lP
2
2
1
在弹性结构的一切 可能位移 中，真实位移
使结构势能取驻值。
满足结构位移边界条件的位移
对于稳定平衡状态,真实位移使结
构势能取极小值,
二,能量法确定临界荷载
例一,求图示结构的临界荷载, P
??EIl
k
y
? P
解, 应变能
ykyV e ??? 21
?????? ? PPV iie *
外力势能
2s i n2c o s
2 ?? lll ????
l
y
l
yll
2)(2
1)
2(2
2
22 ??? ??
l
Py
2
2
??
结构势能 *
PeP VVE ?? 22 yl Plk ??
0??? yl PlkdydE P
lkPcr ?
由势能驻值原理
得临界荷载
例二,求图示结构的临界荷载,
解, 应变能 2
2
2
1 2
1
2
1 kykyV
e ??
]2 )(2[ 21222* l yylyPPV iie ??????? ?外力势能
结构势能 *
PeP VVE ??
]2 )(2[2121 212222221 l yylyPkyky ?????
k
l
P
??EI
l
k ?
1y
P
2y
])2(2)[(21 222121 yPklyPyyPkll ?????
02
2
1
1
??????? yyEyyEE PPP ???
0
1
??? yE P
0
2
??? yE P
0])[(1 21
1
?????? PyyPkllyE P
0])2([1 21
2
?????? yPklPylyE P
02 ??? PklP PPkl
03 222 ??? lkk l PP
??
????
kl
klklP
382.0
618.2
2
53
klP cr 3 8 2.0?
三,瑞利里兹法
)( xyEIM ???
P
EIl
P
EI
x
y
x)(xy
?
ds
dxds ?
dx
dy
应变能 ?
? le dxEI xMV 0
2 )(
2
1
? ??? le dxxyEIV 0 2)]([21
dxydxdxds ????? 2)(1
]1))(1[( 2/12 ???? ydx ]1)(
2
11[ 2 ???? ydx?
dxy 2)(21 ??
dxydxds ll 200 )(21)( ????? ??
? ?????? le dxyPPV 0 2* )(2外力势能
结构势能 *
PeP VVE ??
?? ????? ll dxyPdxyEI 0 20 2 )(2)(21
设 )()()()( 2211 xaxaxaxy nn ??? ????
)(
1
xa iin
i
??
?
?
将无限自由度化为有限自由度,
结构势能则为 的多
元函数,求其极值即可求出临界
荷载,
naaa ?,,21
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
??
l
xaxy ?s i n)( ?
例,求图示体系的临界荷载, x
y
x
)(xy
解, 1.设
2
3
4
0
2
4)]([2
1 a
l
EIdxxyEIV l
e
????? ?
2
2
0
2*
4)(2 Paldxy
PV l
e
????? ?
2
2
3
4
)44( aPllEIE P ?? ??
0)22(
2
3
4
??? aPllEIdadE P ??
022
2
3
4
?? PllEI ??
精确解,
2
2
l
EIP
cr
??
2
12
l
EIP
cr ?
例,求图示体系的临界荷载,
l EI
P
x
y
x
)(xy
解, )(4)( 2
2 xlxl
axy ??2.设
精确解,
2
2
l
EIP
cr
??
误差,+21.6%
3.设杆中作用集中荷载所引起的位
移作为失稳时的位移,
l/2
l/2 Q
)(xy
)20()1216()(
32 l
xxxlEIQxy ????
令
EI
Qla 348?
)43()( 3
3
l
x
l
xaxy ??
2
10
l
EIP
cr ?
误差,+1.3%
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
)(1 xy设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为 和 )(2 xy
2
2
2
2
1
2
2
2 )()(
dx
yd
xd
xyd
dx
xyd ??
EI
My ???
1
同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时
的挠曲微分方程的建立,
二者共同影响产生的挠度为
)()()( 21 xyxyxy ??
近似的曲率为
弯矩引起的曲率为
???dx xdy )(2 dxdMGAGAQ ?? ????
dx
2dy
?
Q
Q
截面形状系数
矩形截面为 1.2
圆形截面为 1.11
2
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAdx
xyd ???
挠曲微分方程为
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAEI
M
dx
xyd ???
§ 13-6 剪力对临界荷载的影响
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
dx
2dy
?
Q
Q2
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAdx
xyd ???
挠曲微分方程为
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAEI
M
dx
xyd ???
对于图示两端铰支的等截面杆,有
yPMPyM ????????,
2
2
2
2 )(
dx
yd
GA
P
EI
Py
dx
xyd ????
0)1( ????? yEIPGA Py ?
令
)1(
2
GA
PEI
Pm
???
0)()( 2 ???? xymxy
方程的通解
mxBmxAxy s i nc o s)( ??
边界条件
0)(
0)0(
?
?
ly
y
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
dx
2dy
?
Q
Q
对于图示两端铰支的等截面杆,有
yPMPyM ????????,
2
2
2
2 )(
dx
yd
GA
P
EI
Py
dx
xyd ????
0)1( ????? yEIPGA Py ?
令
)1(
2
GA
PEI
Pm
???
0)()( 2 ???? xymxy
方程的通解
mxBmxAxy s i nc o s)( ??
边界条件
0)(
0)0(
?
?
ly
y
0s in ?mlB
0sin ?ml 稳定方程
lmml /,?? ??
)1(2
2
GA
PEI
lP
?? ??
EI
lGA
EI
lP
cr
2
2
2
2
1
??
?
?
? kP??
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
dx
2dy
?
Q
Q
0s in ?mlB
0sin ?ml 稳定方程
lmml /,?? ??
)1(2
2
GA
PEI
lP
?? ??
EI
lGA
EI
lP
cr
2
2
2
2
1
??
?
?
? kP??
EIlP k 2
2?
?
不计剪变的欧拉临界力
EI
lGA 2
2
1
1
??
?
?
?
修正系数
kPGA
??? 1
1
kG ?
??? 1
1
欧拉临界应力
对于三号钢,比例极限为 200MPa,
若取 2.18 0 G P a,GM P a,200 ??? ??
k
1003.1 1 ?? ??
结论,实体 杆件中,剪力对临界荷
载的影响很小,可略去不计,
不计剪力对临界荷 载的影响
所得到的临界荷载是大还是小?
§ 13-7 组合压杆的稳定
缀条式 缀板式
肢杆
缀条
缀板
组合压杆的临界荷载比
截面和柔度相同的实体
压杆的小,节间数目较多
时可用上节推出的实体压杆
的临界荷载计算公式作近似计算,
kcr PP ??
EIlP k 2
2?
?
kPGA
?? ?? 1
1
dx
2dy
?
Q
Q
GA
Q?? ?
GA
?? ?
dx
2dy
?
Q
Q
GA
Q?? ?
GA
?? ?
一,缀条式组合压杆
1?Q
1?Q
P
P
l d
b
z
d/t a n 11??? ???
?
11?
?? EA lN 2111?
不计肢杆轴变,
PA
---水平缀条截面积,
qA
---斜杆截面积,
qP EA
d
EA
b ??? s i n)c o s
1(
)1(
2
2
11 ?
??
?
)t a n/( ?db ?
)c o ss i n 1t a n1( 2 ???
qP AAE
d ??
)c o ss i n 1t a n1(1 2 ????
qP AAE
??
P
P
l d
b
z
1?Q
1?Q
?
11?
?
dx
2dy
?
Q
Q
GA
Q?? ?
GA
?? ?
)c o ss i n 1t a n1(1 2 ????
qP AAE
??
kcr PP ??
EIlP k 2
2?
?
kPGA
?? ?? 1
1
)
c o ss in
1
t a n
1(11
2 ???
qP
k
k
cr
AAE
P
PP
??
?
I 的计算, I 为两根肢杆的截面对 z轴的惯性矩,
设一根肢杆的截面积为 A,对自身形心轴的惯性矩为 I1
2
1
2
1 2
12)
2(22 AbI
bAII ????
P
P
l d
b
z
1?Q
1?Q
?
11?
?
kcr PP ??
EIlP k 2
2?
?
kPGA
?? ?? 1
1
)
c o ss in
1
t a n
1(11
2 ???
qP
k
k
cr
AAE
P
PP
??
?
若略去横杆影响,两侧都有缀条,则上式为
?? 2c o ss in2
11
q
k
k
cr
AE
P
PP
?
?
若写成欧拉问题基本形式
2
2
)( l
EIP
cr ?
??
??
??
22
2
c o ss i n2
11
qAl
I??
?? 2c o ss in2
11
q
k
k
cr
AE
P
PP
?
?
若写成欧拉问题基本形式
2
2
)( l
EIP
cr ?
??
??
??
22
2
c o ss i n2
11
qAl
I??
若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴 z的回转半径,即
22 ArI ?
并且,一般 为,故可取 ?? 60~30? 27
c o ss in 2
2
????
并引入长细比 rl /??
2
271
?? qA
A??
若采用换算长细比,则有
h?
若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴 z的回转半径,即
22 ArI ?
并且,一般 为,故可取 ?? 60~30? 27
c o ss in 2
2
????
并引入长细比 rl /??
2
271
?? qA
A??
若采用换算长细比,则有
h?
q
h A
A
r
l 272 ???? ?????
上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式,
§ 13-1 概述
一,第一类稳定问题 (分支点失稳 )
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
?? ---临界荷载
crPP ?
稳定平衡
crPP ?
随遇平衡
crPP ?
不稳定平衡
q
P P
不稳定平衡状态在任意
微小外界扰动下失去稳
定性称为失稳 (屈曲 ),
两种平衡状态,轴心受压和弯曲、压缩。 --- 第一类稳定问题
完善体系
二,第二类稳定问题 (极值点失稳 )
偏心受压
三,分析方法
大挠度理论。
第二类稳定问题
P P
有初曲率
小挠度理论。
静力法
能量法
四,稳定自由度
在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的
独立几何参数的数目,称为稳定自由度。
非完善体系
P
??EI
? 1个自由度
P P
??EI
2个自由度 无限自由度
§ 13-2,用静力法确定临界荷载
一,一个自由度体系
? ? 0AM
0s i n ??? ??? Plk
小挠度、小位移情况下,
?k
P
??EIl
?k1
抗转弹簧
A ? ?? ??sin
??k
0)( ?? ?? Plk
0?? 0?? Plk?
----稳定方程（特征方程）
lkPcr /?? ---临界荷载
二,N自由度体系
? ? 0BM 0)( 121 ???? yyPlky
（以 2自由度体系为例）
0)2()( ???? plkPPklkl
----稳定方程
02 ??? klPkl PPkl
---临界荷载
k
l
A
P
??EI
l
k
1y
2y
1ky
2ky
B
? ? 0AM 02 112 ????? Pylkylky
0)( 21 ??? PyyPkl
0)2( 21 ??? k l yyPlk
03 222 ??? lkk l PP
??
????
kl
klklP
382.0
618.2
2
53
klP cr 3 8 2.0?
618.1
1
2 ??
y
y ---失稳形式
P 1
1.618
三,无限自由度体系
)()( xMxyEI ???
0
0s i nc o s
10
01
??
nlnl
n
l
)( xlQpyM ????
EI
Pn ?2
P
EIl
x
y
x
y
挠曲线近似微分方程为 Q
P
M
Q
)()( xlQPyxyEI ??????
或
)()( xlEIQyEIPxy ?????
令
)()( 22 xlPQnynxy ?????
通解为
)(s i nc o s)( xlPQnxBnxAxy ????
由边界条件
0)(,0)0(,0)0( ???? lyyy
得 0?? l
P
QA
0?? PQBn
0s inc o s ?? nlBnlA
稳定方程
0s inc o s ??? nlnlnl
nlnl ?tan
0
0s i nc o s
10
01
??
nlnl
n
l
P
EIl
x
y
x
y
Q
P
M
Q
得 0?? l
P
QA
0?? PQBn
0s inc o s ?? nlBnlA
稳定方程
0s inc o s ??? nlnlnl
nlnl ?tan
nl
y
2
?
2
3?
2
5?
nlnly ?)( nlnly t a n)( ?
经试算 493.4?nl 4 8 5.4ta n ?nl
EInPcr 2?
22 /19.20)4 9 3.4( lEIEI
l ??
§ 13-3,具有弹性支座压杆的稳定
l
EIk 3?
?
P
EI
l
EI
?k
P
?k
1
练习,简化成具有弹簧支座的压杆
P
EI
l
EI
l
EI
P
EI l EI
??EA
?k
P
l
EIk 6?
?
P
EI
k
3
3
l
EIk ?
EI
?k
P
l
A
y
y
x
?
???k
Q
P
M
Q )()( xMxyEI ???
)( xlQpyM ????
挠曲线近似微分方程为
)()( xlQPyxyEI ??????
? ? 0AM ??kQl ?
EI
Pn ?2令
)()( 2 xllEIkynxy ?????? ??
通解为
)(s inc o s)( xlPlknxBnxAxy ???? ??
边界条件 0)(,)0(,0)0( ???? lyyy ?
0?? ??PkA
0)1( ??? ??PlkBn
0s inc o s ?? nlBnlA
0
0s i nc o s
)1/(0
/01
???
nlnl
Plkn
Pk
?
?
稳定方程
2)(1
t a n
nl
lk
EI
nlnl
?
?
?
解方程可得 nl的最小正根 EInPcr 2?
EI
?k
P
l
A
y
y
x
?
???k
Q
P
M
Q
0
0s i nc o s
)1/(0
/01
???
nlnl
Plkn
Pk
?
?
稳定方程
2)(1
t a n
nl
lk
EI
nlnl
?
?
?
解方程可得 nl的最小正根 EInPcr 2?
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
??
??nl
0??k若
0ta n ?nl
0sin ?nl
???k若
nlnl ?tan
2/19.20 lEIP cr ?
P
EIl
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
??
??nl
0??k若
0ta n ?nl
0sin ?nl
???k若
nlnl ?tan
2/19.20 lEIP cr ?
P
EIl
EI
?k
P
l
EI
lknlnl ??t a n
P
EI
3
3)(
t a n kl nlEInlnl ??
例,求图示刚的临界荷载,
P
l
P
II 21 ?
I I
l
P P P P
正对称失稳 反对称失稳
正对称失稳时
P
P
?k ?k
1
lEIl EIk /42/2 ???
2)(1
t a n
nl
lk
EI
nlnl
?
?
?
4/)(1 2nl
nl
??
83.3?nl 22 /67.14 lEIEInP cr ??
例,求图示刚的临界荷载,
P
l
P
II 21 ?
I I
l
P P P P
正对称失稳 反对称失稳
反对称失稳时
P
?k
lEIl EIk /122/23 ????
12t a n ?? EI lknlnl ?
45.1?nl
22 /67.14 lEIEInP cr ??
P
0
?k
1
22 /10.2 lEIEInP cr ??
原结构的临界荷载为, 2/10.2 lEIP
cr ?
§ 13-4 用能量法确定临界荷载
一, 势能原理
2.外力势能
1.应变能
弯曲应变能
P
?2/?? PV e ??
l dxM
02
1 ?
拉压应变能 2/?? PV
e ??
l dxN
02
1 ? P
?
P
?
剪切应变能 2/?? PV
e ??
l dxQ
02
1 ?
1? 2? 3?
1P 2P
3P
外力从变形状态退回到无位移的
原始状态中所作的功,
? ??? iie PV *
y(x)
q(x) ???
l
e dxxyxqV 0* )()(
3.结构势能
*PeP VVE ??
EA
lPPPV
iie
2
1
11
* ???????? ?
结构势能
例,求图示桁架在平衡状态下的结构势能,EA=常数,
?45
P1
l l A
?45
解, 杆件轴力 2/2
11 PN ?
杆件伸长量
EA
lP 1
1 2 ??? ?
EA
lP
EA
lN 11
2
2???
A点竖向位移
外力势能
应变能
EA
lPNV
e 222
1 21
1 ???? ?
*PeP VVE ??
EA
lP
EA
lP
EA
lP
22
2
1
2
1
2
1 ????
EA
lPPPV
iie
21
11* ???????? ?
结构势能
?45
P1
l l A
?45杆件轴力 2/2 11 PN ?
杆件伸长量
EA
lP 1
1 2 ??? ?
EA
lP
EA
lN 11
2
2???
A点竖向位移
外力势能
应变能
EA
lPNV
e 222
1 21
1 ???? ?
*PeP VVE ?? EA lPEA lPEA lP 22 212121 ????
4.势能驻值原理
设 A点发生任意竖向位移 是 的函数, PE,? ?
杆件伸长量 2/2???
lEAN /??杆件轴力 lEA 2/2 ??
应变能
l
EANV
e 222
1 2????? ?
外力势能 ???
1* PV e
结构势能
???? 1
2
2 Pl
EAE
P ])[(2
2
1
2
1 ?????? l
EA
PE
?1?
0)( 1 ?????? lEAddE P
1???
EA
lPP
l
EAE
P 22)(
2
1
11
2
1
1 ???????
EA
lP
2
2
1
4.势能驻值原理
设 A点发生任意竖向位移 是 的函数, PE,? ?
杆件伸长量 2/2???
lEAN /??杆件轴力 lEA 2/2 ??
应变能
l
EANV
e 222
1 2????? ?
外力势能 ???
1* PV e
结构势能
???? 1
2
2 Pl
EAE
P ])[(2
2
1
2
1 ?????? l
EA
0)( 1 ?????? lEAddE P
1???
EA
lPP
l
EAE
P 22)(
2
1
11
2
1
1 ???????
PE
?1?
EA
lP
2
2
1
在弹性结构的一切 可能位移 中，真实位移
使结构势能取驻值。
满足结构位移边界条件的位移
对于稳定平衡状态,真实位移使结
构势能取极小值,
二,能量法确定临界荷载
例一,求图示结构的临界荷载, P
??EIl
k
y
? P
解, 应变能
ykyV e ??? 21
?????? ? PPV iie *
外力势能
2s i n2c o s
2 ?? lll ????
l
y
l
yll
2)(2
1)
2(2
2
22 ??? ??
l
Py
2
2
??
结构势能 *
PeP VVE ?? 22 yl Plk ??
0??? yl PlkdydE P
lkPcr ?
由势能驻值原理
得临界荷载
例二,求图示结构的临界荷载,
解, 应变能 2
2
2
1 2
1
2
1 kykyV
e ??
]2 )(2[ 21222* l yylyPPV iie ??????? ?外力势能
结构势能 *
PeP VVE ??
]2 )(2[2121 212222221 l yylyPkyky ?????
k
l
P
??EI
l
k ?
1y
P
2y
])2(2)[(21 222121 yPklyPyyPkll ?????
02
2
1
1
??????? yyEyyEE PPP ???
0
1
??? yE P
0
2
??? yE P
0])[(1 21
1
?????? PyyPkllyE P
0])2([1 21
2
?????? yPklPylyE P
02 ??? PklP PPkl
03 222 ??? lkk l PP
??
????
kl
klklP
382.0
618.2
2
53
klP cr 3 8 2.0?
三,瑞利里兹法
)( xyEIM ???
P
EIl
P
EI
x
y
x)(xy
?
ds
dxds ?
dx
dy
应变能 ?
? le dxEI xMV 0
2 )(
2
1
? ??? le dxxyEIV 0 2)]([21
dxydxdxds ????? 2)(1
]1))(1[( 2/12 ???? ydx ]1)(
2
11[ 2 ???? ydx?
dxy 2)(21 ??
dxydxds ll 200 )(21)( ????? ??
? ?????? le dxyPPV 0 2* )(2外力势能
结构势能 *
PeP VVE ??
?? ????? ll dxyPdxyEI 0 20 2 )(2)(21
设 )()()()( 2211 xaxaxaxy nn ??? ????
)(
1
xa iin
i
??
?
?
将无限自由度化为有限自由度,
结构势能则为 的多
元函数,求其极值即可求出临界
荷载,
naaa ?,,21
l EI
P
2
2
l
EIP
cr
??
l
xaxy ?s i n)( ?
例,求图示体系的临界荷载, x
y
x
)(xy
解, 1.设
2
3
4
0
2
4)]([2
1 a
l
EIdxxyEIV l
e
????? ?
2
2
0
2*
4)(2 Paldxy
PV l
e
????? ?
2
2
3
4
)44( aPllEIE P ?? ??
0)22(
2
3
4
??? aPllEIdadE P ??
022
2
3
4
?? PllEI ??
精确解,
2
2
l
EIP
cr
??
2
12
l
EIP
cr ?
例,求图示体系的临界荷载,
l EI
P
x
y
x
)(xy
解, )(4)( 2
2 xlxl
axy ??2.设
精确解,
2
2
l
EIP
cr
??
误差,+21.6%
3.设杆中作用集中荷载所引起的位
移作为失稳时的位移,
l/2
l/2 Q
)(xy
)20()1216()(
32 l
xxxlEIQxy ????
令
EI
Qla 348?
)43()( 3
3
l
x
l
xaxy ??
2
10
l
EIP
cr ?
误差,+1.3%
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
)(1 xy设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为 和 )(2 xy
2
2
2
2
1
2
2
2 )()(
dx
yd
xd
xyd
dx
xyd ??
EI
My ???
1
同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时
的挠曲微分方程的建立,
二者共同影响产生的挠度为
)()()( 21 xyxyxy ??
近似的曲率为
弯矩引起的曲率为
???dx xdy )(2 dxdMGAGAQ ?? ????
dx
2dy
?
Q
Q
截面形状系数
矩形截面为 1.2
圆形截面为 1.11
2
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAdx
xyd ???
挠曲微分方程为
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAEI
M
dx
xyd ???
§ 13-6 剪力对临界荷载的影响
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
dx
2dy
?
Q
Q2
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAdx
xyd ???
挠曲微分方程为
2
2
2
2 )(
dx
Md
GAEI
M
dx
xyd ???
对于图示两端铰支的等截面杆,有
yPMPyM ????????,
2
2
2
2 )(
dx
yd
GA
P
EI
Py
dx
xyd ????
0)1( ????? yEIPGA Py ?
令
)1(
2
GA
PEI
Pm
???
0)()( 2 ???? xymxy
方程的通解
mxBmxAxy s i nc o s)( ??
边界条件
0)(
0)0(
?
?
ly
y
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
dx
2dy
?
Q
Q
对于图示两端铰支的等截面杆,有
yPMPyM ????????,
2
2
2
2 )(
dx
yd
GA
P
EI
Py
dx
xyd ????
0)1( ????? yEIPGA Py ?
令
)1(
2
GA
PEI
Pm
???
0)()( 2 ???? xymxy
方程的通解
mxBmxAxy s i nc o s)( ??
边界条件
0)(
0)0(
?
?
ly
y
0s in ?mlB
0sin ?ml 稳定方程
lmml /,?? ??
)1(2
2
GA
PEI
lP
?? ??
EI
lGA
EI
lP
cr
2
2
2
2
1
??
?
?
? kP??
EI
GA l
P
x
y
x
)(1 xy
)(2 xy
dx
2dy
?
Q
Q
0s in ?mlB
0sin ?ml 稳定方程
lmml /,?? ??
)1(2
2
GA
PEI
lP
?? ??
EI
lGA
EI
lP
cr
2
2
2
2
1
??
?
?
? kP??
EIlP k 2
2?
?
不计剪变的欧拉临界力
EI
lGA 2
2
1
1
??
?
?
?
修正系数
kPGA
??? 1
1
kG ?
??? 1
1
欧拉临界应力
对于三号钢,比例极限为 200MPa,
若取 2.18 0 G P a,GM P a,200 ??? ??
k
1003.1 1 ?? ??
结论,实体 杆件中,剪力对临界荷
载的影响很小,可略去不计,
不计剪力对临界荷 载的影响
所得到的临界荷载是大还是小?
§ 13-7 组合压杆的稳定
缀条式 缀板式
肢杆
缀条
缀板
组合压杆的临界荷载比
截面和柔度相同的实体
压杆的小,节间数目较多
时可用上节推出的实体压杆
的临界荷载计算公式作近似计算,
kcr PP ??
EIlP k 2
2?
?
kPGA
?? ?? 1
1
dx
2dy
?
Q
Q
GA
Q?? ?
GA
?? ?
dx
2dy
?
Q
Q
GA
Q?? ?
GA
?? ?
一,缀条式组合压杆
1?Q
1?Q
P
P
l d
b
z
d/t a n 11??? ???
?
11?
?? EA lN 2111?
不计肢杆轴变,
PA
---水平缀条截面积,
qA
---斜杆截面积,
qP EA
d
EA
b ??? s i n)c o s
1(
)1(
2
2
11 ?
??
?
)t a n/( ?db ?
)c o ss i n 1t a n1( 2 ???
qP AAE
d ??
)c o ss i n 1t a n1(1 2 ????
qP AAE
??
P
P
l d
b
z
1?Q
1?Q
?
11?
?
dx
2dy
?
Q
Q
GA
Q?? ?
GA
?? ?
)c o ss i n 1t a n1(1 2 ????
qP AAE
??
kcr PP ??
EIlP k 2
2?
?
kPGA
?? ?? 1
1
)
c o ss in
1
t a n
1(11
2 ???
qP
k
k
cr
AAE
P
PP
??
?
I 的计算, I 为两根肢杆的截面对 z轴的惯性矩,
设一根肢杆的截面积为 A,对自身形心轴的惯性矩为 I1
2
1
2
1 2
12)
2(22 AbI
bAII ????
P
P
l d
b
z
1?Q
1?Q
?
11?
?
kcr PP ??
EIlP k 2
2?
?
kPGA
?? ?? 1
1
)
c o ss in
1
t a n
1(11
2 ???
qP
k
k
cr
AAE
P
PP
??
?
若略去横杆影响,两侧都有缀条,则上式为
?? 2c o ss in2
11
q
k
k
cr
AE
P
PP
?
?
若写成欧拉问题基本形式
2
2
)( l
EIP
cr ?
??
??
??
22
2
c o ss i n2
11
qAl
I??
?? 2c o ss in2
11
q
k
k
cr
AE
P
PP
?
?
若写成欧拉问题基本形式
2
2
)( l
EIP
cr ?
??
??
??
22
2
c o ss i n2
11
qAl
I??
若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴 z的回转半径,即
22 ArI ?
并且,一般 为,故可取 ?? 60~30? 27
c o ss in 2
2
????
并引入长细比 rl /??
2
271
?? qA
A??
若采用换算长细比,则有
h?
若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴 z的回转半径,即
22 ArI ?
并且,一般 为,故可取 ?? 60~30? 27
c o ss in 2
2
????
并引入长细比 rl /??
2
271
?? qA
A??
若采用换算长细比,则有
h?
q
h A
A
r
l 272 ???? ?????
上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式,
