第十四章 结构动力学
§ 14-1,概述
1.1 动荷载及其分类
一,动荷载的定义
大小、方向和作用点随时间变化 ;在其作用下，结构上的惯性力
与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作
静荷载。 静荷只与作用位置有关，而 动荷是坐标和时间的函数。
二,动荷载的分类
动荷载
确定
不确定
风荷载
地震荷载
其他无法确定变化规律的荷载
周期
非周期
简谐荷载
非简谐荷载
冲击荷载
突加荷载
其他确定规律的动荷载
1.2 结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第一类问题,反应分析（结构动力计算）
第二类问题,参数（或称系统）识别
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第三类问题,荷载识别 。
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
当前结构动力学的研究内容为,
一,结构动力学的研究内容
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第一类问题,反应分析（结构动力计算）
第二类问题,参数（或称系统）识别
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第三类问题,荷载识别 。
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第四类问题,控制问题
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
控制系统
（装置、能量）
-----正问题
-----反问题
-----反问题
-----控制问题
二, 结构动力学的任务
讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力
特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用
下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
1.3 结构动力分析中的自由度
一, 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二, 自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程
角度也没必要。常用简化方法有,
1) 集中质量法
将实际结构的质量看成（按一定规则）
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是
无质量的。这样就将无限自由度系统变成一
有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法 m
)(xy
??
?
?
1
)()(
i
ii xaxy ?
?
?
?
n
i
ii xaxy
1
)()( ?
ia
---广义坐标
0)()0( ?? lii ??
)(xi? ---基函数
3) 有限元法
和静力问题一样，可通过将实际结构
离散化为有限个单元的集合，将无限自由
度问题化为有限自由度来解决。
m
1) 集中质量法
将实际结构的质量看成（按一定规则）
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是
无质量的。这样就将无限自由度系统变成一
有限自由度系统。
m
二, 自由度的确定
广义坐标个数即
为自由度个数
结点位移个数即
为自由度个数
二, 自由度的确定
1) 平面上的一个质点
1y
2y
W=2
2)
W=2
弹性支座不减少动力自由度
3)
计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1
为减少动力自由度，梁与刚架不
计轴向变形。
4) 1y
W=1
5)
W=2
自由度数与质点个数无关，但
不大于质点个数的 2倍。
6) 1y
2y
W=2
7)
??EI
W=1
二, 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体
W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3
W=2
1y
2y
?
10)
??EIm
4) 1y
W=1
5)
W=2
自由度数与质点个数无关，但
不大于质点个数的 2倍。
6) 1y
2y
W=2
7)
??EI
W=1
W=1
二, 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体
1y
2y
W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3
10)
W=2
?
??EIm
11)
12)
W=13
自由度为 1的体系称作单自由度体系；
自由度大于 1的体系称作多（有限）自由度体系 ;
自由度无限多的体系为无限自由度体系。
1.4 体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的
（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。
下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。
m
)(tP
)(ty?
)()( tPtym ??? 运动方程
施
力
物
体 )(tP? )()( tymtP ?????
0)]([)( ??? tymtP ??
惯性力
m
)(tP )(tym??
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
一、柔度法
m
EI l
)(tP
)(tym??
=1
11?
)(tP )(tym??
)]()([11 tymtP ???? )]()([)( 11 tymtPty ???? ?
EI
l
3
3
11 ??
l
柔度系数
)()(3)( 3 tPtylEItym ????
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
)(ty
一、柔度法
m
EI l
)(ty
)(tP
)(tym??
=1
11?
)(tP )(tym??
)]()([11 tymtP ???? )]()([)( 11 tymtPty ???? ?
EI
l
3
3
11 ??
l
柔度系数
)()(3)( 3 tPtylEItym ????
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
二、刚度法
m
EI l
)(ty
)(tP
)(tym??
11k
1
)(11 tyk
y )()()(11 tymtPtyk ????
311
3
l
EIk ? 刚度系数
)()(3)( 3 tPtylEItym ????
11111 ???k
刚度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移 y所需之力；
3.令该力等于体系外力和惯性力。
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题
EI
l
3
2 3
11 ??
)()(23)( 3 tPtylEItym ????
刚度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移 y所需之力；
3.令该力等于体系外力和惯性力。
例 1,m
EI l
)(tP
EI
l
)(ty
)(ty
)(tym??)(tP
11?
=1
l
EI
l
3
2 3
11 ??
)(16)]([32)]([)( 33111 tPEIltymEIltymty P ??????? ?????
例 2,
)(ty
)(ty
)(tym??
)(tP
11?
=1
l
m
EI l )(tP
EI l/2 l/2
P1?
P(t)
EI
Pl
P 16
3
1 ??
Pl/4
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题
刚度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移 y所需之力；
3.令该力等于体系外力和惯性力。
例 3,
)(tym??
311 /24 lEIk ?
m
EI l
)(tP
EI
l
??1EI )(ty
)(tP
11k1
3/12 lEI
11k
3/12 lEI
)()()(11 tymtPtyk ???? )()(24)( 3 tPtyl EItym ????
例 4,m
EI
l/2 )(tP
EI
??1EI
l/2
)(ty
)(tP
)(tym?? )(ty
)(tP
)(tym??
)(tR
三、列运动方程例题
例 3,
)(tym??
311 /24 lEIk ?
m
EI l
)(tP
EI
l
??1EI )(ty
)(tP
11k1
3/12 lEI
11k
3/12 lEI
)()()(11 tymtPtyk ???? )()(24)( 3 tPtyl EItym ????
例 4,m
EI
l/2 )(tP
EI
??1EI
l/2
)(ty
)(tP
)(tym?? )(ty
)(tP
)(tym??
)(tR
0)( ?tR
11k1
)(tP
)(tym?? )(1 tRP
0)()( 111 ?? tRtyk P
311 /24 lEIk ?
2/1 PymR P ?? ??
层间侧移刚度 m
EI l EI
l
??1EI
)(tP
1
3/12 lEI 3/12 lEI
对于带刚性横梁的刚架 (剪切型刚架 ),
当两层之间发生相对单位水平位移时,两
层之间的所有柱子中的剪力之和称作该
层的层间侧移刚度,
3
24
l
EIk ?
k
1
11 ??
1? 11?
k
2k
EI l
??1EI
l
EI
EI EI ??1EI
1k
1 ?k
2 ?k
321
24
l
EIkk ??
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架 (剪切型刚架 ),
当两层之间发生相对单位水平位移时,两
层之间的所有柱子中的剪力之和称作该
层的层间侧移刚度,
3
24
l
EIk ?
k
1
11 ??
1? 11?
k
2k
EI l
??1EI
l
EI
EI EI ??1EI
1k
1 ?k
2 ?k
321
24
l
EIkk ??
2kEI l
??1EI
l
EI
EI EI ??1EI
1k
1 ?k
2 ?k
321
36
l
EIkk ??
三、列运动方程例题
列运动方程时可不考虑重力影响
例 5,
EI
l
48
3
11 ??
)()(48)( 3 tPtyl EItym ????
m
)(tP
EI
l/2 l/2 W
)(ty
st?
)(ty ---P(t)引起的动位移
st?
---重力引起的位移
质点的总位移为
sttytY ??? )()(
加速度为
)()( tytY ???? ?
)(tym??
1?
11?
)]()([)( 11 tymWtPty st ??????? ?
11?Wst ??
)]()([)( 11 tymtPty ???? ?
三、列运动方程例题
例 6,
EI
l
243
4 3
2211 ?? ??
)]([)]()([)( 221211111 tymtymtPty ???? ???? ??
)]()([ 11 tymtP ????
m1
)(tP
EI
l/3 l/3 l/3
m2 )(1 ty
)(2 ty
)(11 tym ??? )(22 tym ???
1?
11?
21?
1?
12? 22?
)]([ 11 tym ????
?
)]([)]()([)( 222211212 tymtymtPty ???? ???? ??
??
?
??
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?
??
??
?
??
?
??
??
?
??
?
2
1
2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
0
0
0 y
y
m
mP
y
y
??
??
??
??
??
??
简记为
? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?ymPy ???? ??
位移
向量 柔度矩阵
荷载向量
质量
矩阵
加
速
度
向
量
EI
l
486
7 3
2112 ?? ??
例 7,
m1
)(1 tP
2k
??1EI
??1EI
1k
)(2 tP
m2
)(1 ty
)(2 ty
)(22 tym ???
)(1 tP
)(2 tP
)(1 ty
)(2 ty
)(11 tym ???
1y?
)(1 tR
)(2 tR
)(1 ty
)(2 ty
11k
21k
1
12k
22k
1
2y?=
2121111111 ykykymPR ???? ??
2221212222 ykykymPR ???? ??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2
1
0
0
y
y
kk
kk
y
y
m
m
P
P
??
??
? ?? ? ? ?? ? ? ?Pykym ???? 刚度矩阵
11k
21k
2k
1k
2111 kkk ??
221 kk ??
212 kk ??
222 kk ?
12k
22k
2k
? ? ?
?
?
??
?
?
???
22
221
kk
kkkk
例 7,
m1
)(1 tP
2k
??1EI
??1EI
1k
)(2 tP
m2
)(1 ty
)(2 ty
)(22 tym ???
)(1 tP
)(2 tP
)(1 ty
)(2 ty
)(11 tym ???
][ 111 ymP ????
)0 0(
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
y
y
m
m
P
P
y
y
??
??
??
??
111 /1 k?? 121 /1 k??
112 /1 k??2122 /1/1 kk ???
? ?? ? ? ?Ik ??
11?
1?
21?
12?
1? 22?
][ 222 ymP ????
][][ 22212111111 ymPymPy ???? ???? ??
][][ 22222111212 ymPymPy ???? ???? ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?)( ymPy ???? ?
? ? ?
?
?
??
?
?? 211
11
/1/1/1
/1/1
kkk
kk?
)(2 tP
)( 122 yyk ?
11yk
)(22 tym ???
)(11 tym ???)(1 tP
)()( 12211111 yykykymtP ???? ??
)()( 122222 yykymtP ??? ??
例 7,
m1
)(1 tP
2k
??1EI
??1EI
1k
)(2 tP
m2
)(1 ty
)(2 ty
)(22 tym ???
)(1 tP )(
1 ty
)(2 ty
)(11 tym ???
)(2 tP
例 8 建立图示体系的运动方程
? ? 0AM
m ??EI2m
l l l
k
A
y(t) 2y(t) 3y(t)
)(2 tym ???
yk2
)(3 tym ??
033222 ??????? lymlyklym ????
0)(4)(11 ?? tkytym ??
l
??1EI
l
EI
)(tPm
例 9 建立图示体系的运动方程
)(t? )(tlm ???
)(tlm ???
)(tP
)(4 ti?
A B
? ? 0BM
043221)( ??????? ?? illlmltP ??
ltPilm )(431 3 ?? ????
)(tP
)(t?
??J?
)(tlm ???
)(tP
)(4 ti? ??J?
? ? 0BM
04)( ???? ?? iJltP ??
2
3
1 llmJ ??
XMbXkbXk ??????? )()( ??
例 10 图示体系为质量均匀分布的刚性平板,试建立运动方程,
总质量为 M,转动惯量为 J,
?
设 水平位移为 x
竖向位移为 y
转角为
2b
kk
k
k
2a
X
Y
?
XM ??
YM??
??J?
)( ?bXk ?
)( ?bXk ?
)( ?aYk ? )( ?aYk ?
YMaYkaYk ??????? )()( ??
0)()(
)()(
?????
?????
???
??
??JaaYkaaYk
bbXkbbXk
02 ?? kXXM ??
02 ?? kYYM ??
0)(2 22 ??? ?? kabJ ??
MbaJ 3
22 ?
?
§ 2.单自由度体系的振动分析
§ 2.1 不计阻尼自由振动
自由振动 ---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。
分析自由振动的目的 ---确定体系的动力特性：频率、周期。
一,运动方程及其解
阻尼 ---耗散能量的作用。
m
EI l
)(ty
)(tym??
)]([)( 11 tymty ???? ?
)()(11 tymtyk ????
0)()( 2 ?? tyty ???
令
11
112 1
?? mm
k ??
二阶线性齐次常微分方程
一,运动方程及其解
m
EI l
)(ty
)(tym??
)]([)( 11 tymty ???? ?
)()(11 tymtyk ????
0)()( 2 ?? tyty ???
令
11
112 1
?? mm
k ??
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 tctcty ?? s inc o s)( 21 ??
由初始条件 0)0( yy ?
0)0( yy ?? ?
可得 01 yc ? ?/02 yc ??
tytyty ??? s inc o s)( 00 ???
令 ?sin0 Ay ?
?? c o s/0 Ay ??
)s in ()( ?? ?? tAty
其中
2
2
02
0 ?
yyA ???
0
0ta n
y
y
?
?? ?
二,振动分析
其通解为 tctcty ?? s inc o s)( 21 ??
由初始条件 0)0( yy ?
0)0( yy ?? ?
可得 01 yc ? ?/02 yc ??
tytyty ??? s inc o s)( 00 ???
令 ?sin0 Ay ?
?? c o s/0 Ay ??
)s in ()( ?? ?? tAty
其中
2
2
02
0 ?
yyA ???
0
0ta n
y
y
?
?? ?
单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动,
)2(])2(s i n [)2s i n ()s i n ()( ??????????? ?????????? tytAtAtAty
?
?2?T 自振周期
?? 21 ?? T 自振园频率 (自振频率 )
与外界无关,体系本身固有的特性
A 振幅
? 初相位角
二,振动分析
单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动,
)2(])2(s i n [)2s i n ()s i n ()( ??????????? ?????????? tytAtAtAty
?
?2?T 自振周期
?? 21 ?? T 自振园频率 (自振频率 )
与外界无关,体系本身固有的特性
A 振幅
? 初相位角
三,自振频率和周期的计算
1.计算方法
(1)利用计算公式
11
112 1
?? mm
k ??
11,?WmgW st ???
st
g
??
2?
(2)利用机械能守恒
常数?? )()( tUtT
)(c o s21)(21)( 2222 ??? ??? tmAtymtT ?
)(s i n21)(21)( 2211211 ?? ??? tAktyktU
maxmax UT ?
三,自振频率和周期的计算
1.计算方法
(1)利用计算公式
11
112 1
?? mm
k ??
11,?WmgW st ???
st
g
??
2?
(2)利用机械能守恒
常数?? )()( tUtT
)(c o s21)(21)( 2222 ??? ??? tmAtymtT ?
)(s i n21)(21)( 2211211 ?? ??? tAktyktU
maxmax UT ?
(3)利用振动规律
)s in ()( ?? ?? tAty
)s in ()( 2 ??? ??? tAty??
)s in ()()( 2 ??? ???? tmAtymtI ??
位移与惯性力同频同步,
211 ?mAAk ?
1
11k
m
EI l
)(ty
2?mA
A
幅值方程
m
k112 ??
三,自振频率和周期的计算
2.算例
例一,求图示体系的自振频率和周期,
3
11 7
121
ml
EI
m ?? ??
)221213221(111 lllllllllEI ???????????
EI
mlT
12
722 3?
?
? ??
m
EI l
EI
l
=1
11?
=1
l
l/2
l
解,
EI
l 3
12
7?
例二,求图示体系的自振频率和周期,
33
3
2
2
3
1
ml
EI
EI
lm
?
?
??
EI
l 3
11 3
2??
EI
mlT 32??
=1
解,
2
3
l
EI
m
EI l
l
m/2
EI
EI
l l
例三,质点重 W,求体系的频率和周期,
311
3
l
EIkk ??解,
EI k
l
11k
1 11k
k
3
3
l
EI
gWm /?
g
W
l
EIk
3
3?
??
例四,求图示体系的自振频率和周期,
2222
22
m a x
2
9
)2(
2
1
)(
2
1
)2(
2
1
????
????
mllm
lmlmT
??
??解,
m
k
9
5??
m
l
m ??EI m
l l l
k k )(t?1.能量法
2222
m a x 2
5)2(
2
1)(
2
1 ??? kllklkU ???
maxmax UT ?
2.列幅值方程
?ml ?? 22
ml ?? 22ml ?? 2
lk?
lk?2
A
? ? 0AM
0222222 222 ?????????? lklllmlmllkllml ????????
059 222 ?? ??? klml
m
k
9
5??
§ 2.2 简谐荷载作用下的受迫振动 (不计阻尼 )
一,运动方程及其解
tPtyktym ?s i n)()( 11 ????
二阶线性非齐次常微分方程
受迫振动 ---动荷载引起的振动, m
EI l
)(ty
P(t)
tPtP ?s in)( ?
P ---荷载幅值 ? ---荷载频率
运动方程
)()()( * tytyty ??
或
通解
其中
tctcty ?? s inc o s)( 21 ??
设
tmPtyty ?? s in)()( 2 ????
tAty ?s i n)(* ?
代入方程,可得
)( 22 ?? ?? m
PA
通解为
tm Ptctcty ????? s i n)(s i nc o s)( 2221 ????
二,纯受迫振动分析
m
EI l
)(ty
P(t)
设 tAty ?s i n)(* ?
代入方程,可得
)( 22 ?? ?? m
PA
通解为
tm Ptctcty ????? s i n)(s i nc o s)( 2221 ????
tAty ?s i n)( ?
)( 22 ?? ?? m
PA
2
22
1
1
?
?? ?
??
m
P
?styA ?
112 ?? Pm
Py
st ??
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
22 /1
1
??? ??
---动力系数
---稳态振幅
?
||?
1
1 ?
?? ? ---频比
21
1
?? ??
二,纯受迫振动分析
m
EI l
)(ty
P(t)
tAty ?s i n)( ?
)( 22 ?? ?? m
PA
2
22
1
1
?
?? ?
??
m
P
?styA ?
112 ?? Pm
Py
st ??
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
22 /1
1
??? ??
---动力系数
---稳态振幅
?styA ?
?
||?
1
1
21
1
?? ??
112 ?? Pm
Py
st ??
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
22 /1
1
??? ??
---动力系数
?
?? ? ---频比
---稳态振幅
0?? 1??
1?? ??? ---共振
??? 0??
10 ?? ? ? 增函数
1?? ||? 减函数
0??
)(1s i n)( 22 tPmtm Pty ????? ??
为避开共振 一般应大于 1.25
或小于 0.75,?
1.25 0.75
共振区
m
k 112 ??
若要使振幅降低,应采取何种措施?
?
?? ?
通过改变频比可增加或减小振幅,
10 ?? ? ? 增函数
1?? ||? 减函数
0??
)(1s i n)( 22 tPmtm Pty ????? ??
0?? 1??
1?? ??? ---共振
??? 0??
为避开共振 一般应大于 1.25
或小于 0.75,?
10 ?? ? 应使频比减小, 增加结构自频, 增加刚度、减小质量,
1?? 应使频比增大, 减小结构自频, 减小刚度、增大质量,
例 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 ?? 5.0?
三,动位移、动内力幅值计算
tAty ?s i n)( ?
?styA ?
22 /1
1
??? ??
计算步骤,
1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的
位移、内力；
2.计算动力系数；
3.将得到的位移、内力乘以动力系数
即得动位移幅值、动内力幅值。
tP ?sin
??1EI
m
EI EI l
P
Pl/4
解,
311
24
l
EIk ?
EI
Pl
k
Py
st 24
3
11
??
3
4
/1
1
22 ??? ???
EI
PlyA
st
3
18
1 ??? ?
Pl/3
动弯矩幅值图
例 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移
已知,
./500,10,35
,210,108.8,4 45
分转???
???? ?
nkNPkNQ
G P aEmIml
解,
S/13.62//1 11 ???? Qgm ??
m107 2 2.0 311 ???? ?Py st
4.3/1 1 22 ??? ???
m1045.2 3???? ?styA
tP ?sin
Q l/2 l/2
重力引起的弯矩 kN35
4
1 ?? QlM
Q
重力引起的位移 m1053.2 311 ????? ?QQ
1?
11?
l/4
m /N10722.048 7
3
11
????
EI
l?
k N, m1041 ?? PlM st
S/13.5260/2 ?? n??
振幅
动弯矩幅值
k N, m34?? ?stD MM
跨中最大弯矩
k N, m69m a x ??? DQ MMM
跨中最大位移
m1098.4 3m ax ?????? Af Q
[动荷载不作用于质点时的计算 ]
PP
11
12*
?
??
m
tP ?sin )(ty
)(s i n)( 1112 ymtPty ????? ???
)(tym??
tP ?sin
12?
=1
11?
=1
tPtytym ???? s in)(1)(
11
12
11
????
令
tPtytym ?? s in)(1)( *
11
????
tm Pty ??? s in)( 2
*
?
???? 11*2
*
Pm PA ??
???? 11
11
12 P? ?? P12?
?sty?
sty
P
仍是位移动力系数 ?
是内力动力系数吗? ?
运动方程
稳态解
振幅
[列幅值方程求内力幅值 ]
tAty ?s i n)( ?
EI
PlllPl
EIy st
3
48
5
6
5
222
11 ?????解,
?? 5.0?例,求图示体系振幅、动弯矩幅值图,已知
tAty ?? s i n)( 2????
tmAtI ?? s i n)( 2?
tPtP ?s i n)( ?
同频同步变化
m
tP ?sin
EI l/2 l/2 )(ty
P Am 2?
A
3
4
/1
1
22 ??? ???
EI
PlyA
st
3
36
5?? ?
P
sty
=1
11?
2/Pl
l
11
22
44
1
???
AmAmAI ???
P485?
P P
48
5
Pl965
Pl4829
动弯矩幅值图
EI
PlllPl
EIy st
3
48
5
6
5
222
11 ?????解,
?? 5.0?例,求图示体系振幅、动弯矩幅值图,已知
m
tP ?sin
EI l/2 l/2 )(ty
P Am 2?
A
P
sty
=1
11?
3
4
/1
1
22 ??? ???
EI
PlyA
st
3
36
5?? ?
2/Pl
l
解,
例,求图示体系右端的质点振幅
? ? 0oM
km
PA
410
3
2 ?? ?
11
22
44
1
???
AmAmAI ???
P485?
P P
48
5
Pl965
Pl4829
动弯矩幅值图
m
tP ?sin
l
m k ??EI
l l
A
P 2?mA
231 ?mA Ak
3
2
o
一,阻尼与阻尼力
阻尼,使振动衰减的作用,
阻尼产生原因, 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等,
c-----阻尼系数 )()( tyctR ???
011 ??? ykycym ???
§ 2.3 阻尼对振动的影响
阻尼力,在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。
粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
二,计阻尼自由振动
1.运动方程及其解
m
)(ty )(tym??
)(11 tyk
)(tyc?
令 ?? mc 2/?
运动方程
02 2 ??? yyy ??? ???
设 tAety ??)(
02 22 ??? ?? ? ?? 特征方程
根为 21 ????? ???? i
)2(1 ?? mc ??
令 21 ??? ??D
方程的通解为
)c o ss i n()( 21 tctcety DDt ???? ?? ?
由初始条件 00 )0(,)0( yyyy ?? ??
02001,/)( ycyyc D ??? ????
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
202
0 )(
D
yyyA
?
????? ?
011 ??? ykycym ???
二,计阻尼自由振动
1.运动方程及其解
m
)(ty )(tym??
)(11 tyk
)(tyc?
令 ?? mc 2/?
运动方程
02 2 ??? yyy ??? ???
设 tAety ??)(
02 22 ??? ?? ? ?? 特征方程
)/(t an 000 yyy DD ???? ?? ?
)2(1 ?? mc ??
tetccty ???? )()( 21 不振动
?mc r 2? --临界阻尼系数
?? ?? mccc
r 2
---阻尼比
)2(1 ?? mc ?? 不振动
小阻尼情况
临界阻尼情况
超阻尼情况
2.振动分析
根为 21 ????? ???? i
)2(1 ?? mc ??
令 21 ??? ??D
方程的通解为
)c o ss i n()( 21 tctcety DDt ???? ?? ?
由初始条件 00 )0(,)0( yyyy ?? ??
02001,/)( ycyyc D ??? ????
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
202
0 )(
D
yyyA
?
????? ?
)/(t an 000 yyy DD ???? ?? ?
)2(1 ?? mc ??
tetccty ???? )()( 21 不振动
?mc r 2? --临界阻尼系数
?? ?? mccc
r 2
---阻尼比
)2(1 ?? mc ?? 不振动
小阻尼情况
临界阻尼情况
超阻尼情况
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
it 1?it
DT
t
)(ty iA
1?iA
21 ??? ??D
D
DT ?
?2?
周期延长
计算频率和周期可不计阻尼
2.振动分析
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
21 ??? ??D
D
DT ?
?2?
周期延长
计算频率和周期可不计阻尼
it 1?it
DT
t
)(ty iA
1?iA
振动是衰减的
D
Di
i T
Tt
t
i
i e
Ae
Ae
A
A ??
??
??
?? ??
?
?
)(
1
D
i
i T
A
A ??? ??
? 1
ln
对数衰减率
??? ??? 22 ??
D
1
ln21
?
?
i
i
A
A
??
利用此式,通过实验可确定
体系的阻尼比,上式也可写成
ni
i
A
A
n ?? ln2
1
??
例, 对图示体系作自由振动试验,用钢
丝绳将上端拉离平衡位置 2cm,用
力 16.4kN,将绳突然切断,开始作
自由振动,经 4周期,用时 2秒,振幅
降为 1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
3.无阻尼周期
4.重量
5.阻尼系数
振动是衰减的
D
Di
i T
Tt
t
i
i e
Ae
Ae
A
A ??
??
??
?? ??
?
?
)(
1
D
i
i T
A
A ??? ??
? 1
ln
对数衰减率
??? ??? 22 ??
D
1
ln21
?
?
i
i
A
A
??
利用此式,通过实验可确定
体系的阻尼比,上式也可写成
ni
i
A
A
n ?? ln2
1
??
6.若质量增加 800kg体系
的周期和阻尼比为多少
2cm
kN4.16
解, 1.阻尼比
0 2 7 6.012ln42 1 ??? ??
2.刚度系数
)/(102.802.0 104.16 5
3
11 mNk ??
??
例, 对图示体系作自由振动试验,用钢
丝绳将上端拉离平衡位置 2cm,用
力 16.4kN,降绳突然切断,开始作
自由振动,经 4周期,用时 2秒,振幅
降为 1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
3.无阻尼周期
4.重量
5.阻尼系数
6.若质量增加 800kg体系
的周期和阻尼比为多少
2cm
kN4.16
解, 1.阻尼比
0 2 7 6.012ln42 1 ??? ??
2.刚度系数
)/(102.802.0 104.16 5
3
11 mNk ??
??
3.无阻尼周期
)s(5.04/2 ??DT
)s(4 9 9 8.01 2 ??? ?DTT
4.重量
)s/1(57.122 ?? T??
)kg(5 1 9 0/ 211 ?? ?km
)kN(86.50?? mgW
5.阻尼系数
)s / mN(3 6 0 12 ??? ??mc
6.若质量增加 800kg,体系的周期和阻尼比
为多少
)s/1(89.1368005190 102.8 2
5
2 ?
?
???
)s/1(70.11??
)s(537.0/2 ?? ??T
0257.02/ ?? ?? mc
三,计阻尼简谐荷载受迫振动
1.运动方程及其解
设
tPykycym ?s i n11 ??? ???
或
tmPyyy ???? s i n2 2 ??? ???
通解 )()()( * tytyty ??
)c o ss i n()( 21 tctcety DDt ???? ?? ?
tDtDty ?? s i nco s)( 21* ??
2222221 4)(
2
?????
? ? ?
???? m
PD
222222
22
2 4)( ?????
??
??
??
m
PD
)s i n ()(* ?? ?? tAty
22222 4)1(
1
???? ??
? m PA
)1(
2t a n
2??
???
??
)s i n ()c o s
s i n()(
2
1
???
???
??
?? ?
tAtc
tcety
D
D
t
00 )0()0( yyyy ?? ??
)s in (
)s in (
)s in ()(
22
11
??
??
??
??
??
??
??
???
?
?
tA
teA
teAty
D
t
D
t
2002
01 )(
D
yyyA
?
????? ?
00
0
1t a n yy
yD
??
??
?? ?
)s i n ()(* ?? ?? tAty
22222 4)1(
1
???? ??
? m PA
)1(
2t a n
2??
???
??
)s i n ()c o s
s i n()(
2
1
???
???
??
?? ?
tAtc
tcety
D
D
t
00 )0()0( yyyy ?? ??
)s in (
)s in (
)s in ()(
22
11
??
??
??
??
??
??
??
???
?
?
tA
teA
teAty
D
t
D
t
2002
01 )(
D
yyyA
?
????? ?
00
0
1t a n yy
yD
??
??
?? ?
2222
222222
2 )2()-(
)](2[)2(
? ? ???
????? ? ?
?
?
?
????? D
Dm
PA
)-(2
2t a n
22222 ????
????
??
D
初位移、初速度引
起的自由振动分量
动荷载激起的按结构自
振频率振动的分量,称为
伴随自由振动
纯受迫振动
2.阻尼对振幅的影响
)s i n ()( ?? ?? tAty
22222 4)1(
1
???? ??
? m PA
在平稳阶段
?sty?
2222 4)1(
1
???
?
??
?
随 增大而减小 ? ?
阻尼在共振区内影响显著,
在共振区外可不计阻尼,
??? 2/11 ?? 时
的最大值并不发生在 ? 处1??
位移滞后于荷载
3.动内力、动位移计算
除动力系数计算式不同外,
其它过程与无阻尼类似。
?
?
1
1
0??
2.0??
3.0??
例,图示为块式基础,机器与基础的质量为 ;地基竖向
刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为
机器转速为 N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为 P=30kN.求竖向
振动时的振幅。
kg101 5 6 3??m
k g / m105.1 3 1 4 3??K 2.0??
解,
m100 2 2 8.0105.1 3 1 4 30 33 ?????? KPy st
)s/1(79.91101 5 6 105.1 3 1 4 3
6
?? ??? mK?
tPtP ?s in)( ?
)s/1(78.83260 ??? ?? N
49.2)/2()/1(/1 2222 ???? ??????
)mm(0 5 6 8.0?? ?styA
m
)(tP )(ty
0ymP ????
将荷载看成是连续作用的一系
列冲量，求出每个冲量引起的
位移后将这些位移相加即为动
荷载引起的位移。
§ 2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析
)(tP
t
t
一,瞬时冲量的反应
t?)(tP
t
t
P
??
1.t=0 时作用瞬时冲量
m S
mPy /0 ????
2
0 )(2
1 ???
m
Py 0?
tytyty ??? s i nc o s)( 00 ???
tmP ??? s i n??
2,时刻作用瞬时冲量 ?
)(tP
t
t
P
???
)(s i n)( ???? ??? tmPty
§ 2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析
2,时刻作用瞬时冲量 ?
)(tP
t
t
P
???
)(s i n)( ???? ??? tmPty
二,动荷载的位移反应 m
)(tP )(ty
)(tP
t
t
???
)(?P
????? dtmPty t )(s i n)()( 0 ?? ?
---杜哈美积分
????? ??? d)(s i n)()( 0 )(? ?? ??t Dt
D
temPty
计阻尼时
若 t=0 时体系有初位移、初速度
??????? ????? d)(s i n)()s i n ()( 0 )(? ???? ??? t Dt
D
D
t te
m
PtAety
例,求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。
m
)(tP )(ty
P
)(tP
t
????? dtmPty t )(s i n)()( 0 ?? ?
解,
???? dtm Pt )(s i n0 ?? ?
)c o s1(2 tm P ?? ??
)co s1( ty st ???
动力系数为 2
??
?
?
??
0
00)(
tP
ttP
§ 3.多自由度体系的振动分析
§ 3.1 自由振动分析
自由振动分析的目的是确定体系的动力特性,可不计阻尼。
一,运动方程及其解
? ?? ? ? ?? ? ? ?0?? ykym ??或
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
运动方程
11212111 ymykyk ?????
22222121 ymykyk ?????
设方程的特解为
??
?
??
??
)s in (
)s in (
22
11
??
??
tXy
tXy
代入方程,得
0121212111 ??? XmXkXk ?
0222222121 ??? XmXkXk ?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
0
0)
0
0(
2
12
2
1
2221
1211
X
X
m
m
kk
kk ?
0)( 21212111 ??? XkXmk ?
0)( 22222121 ??? XmkXk ?
? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
? ? ? ? 02 ?? mk ?
---频率方程
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
解频率方程得 的两个根 2?
? ?? ? ? ?? ? ? ?0?? ykym ??或
运动方程
11212111 ymykyk ?????
22222121 ymykyk ?????
设方程的特解为
??
?
??
??
)s in (
)s in (
22
11
??
??
tXy
tXy
代入方程,得
0121212111 ??? XmXkXk ?
0222222121 ??? XmXkXk ?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
0
0)
0
0(
2
12
2
1
2221
1211
X
X
m
m
kk
kk ?
0)( 21212111 ??? XkXmk ?
0)( 22222121 ??? XmkXk ?
? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
? ? ? ? 02 ?? mk ?
---频率方程
---振型方程
值小者记作
2?
1? 称作第一频率
也称作基本频率 ; 值大者记作
称为第二频率或高阶频率,
将 频率代入振型方程 1?
0)( 21121121111 ??? XkXmk ?
11
2
11
12
21
11
km
k
X
X
?? ?
特解 1
??
?
??
??
)s in (
)s in (
212121
111111
??
??
tXy
tXy
特解 2
??
?
??
??
)s in (
)s in (
222222
221212
??
??
tXy
tXy
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
解频率方程得 的两个根 2?
值小者记作
2?
1? 称作第一频率
也称作基本频率 ; 值大者记作
称为第二频率或高阶频率,
将 频率代入振型方程 1?
0)( 21121121111 ??? XkXmk ?
11
2
11
12
21
11
km
k
X
X
?? ?
特解 1
??
?
??
??
)s in (
)s in (
112121
111111
??
??
tXy
tXy
特解 2
??
?
??
??
)s in (
)s in (
222222
221212
??
??
tXy
tXy
)s i n ( 11
21
11
12
1 ?? ?
??
?
??
??
??
?
??
? t
X
X
y
y
)s in ( 22
22
12
22
1 ?? ?
??
?
??
??
??
?
??
? t
X
X
y
y
通解
)s in ()s in ( 22
22
12
11
21
11
2
1 ???? ?
??
?
??
???
??
?
??
??
??
?
??
? t
X
Xt
X
X
y
y
二,频率与振型
体系按特解振动时有如下特点
1)各质点同频同步 ;
21
11
1121
1111
2
1
)s in (
)s in (
)(
)(
X
X
tX
tX
ty
ty ?
?
??
??
??
??
?
??
??
)s in (
)s in (
112121
111111
??
??
tXy
tXy
11
2
11
12
21
11
km
k
X
X
?? ?
2)任意时刻,各质点位移的比
值保持不变
定义,体系上所有质量按相同频率作自由振动时
的振动形状称作体系的主振型。
几点说明,
1.按振型作自由振动时，各质点的
速度的比值也为常数，且与位移
比值相同。
21
11
11121
11111
2
1
)c o s (
)c o s (
)(
)(
X
X
tX
tX
ty
ty ?
?
??
???
???
?
?
2.发生按振型的自由振动是有条件的,
21
11
2
1
21
11
2
1
)0(
)0(,
)0(
)0(
X
X
y
y
X
X
y
y ??
?
?
3.振型与频率是体系本身固有的属性,
与外界因素无关,
几点说明,
1.按振型作自由振动时，各质点的
速度的比值也为常数，且与位移
比值相同。
21
11
11121
11111
2
1
)c o s (
)c o s (
)(
)(
X
X
tX
tX
ty
ty ?
?
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???
???
?
?
2.发生按振型的自由振动是有条件的,
21
11
2
1
21
11
2
1
)0(
)0(,
)0(
)0(
X
X
y
y
X
X
y
y ??
?
?
3.振型与频率是体系本身固有的属性,
与外界因素无关,
4。 N自由度体系有 N个频率和 N个振型
? ? ? ? 02 ?? mk ?频率方程
解频率方程得 的 N,从小
到大排列
?
N??? ?21,
依次称作第一频率,第二频率,.,
第一频率称作基本频率,其它为高
阶频率,
将频率代入振型方程
? ? ),2,1( NiX i ??得 N个振型
? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
N个振型是线性无关的,
5。若已知柔度矩阵时
6。求振型、频率可列幅值方程,
4。 N自由度体系有 N个频率和 N个振型
? ? ? ? 02 ?? mk ?频率方程
解频率方程得 的 N,从小
到大排列
?
N??? ?21,
依次称作第一频率,第二频率,.,
第一频率称作基本频率,其它为高
阶频率,
将频率代入振型方程
? ? ),2,1( NiX i ??得 N个振型
? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
N个振型是线性无关的,
振型方程
? ? ? ?? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? XmI ??
频率方程
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按振型振动时
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11
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2
111
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tXmI
tXmI
5。若已知柔度矩阵时
6。求振型、频率可列幅值方程,
振型方程
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频率方程
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按振型振动时
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2
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2
2
2121
2
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XmXmX
XmXmX
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振型可看作是体系按振型振动时,
惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移
三,求频率、振型例题
例一,求图示体系的频率、振型
mm ?1 mm ?2
3/l 3/l 3/l
EI
解
1?
1?11?
12? 22?
21?
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l 3
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2
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1
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8/18/15 21 ?? ??
32
31
0 4 5.22
6 9 2.5
ml
EI
ml
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2
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2
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2
2
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2
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XmXmX
XmXmX
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????
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2
111
2
212
2
1
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m
m
X
X
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1111
2
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21
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m
m
X
X
11 2
2111
2
2212
22
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m
m
X
X
1 1
1
1
第一振型
第二振型
?
?
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2
2
2221
2
1212
2
2
2121
2
1111
XmXmX
XmXmX
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????
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2
111
2
212
2
1
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m
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X
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11 2
1111
2
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21
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X
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1
第一振型
第二振型
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1
1
1X
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??
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??
?
?? 1
1
2X
对称体系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
mm ?1 mm ?2
3/l 3/l 3/l
EI
1?
1?11?
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第一振型
第二振型
mm ?1 mm ?2
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1
1
1X
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对称系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
1?
1?11?
12? 22?
21?
按对称振型振动
m
3/l 6/l
EI
l 3
11 1 6 2
5??
=1
l/3
11
2 1
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3/6 9 2.5 mlEI??
按反对称振型振动
1
1
第二振型
mm ?1 mm ?2
3/l 3/l 3/l
EI
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1
1
1X
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1
2X
对称系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
1?
1?11?
12? 22?
21?
按对称振型振动
m
3/l 6/l
EI
l 3
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11
2 1
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3/6 9 2.5 mlEI??
按反对称振型振动
m
3/l 6/l
对称系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
1?
1?11?
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mm ?1 mm ?2
3/l 3/l 3/l
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按对称振型振动
m
3/l 6/l
EI
l 3
11 1 6 2
5??
=1
l/3
11
2 1
?? m?
3/6 9 2.5 mlEI??
按反对称振型振动
m
3/l 6/l
=1
l/9
EI
l 3
11 486
1??
3/0 4 5.22 mlEI??
31 /6 9 2.5 mlEI??
32 /0 4 5.22 mlEI??
解,
例二,求图示体系的频率、振型,
已知,,;
2121 mmmkkk ????
02
22221
12
2
111 ?
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mkk
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??1EI
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m2
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0222222121 ??? XmXkXk ?
kkkk 22111 ??? kkk ??? 2112 kk ?22
02 2
2
??? ?? ?? mkk kmk
0))(2( 222 ???? kmkmk ??
mk /6 1 8.01 ?? mk /6 1 8.12 ??
6 1 8.0
1;
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1
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12
21
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X
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1
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1
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1
1.618
1
0.618
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练
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例 3.求图示体系的频率、振型
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2
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1
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m
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l 3
22 3
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例 3.求图示体系的频率、振型
解,
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1
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122121211 2 XXmXm ?? ????
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11
12
1 ??? XX ?
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02/18/3 4/31 ??? ??
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3231 140.2;749.0 ml
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ml
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m
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m
EI
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1X
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1?
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1
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l
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1X
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例 3.求图示体系的频率、振型
解,
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1
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§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
??
?
?
?
tAy
tAy
?
?
s in
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22
11
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1P 2P
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??????
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tymymy
tymymy
P
P
???
???
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s i n)()(
2222211212
1221211111
????
????
运动方程
设特解为
21212212111 /)/1( ???? PAmAm ?????
22222221211 /)/1( ???? PAmAm ?????
解方程,得
D
DA
D
DA 2
2
1
1 ??
其中
2
222211
122
2
111
1 /1
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???
???
?
??
mm
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§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
??
?
??????
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tymymy
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P
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s i n)()(
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2222211212
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tAy
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s in
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运动方程
设特解为
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解方程,得
D
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D
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2
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/
???
??
??
???
m
mD
P
P
2
2211
2
1
2
111
2 /
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???
P
P
m
mD
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2
222211
122
2
111
/1
/1
???
???
?
??
mm
mmD
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
21212212111 /)/1( ???? PAmAm ?????
22222221211 /)/1( ???? PAmAm ?????
解方程,得
D
DA
D
DA 2
2
1
1 ??
其中
2
222
2
2
122
2
1
1 /1/
/
???
??
??
???
m
mD
P
P
2
2211
2
1
2
111
2 /
//1
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P
P
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2
222211
122
2
111
/1
/1
???
???
?
??
mm
mmD
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
4.当 或 时
21 ???? ??
???? 21 AA
n自由度体系有 n个共振区。
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
2
2211
2
1
2
111
2 /
//1
??
???
P
P
m
mD
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????
2
222211
122
2
111
/1
/1
???
???
?
??
mm
mmD
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
4.当 或 时
21 ???? ??
???? 21 AA
n自由度体系有 n个共振区。
5.求稳态振幅可列幅值方程
111 )( ymtI ???? tAm ?? s in211? tI ?sin1?
2111 ?AmI ? ---惯性力幅值
2222 ?AmI ?
1m 2m
1P 2P
1A 2A
1I 2I
PIIA 12121111 ???? ??
PIIA 22221212 ???? ??
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
4.当 或 时
21 ???? ??
???? 21 AA
n自由度体系有 n个共振区。
5.求稳态振幅可列幅值方程
111 )( ymtI ???? tAm ?? s in211? tI ?sin1?
2111 ?AmI ? ---惯性力幅值
2222 ?AmI ?
1m 2m
1P 2P
1A 2A
1I 2I
PIIA 12121111 ???? ??
PIIA 22221212 ???? ??
2111 / ?mIA ? 2222 / ?mIA ?
0)/1( 121212111 ????? PIIm ???
0)/1( 222222121 ????? PImI ???
6.内力幅值的计算
1m 2m
EI
tP ?sin
3/l 3/l 3/l
例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。
,21 mmm ??
3415.3 ml
EI??已知,
1I 2I
P
1y 2y
1A 2A
解,
2121111 )( IIPA ?? ???
2221212 )( IIPA ?? ???
2111 / ?mIA ? 2222 / ?mIA ?
0)/1( 1221212111 ???? PIIm ????
0)/1( 2122222121 ???? PImI ????
EI
l 3
2112 486
7?? ??
EI
l 3
2211 486
8?? ??
00165.00144.00693.0 21 ???? PII
00144.00693.00144.0 21 ??? PII
PI 2 9 3 6.01 ? PI 2689.02 ?
EIPlA /0 2 5 1 7.0 31 ? EIPlA /02306.0 32 ?
P2689.0P2936.1
Pl3173.0 Pl2035.0
不存在统一的动力系数
利用对称性可简化计算
m
tP ?sin
m
tP ?sin2 tP ?sin2
tP ?sin2 tP ?sin2
对称荷载
tP ?sin2
1
3/l
EIl /0 3 0 8 7.0 311 ??
32 /3 9 4.32 mlEI??
32 /662.11 mlEI??
5625.1??
EIPly st /0 1 5 4 3 5.0 3?
EIPlA /0 2 4 1 1 7.0 3?
反对称荷载
tP ?sin2
1
9/l
EIl /0 0 2 0 6.0 311 ??
32 /003.486 mlEI??
32 /662.11 mlEI??
0246.1??
EIPly st /0 1 0 3.0 3?
EIPlA /0 0 1 0 6.0 3?
反对 111 AAA ??
EIPl /0 2 5 1 7 7.0 3?
反对 222 AAA ??
EIPl /0 2 3 0 5 7.0 3?
m
2/ll
EI
2/l
1?2/l
4/l
??????? 24324221(111 lllEI?
EI
llll
48
5)
23
2
22
1 3?????
3112 5/48/1 mlEIm ?? ??
33 /0 9 8.35/48 mlEImlEI ???
作业解答,
165页 7-1（ a）
01111 ?? PRZr
165页 7-1（ b）
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cEI ? 2/l
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)23164922123216221 llllll ??????????
EIl /00716.0 3?
3/8179.11 mlEI??
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35/83.2 mlEI??
165页 7-1（ c）
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§ 3.3 振型分解法
一,振型正交性
i振型 ? ?
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1m 2m
iX1
Nm
iX2
NiX
i振型上的
惯性力
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X
X
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Xm
Xm
Xm
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jj Xm 121? jj Xm 2
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NjjN Xm 2?
1m 2m
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Nm
jX2
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i
i
X
X
X
X
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2
1
i振型上的惯性力
在 j振型上作的虚功
?????? jiijiiij XXmXXmW 22221121 ??
? ? ? ?? ?iTji XmX2??
j振型上的惯性力
在 i振型上作的虚功
? ? ? ?? ? jTijji XmXW 2??
ijji WW ?由虚功互等定理
? ? ? ?? ? 0)( 22 ?? iTjij XmX??
? ? ? ?? ?iTjj XmX2?? ? ? ? ?? ? 0?iTj XmX
1m 2m
iX1
ii Xm 121?
Nm
ii Xm 222? NiiN Xm 2?
iX2
NiX
1m 2m
jX1
jj Xm 121?
Nm
jj Xm 222? NjjN Xm 2?
jX2
NjX
i振型上的惯性力
在 j振型上作的虚功
?????? jiijiiij XXmXXmW 22221121 ??
? ? ? ?? ?iTji XmX2??
j振型上的惯性力
在 i振型上作的虚功
? ? ? ?? ? jTijji XmXW 2??
ijji WW ?由虚功互等定理
? ? ? ?? ? 0)( 22 ?? iTjij XmX??
? ? ? ?? ?iTjj XmX2?? ? ? ? ?? ? 0?iTj XmX
振型对质量的正交性的物理意义
? ? ? ?? ? 02 ?? iTjiij XmXW ?
i振型上的惯性力在 j振型上作
的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
? ?? ? ? ?? ?iii XmXk 2??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? iTjiiTj XmXXkX 2??
? ? ? ?? ? 0?iTj XkX
1m 2m
iX1
ii Xm 121?
Nm
ii Xm 222? NiiN Xm 2?
iX2
NiX
1m 2m
jX1
jj Xm 121?
Nm
jj Xm 222? NjjN Xm 2?
jX2
NjX
振型对质量的正交性的物理意义
? ? ? ?? ? 02 ?? iTjiij XmXW ?
i振型上的惯性力在 j振型上作
的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
? ?? ? ? ?? ?iii XmXk 2??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? iTjiiTj XmXXkX 2??
? ? ? ?? ? 0?iTj XkX
振型对刚度的正交性的物理意义
iX1
1P 2P NP
iX2
NiX? ? ? ?? ?iXkP ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? 0?? iTjTj XkXPX
i振型上的弹性力在 j振型上作
的虚功等于 0
振型正交性的应用
1.检验求解出的振型的正确性。
例,试验证振型的正确性
? ? ??????? mmm 2
2.对耦联运动微分方程组作解
耦运算等等,
? ? ? ?
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1
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例,已知图示体系的第一振型,
试求第二振型,
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l
EI
m
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X
X
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mXmX T
解,
0223.2 2212 ?? mXmX
23.2
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X
X
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1
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2X
例,已知图示体系在动荷载作用下的振幅为
解,
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?
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??
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???
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5.1
3 4 5 5.1
1
23.22
5.3
1 1 4 5.3
? ?
??
?
??
??
5 0 0 0.3
1 1 4 5.3A
试从其中去掉第一振型分量,
? ? ? ? ? ? 2211 XDXDA ??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 2121111 XmXDXmXDAmX TTT ??
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? 29729.6
945.13
11
1
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m
XmX
AmXD
T
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? ? ? ? ? ?11 XDAA ???
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1
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8 9 7.0;
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2y
二,振型分解法 (不计阻尼 )
运动方程 ? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()( tPtyktym ???? 1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN设 ? ? ? ???? Ni ii tDXty 1 )()(
),2,1( Nj ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)())(())((
11
tPtDXktDXm N
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ii
N
i
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??
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)())(())((
11
tPXtDXkXtDXmX T jN
i
ii
T
j
N
i
ii
T
j ?? ??
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? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?)()()( tPXtDXkXtDXmX T jjjT jjjT j ????
)()()( *** tPtDKtDM jjjjj ????
*jM ---j振型广义质量
*jK ---j振型广义刚度
)(* tPj ---j振型广义荷载
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系 ? ?? ? ? ?? ? jjj XmXk
2?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? jTjjjTj XmXXk 2??
**2 / jjj MK??
二,振型分解法 (不计阻尼 )
运动方程
? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()( tPtyktym ????
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN设
? ? ? ??
?
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i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj ?? )()()( *** tPtDKtDM jjjjj ????
*jM ---j振型广义质量
*jK ---j振型广义刚度
)(* tPj ---j振型广义荷载
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系
计算步骤, 1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
3.求组合系数 ;
4.按下式求位移 ;
? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
? ? ? ?? ? mXmXM T 211*1 ??
? ? ? ? ? ? tPtPtPXtP T ?? s i n0s i n11)()( 1*1 ?????????
计算步骤, 1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
3.求组合系数 ;
4.按下式求组合系数 ;
? ? ? ??
?
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i
ii tDXty
1
)()(
1m 2m
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tP ?sin
)(2 ty
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3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
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? ? ? ? tPtPXtP T ?s i n)()( 2*2 ??
例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
? ? ? ?? ? mXmXM T 211*1 ??
? ? ? ? ? ? tPtPtPXtP T ?? s i n0s i n11)()( 1*1 ?????????
1m 2m
)(1 ty
tP ?sin
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3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
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ml
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? ? ? ? tPtPXtP T ?s i n)()( 2*2 ??
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*1MtP ?sin
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tEIPl ?s in104 1 1.2 32???
*2*22222 /)()()( MtPtDtD ?? ??? t
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PltD ?s in101 0 5 4.0)( 32
2
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1
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例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
1m 2m
)(1 ty
tP ?sin
)(2 ty
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3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
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PltD ?s in101 0 5 4.0)( 32
2
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tEIPltEIPlty ty ?? s i n101054.011s i n10411.211)( )(
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tEIPl ?s in103 0 5 9.2 5 1 6 7.2
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例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
1m 2m
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3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
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tEIPltEIPlty ty ?? s i n101054.011s i n10411.211)( )(
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2
1 10
3059.2
5167.2 ??
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从结果看,低阶振型贡献大
一般不需要用全部振型叠加,
用前几个低阶振型叠加即可。
例二,求图示体系在突加荷载作用下的位移反应,
解,
m1 2k
??1EI
??1EI
1k
m2 kNP 8?
已知, ;102;103 3231 kNkkNk ????;1 0 2 0 021 kgmmm ??? 加荷前静止。
ss /125.24;/1899.9 21 ?? ??
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2
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c o s0 0 0 5 3 4.0
c o s0 0 3 2.00 0 2 6 7.0
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?
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??
t
ty
2
12
c o s0 0 0 2 6 7.0
c o s0 0 6 4.00 0 6 6 7.0
?
?
?
??
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
三,振型分解法 (计阻尼 )
阻尼力 ? ? ? ?? ?)( tycf
D ??
1Df 2Df DNf? ?
?
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NNNN
N
N
ccc
ccc
ccc
c
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21
22221
11211
--阻尼矩阵
ijc
--当质点 j有单位速度,其余质点速度为 0时,质点 i上的阻尼力, )1( ?
jy?
若下式成立
? ? ? ?? ?
??
?
?
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jiC
jiXcX
j
j
T
i *
0
则将 称作正交阻尼矩阵,称作振型 j的广义阻尼系数, ??c *
jc
运动方程 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()()( tPtyktyctym ??? ???
设 ? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj ?? )()()()( **** tPtDKtDCtDM jjjjjjj ??? ???
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
1Df 2Df DNf
三,振型分解法 (计阻尼 )
运动方程
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()()( tPtyktyctym ??? ???
设 ? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj ?? )()()()( **** tPtDKtDCtDM jjjjjjj ??? ???
令 ** 2
jjjj MC ???
** /)()()(2)( jjjjjjjj MtPtDtDtD ??? ??? ???
j? --第 j振型阻尼比 (由试验确定 ),
计算步骤, 1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
4.求组合系数 ;
5.按下式求位移 ; ? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
3.确定振型阻尼比 ;
正交阻尼矩阵的构成
? ? ? ? ? ?kbmac ?? ---比例阻尼 (Rayleigh阻尼 )
i?
已知两个阻尼比
j?
? ? ? ?? ? *** iiiTii bKaMXcXC ???
** 2 iiii MC ???
)(2 12 /2 2
**
*
**
i
ii
ii
ii
ii
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MbKa
M
bKaM ?
???? ??
????
)(2 1 2j
j
j ba ??? ??
? ? ? ? ? ?kbmac ?? )(2 1 2j
j
j ba ??? ??
例,求图示体系的正交阻尼矩阵 和阻尼比, ??c 3?
m
k
m
m
k
k
3
2
1
已知,
mkmkmk /802.1;/247.1;/44.0 321 ??? ???
05.021 ?? ??
解,
)(2 1 21
1
1 ??? ba ?? )(2
1 2
2
2
2 ??? ba ??
kmbmka /0 5 9 1.0/0 3 2 8.0 ??
0624.0)(2 1 23
3
3 ??? ??? ba
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m
m
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121
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??
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???
0919.00591.00
0591.0151.00591.0
00591.0151.0
? ? ? ? )s i n ()( iii tXty ?? ??
§ 4,频率、振型的实用计算方法
§ 4.1 能量法（瑞利法）
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法。
设体系按 i振型作自由振动。 t时刻的位移为
速度为
? ? ? ? )co s ()( iiii tXty ??? ???
动能为
)(21)(21)(21)( 2222211 tymtymtymtT NNi ???? ???
? ? ? ?? ?)()(21 tymty T ???
? ? ? ?? ? )(c o s21 22 iiiiTi tXmX ??? ??势能为
? ? ? ?? ? )(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU ?? ??
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN
动能为
)(21)(21)(21)( 2222211 tymtymtymtT NNi ???? ???
? ? ? ?? ?)()(21 tymty T ???
? ? ? ?? ? )(c o s21 22 iiiiTi tXmX ??? ??势能为
? ? ? ?? ? )(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU ?? ??
最大动能为 ? ? ? ?? ?
2
m a x 2
1
ii
T
ii XmXT ??
? ? ? ?? ? iTii XkXU 21m a x ?最大势能为
由能量守恒，有 m a xm a x ii UT ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? iTi
i
T
i
i XmX
XkX?2?
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN
最大动能为 ? ? ? ?? ?
2
m a x 2
1
ii
T
ii XmXT ??
? ? ? ?? ? iTii XkXU 21m a x ?最大势能为
由能量守恒，有 m a xm a x ii UT ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? iTi
i
T
i
i XmX
XkX?2?
选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向
量代入上式求频率的近似值。
通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求
基本频率的近似值。
例,用能量法计算图示体系的基频,
m
km
m
k
k
3
2
1
解,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? kk ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
110
121
012
1.取自重引起的位移
mg 1y
mg
mg
2y
3y
kmgy /31 ?
kmgkmgyy /5/212 ???
kmgkmgyy /6/13 ???
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
5
3
1X
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?11
112
1 XmX
XkX
T
T
??
mkmk /2.07014 ??
精确解,
mk /1 9 8.021 ??
mk /445.01 ??
mk /4 4 7.01 ??
2.取直线
m
km
m
k
k
3
2
1
mg 1y
mg
mg
2y
3y
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
1X mk /2 1 4.02
1 ??
3.取常数 ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1X mk /333.021 ??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
5
3
1X
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?11
112
1 XmX
XkX
T
T
??
mkmk /2.07014 ??
精确解,
mk /1 9 8.021 ??
mk /445.01 ??
mk /4 4 7.01 ??
mk /463.01 ??
mk /5 7 7.01 ??
§ 4.2 迭代法
? ?? ? ? ?XXA ??
对于给定的方阵,满足上式的向量 和数值 称作 的特征
向量和特征值,合称为特征对, ??A
???X ??A
有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。
? ?? ? ? ?? ?XBXA ??
---标准特征值问题
---广义特征值问题
柔度法建立的振型方程
? ? ? ?? ?? ?XmX ?? 2?
令 ? ? ? ?? ?mD ?? ---动力矩阵
? ? ? ?? ?XDX ?21? ---标准特征值问题
刚度法建立的振型方程
? ?? ? ? ?? ?XmXk 2?? ---广义特征值问题
一, 迭代法求基频和基本振型
1.作法
假设振型,? ?0X 计算,? ?1X
? ? ? ?? ?01 XDX ?
若 是真的振型,则下式成立 ? ?0X
? ? ? ?? ? ? ?10021 XXDX ???
即 与 成比例, ? ?0X ? ?1X
柔度法建立的振型方程
? ? ? ?? ?? ?XmX ?? 2?
令 ? ? ? ?? ?mD ?? ---动力矩阵
? ? ? ?? ?XDX ?21? ---标准特征值问题
若不成比例,不是振型, ? ?0X
迭代式为
? ? ? ?? ?nn XDX ?? 1
这时将 归一化,得 ;在将
其作为新的假设振型继续计算,
? ?1X ? ?1X
一直算到 与 成比例为止, ? ?nX ? ? 1?nX
? ? ? ?? ? ? ? 12
1
1 ??? nnn XXDX
?
? ?nX 为基本振型, 这时下式成立
基本频率由下式计算
1
2
1 ?? n
s
n
s
X
X?
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
3 3 4.10
3 3 4.8
6 6 7.4
12
k
mXDX
2.算例, 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型,
设
m
km
m
k
k
3
2
1
解, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? k
1
321
221
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ? ? ?? ?
k
mmD ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
32
221
111
?
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
1
0X
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
6
5
3
01
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
2
667.1
1
1X归一化
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
21.2
78.1
1
2X
归一化
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
19.11
98.8
99.4
23
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
24.2
8.1
1
3X
归一化
2.算例, 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型,
设
m
km
m
k
k
3
2
1
解, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? k
1
321
221
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ? ? ?? ?
k
mmD ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
32
221
111
?
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
1
0X
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
22.11
08.9
04.5
34
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
24.2
8.1
1
4X归一化
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
3 3 4.10
3 3 4.8
6 6 7.4
12
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
21.2
78.1
1
2X
归一化
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
19.11
98.8
99.4
23
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
24.2
8.1
1
3X
归一化
2.算例, 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型,
设
m
km
m
k
k
3
2
1
解, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? k
1
321
221
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ? ? ?? ?
k
mmD ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
32
221
111
?
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
1
0X
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
22.11
08.9
04.5
34
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
24.2
8.1
1
4X归一化
基本振型为 ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
24.2
8.1
1
1X
基本频率为 mk
k
mX
X
n
s
n
s 1 9 8.0
04.5
1
1
2
1 ?
?
?? ??
精确值为
m
k19 8.02
1 ??
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
2 47.2
8 02.1
1
1X
? ?? ? ? ? ? ? ? ? NN
N
aXaXaXXD 2222
2
112
1
0 111
??? ???? ?
3.收敛的原因
? ? ? ? ? ? ? ? NN aXaXaXX ???? ?22110
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? NN aXDaXDaXDXD ???? ?22110
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? iii XDXmX
i
?? ?? 21
22
2
2
1
111
N???
??? ?
每迭代一次会使基本振型分量比重增加,而使其它振型分量所占比重减少,
随着迭代次数逐渐增多,除基本振型外的其它振型分量越来越少直至可略
去不计,这时得到的即为基本振型,
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?
*
1
0
1
11
0
1
1 / MXmXXmX
XmXa T
T
T
??
一, 迭代法求第二频率及振型
? ? ? ? ? ? ? ? NN aXaXaXX ???? ?22110
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? NNTTTT aXmXaXmXaXmXXmX 122111101 ???? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 11101 aXmXXmX TT ?
? ? ? ? ? ? 1100~ aXXX ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?*
1
0
1
1
0
M
XmXXX T?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0
*
1
11 )
1( X
MmXXI
T??
? ? ? ?01 Xs?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *
1
111
1
MmXXIS
T?? ----滤型矩阵
计算步骤,
? ? ? ? ? ? 1100~ aXXX ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?*
1
0
1
1
0
M
XmXXX T?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0
*
1
11 )
1( X
MmXXI
T??
? ? ? ?01 Xs?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *
1
111
1
MmXXIS
T?? ----滤型矩阵
1.求 ??
1s
2.求 ? ? ? ?? ?
12 sDD ?
3.迭代求解 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? nnn XDXSDX
222112 ???
迭代法的优点,
求其它高阶振型及频率与此类似,不再赘述,
迭代法的缺点,
§ 14-1,概述
1.1 动荷载及其分类
一,动荷载的定义
大小、方向和作用点随时间变化 ;在其作用下，结构上的惯性力
与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作
静荷载。 静荷只与作用位置有关，而 动荷是坐标和时间的函数。
二,动荷载的分类
动荷载
确定
不确定
风荷载
地震荷载
其他无法确定变化规律的荷载
周期
非周期
简谐荷载
非简谐荷载
冲击荷载
突加荷载
其他确定规律的动荷载
1.2 结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第一类问题,反应分析（结构动力计算）
第二类问题,参数（或称系统）识别
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第三类问题,荷载识别 。
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
当前结构动力学的研究内容为,
一,结构动力学的研究内容
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第一类问题,反应分析（结构动力计算）
第二类问题,参数（或称系统）识别
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第三类问题,荷载识别 。
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
第四类问题,控制问题
输入
（动力荷载）
结构
（系统）
输出
（动力反应）
控制系统
（装置、能量）
-----正问题
-----反问题
-----反问题
-----控制问题
二, 结构动力学的任务
讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力
特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用
下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
1.3 结构动力分析中的自由度
一, 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二, 自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程
角度也没必要。常用简化方法有,
1) 集中质量法
将实际结构的质量看成（按一定规则）
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是
无质量的。这样就将无限自由度系统变成一
有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法 m
)(xy
??
?
?
1
)()(
i
ii xaxy ?
?
?
?
n
i
ii xaxy
1
)()( ?
ia
---广义坐标
0)()0( ?? lii ??
)(xi? ---基函数
3) 有限元法
和静力问题一样，可通过将实际结构
离散化为有限个单元的集合，将无限自由
度问题化为有限自由度来解决。
m
1) 集中质量法
将实际结构的质量看成（按一定规则）
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是
无质量的。这样就将无限自由度系统变成一
有限自由度系统。
m
二, 自由度的确定
广义坐标个数即
为自由度个数
结点位移个数即
为自由度个数
二, 自由度的确定
1) 平面上的一个质点
1y
2y
W=2
2)
W=2
弹性支座不减少动力自由度
3)
计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1
为减少动力自由度，梁与刚架不
计轴向变形。
4) 1y
W=1
5)
W=2
自由度数与质点个数无关，但
不大于质点个数的 2倍。
6) 1y
2y
W=2
7)
??EI
W=1
二, 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体
W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3
W=2
1y
2y
?
10)
??EIm
4) 1y
W=1
5)
W=2
自由度数与质点个数无关，但
不大于质点个数的 2倍。
6) 1y
2y
W=2
7)
??EI
W=1
W=1
二, 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体
1y
2y
W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3
10)
W=2
?
??EIm
11)
12)
W=13
自由度为 1的体系称作单自由度体系；
自由度大于 1的体系称作多（有限）自由度体系 ;
自由度无限多的体系为无限自由度体系。
1.4 体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的
（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。
下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。
m
)(tP
)(ty?
)()( tPtym ??? 运动方程
施
力
物
体 )(tP? )()( tymtP ?????
0)]([)( ??? tymtP ??
惯性力
m
)(tP )(tym??
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
一、柔度法
m
EI l
)(tP
)(tym??
=1
11?
)(tP )(tym??
)]()([11 tymtP ???? )]()([)( 11 tymtPty ???? ?
EI
l
3
3
11 ??
l
柔度系数
)()(3)( 3 tPtylEItym ????
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
)(ty
一、柔度法
m
EI l
)(ty
)(tP
)(tym??
=1
11?
)(tP )(tym??
)]()([11 tymtP ???? )]()([)( 11 tymtPty ???? ?
EI
l
3
3
11 ??
l
柔度系数
)()(3)( 3 tPtylEItym ????
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
二、刚度法
m
EI l
)(ty
)(tP
)(tym??
11k
1
)(11 tyk
y )()()(11 tymtPtyk ????
311
3
l
EIk ? 刚度系数
)()(3)( 3 tPtylEItym ????
11111 ???k
刚度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移 y所需之力；
3.令该力等于体系外力和惯性力。
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题
EI
l
3
2 3
11 ??
)()(23)( 3 tPtylEItym ????
刚度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移 y所需之力；
3.令该力等于体系外力和惯性力。
例 1,m
EI l
)(tP
EI
l
)(ty
)(ty
)(tym??)(tP
11?
=1
l
EI
l
3
2 3
11 ??
)(16)]([32)]([)( 33111 tPEIltymEIltymty P ??????? ?????
例 2,
)(ty
)(ty
)(tym??
)(tP
11?
=1
l
m
EI l )(tP
EI l/2 l/2
P1?
P(t)
EI
Pl
P 16
3
1 ??
Pl/4
柔度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题
刚度法步骤,
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移 y所需之力；
3.令该力等于体系外力和惯性力。
例 3,
)(tym??
311 /24 lEIk ?
m
EI l
)(tP
EI
l
??1EI )(ty
)(tP
11k1
3/12 lEI
11k
3/12 lEI
)()()(11 tymtPtyk ???? )()(24)( 3 tPtyl EItym ????
例 4,m
EI
l/2 )(tP
EI
??1EI
l/2
)(ty
)(tP
)(tym?? )(ty
)(tP
)(tym??
)(tR
三、列运动方程例题
例 3,
)(tym??
311 /24 lEIk ?
m
EI l
)(tP
EI
l
??1EI )(ty
)(tP
11k1
3/12 lEI
11k
3/12 lEI
)()()(11 tymtPtyk ???? )()(24)( 3 tPtyl EItym ????
例 4,m
EI
l/2 )(tP
EI
??1EI
l/2
)(ty
)(tP
)(tym?? )(ty
)(tP
)(tym??
)(tR
0)( ?tR
11k1
)(tP
)(tym?? )(1 tRP
0)()( 111 ?? tRtyk P
311 /24 lEIk ?
2/1 PymR P ?? ??
层间侧移刚度 m
EI l EI
l
??1EI
)(tP
1
3/12 lEI 3/12 lEI
对于带刚性横梁的刚架 (剪切型刚架 ),
当两层之间发生相对单位水平位移时,两
层之间的所有柱子中的剪力之和称作该
层的层间侧移刚度,
3
24
l
EIk ?
k
1
11 ??
1? 11?
k
2k
EI l
??1EI
l
EI
EI EI ??1EI
1k
1 ?k
2 ?k
321
24
l
EIkk ??
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架 (剪切型刚架 ),
当两层之间发生相对单位水平位移时,两
层之间的所有柱子中的剪力之和称作该
层的层间侧移刚度,
3
24
l
EIk ?
k
1
11 ??
1? 11?
k
2k
EI l
??1EI
l
EI
EI EI ??1EI
1k
1 ?k
2 ?k
321
24
l
EIkk ??
2kEI l
??1EI
l
EI
EI EI ??1EI
1k
1 ?k
2 ?k
321
36
l
EIkk ??
三、列运动方程例题
列运动方程时可不考虑重力影响
例 5,
EI
l
48
3
11 ??
)()(48)( 3 tPtyl EItym ????
m
)(tP
EI
l/2 l/2 W
)(ty
st?
)(ty ---P(t)引起的动位移
st?
---重力引起的位移
质点的总位移为
sttytY ??? )()(
加速度为
)()( tytY ???? ?
)(tym??
1?
11?
)]()([)( 11 tymWtPty st ??????? ?
11?Wst ??
)]()([)( 11 tymtPty ???? ?
三、列运动方程例题
例 6,
EI
l
243
4 3
2211 ?? ??
)]([)]()([)( 221211111 tymtymtPty ???? ???? ??
)]()([ 11 tymtP ????
m1
)(tP
EI
l/3 l/3 l/3
m2 )(1 ty
)(2 ty
)(11 tym ??? )(22 tym ???
1?
11?
21?
1?
12? 22?
)]([ 11 tym ????
?
)]([)]()([)( 222211212 tymtymtPty ???? ???? ??
??
?
??
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?
??
??
?
??
?
??
??
?
??
?
2
1
2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
0
0
0 y
y
m
mP
y
y
??
??
??
??
??
??
简记为
? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?ymPy ???? ??
位移
向量 柔度矩阵
荷载向量
质量
矩阵
加
速
度
向
量
EI
l
486
7 3
2112 ?? ??
例 7,
m1
)(1 tP
2k
??1EI
??1EI
1k
)(2 tP
m2
)(1 ty
)(2 ty
)(22 tym ???
)(1 tP
)(2 tP
)(1 ty
)(2 ty
)(11 tym ???
1y?
)(1 tR
)(2 tR
)(1 ty
)(2 ty
11k
21k
1
12k
22k
1
2y?=
2121111111 ykykymPR ???? ??
2221212222 ykykymPR ???? ??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2
1
0
0
y
y
kk
kk
y
y
m
m
P
P
??
??
? ?? ? ? ?? ? ? ?Pykym ???? 刚度矩阵
11k
21k
2k
1k
2111 kkk ??
221 kk ??
212 kk ??
222 kk ?
12k
22k
2k
? ? ?
?
?
??
?
?
???
22
221
kk
kkkk
例 7,
m1
)(1 tP
2k
??1EI
??1EI
1k
)(2 tP
m2
)(1 ty
)(2 ty
)(22 tym ???
)(1 tP
)(2 tP
)(1 ty
)(2 ty
)(11 tym ???
][ 111 ymP ????
)0 0(
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
y
y
m
m
P
P
y
y
??
??
??
??
111 /1 k?? 121 /1 k??
112 /1 k??2122 /1/1 kk ???
? ?? ? ? ?Ik ??
11?
1?
21?
12?
1? 22?
][ 222 ymP ????
][][ 22212111111 ymPymPy ???? ???? ??
][][ 22222111212 ymPymPy ???? ???? ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?)( ymPy ???? ?
? ? ?
?
?
??
?
?? 211
11
/1/1/1
/1/1
kkk
kk?
)(2 tP
)( 122 yyk ?
11yk
)(22 tym ???
)(11 tym ???)(1 tP
)()( 12211111 yykykymtP ???? ??
)()( 122222 yykymtP ??? ??
例 7,
m1
)(1 tP
2k
??1EI
??1EI
1k
)(2 tP
m2
)(1 ty
)(2 ty
)(22 tym ???
)(1 tP )(
1 ty
)(2 ty
)(11 tym ???
)(2 tP
例 8 建立图示体系的运动方程
? ? 0AM
m ??EI2m
l l l
k
A
y(t) 2y(t) 3y(t)
)(2 tym ???
yk2
)(3 tym ??
033222 ??????? lymlyklym ????
0)(4)(11 ?? tkytym ??
l
??1EI
l
EI
)(tPm
例 9 建立图示体系的运动方程
)(t? )(tlm ???
)(tlm ???
)(tP
)(4 ti?
A B
? ? 0BM
043221)( ??????? ?? illlmltP ??
ltPilm )(431 3 ?? ????
)(tP
)(t?
??J?
)(tlm ???
)(tP
)(4 ti? ??J?
? ? 0BM
04)( ???? ?? iJltP ??
2
3
1 llmJ ??
XMbXkbXk ??????? )()( ??
例 10 图示体系为质量均匀分布的刚性平板,试建立运动方程,
总质量为 M,转动惯量为 J,
?
设 水平位移为 x
竖向位移为 y
转角为
2b
kk
k
k
2a
X
Y
?
XM ??
YM??
??J?
)( ?bXk ?
)( ?bXk ?
)( ?aYk ? )( ?aYk ?
YMaYkaYk ??????? )()( ??
0)()(
)()(
?????
?????
???
??
??JaaYkaaYk
bbXkbbXk
02 ?? kXXM ??
02 ?? kYYM ??
0)(2 22 ??? ?? kabJ ??
MbaJ 3
22 ?
?
§ 2.单自由度体系的振动分析
§ 2.1 不计阻尼自由振动
自由振动 ---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。
分析自由振动的目的 ---确定体系的动力特性：频率、周期。
一,运动方程及其解
阻尼 ---耗散能量的作用。
m
EI l
)(ty
)(tym??
)]([)( 11 tymty ???? ?
)()(11 tymtyk ????
0)()( 2 ?? tyty ???
令
11
112 1
?? mm
k ??
二阶线性齐次常微分方程
一,运动方程及其解
m
EI l
)(ty
)(tym??
)]([)( 11 tymty ???? ?
)()(11 tymtyk ????
0)()( 2 ?? tyty ???
令
11
112 1
?? mm
k ??
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 tctcty ?? s inc o s)( 21 ??
由初始条件 0)0( yy ?
0)0( yy ?? ?
可得 01 yc ? ?/02 yc ??
tytyty ??? s inc o s)( 00 ???
令 ?sin0 Ay ?
?? c o s/0 Ay ??
)s in ()( ?? ?? tAty
其中
2
2
02
0 ?
yyA ???
0
0ta n
y
y
?
?? ?
二,振动分析
其通解为 tctcty ?? s inc o s)( 21 ??
由初始条件 0)0( yy ?
0)0( yy ?? ?
可得 01 yc ? ?/02 yc ??
tytyty ??? s inc o s)( 00 ???
令 ?sin0 Ay ?
?? c o s/0 Ay ??
)s in ()( ?? ?? tAty
其中
2
2
02
0 ?
yyA ???
0
0ta n
y
y
?
?? ?
单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动,
)2(])2(s i n [)2s i n ()s i n ()( ??????????? ?????????? tytAtAtAty
?
?2?T 自振周期
?? 21 ?? T 自振园频率 (自振频率 )
与外界无关,体系本身固有的特性
A 振幅
? 初相位角
二,振动分析
单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动,
)2(])2(s i n [)2s i n ()s i n ()( ??????????? ?????????? tytAtAtAty
?
?2?T 自振周期
?? 21 ?? T 自振园频率 (自振频率 )
与外界无关,体系本身固有的特性
A 振幅
? 初相位角
三,自振频率和周期的计算
1.计算方法
(1)利用计算公式
11
112 1
?? mm
k ??
11,?WmgW st ???
st
g
??
2?
(2)利用机械能守恒
常数?? )()( tUtT
)(c o s21)(21)( 2222 ??? ??? tmAtymtT ?
)(s i n21)(21)( 2211211 ?? ??? tAktyktU
maxmax UT ?
三,自振频率和周期的计算
1.计算方法
(1)利用计算公式
11
112 1
?? mm
k ??
11,?WmgW st ???
st
g
??
2?
(2)利用机械能守恒
常数?? )()( tUtT
)(c o s21)(21)( 2222 ??? ??? tmAtymtT ?
)(s i n21)(21)( 2211211 ?? ??? tAktyktU
maxmax UT ?
(3)利用振动规律
)s in ()( ?? ?? tAty
)s in ()( 2 ??? ??? tAty??
)s in ()()( 2 ??? ???? tmAtymtI ??
位移与惯性力同频同步,
211 ?mAAk ?
1
11k
m
EI l
)(ty
2?mA
A
幅值方程
m
k112 ??
三,自振频率和周期的计算
2.算例
例一,求图示体系的自振频率和周期,
3
11 7
121
ml
EI
m ?? ??
)221213221(111 lllllllllEI ???????????
EI
mlT
12
722 3?
?
? ??
m
EI l
EI
l
=1
11?
=1
l
l/2
l
解,
EI
l 3
12
7?
例二,求图示体系的自振频率和周期,
33
3
2
2
3
1
ml
EI
EI
lm
?
?
??
EI
l 3
11 3
2??
EI
mlT 32??
=1
解,
2
3
l
EI
m
EI l
l
m/2
EI
EI
l l
例三,质点重 W,求体系的频率和周期,
311
3
l
EIkk ??解,
EI k
l
11k
1 11k
k
3
3
l
EI
gWm /?
g
W
l
EIk
3
3?
??
例四,求图示体系的自振频率和周期,
2222
22
m a x
2
9
)2(
2
1
)(
2
1
)2(
2
1
????
????
mllm
lmlmT
??
??解,
m
k
9
5??
m
l
m ??EI m
l l l
k k )(t?1.能量法
2222
m a x 2
5)2(
2
1)(
2
1 ??? kllklkU ???
maxmax UT ?
2.列幅值方程
?ml ?? 22
ml ?? 22ml ?? 2
lk?
lk?2
A
? ? 0AM
0222222 222 ?????????? lklllmlmllkllml ????????
059 222 ?? ??? klml
m
k
9
5??
§ 2.2 简谐荷载作用下的受迫振动 (不计阻尼 )
一,运动方程及其解
tPtyktym ?s i n)()( 11 ????
二阶线性非齐次常微分方程
受迫振动 ---动荷载引起的振动, m
EI l
)(ty
P(t)
tPtP ?s in)( ?
P ---荷载幅值 ? ---荷载频率
运动方程
)()()( * tytyty ??
或
通解
其中
tctcty ?? s inc o s)( 21 ??
设
tmPtyty ?? s in)()( 2 ????
tAty ?s i n)(* ?
代入方程,可得
)( 22 ?? ?? m
PA
通解为
tm Ptctcty ????? s i n)(s i nc o s)( 2221 ????
二,纯受迫振动分析
m
EI l
)(ty
P(t)
设 tAty ?s i n)(* ?
代入方程,可得
)( 22 ?? ?? m
PA
通解为
tm Ptctcty ????? s i n)(s i nc o s)( 2221 ????
tAty ?s i n)( ?
)( 22 ?? ?? m
PA
2
22
1
1
?
?? ?
??
m
P
?styA ?
112 ?? Pm
Py
st ??
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
22 /1
1
??? ??
---动力系数
---稳态振幅
?
||?
1
1 ?
?? ? ---频比
21
1
?? ??
二,纯受迫振动分析
m
EI l
)(ty
P(t)
tAty ?s i n)( ?
)( 22 ?? ?? m
PA
2
22
1
1
?
?? ?
??
m
P
?styA ?
112 ?? Pm
Py
st ??
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
22 /1
1
??? ??
---动力系数
---稳态振幅
?styA ?
?
||?
1
1
21
1
?? ??
112 ?? Pm
Py
st ??
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
22 /1
1
??? ??
---动力系数
?
?? ? ---频比
---稳态振幅
0?? 1??
1?? ??? ---共振
??? 0??
10 ?? ? ? 增函数
1?? ||? 减函数
0??
)(1s i n)( 22 tPmtm Pty ????? ??
为避开共振 一般应大于 1.25
或小于 0.75,?
1.25 0.75
共振区
m
k 112 ??
若要使振幅降低,应采取何种措施?
?
?? ?
通过改变频比可增加或减小振幅,
10 ?? ? ? 增函数
1?? ||? 减函数
0??
)(1s i n)( 22 tPmtm Pty ????? ??
0?? 1??
1?? ??? ---共振
??? 0??
为避开共振 一般应大于 1.25
或小于 0.75,?
10 ?? ? 应使频比减小, 增加结构自频, 增加刚度、减小质量,
1?? 应使频比增大, 减小结构自频, 减小刚度、增大质量,
例 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 ?? 5.0?
三,动位移、动内力幅值计算
tAty ?s i n)( ?
?styA ?
22 /1
1
??? ??
计算步骤,
1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的
位移、内力；
2.计算动力系数；
3.将得到的位移、内力乘以动力系数
即得动位移幅值、动内力幅值。
tP ?sin
??1EI
m
EI EI l
P
Pl/4
解,
311
24
l
EIk ?
EI
Pl
k
Py
st 24
3
11
??
3
4
/1
1
22 ??? ???
EI
PlyA
st
3
18
1 ??? ?
Pl/3
动弯矩幅值图
例 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移
已知,
./500,10,35
,210,108.8,4 45
分转???
???? ?
nkNPkNQ
G P aEmIml
解,
S/13.62//1 11 ???? Qgm ??
m107 2 2.0 311 ???? ?Py st
4.3/1 1 22 ??? ???
m1045.2 3???? ?styA
tP ?sin
Q l/2 l/2
重力引起的弯矩 kN35
4
1 ?? QlM
Q
重力引起的位移 m1053.2 311 ????? ?QQ
1?
11?
l/4
m /N10722.048 7
3
11
????
EI
l?
k N, m1041 ?? PlM st
S/13.5260/2 ?? n??
振幅
动弯矩幅值
k N, m34?? ?stD MM
跨中最大弯矩
k N, m69m a x ??? DQ MMM
跨中最大位移
m1098.4 3m ax ?????? Af Q
[动荷载不作用于质点时的计算 ]
PP
11
12*
?
??
m
tP ?sin )(ty
)(s i n)( 1112 ymtPty ????? ???
)(tym??
tP ?sin
12?
=1
11?
=1
tPtytym ???? s in)(1)(
11
12
11
????
令
tPtytym ?? s in)(1)( *
11
????
tm Pty ??? s in)( 2
*
?
???? 11*2
*
Pm PA ??
???? 11
11
12 P? ?? P12?
?sty?
sty
P
仍是位移动力系数 ?
是内力动力系数吗? ?
运动方程
稳态解
振幅
[列幅值方程求内力幅值 ]
tAty ?s i n)( ?
EI
PlllPl
EIy st
3
48
5
6
5
222
11 ?????解,
?? 5.0?例,求图示体系振幅、动弯矩幅值图,已知
tAty ?? s i n)( 2????
tmAtI ?? s i n)( 2?
tPtP ?s i n)( ?
同频同步变化
m
tP ?sin
EI l/2 l/2 )(ty
P Am 2?
A
3
4
/1
1
22 ??? ???
EI
PlyA
st
3
36
5?? ?
P
sty
=1
11?
2/Pl
l
11
22
44
1
???
AmAmAI ???
P485?
P P
48
5
Pl965
Pl4829
动弯矩幅值图
EI
PlllPl
EIy st
3
48
5
6
5
222
11 ?????解,
?? 5.0?例,求图示体系振幅、动弯矩幅值图,已知
m
tP ?sin
EI l/2 l/2 )(ty
P Am 2?
A
P
sty
=1
11?
3
4
/1
1
22 ??? ???
EI
PlyA
st
3
36
5?? ?
2/Pl
l
解,
例,求图示体系右端的质点振幅
? ? 0oM
km
PA
410
3
2 ?? ?
11
22
44
1
???
AmAmAI ???
P485?
P P
48
5
Pl965
Pl4829
动弯矩幅值图
m
tP ?sin
l
m k ??EI
l l
A
P 2?mA
231 ?mA Ak
3
2
o
一,阻尼与阻尼力
阻尼,使振动衰减的作用,
阻尼产生原因, 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等,
c-----阻尼系数 )()( tyctR ???
011 ??? ykycym ???
§ 2.3 阻尼对振动的影响
阻尼力,在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。
粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
二,计阻尼自由振动
1.运动方程及其解
m
)(ty )(tym??
)(11 tyk
)(tyc?
令 ?? mc 2/?
运动方程
02 2 ??? yyy ??? ???
设 tAety ??)(
02 22 ??? ?? ? ?? 特征方程
根为 21 ????? ???? i
)2(1 ?? mc ??
令 21 ??? ??D
方程的通解为
)c o ss i n()( 21 tctcety DDt ???? ?? ?
由初始条件 00 )0(,)0( yyyy ?? ??
02001,/)( ycyyc D ??? ????
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
202
0 )(
D
yyyA
?
????? ?
011 ??? ykycym ???
二,计阻尼自由振动
1.运动方程及其解
m
)(ty )(tym??
)(11 tyk
)(tyc?
令 ?? mc 2/?
运动方程
02 2 ??? yyy ??? ???
设 tAety ??)(
02 22 ??? ?? ? ?? 特征方程
)/(t an 000 yyy DD ???? ?? ?
)2(1 ?? mc ??
tetccty ???? )()( 21 不振动
?mc r 2? --临界阻尼系数
?? ?? mccc
r 2
---阻尼比
)2(1 ?? mc ?? 不振动
小阻尼情况
临界阻尼情况
超阻尼情况
2.振动分析
根为 21 ????? ???? i
)2(1 ?? mc ??
令 21 ??? ??D
方程的通解为
)c o ss i n()( 21 tctcety DDt ???? ?? ?
由初始条件 00 )0(,)0( yyyy ?? ??
02001,/)( ycyyc D ??? ????
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
202
0 )(
D
yyyA
?
????? ?
)/(t an 000 yyy DD ???? ?? ?
)2(1 ?? mc ??
tetccty ???? )()( 21 不振动
?mc r 2? --临界阻尼系数
?? ?? mccc
r 2
---阻尼比
)2(1 ?? mc ?? 不振动
小阻尼情况
临界阻尼情况
超阻尼情况
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
it 1?it
DT
t
)(ty iA
1?iA
21 ??? ??D
D
DT ?
?2?
周期延长
计算频率和周期可不计阻尼
2.振动分析
)s i n ()( DDt tAety ???? ?? ?
21 ??? ??D
D
DT ?
?2?
周期延长
计算频率和周期可不计阻尼
it 1?it
DT
t
)(ty iA
1?iA
振动是衰减的
D
Di
i T
Tt
t
i
i e
Ae
Ae
A
A ??
??
??
?? ??
?
?
)(
1
D
i
i T
A
A ??? ??
? 1
ln
对数衰减率
??? ??? 22 ??
D
1
ln21
?
?
i
i
A
A
??
利用此式,通过实验可确定
体系的阻尼比,上式也可写成
ni
i
A
A
n ?? ln2
1
??
例, 对图示体系作自由振动试验,用钢
丝绳将上端拉离平衡位置 2cm,用
力 16.4kN,将绳突然切断,开始作
自由振动,经 4周期,用时 2秒,振幅
降为 1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
3.无阻尼周期
4.重量
5.阻尼系数
振动是衰减的
D
Di
i T
Tt
t
i
i e
Ae
Ae
A
A ??
??
??
?? ??
?
?
)(
1
D
i
i T
A
A ??? ??
? 1
ln
对数衰减率
??? ??? 22 ??
D
1
ln21
?
?
i
i
A
A
??
利用此式,通过实验可确定
体系的阻尼比,上式也可写成
ni
i
A
A
n ?? ln2
1
??
6.若质量增加 800kg体系
的周期和阻尼比为多少
2cm
kN4.16
解, 1.阻尼比
0 2 7 6.012ln42 1 ??? ??
2.刚度系数
)/(102.802.0 104.16 5
3
11 mNk ??
??
例, 对图示体系作自由振动试验,用钢
丝绳将上端拉离平衡位置 2cm,用
力 16.4kN,降绳突然切断,开始作
自由振动,经 4周期,用时 2秒,振幅
降为 1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
3.无阻尼周期
4.重量
5.阻尼系数
6.若质量增加 800kg体系
的周期和阻尼比为多少
2cm
kN4.16
解, 1.阻尼比
0 2 7 6.012ln42 1 ??? ??
2.刚度系数
)/(102.802.0 104.16 5
3
11 mNk ??
??
3.无阻尼周期
)s(5.04/2 ??DT
)s(4 9 9 8.01 2 ??? ?DTT
4.重量
)s/1(57.122 ?? T??
)kg(5 1 9 0/ 211 ?? ?km
)kN(86.50?? mgW
5.阻尼系数
)s / mN(3 6 0 12 ??? ??mc
6.若质量增加 800kg,体系的周期和阻尼比
为多少
)s/1(89.1368005190 102.8 2
5
2 ?
?
???
)s/1(70.11??
)s(537.0/2 ?? ??T
0257.02/ ?? ?? mc
三,计阻尼简谐荷载受迫振动
1.运动方程及其解
设
tPykycym ?s i n11 ??? ???
或
tmPyyy ???? s i n2 2 ??? ???
通解 )()()( * tytyty ??
)c o ss i n()( 21 tctcety DDt ???? ?? ?
tDtDty ?? s i nco s)( 21* ??
2222221 4)(
2
?????
? ? ?
???? m
PD
222222
22
2 4)( ?????
??
??
??
m
PD
)s i n ()(* ?? ?? tAty
22222 4)1(
1
???? ??
? m PA
)1(
2t a n
2??
???
??
)s i n ()c o s
s i n()(
2
1
???
???
??
?? ?
tAtc
tcety
D
D
t
00 )0()0( yyyy ?? ??
)s in (
)s in (
)s in ()(
22
11
??
??
??
??
??
??
??
???
?
?
tA
teA
teAty
D
t
D
t
2002
01 )(
D
yyyA
?
????? ?
00
0
1t a n yy
yD
??
??
?? ?
)s i n ()(* ?? ?? tAty
22222 4)1(
1
???? ??
? m PA
)1(
2t a n
2??
???
??
)s i n ()c o s
s i n()(
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PA
)-(2
2t a n
22222 ????
????
??
D
初位移、初速度引
起的自由振动分量
动荷载激起的按结构自
振频率振动的分量,称为
伴随自由振动
纯受迫振动
2.阻尼对振幅的影响
)s i n ()( ?? ?? tAty
22222 4)1(
1
???? ??
? m PA
在平稳阶段
?sty?
2222 4)1(
1
???
?
??
?
随 增大而减小 ? ?
阻尼在共振区内影响显著,
在共振区外可不计阻尼,
??? 2/11 ?? 时
的最大值并不发生在 ? 处1??
位移滞后于荷载
3.动内力、动位移计算
除动力系数计算式不同外,
其它过程与无阻尼类似。
?
?
1
1
0??
2.0??
3.0??
例,图示为块式基础,机器与基础的质量为 ;地基竖向
刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为
机器转速为 N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为 P=30kN.求竖向
振动时的振幅。
kg101 5 6 3??m
k g / m105.1 3 1 4 3??K 2.0??
解,
m100 2 2 8.0105.1 3 1 4 30 33 ?????? KPy st
)s/1(79.91101 5 6 105.1 3 1 4 3
6
?? ??? mK?
tPtP ?s in)( ?
)s/1(78.83260 ??? ?? N
49.2)/2()/1(/1 2222 ???? ??????
)mm(0 5 6 8.0?? ?styA
m
)(tP )(ty
0ymP ????
将荷载看成是连续作用的一系
列冲量，求出每个冲量引起的
位移后将这些位移相加即为动
荷载引起的位移。
§ 2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析
)(tP
t
t
一,瞬时冲量的反应
t?)(tP
t
t
P
??
1.t=0 时作用瞬时冲量
m S
mPy /0 ????
2
0 )(2
1 ???
m
Py 0?
tytyty ??? s i nc o s)( 00 ???
tmP ??? s i n??
2,时刻作用瞬时冲量 ?
)(tP
t
t
P
???
)(s i n)( ???? ??? tmPty
§ 2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析
2,时刻作用瞬时冲量 ?
)(tP
t
t
P
???
)(s i n)( ???? ??? tmPty
二,动荷载的位移反应 m
)(tP )(ty
)(tP
t
t
???
)(?P
????? dtmPty t )(s i n)()( 0 ?? ?
---杜哈美积分
????? ??? d)(s i n)()( 0 )(? ?? ??t Dt
D
temPty
计阻尼时
若 t=0 时体系有初位移、初速度
??????? ????? d)(s i n)()s i n ()( 0 )(? ???? ??? t Dt
D
D
t te
m
PtAety
例,求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。
m
)(tP )(ty
P
)(tP
t
????? dtmPty t )(s i n)()( 0 ?? ?
解,
???? dtm Pt )(s i n0 ?? ?
)c o s1(2 tm P ?? ??
)co s1( ty st ???
动力系数为 2
??
?
?
??
0
00)(
tP
ttP
§ 3.多自由度体系的振动分析
§ 3.1 自由振动分析
自由振动分析的目的是确定体系的动力特性,可不计阻尼。
一,运动方程及其解
? ?? ? ? ?? ? ? ?0?? ykym ??或
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
运动方程
11212111 ymykyk ?????
22222121 ymykyk ?????
设方程的特解为
??
?
??
??
)s in (
)s in (
22
11
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??
tXy
tXy
代入方程,得
0121212111 ??? XmXkXk ?
0222222121 ??? XmXkXk ?
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0)( 22222121 ??? XmkXk ?
? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
? ? ? ? 02 ?? mk ?
---频率方程
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
解频率方程得 的两个根 2?
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运动方程
11212111 ymykyk ?????
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设方程的特解为
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)s in (
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tXy
tXy
代入方程,得
0121212111 ??? XmXkXk ?
0222222121 ??? XmXkXk ?
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kk
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0)( 21212111 ??? XkXmk ?
0)( 22222121 ??? XmkXk ?
? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
? ? ? ? 02 ?? mk ?
---频率方程
---振型方程
值小者记作
2?
1? 称作第一频率
也称作基本频率 ; 值大者记作
称为第二频率或高阶频率,
将 频率代入振型方程 1?
0)( 21121121111 ??? XkXmk ?
11
2
11
12
21
11
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k
X
X
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特解 1
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??
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)s in (
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tXy
tXy
m1
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解频率方程得 的两个根 2?
值小者记作
2?
1? 称作第一频率
也称作基本频率 ; 值大者记作
称为第二频率或高阶频率,
将 频率代入振型方程 1?
0)( 21121121111 ??? XkXmk ?
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2
11
12
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特解 1
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通解
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X
X
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y
二,频率与振型
体系按特解振动时有如下特点
1)各质点同频同步 ;
21
11
1121
1111
2
1
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)s in (
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tXy
11
2
11
12
21
11
km
k
X
X
?? ?
2)任意时刻,各质点位移的比
值保持不变
定义,体系上所有质量按相同频率作自由振动时
的振动形状称作体系的主振型。
几点说明,
1.按振型作自由振动时，各质点的
速度的比值也为常数，且与位移
比值相同。
21
11
11121
11111
2
1
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)c o s (
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)(
X
X
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ty ?
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???
???
?
?
2.发生按振型的自由振动是有条件的,
21
11
2
1
21
11
2
1
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)0(,
)0(
)0(
X
X
y
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X
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y ??
?
?
3.振型与频率是体系本身固有的属性,
与外界因素无关,
几点说明,
1.按振型作自由振动时，各质点的
速度的比值也为常数，且与位移
比值相同。
21
11
11121
11111
2
1
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)(
X
X
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2.发生按振型的自由振动是有条件的,
21
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2
1
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11
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1
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)0(,
)0(
)0(
X
X
y
y
X
X
y
y ??
?
?
3.振型与频率是体系本身固有的属性,
与外界因素无关,
4。 N自由度体系有 N个频率和 N个振型
? ? ? ? 02 ?? mk ?频率方程
解频率方程得 的 N,从小
到大排列
?
N??? ?21,
依次称作第一频率,第二频率,.,
第一频率称作基本频率,其它为高
阶频率,
将频率代入振型方程
? ? ),2,1( NiX i ??得 N个振型
? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
N个振型是线性无关的,
5。若已知柔度矩阵时
6。求振型、频率可列幅值方程,
4。 N自由度体系有 N个频率和 N个振型
? ? ? ? 02 ?? mk ?频率方程
解频率方程得 的 N,从小
到大排列
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N??? ?21,
依次称作第一频率,第二频率,.,
第一频率称作基本频率,其它为高
阶频率,
将频率代入振型方程
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? ? ? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? Xmk ?
N个振型是线性无关的,
振型方程
? ? ? ?? ? ? ? ? ?0)( 2 ?? XmI ??
频率方程
? ? ? ?? ? 02 ?? mI ??
按振型振动时
??
?
??
??
)s in (
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11
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tXy
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2
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5。若已知柔度矩阵时
6。求振型、频率可列幅值方程,
振型方程
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频率方程
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按振型振动时
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2
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XmXmX
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振型可看作是体系按振型振动时,
惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移
三,求频率、振型例题
例一,求图示体系的频率、振型
mm ?1 mm ?2
3/l 3/l 3/l
EI
解
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12? 22?
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2
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XmXmX
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第二振型
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X
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X
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X
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1X
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?
??
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1
2X
对称体系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
mm ?1 mm ?2
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1
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第一振型
第二振型
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EI
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?
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1
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1X
? ?
??
?
??
?
?? 1
1
2X
对称系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
1?
1?11?
12? 22?
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按对称振型振动
m
3/l 6/l
EI
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按反对称振型振动
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3/l 3/l 3/l
EI
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1
1
1X
? ?
??
?
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?
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1
2X
对称系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
1?
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12? 22?
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按对称振型振动
m
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11
2 1
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3/6 9 2.5 mlEI??
按反对称振型振动
m
3/l 6/l
对称系的振型分
成两组,
一组为对称振型
一组为反对称振型
1?
1?11?
12? 22?
21?
mm ?1 mm ?2
3/l 3/l 3/l
EI
按对称振型振动
m
3/l 6/l
EI
l 3
11 1 6 2
5??
=1
l/3
11
2 1
?? m?
3/6 9 2.5 mlEI??
按反对称振型振动
m
3/l 6/l
=1
l/9
EI
l 3
11 486
1??
3/0 4 5.22 mlEI??
31 /6 9 2.5 mlEI??
32 /0 4 5.22 mlEI??
解,
例二,求图示体系的频率、振型,
已知,,;
2121 mmmkkk ????
02
22221
12
2
111 ?
?
?
?
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m1 2k
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??1EI
1k
m2
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0222222121 ??? XmXkXk ?
kkkk 22111 ??? kkk ??? 2112 kk ?22
02 2
2
??? ?? ?? mkk kmk
0))(2( 222 ???? kmkmk ??
mk /6 1 8.01 ?? mk /6 1 8.12 ??
6 1 8.0
1;
6 1 8.1
1
22
12
21
11 ???
X
X
X
X
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??
?
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618.1
1
1X
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?
?? 6 1 8.0
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1
0.618
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例 3.求图示体系的频率、振型
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222 Xm?
1X
2X
11?
21?
1?
12? 22
?
1?l
l
例 3.求图示体系的频率、振型
解,
令
2
111
1
??? m?
122121211 2 XXmXm ?? ????
222221221 2 XXmXm ?? ????
02)1( 2
11
12
1 ??? XX ?
??
23.21 4/3
121
11 ?
??? ?X
X
897.01 4/3
222
12 ??
??? ?X
X
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1
8 9 7.0;
1
23.2
21 XX
1
23.2
? ?1X
1
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? ?2X
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
??
?
?
?
tAy
tAy
?
?
s in
s in
22
11
1m 2m
EI
tP ?sin1
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1y 2y
11ym ?? 22 ym ??
1P 2P
P1? P2
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t?sin?
1?
)( 11 ym ????
11? 21
?
1?
12? 22?
)( 22 ym ????
??
?
??????
??????
tymymy
tymymy
P
P
???
???
s i n)()(
s i n)()(
2222211212
1221211111
????
????
运动方程
设特解为
21212212111 /)/1( ???? PAmAm ?????
22222221211 /)/1( ???? PAmAm ?????
解方程,得
D
DA
D
DA 2
2
1
1 ??
其中
2
222211
122
2
111
1 /1
/1
???
???
?
??
mm
mmD
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
??
?
??????
??????
tymymy
tymymy
P
P
???
???
s i n)()(
s i n)()(
2222211212
1221211111
????
????
??
?
?
?
tAy
tAy
?
?
s in
s in
22
11
运动方程
设特解为
21212212111 /)/1( ???? PAmAm ?????
22222221211 /)/1( ???? PAmAm ?????
解方程,得
D
DA
D
DA 2
2
1
1 ??
其中
2
222
2
2
122
2
1
1 /1/
/
???
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m
mD
P
P
2
2211
2
1
2
111
2 /
//1
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P
P
m
mD
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2
222211
122
2
111
/1
/1
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???
?
??
mm
mmD
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
21212212111 /)/1( ???? PAmAm ?????
22222221211 /)/1( ???? PAmAm ?????
解方程,得
D
DA
D
DA 2
2
1
1 ??
其中
2
222
2
2
122
2
1
1 /1/
/
???
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???
m
mD
P
P
2
2211
2
1
2
111
2 /
//1
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P
P
m
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?
????
2
222211
122
2
111
/1
/1
???
???
?
??
mm
mmD
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
4.当 或 时
21 ???? ??
???? 21 AA
n自由度体系有 n个共振区。
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
2
2211
2
1
2
111
2 /
//1
??
???
P
P
m
mD
?
????
2
222211
122
2
111
/1
/1
???
???
?
??
mm
mmD
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
4.当 或 时
21 ???? ??
???? 21 AA
n自由度体系有 n个共振区。
5.求稳态振幅可列幅值方程
111 )( ymtI ???? tAm ?? s in211? tI ?sin1?
2111 ?AmI ? ---惯性力幅值
2222 ?AmI ?
1m 2m
1P 2P
1A 2A
1I 2I
PIIA 12121111 ???? ??
PIIA 22221212 ???? ??
§ 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析
1.在平稳阶段,作简谐振动,振动
频率与荷载同。
2.当 时 0??
PP AA 2211 ????
PAmAm 12212212111 )1( ????? ????
PAmAm 22222212112 )1( ????? ????
3.当 时 ??? 00
21 ?? AA
4.当 或 时
21 ???? ??
???? 21 AA
n自由度体系有 n个共振区。
5.求稳态振幅可列幅值方程
111 )( ymtI ???? tAm ?? s in211? tI ?sin1?
2111 ?AmI ? ---惯性力幅值
2222 ?AmI ?
1m 2m
1P 2P
1A 2A
1I 2I
PIIA 12121111 ???? ??
PIIA 22221212 ???? ??
2111 / ?mIA ? 2222 / ?mIA ?
0)/1( 121212111 ????? PIIm ???
0)/1( 222222121 ????? PImI ???
6.内力幅值的计算
1m 2m
EI
tP ?sin
3/l 3/l 3/l
例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。
,21 mmm ??
3415.3 ml
EI??已知,
1I 2I
P
1y 2y
1A 2A
解,
2121111 )( IIPA ?? ???
2221212 )( IIPA ?? ???
2111 / ?mIA ? 2222 / ?mIA ?
0)/1( 1221212111 ???? PIIm ????
0)/1( 2122222121 ???? PImI ????
EI
l 3
2112 486
7?? ??
EI
l 3
2211 486
8?? ??
00165.00144.00693.0 21 ???? PII
00144.00693.00144.0 21 ??? PII
PI 2 9 3 6.01 ? PI 2689.02 ?
EIPlA /0 2 5 1 7.0 31 ? EIPlA /02306.0 32 ?
P2689.0P2936.1
Pl3173.0 Pl2035.0
不存在统一的动力系数
利用对称性可简化计算
m
tP ?sin
m
tP ?sin2 tP ?sin2
tP ?sin2 tP ?sin2
对称荷载
tP ?sin2
1
3/l
EIl /0 3 0 8 7.0 311 ??
32 /3 9 4.32 mlEI??
32 /662.11 mlEI??
5625.1??
EIPly st /0 1 5 4 3 5.0 3?
EIPlA /0 2 4 1 1 7.0 3?
反对称荷载
tP ?sin2
1
9/l
EIl /0 0 2 0 6.0 311 ??
32 /003.486 mlEI??
32 /662.11 mlEI??
0246.1??
EIPly st /0 1 0 3.0 3?
EIPlA /0 0 1 0 6.0 3?
反对 111 AAA ??
EIPl /0 2 5 1 7 7.0 3?
反对 222 AAA ??
EIPl /0 2 3 0 5 7.0 3?
m
2/ll
EI
2/l
1?2/l
4/l
??????? 24324221(111 lllEI?
EI
llll
48
5)
23
2
22
1 3?????
3112 5/48/1 mlEIm ?? ??
33 /0 9 8.35/48 mlEImlEI ???
作业解答,
165页 7-1（ a）
01111 ?? PRZr
165页 7-1（ b）
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2/l
cEI ? 2/l
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l/16
5l/32
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????????? 2322121621(111 llllllEI?
)23164922123216221 llllll ??????????
EIl /00716.0 3?
3/8179.11 mlEI??
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35/83.2 mlEI??
165页 7-1（ c）
m
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A
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Am 2?AlEI ?3/12
AlEI ?2/6
165页 7-1（ e）
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1
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11
2 1
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§ 3.3 振型分解法
一,振型正交性
i振型 ? ?
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Ni
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i
i
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X
X
X
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2
1
ii Xm 121? ii Xm 2
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NiiN Xm 2?
1m 2m
iX1
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NiX
i振型上的
惯性力
?
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m
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Xm
Xm
Xm
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2
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1
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jj Xm 121? jj Xm 2
22?
NjjN Xm 2?
1m 2m
jX1
Nm
jX2
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j振型 ? ?
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Ni
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i
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X
X
X
X
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2
1
i振型上的惯性力
在 j振型上作的虚功
?????? jiijiiij XXmXXmW 22221121 ??
? ? ? ?? ?iTji XmX2??
j振型上的惯性力
在 i振型上作的虚功
? ? ? ?? ? jTijji XmXW 2??
ijji WW ?由虚功互等定理
? ? ? ?? ? 0)( 22 ?? iTjij XmX??
? ? ? ?? ?iTjj XmX2?? ? ? ? ?? ? 0?iTj XmX
1m 2m
iX1
ii Xm 121?
Nm
ii Xm 222? NiiN Xm 2?
iX2
NiX
1m 2m
jX1
jj Xm 121?
Nm
jj Xm 222? NjjN Xm 2?
jX2
NjX
i振型上的惯性力
在 j振型上作的虚功
?????? jiijiiij XXmXXmW 22221121 ??
? ? ? ?? ?iTji XmX2??
j振型上的惯性力
在 i振型上作的虚功
? ? ? ?? ? jTijji XmXW 2??
ijji WW ?由虚功互等定理
? ? ? ?? ? 0)( 22 ?? iTjij XmX??
? ? ? ?? ?iTjj XmX2?? ? ? ? ?? ? 0?iTj XmX
振型对质量的正交性的物理意义
? ? ? ?? ? 02 ?? iTjiij XmXW ?
i振型上的惯性力在 j振型上作
的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
? ?? ? ? ?? ?iii XmXk 2??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? iTjiiTj XmXXkX 2??
? ? ? ?? ? 0?iTj XkX
1m 2m
iX1
ii Xm 121?
Nm
ii Xm 222? NiiN Xm 2?
iX2
NiX
1m 2m
jX1
jj Xm 121?
Nm
jj Xm 222? NjjN Xm 2?
jX2
NjX
振型对质量的正交性的物理意义
? ? ? ?? ? 02 ?? iTjiij XmXW ?
i振型上的惯性力在 j振型上作
的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
? ?? ? ? ?? ?iii XmXk 2??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? iTjiiTj XmXXkX 2??
? ? ? ?? ? 0?iTj XkX
振型对刚度的正交性的物理意义
iX1
1P 2P NP
iX2
NiX? ? ? ?? ?iXkP ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? 0?? iTjTj XkXPX
i振型上的弹性力在 j振型上作
的虚功等于 0
振型正交性的应用
1.检验求解出的振型的正确性。
例,试验证振型的正确性
? ? ??????? mmm 2
2.对耦联运动微分方程组作解
耦运算等等,
? ? ? ?
??
?
??
? ??
??
?
??
??
1
8 9 7.0;
1
23.2
21 XX
m
l
EI
m
EI
l
1y
2y
? ? ? ? 31
7
48
7
18
7
18
7
12
l
EI
k ?
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?
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? ? ? ?? ? ? ? mmmXmX T 0 0 0 3 1.01 897.020 0123.221 ??
??
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? ? ? ?? ? ? ? )/(000154.01 897.07/487/18 7/187/12123.2 321 lEIXkX T ?
??
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??
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??
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??
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例,已知图示体系的第一振型,
试求第二振型,
? ? ;123.21
??
?
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??X
m
l
EI
m
EI
l
1y
2y
? ? ? ?? ? ? ? 020 0123.2
22
12
21 ???
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??
X
X
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mXmX T
解,
0223.2 2212 ?? mXmX
23.2
2
22
12 ??
X
X
? ?
??
?
??
???
1
8 9 7.0
2X
例,已知图示体系在动荷载作用下的振幅为
解,
??
?
??
? ??
??
?
??
???
??
?
??
??
5.1
3 4 5 5.1
1
23.22
5.3
1 1 4 5.3
? ?
??
?
??
??
5 0 0 0.3
1 1 4 5.3A
试从其中去掉第一振型分量,
? ? ? ? ? ? 2211 XDXDA ??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 2121111 XmXDXmXDAmX TTT ??
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? 29729.6
945.13
11
1
1 ??? m
m
XmX
AmXD
T
T
? ? ? ? ? ?11 XDAA ???
? ?
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?
??
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1
897.05.1
5.1
3 4 5 5.1A ? ?25.1 X?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2122112
1
5.12 XXXDXDDXA
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??
1
8 9 7.0;
1
23.2
21 XX
m
l
EI
m
EI
l
1y
2y
二,振型分解法 (不计阻尼 )
运动方程 ? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()( tPtyktym ???? 1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN设 ? ? ? ???? Ni ii tDXty 1 )()(
),2,1( Nj ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)())(())((
11
tPtDXktDXm N
i
ii
N
i
ii ?? ??
??
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)())(())((
11
tPXtDXkXtDXmX T jN
i
ii
T
j
N
i
ii
T
j ?? ??
??
??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?)()()( tPXtDXkXtDXmX T jjjT jjjT j ????
)()()( *** tPtDKtDM jjjjj ????
*jM ---j振型广义质量
*jK ---j振型广义刚度
)(* tPj ---j振型广义荷载
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系 ? ?? ? ? ?? ? jjj XmXk
2?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? jTjjjTj XmXXk 2??
**2 / jjj MK??
二,振型分解法 (不计阻尼 )
运动方程
? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()( tPtyktym ????
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN设
? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj ?? )()()( *** tPtDKtDM jjjjj ????
*jM ---j振型广义质量
*jK ---j振型广义刚度
)(* tPj ---j振型广义荷载
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系
计算步骤, 1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
3.求组合系数 ;
4.按下式求位移 ;
? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
? ? ? ?? ? mXmXM T 211*1 ??
? ? ? ? ? ? tPtPtPXtP T ?? s i n0s i n11)()( 1*1 ?????????
计算步骤, 1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
3.求组合系数 ;
4.按下式求组合系数 ;
? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
1m 2m
)(1 ty
tP ?sin
)(2 ty
EI 3/415.3 mlEI??
3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
EI
ml
EI ?? ??
? ?
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1
1
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??
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1
2X
? ? ? ?? ? mXmXM T 222*2 ??
? ? ? ? tPtPXtP T ?s i n)()( 2*2 ??
例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
? ? ? ?? ? mXmXM T 211*1 ??
? ? ? ? ? ? tPtPtPXtP T ?? s i n0s i n11)()( 1*1 ?????????
1m 2m
)(1 ty
tP ?sin
)(2 ty
EI 3/415.3 mlEI??
3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
EI
ml
EI ?? ??
? ?
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1
1
1X ? ? ??
?
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?
?? 1
1
2X
? ? ? ?? ? mXmXM T 222*2 ??
? ? ? ? tPtPXtP T ?s i n)()( 2*2 ??
*1*11211 /)()()( MtPtDtD ?? ???
)(1 tD
*1MtP ?sin
*1K
tEIPl ?s in104 1 1.2 32???
*2*22222 /)()()( MtPtDtD ?? ??? t
EI
PltD ?s in101 0 5 4.0)( 32
2
???
tDtD st ?? s i n)( 1,11 ? t
m
P ?
??? s i n/1
1
2 2221 1???
例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
1m 2m
)(1 ty
tP ?sin
)(2 ty
EI 3/415.3 mlEI??
3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
EI
ml
EI ?? ??
? ?
??
?
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1
1
1X ? ? ??
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?? 1
1
2X
tDtD st ?? s i n)( 1,11 ? t
m
P ?
??? s i n/1
1
2 2221 1???
tEIPl ?s in104 1 1.2 32???
*2*22222 /)()()( MtPtDtD ?? ??? t
EI
PltD ?s in101 0 5 4.0)( 32
2
???
? ? ? ? ? ? 2211)( DXDXty ??
tEIPltEIPlty ty ?? s i n101054.011s i n10411.211)( )(
3
2
3
2
2
1 ?? ??
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?
tEIPl ?s in103 0 5 9.2 5 1 6 7.2
3
2??
??
?
??
??
例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm ?? 21
解,
1m 2m
)(1 ty
tP ?sin
)(2 ty
EI 3/415.3 mlEI??
3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
EI
ml
EI ?? ??
? ?
??
?
??
??
1
1
1X ? ? ??
?
??
?
?? 1
1
2X
? ? ? ? ? ? 2211)( DXDXty ??
tEIPltEIPlty ty ?? s i n101054.011s i n10411.211)( )(
3
2
3
2
2
1 ?? ??
??
?
??
?
??????
?
??
??
??
?
??
?
tEIPl ?s in103 0 5 9.2 5 1 6 7.2
3
2??
??
?
??
??
EI
Pl
A
A 32
2
1 10
3059.2
5167.2 ??
??
?
??
??
??
?
??
?
从结果看,低阶振型贡献大
一般不需要用全部振型叠加,
用前几个低阶振型叠加即可。
例二,求图示体系在突加荷载作用下的位移反应,
解,
m1 2k
??1EI
??1EI
1k
m2 kNP 8?
已知, ;102;103 3231 kNkkNk ????;1 0 2 0 021 kgmmm ??? 加荷前静止。
ss /125.24;/1899.9 21 ?? ??
? ?
??
?
??
??
2
1
1X ? ? ??
?
??
?
?? 2/1
1
2X
? ? ? ?? ? kgXmXM T 5100011*1 ?? ? ? ? ?? ? kgXmXM T 1275022*2 ??
? ? ? ? ? ? kNtPXtP T 168021)()( 1*1 ????????? ? ? ? ? kNtPXtP T 4)()( 2*2 ???
? ?? t dtMPtD 0 1
1
*
1
*
1
1 )s i n (
)()( ???
?
?
)c o s1( 1
1
*
1
*
1 t
M
P ?
? ??
)c o s1(0032.0 1 t???
)co s1(0 0 0 5 3 4.0)( 22 ttD ????
)(2/11)(21)( )( 21
2
1 tDtD
ty
ty ?
??
?
??
?
?????
?
??
??
??
?
??
?
t
ty
2
11
c o s0 0 0 5 3 4.0
c o s0 0 3 2.00 0 2 6 7.0
?
?
?
??
t
ty
2
12
c o s0 0 0 2 6 7.0
c o s0 0 6 4.00 0 6 6 7.0
?
?
?
??
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
三,振型分解法 (计阻尼 )
阻尼力 ? ? ? ?? ?)( tycf
D ??
1Df 2Df DNf? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
NNNN
N
N
ccc
ccc
ccc
c
?
????
?
?
21
22221
11211
--阻尼矩阵
ijc
--当质点 j有单位速度,其余质点速度为 0时,质点 i上的阻尼力, )1( ?
jy?
若下式成立
? ? ? ?? ?
??
?
?
??
jiC
jiXcX
j
j
T
i *
0
则将 称作正交阻尼矩阵,称作振型 j的广义阻尼系数, ??c *
jc
运动方程 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()()( tPtyktyctym ??? ???
设 ? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj ?? )()()()( **** tPtDKtDCtDM jjjjjjj ??? ???
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
1Df 2Df DNf
三,振型分解法 (计阻尼 )
运动方程
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?)()()()( tPtyktyctym ??? ???
设 ? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj ?? )()()()( **** tPtDKtDCtDM jjjjjjj ??? ???
令 ** 2
jjjj MC ???
** /)()()(2)( jjjjjjjj MtPtDtDtD ??? ??? ???
j? --第 j振型阻尼比 (由试验确定 ),
计算步骤, 1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
4.求组合系数 ;
5.按下式求位移 ; ? ? ? ??
?
? N
i
ii tDXty
1
)()(
3.确定振型阻尼比 ;
正交阻尼矩阵的构成
? ? ? ? ? ?kbmac ?? ---比例阻尼 (Rayleigh阻尼 )
i?
已知两个阻尼比
j?
? ? ? ?? ? *** iiiTii bKaMXcXC ???
** 2 iiii MC ???
)(2 12 /2 2
**
*
**
i
ii
ii
ii
ii
i ba
MbKa
M
bKaM ?
???? ??
????
)(2 1 2j
j
j ba ??? ??
? ? ? ? ? ?kbmac ?? )(2 1 2j
j
j ba ??? ??
例,求图示体系的正交阻尼矩阵 和阻尼比, ??c 3?
m
k
m
m
k
k
3
2
1
已知,
mkmkmk /802.1;/247.1;/44.0 321 ??? ???
05.021 ?? ??
解,
)(2 1 21
1
1 ??? ba ?? )(2
1 2
2
2
2 ??? ba ??
kmbmka /0 5 9 1.0/0 3 2 8.0 ??
0624.0)(2 1 23
3
3 ??? ??? ba
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? kk ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
110
121
012
? ? ? ? ? ? mkkbmac ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
0919.00591.00
0591.0151.00591.0
00591.0151.0
? ? ? ? )s i n ()( iii tXty ?? ??
§ 4,频率、振型的实用计算方法
§ 4.1 能量法（瑞利法）
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法。
设体系按 i振型作自由振动。 t时刻的位移为
速度为
? ? ? ? )co s ()( iiii tXty ??? ???
动能为
)(21)(21)(21)( 2222211 tymtymtymtT NNi ???? ???
? ? ? ?? ?)()(21 tymty T ???
? ? ? ?? ? )(c o s21 22 iiiiTi tXmX ??? ??势能为
? ? ? ?? ? )(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU ?? ??
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN
动能为
)(21)(21)(21)( 2222211 tymtymtymtT NNi ???? ???
? ? ? ?? ?)()(21 tymty T ???
? ? ? ?? ? )(c o s21 22 iiiiTi tXmX ??? ??势能为
? ? ? ?? ? )(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU ?? ??
最大动能为 ? ? ? ?? ?
2
m a x 2
1
ii
T
ii XmXT ??
? ? ? ?? ? iTii XkXU 21m a x ?最大势能为
由能量守恒，有 m a xm a x ii UT ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? iTi
i
T
i
i XmX
XkX?2?
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN
最大动能为 ? ? ? ?? ?
2
m a x 2
1
ii
T
ii XmXT ??
? ? ? ?? ? iTii XkXU 21m a x ?最大势能为
由能量守恒，有 m a xm a x ii UT ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? iTi
i
T
i
i XmX
XkX?2?
选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向
量代入上式求频率的近似值。
通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求
基本频率的近似值。
例,用能量法计算图示体系的基频,
m
km
m
k
k
3
2
1
解,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? kk ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
110
121
012
1.取自重引起的位移
mg 1y
mg
mg
2y
3y
kmgy /31 ?
kmgkmgyy /5/212 ???
kmgkmgyy /6/13 ???
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
5
3
1X
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?11
112
1 XmX
XkX
T
T
??
mkmk /2.07014 ??
精确解,
mk /1 9 8.021 ??
mk /445.01 ??
mk /4 4 7.01 ??
2.取直线
m
km
m
k
k
3
2
1
mg 1y
mg
mg
2y
3y
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
1X mk /2 1 4.02
1 ??
3.取常数 ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1X mk /333.021 ??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
5
3
1X
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?11
112
1 XmX
XkX
T
T
??
mkmk /2.07014 ??
精确解,
mk /1 9 8.021 ??
mk /445.01 ??
mk /4 4 7.01 ??
mk /463.01 ??
mk /5 7 7.01 ??
§ 4.2 迭代法
? ?? ? ? ?XXA ??
对于给定的方阵,满足上式的向量 和数值 称作 的特征
向量和特征值,合称为特征对, ??A
???X ??A
有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。
? ?? ? ? ?? ?XBXA ??
---标准特征值问题
---广义特征值问题
柔度法建立的振型方程
? ? ? ?? ?? ?XmX ?? 2?
令 ? ? ? ?? ?mD ?? ---动力矩阵
? ? ? ?? ?XDX ?21? ---标准特征值问题
刚度法建立的振型方程
? ?? ? ? ?? ?XmXk 2?? ---广义特征值问题
一, 迭代法求基频和基本振型
1.作法
假设振型,? ?0X 计算,? ?1X
? ? ? ?? ?01 XDX ?
若 是真的振型,则下式成立 ? ?0X
? ? ? ?? ? ? ?10021 XXDX ???
即 与 成比例, ? ?0X ? ?1X
柔度法建立的振型方程
? ? ? ?? ?? ?XmX ?? 2?
令 ? ? ? ?? ?mD ?? ---动力矩阵
? ? ? ?? ?XDX ?21? ---标准特征值问题
若不成比例,不是振型, ? ?0X
迭代式为
? ? ? ?? ?nn XDX ?? 1
这时将 归一化,得 ;在将
其作为新的假设振型继续计算,
? ?1X ? ?1X
一直算到 与 成比例为止, ? ?nX ? ? 1?nX
? ? ? ?? ? ? ? 12
1
1 ??? nnn XXDX
?
? ?nX 为基本振型, 这时下式成立
基本频率由下式计算
1
2
1 ?? n
s
n
s
X
X?
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
3 3 4.10
3 3 4.8
6 6 7.4
12
k
mXDX
2.算例, 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型,
设
m
km
m
k
k
3
2
1
解, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? k
1
321
221
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ? ? ?? ?
k
mmD ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
32
221
111
?
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
1
0X
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
6
5
3
01
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
2
667.1
1
1X归一化
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
21.2
78.1
1
2X
归一化
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
19.11
98.8
99.4
23
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
24.2
8.1
1
3X
归一化
2.算例, 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型,
设
m
km
m
k
k
3
2
1
解, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? k
1
321
221
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ? ? ?? ?
k
mmD ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
32
221
111
?
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
1
0X
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
22.11
08.9
04.5
34
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
24.2
8.1
1
4X归一化
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
3 3 4.10
3 3 4.8
6 6 7.4
12
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
21.2
78.1
1
2X
归一化
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
19.11
98.8
99.4
23
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
24.2
8.1
1
3X
归一化
2.算例, 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型,
设
m
km
m
k
k
3
2
1
解, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
m ? ? k
1
321
221
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ? ? ?? ?
k
mmD ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
32
221
111
?
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
1
0X
? ? ? ?? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
22.11
08.9
04.5
34
k
mXDX ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
24.2
8.1
1
4X归一化
基本振型为 ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
24.2
8.1
1
1X
基本频率为 mk
k
mX
X
n
s
n
s 1 9 8.0
04.5
1
1
2
1 ?
?
?? ??
精确值为
m
k19 8.02
1 ??
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
2 47.2
8 02.1
1
1X
? ?? ? ? ? ? ? ? ? NN
N
aXaXaXXD 2222
2
112
1
0 111
??? ???? ?
3.收敛的原因
? ? ? ? ? ? ? ? NN aXaXaXX ???? ?22110
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? NN aXDaXDaXDXD ???? ?22110
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? iii XDXmX
i
?? ?? 21
22
2
2
1
111
N???
??? ?
每迭代一次会使基本振型分量比重增加,而使其它振型分量所占比重减少,
随着迭代次数逐渐增多,除基本振型外的其它振型分量越来越少直至可略
去不计,这时得到的即为基本振型,
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?
*
1
0
1
11
0
1
1 / MXmXXmX
XmXa T
T
T
??
一, 迭代法求第二频率及振型
? ? ? ? ? ? ? ? NN aXaXaXX ???? ?22110
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? NNTTTT aXmXaXmXaXmXXmX 122111101 ???? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 11101 aXmXXmX TT ?
? ? ? ? ? ? 1100~ aXXX ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?*
1
0
1
1
0
M
XmXXX T?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0
*
1
11 )
1( X
MmXXI
T??
? ? ? ?01 Xs?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *
1
111
1
MmXXIS
T?? ----滤型矩阵
计算步骤,
? ? ? ? ? ? 1100~ aXXX ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?*
1
0
1
1
0
M
XmXXX T?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0
*
1
11 )
1( X
MmXXI
T??
? ? ? ?01 Xs?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *
1
111
1
MmXXIS
T?? ----滤型矩阵
1.求 ??
1s
2.求 ? ? ? ?? ?
12 sDD ?
3.迭代求解 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? nnn XDXSDX
222112 ???
迭代法的优点,
求其它高阶振型及频率与此类似,不再赘述,
迭代法的缺点,
