,随机过程, 教程
第 2讲 概率空间
东南大学移动通信国家重点实验室
陈 明 制作
chenming@seu.edu.cn
ftp.seu.edu.cn/incoming/document/随机过程
2012-3-21 东南大学无线电工程系 2
概率空间
认识随机系统
? 举例,p.13-14
? 要点：随机系统的关键在于输出的不可预知性，但
对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键
认识样本空间
? 可数和不可数
? 瞬态和过程
? 标准化：数、向量、函数
2012-3-21 东南大学无线电工程系 3
关于可数和不可数
集合的映射：单射、满射和双射 (p.23)
原像集 像集
? ? ? ?12f a f a?
f
单射 （不同的原
像具有不同的像）
2012-3-21 东南大学无线电工程系 4
满射 （每一个像都有原像）
? ?
,,.,b a s t
b f a
??
?
原像集 像集
f
2012-3-21 东南大学无线电工程系 5
双射 （既是单射，又是满射）
原像集 像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两个
集合，其所含元素的, 个数, 一样多。
2012-3-21 东南大学无线电工程系 6
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的
一个子集建立双射关系的集合称为 可数
集合； 否则称为 不可数集合。
可数和不可数是人类认识, 无穷, 所产
生的概念，是对无穷的分类。
已经证明连续的区间，和实数集等都是
不可数集合,[1,2],(0.1,0.01),R,等等
2012-3-21 东南大学无线电工程系 7
无穷大的分类
?0,?1,?2,?3,…… (自然数集合的无限多
为 ?0,?0集合的所有子集构成的集合的
,无限多（势）, 为 ?1, ?1集合的所有
子集构成的集合的势为 ?2, …… )，在
数学上已经严格证明,?0,?1,?2,?3,等
之间不能建立双射的关系。
2012-3-21 东南大学无线电工程系 8
对于无穷大,,整体大于部分,
的直觉不再成立
对于自然数集,偶数集合
是一个子集,但我们将 中的
和 中的 建立对应关系，就发现这是一
个双射。
自然数旅馆的, 故事,
不可数集合的, 部分等于全体,
? ?2,4,6,?E N
2n
? ?1,2,3,4,5,?N
E
2012-3-21 东南大学无线电工程系 9
无穷大的趣闻 —— 三次数学危机
第一次危机：无理数的发现（正方形的
对角线）
第二次危机：微积分中的无穷小量（确
定无穷小是运动的量，无限趋于零但不
等于零）
2 2 2
1
2 2 2 2
1 1 1 1
2,2 2
2 2 2
n
x x n m n n
m
m n m m n m
??
? ? ? ? ? ???
??
? ? ? ? ? ?
2012-3-21 东南大学无线电工程系 10
第三次数学危机
罗素悖论
对, 无穷问题, 的评价：大脑的概念和
存在性问题（认识主体和客体的关系）。
? ?i s s e t,
i f,t he n ;
i f,t he n,
A x x x
A A A A
A A A A
??
??
??
2012-3-21 东南大学无线电工程系 11
事件和 Borel集
事件：样本空间中满足 一定条件 的全体
元素构成子集,,一定条件, 有事件的
意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件
必然事件
基本事件：可数和不可数
Borel集：规定了事件的全体及其相容性
2012-3-21 东南大学无线电工程系 12
概率空间的定义
阅读讲解 p.16定义 2.1
理解概率空间
? 概率空间是对随机现象的基本建模方法
? 概率空间有三个要素：样本空间,Borel事
件集、概率集函数,(S,B,P)
? 样本空间和 Borel事件集是随机系统的输出
? 概率集函数对事件发生可能性的大小进行了
先验的 量化
2012-3-21 东南大学无线电工程系 13
概率空间的建模方法
舍弃了对输出某个结果机制的观察，而
是观察某个结果的输出可能性
是对输出结果的统计观察
先验量化的理由有许多
完成先验量化的是概率集函数
2012-3-21 东南大学无线电工程系 14
概率集函数
概率集函数的标准化
概率集函数的性质 2.1
概率集函数的确定：先定义所有基本事
件的概率，然后再利用下面两个性质定
义其他事件的概率
? 任何事件都可以表示为若干个互斥基本事件
的并
? 概率的可数可加性公理
2012-3-21 东南大学无线电工程系 15
可数样本空间概率集函数的确定
2012-3-21 东南大学无线电工程系 16
不可数样本空间概率集函数的确定
基本事件集合为左开右闭的区间
Borel集合为包含基本事件的最小 Borel
集，称为由基本事件集合生成的 Borel集
先定义基本事件区间上的概率
Borel集合中其他事件的概率根据基本事
件集合的概率计算出来
2012-3-21 东南大学无线电工程系 17
条件概率的定义
? ? ? ?? ? ? ?|,0P A BP A B P BPB ???
2012-3-21 东南大学无线电工程系 18
事件之间的关系：独立和互斥
独立的两个事件不一定互斥，也即两个
事件独立则可能交集不空
互斥的两个事件不一定独立，也即交集
为空的两个事件不一定独立
例 2.3
2012-3-21 东南大学无线电工程系 19
全概率公式
意义
? 分割的意义是对样本空间的分类
? 不同条件下事件 B发生的概率不同
? 事件 B的概率是所有不同条件下的条件概率的加权
平均
在连续情形下的推广
2012-3-21 东南大学无线电工程系 20
Bayes公式
在观察两个事件关系的时候，有时候需要
知道 A条件下 B发生的概率 P(A|B)，有时候
需要知道 B条件下 A发生的概率 P(B|A)
Bayes公式揭示了这两个概率之间的关系
2012-3-21 东南大学无线电工程系 21
作业
习题
? 2.4
? 2.7
? 2.12
2012-3-21 东南大学无线电工程系 22
,随机过程,
第 2讲, 概率空间, 终