,随机过程, 教程
第 3讲 随机变量、随机向量及
其概率函数
东南大学移动通信国家重点实验室
陈 明 制作
chenming@seu.edu.cn
ftp.seu.edu.cn/incoming/document/随机过程
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随机对象
映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者
函数集（传统的方法；概率论中常用）
直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集
? 当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量
为 随机变量
? 当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变
量为 复随机变量
? 当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空
间为 随机向量
? 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称
该函数集合为 随机过程
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随机变量
随机变量的两要素
? 变量特征
? 概率特征（统计特征）
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样本空间的统一问题
当随机变量（随机向量）的样本空间只是实数
集合的一部分时，仍用整个实数集合作为样本
空间。这样将样本空间统一之后，可以用概率
密度函数，概率分布函数统一描述随机变量的
概率特性；被扩充的样本点处的概率密度被定
义为零；
对于离散型随机变量（随机向量），有时候为
了表述的方便，也用离散变量表示，而不进行
扩充，此时概率特性用概率质量函数表示
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概率质量函数
(pmf,probability mass function)
任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示
其他事件的概率通过概率质量函数计算得到
连续型随机变量不可以用概率质量函数表示
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概率分布函数
(cdf,cumulative distribution function)
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概率密度函数
(pdf,probability density function)
概率分布函数的导数
概率在直线上的密度
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补充：广义导数的概念
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函数的支集
直观上的意义就是函数在这个集合上不
为零，这个集合, 支撑, 了这个函数的非
零值，所以被称为, 支撑集合,,简称支
集（ support set）
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广义导数定义的来源
将导数和原函数之间所满足的积分恒等
式用来定义广义导数
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Delta函数和 Heavyside函数
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Delta函数的性质
提供了描述, 质点, 概率的数学工
具
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cdf和 pdf的性质
练习一：试证明 P.28的性质 2.2
练习二：试证明 P.29的性质 2.3
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一个很有用的比喻
将, 概率, 比喻成, 质量,
在一条直线上分布总质量为 1的物质
概率质量函数
? 总质量为 1的可数个质点分布在直线上
概率分布函数
? 分布在 x左边的总质量
概率密度函数
? 在 x处的概率的密度
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随机变量的分类
离散型随机变量
? 除了 cdf和 pdf，还可以用 pmf描述
连续型随机变量
? 只能用 cdf和 pdf描述，不能用 pmf描述
混合型随机变量
? 只能用 cdf和 pdf描述，不能用 pmf描述
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随机向量
样本空间标准化为高维欧氏空间
总概率 1分布在 n维欧氏空间内
分布的方式和一维类似
? 离散型随机向量
? 连续型随机向量
? 混合型随机向量
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联合概率质量函数
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联合概率分布函数
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联合概率密度函数
广义导数由（ 2.19）定义
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边界概率函数
分类
? 边界概率质量函数
? 边界概率分布函数
? 边界概率密度函数
定义
? 低维随机变量的概率函数被称为边界概率函数
? 可以由高维随机变量的概率函数得到
? pmf：对其他维数的随机变量求和
? cdf：令其他维数的随机指数为无穷大
? pdf：对其他维数的随机变量积分
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课堂练习：证明性质 2.4
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随机向量和随机变量的关系
随机向量包含了单个分量随机变量的完
全信息
随机向量还包含单个分量随机变量之间
的相关信息
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随机变量间的关系
独立性定义
条件概率分布函数
条件概率密度函数
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作业
习题
? 2.19
? 2.21
? 2.26
? 2.27
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,随机过程,
第 3讲, 随机变量、随机向量及其概率
函数, 终