空间直角坐标系 空间点的直角坐标系 ?? 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 ?? 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） ?????????????????????????????????????  ? 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 ?? 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 ?? 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示） ?????????????????????????????????????  ? 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). ?? 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 ?? 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点， 则x=y=z=0，等。 空间两点间的距离 ?? 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： ?????????????????????  ?? 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. ?? 解答：由两点间距离公式得： ?????????????????????  ???????? 由于，所以△ABC是一等腰三角形 ?方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 ?? 设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. ?? 关于方向角的问题 ?? 若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。 ?? 方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。 ?? 设有空间两点，则其方向余弦可表示为： ???????????????????????  ???????????????????????  ???????????????????????  ?? 从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式： ???????????????????????  ?? 注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。 方向数 ? 方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即： ???????????????????????  ?? 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式： ????????? ，， ?? 其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。 ?? 关于方向数的问题 ?? 空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。 两直线的夹角 ??? 设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段.则线段的夹角称为此两直线L1与L2的夹角. ?? 若知道L1与L2的方向余弦则有公式为： ????????????????????????  ?? 其中：θ为两直线的夹角。 ?? 若知道L1与L2的方向数则有公式为： ????????????????????????  两直线平行、垂直的条件 ?? 两直线平行的充分必要条件为： ????????????????????????  ?? 两直线垂直的充分必要条件为： ????????????????????????  曲面与空间曲线 曲面的方程 ?? 我们知道，在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹.因此，在空间中曲面可看成是一个动点或一条动曲线(直线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。 ?? 设曲面上动点P的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就能导出一个含有变量x,y,z的方程： ?????????????????????????????????  ?? 如果此方程当且仅当P为曲面上的点时，才为P点的坐标所满足。那末我们就用这个方程表示曲面，并称这个方程为曲面的方程，把这个曲面称为方程的图形。 空间曲线的方程 ?? 我们知道，空间直线可看成两平面的交线，因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程组来表示，这就是直线方程的一般式。 ?? 一般地，空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线，因而空间曲线的方程就可由此两相交曲面方程的联立方程组来表示。 ?? 设有两个相交曲面，它们的方程是，，那末联立方程组： ??????????????????????????????????  ?? 便是它们的交线方程。 两类常见的曲面 ?? 1、柱面 ?? 设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。 ?? 2、旋转面 ?? 设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。 下面我们再列举出几种常见的二次曲面 二次曲面的名称 二次曲面的方程  椭球面   单叶双曲面   双叶双曲面   椭圆抛物面   双曲抛物面