第五节
全微分方程
一、全微分方程及其求法
1.定义,
0),(),( ?? dyyxQdxyxP则称
dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( ??
若有全微分形式
例如,0?? yd yxdx
为全微分方程
或恰当方程
,),( yd yx d xyxdu ???
因此，方程 是全微分方程,
.xQyP ??????全微分方程
0?
?
??
?
?
x
Q
y
P,,yQxP ??
0?? y d yx d x
2.解法,
0),(),( ?? dyyxQdxyxP
方法 1：应用曲线积分与路径无关, x
Q
y
P
?
??
?
??
可求出 ?? ??
y
y
x
x dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ?? ??;),( Cyxu ?
方法 2,用直接凑 全微分的方法,
全微分方程
因此，方程的通解为,
比如，全微分方程
0?? y d yx d x 0)(
2
1 22 ??? yxd
因此，方程的通解为,Cyx ??
2
22
.
0)3()3( 2323
的通解
求方程 ???? dyyxydxxyx
解,6 xQxyyP ??????? 是全微分方程,
?? ??? yx dyyxdxyxyxu 0 30 23 )3(),(
.4234
4
22
4
Cyyxx ???原方程的通解为
,4234
4
22
4 y
yxx ???
例 1
.032 4
22
3 的通解求方程 ?
?? dy
y
xydx
y
x
解,6 4 xQy xyP ??????? 是全微分方程,
将左端重新组合 )32(1 4
2
32 dyy
xdx
y
xdy
y ??
)()1( 3
2
y
xd
yd ???
.1 3
2
Cyxy ???原方程的通解为
),1( 3
2
y
x
yd ???
例 2
二、积分因子法
定义,
0),( ?yx? 连续可微函数，使方程
0),(),(),(),( ???? dyyxQyxdxyxPyx 成为全
微分方程, 则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
问题, 如何求方程的积分因子?
这个问题难度较大，技巧性很强
,0),(),( 不是全微分方程如果 ?? dyyxQdxyxP
经常被选作积分因子的有下列函数,
.,,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx ??
通常采用观察法, 凭观察凑微分得到 ),( yx?
常见的全微分表达式有,
???????? ??? 2
22 yx
dydyxdx ???????? xydx y dxxd y 2
????????? xydyx y d xx d y a r c t a n22 ? ?xydxy y dxxd y ln??
?????? ???? )l n (21 2222 yxdyx ydyxdx
?????? ????? yx yxdyx yd xx d y ln2122
.0)1(2 22 的通解????? dyyxdxyxx
解
将方程左端重新组合,有
例 3 求微分方程
,022 22 ????? dyyxdxyxxx d x
,0)()( 2222 ????? dyyxxdyxxd
,0)()( 222 ???? yxdyxxd
原方程的通解为,)(3
2 2322 Cyxx ???
.1
32
的通解求微分方程 x yxxdxdy ? ????
解 1 整理得,1 1 2xyxdxdy ????
A 常数变易法,
B 公式法,
.43
43
Cxxxyy ????通解为
.1 xCy ??对应齐方通解
.1 )( xxCy ??设,43)(
43
CxxxC ????
],[ 1
1
21
1
Cdxexey dxxdxx ????? ? ???
例 5
解 2 整理得,0)1()( 32 ????? dyxdxyxx
,1 xQyP ???????,是全微分方程?
A 用曲线积分 法,
,)(),( 00 32 ?? ???? yx dydxyxxyxu
B 凑微分法,
,0)( 32 ????? dxxdxxy d xxdydy
，043)(
43
???? xdxdxyddy
.0)43(
43
???? xxxyyd
C 不定积分 法,
),(43
43
yCxyxx ????
),( yCxyu ??????,1 xyu ????又
,1)( xyCx ?????,1)( ?? yC,)( yyC ?
原方程的通解为,43
43
Cxxxyy ????
,dy
y
udx
x
udu
?
??
?
??
x
y
uyxx
x
u ??
?
????
?
?? 1,32
? ??? dxyxxyxu )(),( 32