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第三、四节 极 限
二,函数的极限
三,无穷小与无穷大
一,数列的极限
第一章 函数、极限与连续
本节知识
的引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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第 2 页
“割之弥细，所
失弥少，割之又
割，以至于不可
割，则与圆周合
体而无所失矣”
1、割圆术,
播放 ——刘徽
概念的引入
第三、四节 极 限
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重点
与难
点
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第 3 页
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
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2、截丈问题,
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
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一,数列的极限
定义, 按自然数 ?,3,2,1 编号依次排列的一列数
??,,,,
21 n
xxx ( 1)
称为 无穷数列,简称 数列, 其中的每个数称为数
列的 项,nx 称为 通项 ( 一般项 ), 数列 ( 1) 记为 }{ nx,
例如 ;,2,,8,4,2 ?? n;,21,,81,41,21 ?? n
}2{
}21{ n
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注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一
动点在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列又称整标函数 ).( nfx n ?;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ??? })1({
1
n
n n ???
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.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
播放
数列的极限,
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问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
对于“无限接近”这种变化趋势，我们今
后给出下面的定义,
通过上面演示实验的观察,
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定义 1 如果 n 无限增大时,数列 ? ?
n
x 的通项
n
x
的值无限接近一个确定的常数 A,则称 A 是
数列 ? ?
n
x 当 n 趋向于无穷大时的极限,或者称
数列
n
x 收敛于 a,记为
,li m ax
n
n
?
??
或 ).( ??? nax
n
注意,如果数列没有极限,就说数列是发散的,
? ? ? ?? ?,1,2,1 就是发散的数列例如 ?? nn
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例 1 ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? nnn
nn
xx
n
x
n
x
12433
1
22
1
1
.,
2
?????
???
并写出收敛数列的极限观察变化趋势
解,
? ?
? ?
2)
1
2(lim:
,
25
49
,
16
31
,
9
17
,
4
7
,1:2
0
1
lim:
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1:1
2
??
?
??
??
n
n
n
n
故有
该数列的各项依次为
故有
该数列的各项依次为
?
?
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)(l i m 为常数CCCn ???
说明,常数列的极限等于同一常数,
? ? 33 ?该数列的各项都是
? ? 33lim,?????n故有
? ? A个确定的所以不能无限地接近一 该数列的各项依次为 ?,1,3,1,3,1:4
? ?,]12[lim,不存在故极限 nn ????
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.s i n,时函数值的变化趋势当观察例 ??? xx xy
播放
二,函数的极限
1,自变量趋向无穷大时函数的极限 ? ???x
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问题, 函数 )( xfy ? 在 ??x 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,
.0s i n)(,的值无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过对上面演示实验的观察可知,
与数列极限相同,我们也可以用类似的数学
语言刻划函数中的“无限接近”,由此给出函数
极限的定义如下,
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定义 2 如果 x 无限增大时,函数 ? ?xf 的值
无限接近于一个确定的常数 A,则称 A 为
函数 ? ?xf 当 ??x 时的极限,记作,
)()()(l i m ????
??
xAxfAxf
x
当或
0lim
:,
?
?? x
S in x
x
为上面例子中函数的极限由此定义可知
.,,0;,,0:
????
????
xxx
xxx
可记为无限增大且如果
可记为无限增大且如果另
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定义 3 如果当 ???x ? ????x 时,函数
? ?xf 的值无限接近于一个确定的常数 A,
则称 A 为函数 ? ?xf 当 ? ??????? xx 时
的极限,记作,
? ?AxfAxf
xx
??
??????
)(lim)(lim
.,时的极限 和当据图形写出反正切函数根例 ??? ???x x
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2
??y
xy a r c t a n?
.
2
a rct a nlim:
,
2
a rct a nlim:
?
??
?
?
???
???
x
x
x
x
同理
由图形可知
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.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
由定义及上例可知：直线 2???y 就是反正
切曲线 xy a r c t a n? 的水平渐进线。
思考题,xy 11 ?? 的水平渐进线是多少？
1
111lim
??
??
?
??
?
? ?
??
y
xx
水平渐进线为
答案 ?
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2,自变量趋向有限值时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,
? ?0xx ?
? ?,1 1,1 2 的变化趋势函数时考察当 ???? xxxfx例,
x
y
o 1
2
由图形可以看到，当 时1?x
的函数值无限接近 2。由 ? ?xf
此我们给出以下定义。
? ?xfy?
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定义 4 如果当
0
xx ? ? ?
0
xx ?不要求 时,
函数 ? ?xf 的值无限接近于一个确定 的常
数 A,则称 A 为函数 ? ?xf 当 0xx ? 时
的极限,记作,
? ? ? ?
0
)(lim
0
xxAxfAxf
xx
???
?
或
注意,
.
)(,
)( 0
量的变化趋势
随自变极限讨论的是函数值无关
是否有定义在点函数的极限与
xf
xxf
由定义得,0
00
lim,lim xxCC xxxx ?? ??
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3.单侧极限,
例如,
.1)(l i m:
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
说明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
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左极限,右极限,
Axfxx ??? )(lim
0
Axfxx ??? )(lim
0
定义 5 如果当
?
?
0
xx ? ?
?
?
0
xx 时,函数
? ?xf 的值无限接近于一个确定的常数 A,
则称 A 为函数 ? ?xf 当
?
?
0
xx ? ?
?
?
0
xx 时
的右 ( 左 ) 极限,记作,
? ?
? ? ? ?? ?AxfAxf
AxfAxf
xxxx
????
?
?
?
?
?
?
??
??
??
00
l i m)(l i m
00
00
或
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.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
.lim
0
不存在验证 xx
x ? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
??
???? 00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例,
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim
0 ?? ??x
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? ?
? ??,21
32,1
21,2
10,
:
的极限是否存在时与讨论当
设例
xfxx
xx
xx
xx
xf
??
??
?
?
?
???
???
??
?
1 2 3O
1
2
x
y 解：如左图可知
1l i m,1l i m 11 ?? ?? ?? xx?
1l i m,0l i m 22 ?? ?? ?? xx而
1lim 1 ?? ?x
.lim 2 不存在?? x
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课堂小结
函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
? ? Axf xAxf 数无限接近一个确定的常 的某种变化趋势下在自变量,)(lim ??
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思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
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思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
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三,无穷小与无穷大
1.定义 6,
如果当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时,函数
)( xf 的 极 限 为 零,则 称 函 数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时的无穷小量,简称无穷
小,记为, ).0)(l i m(0)(l i m
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,
例如,,01lim ??? xx?,1 时的无穷小是当函数 ??? xx
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又如,
,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数,
定理 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
?????
?
其中, )( x? 是当 0xx ? 时的无穷小,
无穷小与函数极限的关系,
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意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷
小 );
).(,)(
)(.2 0
xAxf
xxf
?? 误差为
附近的近似表达式在给出了函数
无穷小的运算性质,
性质 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时如 nn 1,,??,11 不是无穷小之和为个但 nn
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推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小
的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
性质 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
,0,时当例如 ?x
都是无穷小,
性质 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
xxxx
1a rct a n,1s i n 2
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2.无穷大量
绝对值无限增大的变量称为 无穷大, 定义 7,
如果当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时,函数
? ?xf 无 限 增 大,则 称 函 数 )( xf 为当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时的无穷大量,简称无
穷大,记为,
))(lim()(lim
0
????
???
xfxf
xxx
或
例如,,01 时的无穷大是当函数 ?xx
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特殊情形：正无穷大，负无穷大,
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??
?
??
?
xfxf
x
xx
x
xx
或
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 ??? xfxx
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.11lim:
1
???
? xx
如右图例
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
.a r c t a n,的铅直渐近线找一条曲线问题 xy ?
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无穷小与无穷大的关系
定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小
的讨论,
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小结
1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
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复 习 指 导
一、函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
? ? Axf xAxf 数无限接近一个确定的常 的某种变化趋势下在自变量,)(lim ??
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二、思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
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思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
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1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
三、无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
第三、四节 极 限
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本节
重点
与难
点
本节
目的
要求
本节
复习
指导
本节
引入
知识
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第三、四节 极 限
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重点与难点
一、重点,
本节
重点
与难
点
本节
目的
要求
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指导
本节
引入
知识 1．充分理解极限概念中的变化趋势、无限接近
的数学思想；
2．简单的极限运算；
3．用极限存在的充要条件判断分段函数在其分
界点的极限是否存在；
4．利用无穷小的性质 3求极限；
5,函数水平渐进线和垂直渐进线的求法。
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第 72 页
第三、四节 极 限
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二、难点,
重点与难点
本节
重点
与难
点
本节
目的
要求
本节
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指导
本节
引入
知识 1,函数左右极限的定义；
2,判断分段函数在其分界点的极限是否存在；
3,对无穷大和无穷小概念的理解；
4,极限概念中的变化趋势、无限接近的数学
思想。
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第 73 页
第三、四节 极 限
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学习目的与要求
1,理解数列的极限的定义
2,理解函数的极限的定义
3,理解函数左右极限的定义
4,理解函数极限存在的充要条件
5,理解无穷小的定义及无穷小的性质 3
6,了解无穷大的定义
7,了解无穷大与无穷小的关系
8,了解函数水平渐进线和垂直渐进线的求法
本节
重点
与难
点
本节
目的
要求
本节
复习
指导
本节
引入
知识
第 1 页
第三、四节 极 限
二,函数的极限
三,无穷小与无穷大
一,数列的极限
第一章 函数、极限与连续
本节知识
的引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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第 2 页
“割之弥细，所
失弥少，割之又
割，以至于不可
割，则与圆周合
体而无所失矣”
1、割圆术,
播放 ——刘徽
概念的引入
第三、四节 极 限
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与难
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第 3 页
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
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2、截丈问题,
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
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一,数列的极限
定义, 按自然数 ?,3,2,1 编号依次排列的一列数
??,,,,
21 n
xxx ( 1)
称为 无穷数列,简称 数列, 其中的每个数称为数
列的 项,nx 称为 通项 ( 一般项 ), 数列 ( 1) 记为 }{ nx,
例如 ;,2,,8,4,2 ?? n;,21,,81,41,21 ?? n
}2{
}21{ n
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注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一
动点在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列又称整标函数 ).( nfx n ?;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ??? })1({
1
n
n n ???
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.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
播放
数列的极限,
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第 8 页
问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
对于“无限接近”这种变化趋势，我们今
后给出下面的定义,
通过上面演示实验的观察,
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定义 1 如果 n 无限增大时,数列 ? ?
n
x 的通项
n
x
的值无限接近一个确定的常数 A,则称 A 是
数列 ? ?
n
x 当 n 趋向于无穷大时的极限,或者称
数列
n
x 收敛于 a,记为
,li m ax
n
n
?
??
或 ).( ??? nax
n
注意,如果数列没有极限,就说数列是发散的,
? ? ? ?? ?,1,2,1 就是发散的数列例如 ?? nn
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例 1 ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? nnn
nn
xx
n
x
n
x
12433
1
22
1
1
.,
2
?????
???
并写出收敛数列的极限观察变化趋势
解,
? ?
? ?
2)
1
2(lim:
,
25
49
,
16
31
,
9
17
,
4
7
,1:2
0
1
lim:
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1:1
2
??
?
??
??
n
n
n
n
故有
该数列的各项依次为
故有
该数列的各项依次为
?
?
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)(l i m 为常数CCCn ???
说明,常数列的极限等于同一常数,
? ? 33 ?该数列的各项都是
? ? 33lim,?????n故有
? ? A个确定的所以不能无限地接近一 该数列的各项依次为 ?,1,3,1,3,1:4
? ?,]12[lim,不存在故极限 nn ????
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.s i n,时函数值的变化趋势当观察例 ??? xx xy
播放
二,函数的极限
1,自变量趋向无穷大时函数的极限 ? ???x
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问题, 函数 )( xfy ? 在 ??x 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,
.0s i n)(,的值无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过对上面演示实验的观察可知,
与数列极限相同,我们也可以用类似的数学
语言刻划函数中的“无限接近”,由此给出函数
极限的定义如下,
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定义 2 如果 x 无限增大时,函数 ? ?xf 的值
无限接近于一个确定的常数 A,则称 A 为
函数 ? ?xf 当 ??x 时的极限,记作,
)()()(l i m ????
??
xAxfAxf
x
当或
0lim
:,
?
?? x
S in x
x
为上面例子中函数的极限由此定义可知
.,,0;,,0:
????
????
xxx
xxx
可记为无限增大且如果
可记为无限增大且如果另
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定义 3 如果当 ???x ? ????x 时,函数
? ?xf 的值无限接近于一个确定的常数 A,
则称 A 为函数 ? ?xf 当 ? ??????? xx 时
的极限,记作,
? ?AxfAxf
xx
??
??????
)(lim)(lim
.,时的极限 和当据图形写出反正切函数根例 ??? ???x x
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2
??y
xy a r c t a n?
.
2
a rct a nlim:
,
2
a rct a nlim:
?
??
?
?
???
???
x
x
x
x
同理
由图形可知
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.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
由定义及上例可知：直线 2???y 就是反正
切曲线 xy a r c t a n? 的水平渐进线。
思考题,xy 11 ?? 的水平渐进线是多少？
1
111lim
??
??
?
??
?
? ?
??
y
xx
水平渐进线为
答案 ?
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2,自变量趋向有限值时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,
? ?0xx ?
? ?,1 1,1 2 的变化趋势函数时考察当 ???? xxxfx例,
x
y
o 1
2
由图形可以看到，当 时1?x
的函数值无限接近 2。由 ? ?xf
此我们给出以下定义。
? ?xfy?
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定义 4 如果当
0
xx ? ? ?
0
xx ?不要求 时,
函数 ? ?xf 的值无限接近于一个确定 的常
数 A,则称 A 为函数 ? ?xf 当 0xx ? 时
的极限,记作,
? ? ? ?
0
)(lim
0
xxAxfAxf
xx
???
?
或
注意,
.
)(,
)( 0
量的变化趋势
随自变极限讨论的是函数值无关
是否有定义在点函数的极限与
xf
xxf
由定义得,0
00
lim,lim xxCC xxxx ?? ??
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3.单侧极限,
例如,
.1)(l i m:
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
说明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
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左极限,右极限,
Axfxx ??? )(lim
0
Axfxx ??? )(lim
0
定义 5 如果当
?
?
0
xx ? ?
?
?
0
xx 时,函数
? ?xf 的值无限接近于一个确定的常数 A,
则称 A 为函数 ? ?xf 当
?
?
0
xx ? ?
?
?
0
xx 时
的右 ( 左 ) 极限,记作,
? ?
? ? ? ?? ?AxfAxf
AxfAxf
xxxx
????
?
?
?
?
?
?
??
??
??
00
l i m)(l i m
00
00
或
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.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
.lim
0
不存在验证 xx
x ? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
??
???? 00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例,
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim
0 ?? ??x
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? ?
? ??,21
32,1
21,2
10,
:
的极限是否存在时与讨论当
设例
xfxx
xx
xx
xx
xf
??
??
?
?
?
???
???
??
?
1 2 3O
1
2
x
y 解：如左图可知
1l i m,1l i m 11 ?? ?? ?? xx?
1l i m,0l i m 22 ?? ?? ?? xx而
1lim 1 ?? ?x
.lim 2 不存在?? x
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第 46 页
课堂小结
函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
? ? Axf xAxf 数无限接近一个确定的常 的某种变化趋势下在自变量,)(lim ??
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第 47 页
思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
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第 48 页
思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
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第 58 页
三,无穷小与无穷大
1.定义 6,
如果当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时,函数
)( xf 的 极 限 为 零,则 称 函 数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时的无穷小量,简称无穷
小,记为, ).0)(l i m(0)(l i m
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,
例如,,01lim ??? xx?,1 时的无穷小是当函数 ??? xx
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第 59 页
又如,
,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数,
定理 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
?????
?
其中, )( x? 是当 0xx ? 时的无穷小,
无穷小与函数极限的关系,
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意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷
小 );
).(,)(
)(.2 0
xAxf
xxf
?? 误差为
附近的近似表达式在给出了函数
无穷小的运算性质,
性质 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时如 nn 1,,??,11 不是无穷小之和为个但 nn
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推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小
的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
性质 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
,0,时当例如 ?x
都是无穷小,
性质 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
xxxx
1a rct a n,1s i n 2
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2.无穷大量
绝对值无限增大的变量称为 无穷大, 定义 7,
如果当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时,函数
? ?xf 无 限 增 大,则 称 函 数 )( xf 为当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时的无穷大量,简称无
穷大,记为,
))(lim()(lim
0
????
???
xfxf
xxx
或
例如,,01 时的无穷大是当函数 ?xx
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特殊情形：正无穷大，负无穷大,
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??
?
??
?
xfxf
x
xx
x
xx
或
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 ??? xfxx
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第 64 页
.11lim:
1
???
? xx
如右图例
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
.a r c t a n,的铅直渐近线找一条曲线问题 xy ?
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无穷小与无穷大的关系
定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小
的讨论,
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第 66 页
小结
1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
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复 习 指 导
一、函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
? ? Axf xAxf 数无限接近一个确定的常 的某种变化趋势下在自变量,)(lim ??
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二、思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
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思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
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1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
三、无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
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重点与难点
一、重点,
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知识 1．充分理解极限概念中的变化趋势、无限接近
的数学思想；
2．简单的极限运算；
3．用极限存在的充要条件判断分段函数在其分
界点的极限是否存在；
4．利用无穷小的性质 3求极限；
5,函数水平渐进线和垂直渐进线的求法。
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二、难点,
重点与难点
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知识 1,函数左右极限的定义；
2,判断分段函数在其分界点的极限是否存在；
3,对无穷大和无穷小概念的理解；
4,极限概念中的变化趋势、无限接近的数学
思想。
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学习目的与要求
1,理解数列的极限的定义
2,理解函数的极限的定义
3,理解函数左右极限的定义
4,理解函数极限存在的充要条件
5,理解无穷小的定义及无穷小的性质 3
6,了解无穷大的定义
7,了解无穷大与无穷小的关系
8,了解函数水平渐进线和垂直渐进线的求法
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