第九节
二阶常糸数线性微分方程
一、定义
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?
n阶常系数线性微分方程的标准形式
0?????? qyypy
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy ??????
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
,rxey ?设 将其代入上方程,得
0)( 2 ??? rxeqprr,0?rxe?
故有 02 ??? qprr 特征方程
,2 4
2
2,1
qppr ????特征根
0?????? qyypy
? 有两个不相等的实根
,2 4
2
1
qppr ????,
2
42
2
qppr ????
,11 xrey ?,22 xrey ?
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy ??
)0( ??
特征根为
? 有两个相等的实根
,11 xrey ?,221 prr ???
)0( ??
一特解为
得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy ??
代入原方程并化简，，，将 222 yyy ???
,0)()2( 1211 ????????? uqprrupru
,0???u知,)( xxu ?取,12 xrxey ?则
,)( 12 xrexuy ?设另一特解为
特征根为
? 有一对共轭复根
,1 ?? jr ??,2 ?? jr ??
,)(1 xjey ?? ??,)(2 xjey ?? ??
)0( ??
重新组合 )(2
1
211 yyy ??,c o s xe x ???
)(21 212 yyjy ??,s i n xe x ???
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x ???? ?
特征根为
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根
确定其通解的方法称为 特征方程法,
.044 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0442 ??? rr
解得,221 ??? rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy ???
例 1
.052 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0522 ??? rr
解得,2121 jr ???，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x ?? ?
例 2
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
????
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个
根都对应着通解中的一项,且每一项各一个
任意常数,
nn yCyCyCy ???? ?2211
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr ???????
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x ????? ?
解,0122 2345 ?????? rrrrr特征方程为
,0)1)(1( 22 ??? rr
.022 )3()4()5( 的通解
求方程
????????? yyyyyy例 3
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
(见下表 )
02 ??? qprr 0?????? qyypy
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
exCCy
2
)(
21
??
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
??
?
??
一,求下列微分方程的通解,
1, 04 ????? yy ； 2, 025204 2
2
??? x
dt
dx
dt
xd；
3, 0136 ?????? yyy ； 4, 0365)4( ????? yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0,2,044
00
?????????
?? xx
yyyyy ；
2, 3,0,0134
00
?????????
?? xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1 ?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍
向下压后突然放开,浮筒 在水中上 下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练 习 题
三。作一个常糸数齐次线性微分方程，使 1,都是
该方程的解。 xxx eee ?3,2,
解,也是该方程的解那末是所求方程的解和如果 xxx eeeyy ??? 3,2,,1
,1,0,,1,???? rreyy x 的根为微分方程对应特征方程时当又知
0,0)1( ??????? yyrr 可知所求微分方程为因此由
,00,,?? xtD 时在平衡位置直径为四设水的密度为 ?
x轴向下为正。则按题意浮筒的运动是无阻尼自由振动，
其运动方程为,
2
22
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
16
,
4
4
,),)
2
((
,
4
,)
2
(
?
??????
?
?
??
??
TDg
m
Tm
Dg
T
xx
m
Dg
dt
xd
x
D
g
dt
xd
m
???
??????
由此可得
公斤浮筒的质量是公斤 1 9 5),(1 9 514.316 2)5.0(8.91 0 0 0
22
??? ????
二阶常糸数齐次线性微分方程的求解是本章的重
点之一，另两个重点是可分离变量方程和一阶线
性微分方程的求解
二阶常糸数线性微分方程
一、定义
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?
n阶常系数线性微分方程的标准形式
0?????? qyypy
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy ??????
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
,rxey ?设 将其代入上方程,得
0)( 2 ??? rxeqprr,0?rxe?
故有 02 ??? qprr 特征方程
,2 4
2
2,1
qppr ????特征根
0?????? qyypy
? 有两个不相等的实根
,2 4
2
1
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2
42
2
qppr ????
,11 xrey ?,22 xrey ?
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy ??
)0( ??
特征根为
? 有两个相等的实根
,11 xrey ?,221 prr ???
)0( ??
一特解为
得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy ??
代入原方程并化简，，，将 222 yyy ???
,0)()2( 1211 ????????? uqprrupru
,0???u知,)( xxu ?取,12 xrxey ?则
,)( 12 xrexuy ?设另一特解为
特征根为
? 有一对共轭复根
,1 ?? jr ??,2 ?? jr ??
,)(1 xjey ?? ??,)(2 xjey ?? ??
)0( ??
重新组合 )(2
1
211 yyy ??,c o s xe x ???
)(21 212 yyjy ??,s i n xe x ???
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x ???? ?
特征根为
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根
确定其通解的方法称为 特征方程法,
.044 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0442 ??? rr
解得,221 ??? rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy ???
例 1
.052 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0522 ??? rr
解得,2121 jr ???，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x ?? ?
例 2
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
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]s in)(
c o s)[(
1
110
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?
?
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个
根都对应着通解中的一项,且每一项各一个
任意常数,
nn yCyCyCy ???? ?2211
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr ???????
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x ????? ?
解,0122 2345 ?????? rrrrr特征方程为
,0)1)(1( 22 ??? rr
.022 )3()4()5( 的通解
求方程
????????? yyyyyy例 3
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
(见下表 )
02 ??? qprr 0?????? qyypy
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
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eCeCy
21
21
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2
)(
21
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)s i nc o s(
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x
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一,求下列微分方程的通解,
1, 04 ????? yy ； 2, 025204 2
2
??? x
dt
dx
dt
xd；
3, 0136 ?????? yyy ； 4, 0365)4( ????? yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0,2,044
00
?????????
?? xx
yyyyy ；
2, 3,0,0134
00
?????????
?? xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1 ?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍
向下压后突然放开,浮筒 在水中上 下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练 习 题
三。作一个常糸数齐次线性微分方程，使 1,都是
该方程的解。 xxx eee ?3,2,
解,也是该方程的解那末是所求方程的解和如果 xxx eeeyy ??? 3,2,,1
,1,0,,1,???? rreyy x 的根为微分方程对应特征方程时当又知
0,0)1( ??????? yyrr 可知所求微分方程为因此由
,00,,?? xtD 时在平衡位置直径为四设水的密度为 ?
x轴向下为正。则按题意浮筒的运动是无阻尼自由振动，
其运动方程为,
2
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由此可得
公斤浮筒的质量是公斤 1 9 5),(1 9 514.316 2)5.0(8.91 0 0 0
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??? ????
二阶常糸数齐次线性微分方程的求解是本章的重
点之一，另两个重点是可分离变量方程和一阶线
性微分方程的求解
