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第 1 页
二,两个重要极限
三,无穷小的比较
一,极限的运算法则
第一章 函数，极限与连续
本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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第五、六、七节 极限的运算法则 ……
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第 2 页
一,极限的四则运算法则
定理
ABxgxf
BAxgxf
BxgAxf
??
???
??
)]()(l i m [)2(
)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim 则设
.0,)( )(lim)3( ?? BBAxg xf 其中
cAxfcxcf ?? )(lim)](l i m [
nnn Axfxf ?? )]([ l i m)](l i m [
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求极限方法举例
例 1,53 1l i m 2
3
2 ??
?
? xx
x
x
求
解 )53(l i m 22 ??? xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 ??? ??? xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 ??? ??? xxx xx
5232 2 ????,0??
53
1l i m
2
3
2 ??
??
? xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
??
?
?
?
??
xx
x
x
xx
.37?3 12
3 ?
?
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小结, 则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf ???? ? ?
nnxxnxxxx axaxaxf ???? ???? ?110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa ???? ? ?10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 ?? xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若 ?xQ目录 后退 主页 退
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解 )4(l i m 2
2 ?? xx?
商的法则不能用
?? xx 5lim 2?又
01005 4lim
2
2
????
? x
x
x
由无穷小与无穷大的关系,得
??
? 4
5lim
22 x
x
x
4
5lim:2
22 ?? x
x
x
求例
0?
010?
?
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解,.,,2 分母的极限都是零分子时?x
.2 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
)2)(2(
)2)(3(lim
4
65lim
22
2
2 ??
???
?
???
?? xx
xx
x
xx
xx
2
3l im
1 ?
??
? x
x
x,4
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
4
65lim:3
2
2
2 ?
???
? x
xx
x
求例
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解,分母的极限都是无穷大分子时,,??x )( 型?
?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
32
3
3
23
34
8
15
3
lim
348
153
lim
xx
xx
xx
xx
xx
??
??
?
??
??
????,
8
3?
(无穷小因子分出法 )
348
153lim:4
3
23
2 ??
??
? xx
xx
x
求例
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小结,有为非负整数时和当,,0,0 00 nmba ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
nm
nm
nm
b
a
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
当
当
当
?
?
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限。
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例 5 ).21(lim 222 nnnn
n
???
??
?求
解 是无穷小之和．时,??n
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
???????
????
??
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
?
?
?? )
11(
2
1l i m
nn ?? ??,2
1?
先变形再求极限,
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例 6,s i nlim x x
x ??
求
解,1,为无穷小时当 xx ??
.s i n 是有界函数而 x
.0s i nl i m ??
?? x
x
x
xxy sin?
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例 7 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x ???
?
??
??? 求设
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ??,1?
)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 ?? xfx故目录 后退 主页
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课堂小结
1.极限的四则运算法则及其推论 ;
2.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
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A
C
二,两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
)20(,,????? xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
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,ta ns i n xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx
,1c o sl i m0 ?? ? xx,11l i m0 ??x?又,1
s i nlim
0 ?? ? x
x
x
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x
x
x
t a nl i m8
0?
求例
?????? ?? ?? C o s xxSi n xx x xx 1limt a nlim 00解
C o s xx
S in x
xx
1l i ml i m
00 ??
?? 111 ???
x
xS in
x
3l i m9
0?
求例
x
xS i n
x
xS i n
xx 3
33lim3lim
00
??
??
解
t
S
t
S
tt
i n tl i m3i n t3l i m
00 ??
??? 313 ???
0
3
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
t
tx令
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例 10,co s1lim 2
0 x
x
x
?
?
求
解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x ?
?原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x ?
?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x ?
?
21
2
1 ??,
2
1?
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,1x??令
?
????
????
1
0
)1(lim)11(lim x
x x.e?
e??? ?
??
1
0
)1(l i m
(2) ex
x
x
??
??
)11(l i m )71828.2( ??e
(参见教材 P21表 1-2)
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例 11 x
x x
)21(l i m ?
??
求
解
2
2)
2
11(lim)21(lim
?
?
?
?
?
?
???
????
x
x
x
x xx
所以有时则当令,,,2 ????? txxt
2
)11(lim)21(lim ?
?
?
??
? ???
????
t
t
x
x tx
2e?
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例 12 32)11(lim ??? ? xx x求
解
32 1
1lim11lim ?
?
??
?
? ???
?
?
?
?
?
?????? ?? ? ? ? ? ? ??? ??
?
?? tt
xt
t
t
t
令
32 )11(lim])11[(lim
xx x
x
x
?????
??
??
??
原式
232 1 ?? ??? ee
例 13 x
x x
x 2)
2
3(l i m
?
?
??求
解 422 )211(])211[(lim ??
?? ?
???? xx x
x
原式 2e?
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课堂小结
两个重要极限;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程
.)11(lim2 0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
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三,无穷小的比较
例如,
x
x
x 2
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
.s i n,,2,,0 2 都是无穷小时当 xxxxx ?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不
同,
趋于零的速度要快得多比 xx 22
趋于零的速度大致相同与 xxs in
,0?
,1?
观
察
各
极
限
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);(
,,0lim)1(
???
???
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? CC;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(l i m)3(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCC
k
??
?
?
???
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例 1
解
.t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx ?
4
3
0
t a n4lim
x
xx
x ?
3
0
)t a n(l im4 x x
x ?
?,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx ?
例 2,s int a n,0 的阶数关于求时当 xxxx ??
解 3
0
s i nt a nlim
x
xx
x
?
?
? )c o s1t a n(li m 2
0 x
x
x
x
x
???
?,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx ??目录 后退
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常用等价无穷小,,0时当 ?x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
例如,),(s i n xoxx ?? ).(211co s 22 xoxx ???
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
???
定理 (等价无穷小替换定理 ),limlim,lim~,~
?
?
?
?
?
?????
?
??
?
??? 则存在且设
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例 3,co s1 2ta nlim
2
0 x
x
x ??
求
解,2~2ta n,21~co s1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
?原式
.8?
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
注意
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例 4,2s i n s i nta nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
??
?
原式,0?
解,0时当 ?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx ???,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x ?
?原式,
16
1?
错
?
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例 5,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(5t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
?
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
?
???
?
?,
3
5?
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课堂小结
1.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度
快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
2.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
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退
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重点
难点
目的
要求
复习
指导
预备
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复 习 指 导
1.极限的四则运算法则及其推论 ;
2.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
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要求
复习
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3、两个重要极限;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程
.)11(lim2 0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
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难点
目的
要求
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4.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度
快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
5.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
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难点
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重点与难点
? 1,运用因式分解, 通分, 分母有理化等方法
进行简单的不定式极限的计算；
? 2,用两个重要极限公式进行简单的计算；
? 3,利用两个重要极限公式进行较复杂的计算；
? 4,利用代换进行较复杂的不定式极限的计算；
? 5,记住几种常用的等价无穷小, 并将其用于
极限的计算 。
一、重点,
重点
难点
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二、难点,
重点与难点
重点
难点
目的
要求
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1．不定式极限的计算中如何消去不定因子；
2．能利用两个重要极限公式计算极限类型；
3．利用两个重要极限公式进行较复杂的计算；
4．利用代换进行较复杂的不定式极限的计算；
5．能进行复杂的极限计算。
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学习目的与要求
1,掌握极限的四则运算法则；
2,能运用因式分解、通分、分母有理化等方法进行简
单的 和 型不定式极限的计算；
3,能利用两个重要极限公式进行简单的计算；
4,能利用代换进行较复杂的 0-0,∞-∞等不定式极限
的计算；
5,能利用两个重要极限公式进行较复杂的计算；
6,正确进行无穷小的比较；
7,能进行复杂的极限计算；
8,记住几种常用的等价无穷小，并将其用于极限的计
算。
重点
难点
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二,两个重要极限
三,无穷小的比较
一,极限的运算法则
第一章 函数，极限与连续
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一,极限的四则运算法则
定理
ABxgxf
BAxgxf
BxgAxf
??
???
??
)]()(l i m [)2(
)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim 则设
.0,)( )(lim)3( ?? BBAxg xf 其中
cAxfcxcf ?? )(lim)](l i m [
nnn Axfxf ?? )]([ l i m)](l i m [
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求极限方法举例
例 1,53 1l i m 2
3
2 ??
?
? xx
x
x
求
解 )53(l i m 22 ??? xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 ??? ??? xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 ??? ??? xxx xx
5232 2 ????,0??
53
1l i m
2
3
2 ??
??
? xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
??
?
?
?
??
xx
x
x
xx
.37?3 12
3 ?
?
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小结, 则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf ???? ? ?
nnxxnxxxx axaxaxf ???? ???? ?110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa ???? ? ?10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 ?? xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若 ?xQ目录 后退 主页 退
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解 )4(l i m 2
2 ?? xx?
商的法则不能用
?? xx 5lim 2?又
01005 4lim
2
2
????
? x
x
x
由无穷小与无穷大的关系,得
??
? 4
5lim
22 x
x
x
4
5lim:2
22 ?? x
x
x
求例
0?
010?
?
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解,.,,2 分母的极限都是零分子时?x
.2 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
)2)(2(
)2)(3(lim
4
65lim
22
2
2 ??
???
?
???
?? xx
xx
x
xx
xx
2
3l im
1 ?
??
? x
x
x,4
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
4
65lim:3
2
2
2 ?
???
? x
xx
x
求例
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解,分母的极限都是无穷大分子时,,??x )( 型?
?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
32
3
3
23
34
8
15
3
lim
348
153
lim
xx
xx
xx
xx
xx
??
??
?
??
??
????,
8
3?
(无穷小因子分出法 )
348
153lim:4
3
23
2 ??
??
? xx
xx
x
求例
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小结,有为非负整数时和当,,0,0 00 nmba ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
nm
nm
nm
b
a
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
当
当
当
?
?
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限。
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例 5 ).21(lim 222 nnnn
n
???
??
?求
解 是无穷小之和．时,??n
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
???????
????
??
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
?
?
?? )
11(
2
1l i m
nn ?? ??,2
1?
先变形再求极限,
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例 6,s i nlim x x
x ??
求
解,1,为无穷小时当 xx ??
.s i n 是有界函数而 x
.0s i nl i m ??
?? x
x
x
xxy sin?
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例 7 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x ???
?
??
??? 求设
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ??,1?
)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 ?? xfx故目录 后退 主页
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课堂小结
1.极限的四则运算法则及其推论 ;
2.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
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A
C
二,两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
)20(,,????? xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
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,ta ns i n xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx
,1c o sl i m0 ?? ? xx,11l i m0 ??x?又,1
s i nlim
0 ?? ? x
x
x
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x
x
x
t a nl i m8
0?
求例
?????? ?? ?? C o s xxSi n xx x xx 1limt a nlim 00解
C o s xx
S in x
xx
1l i ml i m
00 ??
?? 111 ???
x
xS in
x
3l i m9
0?
求例
x
xS i n
x
xS i n
xx 3
33lim3lim
00
??
??
解
t
S
t
S
tt
i n tl i m3i n t3l i m
00 ??
??? 313 ???
0
3
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
t
tx令
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例 10,co s1lim 2
0 x
x
x
?
?
求
解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x ?
?原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x ?
?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x ?
?
21
2
1 ??,
2
1?
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,1x??令
?
????
????
1
0
)1(lim)11(lim x
x x.e?
e??? ?
??
1
0
)1(l i m
(2) ex
x
x
??
??
)11(l i m )71828.2( ??e
(参见教材 P21表 1-2)
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例 11 x
x x
)21(l i m ?
??
求
解
2
2)
2
11(lim)21(lim
?
?
?
?
?
?
???
????
x
x
x
x xx
所以有时则当令,,,2 ????? txxt
2
)11(lim)21(lim ?
?
?
??
? ???
????
t
t
x
x tx
2e?
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例 12 32)11(lim ??? ? xx x求
解
32 1
1lim11lim ?
?
??
?
? ???
?
?
?
?
?
?????? ?? ? ? ? ? ? ??? ??
?
?? tt
xt
t
t
t
令
32 )11(lim])11[(lim
xx x
x
x
?????
??
??
??
原式
232 1 ?? ??? ee
例 13 x
x x
x 2)
2
3(l i m
?
?
??求
解 422 )211(])211[(lim ??
?? ?
???? xx x
x
原式 2e?
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课堂小结
两个重要极限;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程
.)11(lim2 0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
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三,无穷小的比较
例如,
x
x
x 2
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
.s i n,,2,,0 2 都是无穷小时当 xxxxx ?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不
同,
趋于零的速度要快得多比 xx 22
趋于零的速度大致相同与 xxs in
,0?
,1?
观
察
各
极
限
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);(
,,0lim)1(
???
???
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? CC;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(l i m)3(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCC
k
??
?
?
???
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例 1
解
.t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx ?
4
3
0
t a n4lim
x
xx
x ?
3
0
)t a n(l im4 x x
x ?
?,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx ?
例 2,s int a n,0 的阶数关于求时当 xxxx ??
解 3
0
s i nt a nlim
x
xx
x
?
?
? )c o s1t a n(li m 2
0 x
x
x
x
x
???
?,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx ??目录 后退
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常用等价无穷小,,0时当 ?x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
例如,),(s i n xoxx ?? ).(211co s 22 xoxx ???
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
???
定理 (等价无穷小替换定理 ),limlim,lim~,~
?
?
?
?
?
?????
?
??
?
??? 则存在且设
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例 3,co s1 2ta nlim
2
0 x
x
x ??
求
解,2~2ta n,21~co s1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
?原式
.8?
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
注意
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例 4,2s i n s i nta nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
??
?
原式,0?
解,0时当 ?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx ???,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x ?
?原式,
16
1?
错
?
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例 5,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(5t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
?
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
?
???
?
?,
3
5?
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课堂小结
1.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度
快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
2.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
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复 习 指 导
1.极限的四则运算法则及其推论 ;
2.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
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3、两个重要极限;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程
.)11(lim2 0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
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4.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度
快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
5.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
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难点
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重点与难点
? 1,运用因式分解, 通分, 分母有理化等方法
进行简单的不定式极限的计算；
? 2,用两个重要极限公式进行简单的计算；
? 3,利用两个重要极限公式进行较复杂的计算；
? 4,利用代换进行较复杂的不定式极限的计算；
? 5,记住几种常用的等价无穷小, 并将其用于
极限的计算 。
一、重点,
重点
难点
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二、难点,
重点与难点
重点
难点
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要求
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指导
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1．不定式极限的计算中如何消去不定因子；
2．能利用两个重要极限公式计算极限类型；
3．利用两个重要极限公式进行较复杂的计算；
4．利用代换进行较复杂的不定式极限的计算；
5．能进行复杂的极限计算。
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学习目的与要求
1,掌握极限的四则运算法则；
2,能运用因式分解、通分、分母有理化等方法进行简
单的 和 型不定式极限的计算；
3,能利用两个重要极限公式进行简单的计算；
4,能利用代换进行较复杂的 0-0,∞-∞等不定式极限
的计算；
5,能利用两个重要极限公式进行较复杂的计算；
6,正确进行无穷小的比较；
7,能进行复杂的极限计算；
8,记住几种常用的等价无穷小，并将其用于极限的计
算。
重点
难点
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