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第一节 中值定理、洛必达法则
第三章 导数的应用
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拉格朗日 (Lagrange)中值定理
拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在
闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
)1(
)2(
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
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a b? 2? xo
y
)(xfy ?
A
BM
几何解释,
.
,
AB
M
AB
弦
点处的切线平行于
在该少有一点
上至在曲线弧
).(
)()()(
ab
afbff
?
??? ?即
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)()( afbf ?
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推论 1,
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
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推论 2, 如果函数 和 在（ a,b）内
可导，且,则 和 相差
一个常数，即
)(xf )(xg
)(xf )(xg))( '' xgxf ?
cxgxf ?? )()(
其中 C为任意常数
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例 1,验证函数 xxxf 3)( 3 ?? 在区间 [0,2]上
是否满足拉格朗日定理的条件。
如果满足，求出使定理成立的 ξ的值。
解,因为 xxxf ?? 3)( 在区间 [0,2]上连续,
且在区间（ 0,2）内可导,故满足定理条件
于是有以下等式,
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)(02 )0()2( ' ?fff ???
又 0)0(,2)2(,33)( 2' ???? ffxxf
代入上式得 133 2 ???
3
2??
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例 2 ).11(2a rc co sa rc s in ?????? xxx证明
证 ]1,1[,a r c c o sa r c s i n)( ???? xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf ???????,0?
]1,1[,)( ???? xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0( ??f?又 20 ???,2??
.2??C即
.2a rc co sa rc s in ???? xx目录 后退 主页 退
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9
洛必达法则
一,未定式及其解法
二,其它未定式
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洛必达法则型未定式解法型及一,:00 ??
定义
.
0
0
)(
)(
lim
,)()(
,)(
)(
型未定式或称为极限
那末大都趋于零或都趋于无穷与
两个函数时或如果当
?
?
???
??
? xF
xf
xFxf
xax
x
ax
例如,,ta nlim 0 x xx ?,s i nln s i nlnlim 0 bxaxx ?)0
0( )(
?
?
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11
.)( )(lim)( )(lim);()( )(lim)3(
000 xg
xf
xg
xf
xg
xf
xxxxxx ?
??
?
?
???
则或为无穷大存在
定理 (洛必达法则 )
.,,,该法则仍然成立时以及时当 ????? xaxx
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.0)()()()()2( 00 ?? xgxxxgxf 可导，且可除外点的附近在点和
.0)(lim0)(lim)1(
00
?? ?? xgxf xxxx,若
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12
例 1
解
.t a nlim
0 x
x
x ?
求
)(
)( t a nli m
0 ?
??
? x
x
x
原式 1s e cl im
2
0
x
x
?,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式 26 6l i m
1 ?
?
? x
x
x,2
3?
)00(
)00(
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例 3
.
1
a rc t a n
2lim
x
x
x
?
???
?
求
解
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
)00(
例 4
x
e x
x
1lim
0
?
?
解,由洛必达法则得 xe
x
x
1lim
0
?
? '
'
0
)1(lim00
x
e x
x
??
?
11lim
0
??
?
x
x
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例 6
解
.s i nln s i nlnl i m
0 bx
ax
x ?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0 ?
??
?
原式,1?
)(??
ax
bx
x c os
c osi m
0?
?
例 5 3lnlim x x
x ???
解,由洛必达法则得 3lnlim x xx ??? '3
'
)(
)( lnlim
x
x
x ???
?
?
?
23
1
lim
x
x
x ???
? 0
3
1lim
3 ?? ??? xx
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例 7
解
.3t a nt a nl i m
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
??
?原式
x
x
x
2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
??
?
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s i n
6s i nlim
2
??
?
x
x
x 2co s2
6co s6l i m
2
??
?,3?
)(??
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 8
解
.t a nt a nl i m 2
0 xx
xx
x
?
?
求
30
t a nl i m
x
xx
x
??
?
原式
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0?
?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
?
x
x
x
t a nlim
3
1
0?
?,31?
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型未定式解法二,00,1,0,,0 ?????? ?
例 9
解
.lim 2 xx ex ????求 )0( ??
x
e x
x 2
lim
???
?原式 2li m
x
x
e
??
? 2li m
x
x
e
???
?,???
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型, ),00( )(??
型??0.1
步骤,,
10 ??
????,0
100 ????或
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18
例 10
解
).1s i n1(l i m
0 xxx
?
?
求 )( ???
0
1
0
1 ?????,
00
00
?
??
xx
xx
x s i n
s i nlim
0 ?
??
?
原式
xxx
x
x co ss i n
co s1lim
0 ?
??
?,0?
型???.2
步骤,
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19
步骤,
型00,1,0.3 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0 ???
例 11
解
.lim0 xx x??求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m ???原式
xxxe lnlim0 ???
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
???
? 0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
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20
例 12
解
.lim 1
1
1
x
x
x ?
?
求 )1( ?
xx
x
e ln1
1
1
li m ?
?
?原式 xxxe ??? 1lnlim1
1
lim
1???
x
xe,1??e
例 13
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex ??取对数得
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
??
?
??
xx
x
x s i nco s
lim
0 ?
??
??,1??,1??? e原式
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21
例 14
解
.co sl i m x xx
x
?
??
求
1
s i n1l i m x
x
??
??
原式 ).s in1(lim xx ?? ??
极限不存在
洛必达法则失效。
)co s11(l i m xx
x
??
??
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件,
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22
三、小结
洛必达法则 型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型?? gfgf 1?? fg fggf 11 11 ????
取对数
令 gfy ?
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与要
求
本节
重点
与难
点
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本节的学习目的与要求
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本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
0
0
?
??
第一节 中值定理、洛必达法则
1．了解拉格朗日中值定理 ；
2,解拉格朗日中值定理的推论。
3,掌握当 x x0时,和 型的极限求
法；
4,理解其它类型的未定式极限求法。
24
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本节的重点与难点
?重点
?难点
拉格朗日中值定理的意义 。
当 x x0时,和 型的极限求法 00
?
??
当 x x0时，其它未定式的极限求法 ?
本节
知识
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求
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