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II.第二类换元法
I.第一类换元法
第二节 换元积分法
第四章 不定积分
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本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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I,第一类换元积分法
一、预备知识
1.复合函数的求导法则
dx
du
du
udf
dx
udf ?? )()(
2.微分的形式不变性
duufudf )()( ??
第二节 换元积分法
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问题 ? x d x2c o s,2s i n Cx ??
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx ??
? x d x2c o s dtt?? co s21 Ct ?? s i n21,2s i n21 Cx ??
二、第一类换元积分法
第二节 换元积分法
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在一般情况下,
设 ),()( ufuF ?? 则,)()(? ?? CuFduuf
如果 )( xu ?? （可微）
)()]([)()]([ xdxfdxxxf ???? ???
? ??? ??? duuFdxxxf )(')()]([
由此可得换元法定理
duuFduuf )(')( ??
cxfCuF ????? )]([)(
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? ? ?? dxxxf )()]([
上述求积分的方法称为第一类换元积分
法 （ 凑微分法 ） 。
)( xu ?? 具有连续
定理 1 设 )()( ufuF 为的一个原函数，即
? ?? CuFduuf )()(
导数，则有
CuF ?? )(
? ??? )()]([ xdxf
?? duuf )(
ux ?? )( 回代
CxF ??? )]([
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例 1 求,2s i n? x d x
解 （一） ? xdx2s i n;2co s21 Cx ???
解 （二） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
? ? ;s i n 2 Cx ??
解 （三） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
? ?,c o s 2 Cx ???
?? )2(2s i n21 xxd
?? )( s i ns i n2 xxd
??? )( c o sc o2 xxd
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例 2 求,)14( 20 dxx? ?
解 dxxd ?? )14(41
duu?? 2041 Cu ?? 21841
dxx? ? 20)14(
Cx ??? 21)14(841
14 ?? xu
回代
)14()14(41 20 ??? ? xdx
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例 3 求,)ln1( 1 dxxx? ?
解 dxxx? ? )ln1( 1
xu ln1 ??
?? duu1 Cu ?? ln,)ln1l n ( Cx ???
回代
)( l nln1 1 xdx? ??
)ln1(ln1 1 xdx ??? ?
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一般地
在积分运算中常用到两个微分性质,
)0()]([1)()1( ???? axadaxd
])([)()2( bxdxd ????
例 4 求 ? xdxta n
? xdxta n解 dxxx?? co ss i n
cx ??? c o sln dxx
xd???
c o s
)( c o s
? xdxc o t cx ?? s i nln同理
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例 5 求,1 22 dxxa? ?
解 dxxa? ? 22 1
dx
a
xa ?
?
? 2
2
2
1
11
.a rcta n1 Caxa ??
)(
)(1
11
2 a
xd
a
xa ? ??
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例 6 求,25812 dxxx? ??
解 dxxx? ?? 25812 dxx? ??? 9)4(
1
2
dx
x
?
??
?
?
?
?
? ?
?
1
3
4
1
3
1
22 ??
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? ?
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a rcta n31 Cx ???
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例 7 求,)1( 3 dxxx? ?
解 dxxx? ? 3)1( dxx
x?
?
???
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx ????? ?
221 )1(2
1
1
1 C
xCx ???????
.)1(2 11 1 2 Cxx ??????
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例 8 求 dxax? ? 22 1
解 dxaxax? ??? ))((
1
dxaxaxa ? ???? )11(21
.]ln[ ln2 1 Caxaxa ?????
dxax? ? 22 1
? ? ?????? ])()([2 1 ax axdax axda
Cax axa ???? ln21
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例 9 求
解 ?? dxxco s1
?? dxxx2c o sc o s
Cxx ???? s in1 s in1ln21,t a ns e cln Cxx ???
? xdxse c
? xdxse c
)( s ins in1 1 2? ?? xdx
利用例 8的结果
? xdxc sc,c o tc s cln Cxx ???同理
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例 10 求 dxx? 2sin
xdx? 2sin解 dxx? ?? )2co s1(21
?? ?? )2co s(21 x d xdx Cxx ??? s i n4121
例 11 求 dxx? 3c o s
dxx? 3c o s解 )( s i n)s i n1( 2 xdx? ??
Cxx ??? 3s i n31s i n
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例 12 求
解
.c o s3c o s? x d xx
? xdxx c o s3c o s
.4s i n812s i n41 Cxx ???
dxxx? ?? )4c o s2( c o s21
利用公式
)]co s ()[ co s (21co sco s BABABA ????
?? ?? )4(4co s81)2(2co s21 xxdxxd
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II,第二类积分换元法
一、预备知识
1.三角函数及反函数的概念
2.反三角函数的有关公式
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问题?1 1 ??? dxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 tdtdx 2?
dttt? ? ??? 1 1)1(2
???
（应用“凑微分”即可求出结果）
)0(2 ?? ttx令
dxx? ?1 1 ?
?? dtt
t
12
二、第二类积分换元法
第二节 换元积分法
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定理 2 设 )(tx ?? 是单调且有连续导数的函数,
)()]([,0 ttft ? ???? ? ）（且 有原函数 ),(tF 则有
? dxxf )(
dtttf? ? ??? )()]([ CtF ?? )(
CxF ??? ? )]([ 1
)(tx ??
)(1 xt ???
上述求积分的方法称为第二类换元积分
法。
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例 13 求
解
).0(22 ??? adxxa
td tadx c o s??
dtta ?? 22 c o s
dxxa ? ?? 2 2co s12
t
a x
22 xa ? Ctt
a ??? )2s in
2
1(
2
2
?????? ???? 2,2ttax s in?令
dxxa? ? 22
Cxaxaxa ???? )( a r c s in2 22
2
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例 14 求
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec??
??? dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1 ??
?? td ts e c Ctt ??? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax ?,ln 22 C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
?????? ???? 2,2t
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说明 (1) 以上几例所使用的均为三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa ?可令 ;s i n tax ?
22)2( xa ?可令 ;t a n tax ?
22)3( ax ?可令,s e c tax ?
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例 15 求
解
dxxx? ? 31
dttdx 56?令 )0(6 ?? ttx
dxxx? ? 31 dtt t? ?? 16
3
dttt? ? ??? 1 116
3
dtttt? ????? )1 11(6 2
Ctttt ?????? 1ln2131 23
Cxxxx ?????? 663 1ln2131
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例 16 求
解
.1 1 dxe x? ?
xet ?? 1令,12 ??? te x
,122 dtt tdx ??
dxe x? ?1 1 dt
t? ?? 1
2
2 dttt? ??
??
?
?
???? 1
1
1
1
Ctt ???? 11ln ? ?,11ln2 Cxe x ?????
? ?,1ln 2 ?? tx
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基
本
积
分
表
?;co slnt a n)14( ? ??? Cxxdx;s i nlnco t)15( ? ?? Cxxdx;)t a nl n ( s ecs ec)16( ? ??? Cxxxdx;)co tl n ( cs ccs c)17( ? ??? Cxxx d x;a r c s in1)18( 22 Caxdxxa ????
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第 26 页;ln2 11)20( 22 Cxa xaadxxa ??????;2a r c s in2)21( 22
2
22 Cxax
a
xadxxa ??????
.)ln(1)22( 2222 Caxxdxax ??????;a rct a n11)19( 22 Caxadxxa ????
.)ln(1)23( 2222 Caxxdxax ??????
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两类积分换元法,
??
?
（一）凑微分
（二）三角代换、根式代换
基本积分表 (2)
小结
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练习题
求下列不定积分
? ? dxx 73.1
? ??? )73(7331 xdx
解 ? ? dxx 73
? ??? Cuduu 2
3
9
2
3
1 2
1
Cx ??? 2
3
)73(9273 ?? xu
回代
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解
dxxx?
2)( ln
.2
dxxx?
2)(ln
?? )( l n)( l n 2 xdx
duu?? 2 Cu ?? 331
Cx ?? 3)( l n31
xu ln?
回代
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dxxx 2c o s.3 ?
)(c o s21 22 xdx??
解 dxxx 2c o s?
Cx ?? 2s i n21
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解
dttt? ?? 12
? ? dxx1 1.4
? ? dxx1 1
td tdxtx 2,??
dtt t? ? ???? 1 112 ）（
?? ??? dtdtt 2112 Ctt ???? 21ln2
Cxx ???? 21ln2
回代
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? ? 32 )4(.5 x dx
dttt?? 2
2
s e c8
s e c2解 ?
? 32 )4( x
dx
t d tdxtx 2s e c2,t a n2 ?? 得令
dtt?? c o s41
Ct ?? s in41
Cx x ??? 441 2
回代
t
42 ?x x
2
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习题 4-3
1.求下列不定积分
dxeedxe
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dxx
dxxdxxxx
dt
t
x d x
xxx
??
??
? ?
??
? ?
?
?
?
????
?
2)10()9(
s i n
co s
)8(
co s
s i n
)7(
2
)6()23()5(
)12()4()32()23()3(
4
s i n)2(5co s)1(
32
2
2
3
642
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??
??
? ?
? ?
??
??
?
?
??
?
?
dx
x
dx
dxxx
dxedxxe
xdxxxdxx
bdx
xba
x
dx
x
xdxdx
x
e
dx
x
x
dx
xx
xx
x
2
32
3
23
925
)22(3s i n)21(
)20()19(
7s i n5s i n)18(3co s2s i n)17(
)0(
co s
s i n
)16(
21
1
)15(
s i n)14()13(
3
)12(
ln
1
)11(
2
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2.求下列不定积分
??
??
??
??
?
?
?
?
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
xx
dxxxdx
x
x
322
2
2
3
)1(
1
)6(
4
)5(
9
)4(
1
)3(
1)2(
2
)1(
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习题 4-3答案
C
e
C
e
CxC
x
CxCx
CxCxx
C
t
Ct
xx
?
?
?
??
?????
?????
???
?
3
)2(2
)10(
2
)9(
s i n2)8(
co s
1
)7(
2)6()23(
8
1
)5(
)12(
14
1
)4()23(
5
1
)3(
4
co s4)2(s i n
5
1
)1.(1
2
3
32
24
72
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CxCx
CeCe
CxxCxx
Cxba
b
Cx
Cx
x
Ce
C
x
C
x
xx
x
???
???
?????
??????
???
?
?
??
?
5
3
a rc s i n
3
1
)22(3co s
9
1
)21(
)20(
2
1
)19(
12s i n
24
1
2s i n
4
1
)18(co s
2
1
5co s
10
1
)17(
co sln
1
)16(21ln
2
1
)15(
co s
3
co s
)14(2)13(
2
)3l n (
)12(
)ln2(
1
)11(
2
3
2
2
2
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C
x
x
Cx
xx
C
x
x
Cxxxx
Cxx
Cxx
?
?
???
???
?????
????
????
2
2
2
6
1
6
1
3
1
2
1
2
3
2
5
2
1
2
3
1
)6(
4
22
a rc s i n2)5(
3
a rc co s39)4(
)1l n (6632)3(
)1(
3
2
)1(
5
2
)2(
)2(4)2(
3
2
)1.(2
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本节
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本节
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与要
求
本节
重点
与难
点
本节
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第 39 页
第二节 换元积分法
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本节的学习目的与要求
本节
预备
知识
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
1,掌握第一类换元积分公式；
2,理解第一类换元积分法并用其进行基
本计算；
3,掌握第二类换元积分公式；
4,理解第二类换元积分法并用其进行基
本计算。
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第 40 页
第二节 换元积分法
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本节的重点与难点
本节
预备
知识
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
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? 重点
– 第一类换元积分法
? 难点
1,牢记一些常用的凑微分公式；
2,第二类换元积分法使用对象。
第 1 页
II.第二类换元法
I.第一类换元法
第二节 换元积分法
第四章 不定积分
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本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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第 2 页
I,第一类换元积分法
一、预备知识
1.复合函数的求导法则
dx
du
du
udf
dx
udf ?? )()(
2.微分的形式不变性
duufudf )()( ??
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问题 ? x d x2c o s,2s i n Cx ??
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx ??
? x d x2c o s dtt?? co s21 Ct ?? s i n21,2s i n21 Cx ??
二、第一类换元积分法
第二节 换元积分法
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在一般情况下,
设 ),()( ufuF ?? 则,)()(? ?? CuFduuf
如果 )( xu ?? （可微）
)()]([)()]([ xdxfdxxxf ???? ???
? ??? ??? duuFdxxxf )(')()]([
由此可得换元法定理
duuFduuf )(')( ??
cxfCuF ????? )]([)(
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? ? ?? dxxxf )()]([
上述求积分的方法称为第一类换元积分
法 （ 凑微分法 ） 。
)( xu ?? 具有连续
定理 1 设 )()( ufuF 为的一个原函数，即
? ?? CuFduuf )()(
导数，则有
CuF ?? )(
? ??? )()]([ xdxf
?? duuf )(
ux ?? )( 回代
CxF ??? )]([
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例 1 求,2s i n? x d x
解 （一） ? xdx2s i n;2co s21 Cx ???
解 （二） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
? ? ;s i n 2 Cx ??
解 （三） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
? ?,c o s 2 Cx ???
?? )2(2s i n21 xxd
?? )( s i ns i n2 xxd
??? )( c o sc o2 xxd
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例 2 求,)14( 20 dxx? ?
解 dxxd ?? )14(41
duu?? 2041 Cu ?? 21841
dxx? ? 20)14(
Cx ??? 21)14(841
14 ?? xu
回代
)14()14(41 20 ??? ? xdx
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例 3 求,)ln1( 1 dxxx? ?
解 dxxx? ? )ln1( 1
xu ln1 ??
?? duu1 Cu ?? ln,)ln1l n ( Cx ???
回代
)( l nln1 1 xdx? ??
)ln1(ln1 1 xdx ??? ?
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一般地
在积分运算中常用到两个微分性质,
)0()]([1)()1( ???? axadaxd
])([)()2( bxdxd ????
例 4 求 ? xdxta n
? xdxta n解 dxxx?? co ss i n
cx ??? c o sln dxx
xd???
c o s
)( c o s
? xdxc o t cx ?? s i nln同理
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例 5 求,1 22 dxxa? ?
解 dxxa? ? 22 1
dx
a
xa ?
?
? 2
2
2
1
11
.a rcta n1 Caxa ??
)(
)(1
11
2 a
xd
a
xa ? ??
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例 6 求,25812 dxxx? ??
解 dxxx? ?? 25812 dxx? ??? 9)4(
1
2
dx
x
?
??
?
?
?
?
? ?
?
1
3
4
1
3
1
22 ??
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? ?
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a rcta n31 Cx ???
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例 7 求,)1( 3 dxxx? ?
解 dxxx? ? 3)1( dxx
x?
?
???
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx ????? ?
221 )1(2
1
1
1 C
xCx ???????
.)1(2 11 1 2 Cxx ??????
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例 8 求 dxax? ? 22 1
解 dxaxax? ??? ))((
1
dxaxaxa ? ???? )11(21
.]ln[ ln2 1 Caxaxa ?????
dxax? ? 22 1
? ? ?????? ])()([2 1 ax axdax axda
Cax axa ???? ln21
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例 9 求
解 ?? dxxco s1
?? dxxx2c o sc o s
Cxx ???? s in1 s in1ln21,t a ns e cln Cxx ???
? xdxse c
? xdxse c
)( s ins in1 1 2? ?? xdx
利用例 8的结果
? xdxc sc,c o tc s cln Cxx ???同理
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例 10 求 dxx? 2sin
xdx? 2sin解 dxx? ?? )2co s1(21
?? ?? )2co s(21 x d xdx Cxx ??? s i n4121
例 11 求 dxx? 3c o s
dxx? 3c o s解 )( s i n)s i n1( 2 xdx? ??
Cxx ??? 3s i n31s i n
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例 12 求
解
.c o s3c o s? x d xx
? xdxx c o s3c o s
.4s i n812s i n41 Cxx ???
dxxx? ?? )4c o s2( c o s21
利用公式
)]co s ()[ co s (21co sco s BABABA ????
?? ?? )4(4co s81)2(2co s21 xxdxxd
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II,第二类积分换元法
一、预备知识
1.三角函数及反函数的概念
2.反三角函数的有关公式
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问题?1 1 ??? dxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 tdtdx 2?
dttt? ? ??? 1 1)1(2
???
（应用“凑微分”即可求出结果）
)0(2 ?? ttx令
dxx? ?1 1 ?
?? dtt
t
12
二、第二类积分换元法
第二节 换元积分法
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定理 2 设 )(tx ?? 是单调且有连续导数的函数,
)()]([,0 ttft ? ???? ? ）（且 有原函数 ),(tF 则有
? dxxf )(
dtttf? ? ??? )()]([ CtF ?? )(
CxF ??? ? )]([ 1
)(tx ??
)(1 xt ???
上述求积分的方法称为第二类换元积分
法。
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例 13 求
解
).0(22 ??? adxxa
td tadx c o s??
dtta ?? 22 c o s
dxxa ? ?? 2 2co s12
t
a x
22 xa ? Ctt
a ??? )2s in
2
1(
2
2
?????? ???? 2,2ttax s in?令
dxxa? ? 22
Cxaxaxa ???? )( a r c s in2 22
2
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例 14 求
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec??
??? dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1 ??
?? td ts e c Ctt ??? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax ?,ln 22 C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
?????? ???? 2,2t
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说明 (1) 以上几例所使用的均为三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa ?可令 ;s i n tax ?
22)2( xa ?可令 ;t a n tax ?
22)3( ax ?可令,s e c tax ?
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例 15 求
解
dxxx? ? 31
dttdx 56?令 )0(6 ?? ttx
dxxx? ? 31 dtt t? ?? 16
3
dttt? ? ??? 1 116
3
dtttt? ????? )1 11(6 2
Ctttt ?????? 1ln2131 23
Cxxxx ?????? 663 1ln2131
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例 16 求
解
.1 1 dxe x? ?
xet ?? 1令,12 ??? te x
,122 dtt tdx ??
dxe x? ?1 1 dt
t? ?? 1
2
2 dttt? ??
??
?
?
???? 1
1
1
1
Ctt ???? 11ln ? ?,11ln2 Cxe x ?????
? ?,1ln 2 ?? tx
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基
本
积
分
表
?;co slnt a n)14( ? ??? Cxxdx;s i nlnco t)15( ? ?? Cxxdx;)t a nl n ( s ecs ec)16( ? ??? Cxxxdx;)co tl n ( cs ccs c)17( ? ??? Cxxx d x;a r c s in1)18( 22 Caxdxxa ????
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第 26 页;ln2 11)20( 22 Cxa xaadxxa ??????;2a r c s in2)21( 22
2
22 Cxax
a
xadxxa ??????
.)ln(1)22( 2222 Caxxdxax ??????;a rct a n11)19( 22 Caxadxxa ????
.)ln(1)23( 2222 Caxxdxax ??????
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两类积分换元法,
??
?
（一）凑微分
（二）三角代换、根式代换
基本积分表 (2)
小结
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练习题
求下列不定积分
? ? dxx 73.1
? ??? )73(7331 xdx
解 ? ? dxx 73
? ??? Cuduu 2
3
9
2
3
1 2
1
Cx ??? 2
3
)73(9273 ?? xu
回代
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解
dxxx?
2)( ln
.2
dxxx?
2)(ln
?? )( l n)( l n 2 xdx
duu?? 2 Cu ?? 331
Cx ?? 3)( l n31
xu ln?
回代
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dxxx 2c o s.3 ?
)(c o s21 22 xdx??
解 dxxx 2c o s?
Cx ?? 2s i n21
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解
dttt? ?? 12
? ? dxx1 1.4
? ? dxx1 1
td tdxtx 2,??
dtt t? ? ???? 1 112 ）（
?? ??? dtdtt 2112 Ctt ???? 21ln2
Cxx ???? 21ln2
回代
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? ? 32 )4(.5 x dx
dttt?? 2
2
s e c8
s e c2解 ?
? 32 )4( x
dx
t d tdxtx 2s e c2,t a n2 ?? 得令
dtt?? c o s41
Ct ?? s in41
Cx x ??? 441 2
回代
t
42 ?x x
2
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习题 4-3
1.求下列不定积分
dxeedxe
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dxx
dxxdxxxx
dt
t
x d x
xxx
??
??
? ?
??
? ?
?
?
?
????
?
2)10()9(
s i n
co s
)8(
co s
s i n
)7(
2
)6()23()5(
)12()4()32()23()3(
4
s i n)2(5co s)1(
32
2
2
3
642
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??
??
? ?
? ?
??
??
?
?
??
?
?
dx
x
dx
dxxx
dxedxxe
xdxxxdxx
bdx
xba
x
dx
x
xdxdx
x
e
dx
x
x
dx
xx
xx
x
2
32
3
23
925
)22(3s i n)21(
)20()19(
7s i n5s i n)18(3co s2s i n)17(
)0(
co s
s i n
)16(
21
1
)15(
s i n)14()13(
3
)12(
ln
1
)11(
2
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2.求下列不定积分
??
??
??
??
?
?
?
?
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
xx
dxxxdx
x
x
322
2
2
3
)1(
1
)6(
4
)5(
9
)4(
1
)3(
1)2(
2
)1(
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习题 4-3答案
C
e
C
e
CxC
x
CxCx
CxCxx
C
t
Ct
xx
?
?
?
??
?????
?????
???
?
3
)2(2
)10(
2
)9(
s i n2)8(
co s
1
)7(
2)6()23(
8
1
)5(
)12(
14
1
)4()23(
5
1
)3(
4
co s4)2(s i n
5
1
)1.(1
2
3
32
24
72
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CxCx
CeCe
CxxCxx
Cxba
b
Cx
Cx
x
Ce
C
x
C
x
xx
x
???
???
?????
??????
???
?
?
??
?
5
3
a rc s i n
3
1
)22(3co s
9
1
)21(
)20(
2
1
)19(
12s i n
24
1
2s i n
4
1
)18(co s
2
1
5co s
10
1
)17(
co sln
1
)16(21ln
2
1
)15(
co s
3
co s
)14(2)13(
2
)3l n (
)12(
)ln2(
1
)11(
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3
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2
2
第二节 换元积分法
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退
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本节
预备
知识
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
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指导
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C
x
x
Cx
xx
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Cxxxx
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知识
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本节的学习目的与要求
本节
预备
知识
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
1,掌握第一类换元积分公式；
2,理解第一类换元积分法并用其进行基
本计算；
3,掌握第二类换元积分公式；
4,理解第二类换元积分法并用其进行基
本计算。
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本节的重点与难点
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预备
知识
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
? 重点
– 第一类换元积分法
? 难点
1,牢记一些常用的凑微分公式；
2,第二类换元积分法使用对象。
